精品解析：山东省泰安市东平县2024—-2025学年八年级上学期 期中考试 数学试题

2024～2025学年第一学期期中质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择48题分，非选择题102分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题纸或答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．） 1. 在，，，，，1+中，分式的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 2. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 小雨同学参加了学校举办的“抗击疫情，你我同行”主题演讲比赛，她的演讲内容语言表达和形象风度三项得分分别为80分，90分，85分，若这三项依次按照50%，30%，20%的百分比确定成绩，则她的成绩是（ ） A 82分 B. 83分 C. 84分 D. 85分 4. 下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某小组同学在一周内参加家务劳动的时间表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ） 劳动时间（小时） 3 3.5 4.5 4 人数 1 1 1 2 A. 中位数是4.5，平均数是3.75 B. 众数是4，平均数是3.75 C. 中位数是4，平均数是3.8 D. 众数是2，平均数是3.8 7. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ） A. B. C. D. 8. 若，则m的值是（ ） A 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 9. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（ ） A. 最高成绩是9.4环 B. 平均成绩是9环 C. 这组成绩的众数是9环 D. 这组成绩的方差是8.7 10. 已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 11. 某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（　　） A. 实际工作时每天工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务 B. 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果延误30天完成了这一任务 C. 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误30天完成了这一任务 D. 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前30天完成了这一任务 12. 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，由图2所表示的数学等式，则的值为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果．） 13. 某公司欲招聘工人，对候选人进行三项测试：语言、创新、综合知识，并按测试得分1∶4∶3的比例确定测试总分．已知某候选人三项得分分别为88,72,50，则这位候选人的招聘得分为__________． 14. 对于非零实数、，规定，若，则的值为________． 15. 已知，则______． 16. 已知2，3，5，m，n五个数据的方差是16，那么3，4，6，，五个数据的标准差是________． 17 已知，则=_____________. 18. 若，那么代数式的值为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．） 19. 因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 计算： （1）化简下列各式： ①； ②． （2）化简求值：，再从中选一个你认为合适的整数值，对式子进行代入求值． 21. 解方程． （1）； （2）． 22. 为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图． （1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数； （2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）； 统计量 平均数 众数 中位数 方差 （1）班 8 8 c 1.16 （2）班 a b 8 1.56 （3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀． 23. 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个，只填选项） A． B． C． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 24. 中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍． （1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？ （2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？ 25. 【阅读材料】 在进行计算或化简时，可以根据题目特点，将一个分数或分式变成两部分之差，如：等． 【问题解决】 利用上述材料中的方法，解决下列问题： （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年第一学期期中质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择48题分，非选择题102分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题纸或答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．） 1. 在，，，，，1+中，分式的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【详解】解：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式， 由此可得，，，1+是分式，共4个， 故选B 2. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式改写成几个整式乘积叫做因式分解，据此可得答案． 【详解】解：A、是因式分解，符合题意； B、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：A． 3. 小雨同学参加了学校举办的“抗击疫情，你我同行”主题演讲比赛，她的演讲内容语言表达和形象风度三项得分分别为80分，90分，85分，若这三项依次按照50%，30%，20%的百分比确定成绩，则她的成绩是（ ） A. 82分 B. 83分 C. 84分 D. 85分 【答案】C 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式求解即可，加权平均数计算公式为：，其中代表各数据的权. 【详解】依题意，． 故选C． 【点睛】本题考查了加权平均数，掌握是加权平均数的计算公式解题的关键． 4. 下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式的特征即可做出判断． 【详解】A. 不能用完全平方公式分解因式，不符合题意， B. 不能用完全平方公式分解因式，不符合题意， C. =，符合题意， D. 不能用完全平方公式分解因式，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解题的关键． 5. 若分式的值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件，列出方程，求解，利用分式有意义检验即可得出答案． 【详解】根据分式值为零及分式有意义，可得： 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的运算求解等相关知识，根据分式值为零求出值之后一定要记得检验才能得出正确答案． 6. 某小组同学在一周内参加家务劳动的时间表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ） 劳动时间（小时） 3 3.5 4.5 4 人数 1 1 1 2 A. 中位数是4.5，平均数是3.75 B. 众数是4，平均数是3.75 C. 中位数是4，平均数是3.8 D. 众数是2，平均数是3.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、众数和中位数的概念求解． 【详解】解：平均数为：（3+3.5+4×2+4.5）÷5=3.8， 这组数据中4出现的次数最多，众数为4， ∵共有5个人， ∴第3个人的劳动时间为中位数， ∴中位数为4． 故选：C． 【点睛】本题考查了众数、中位数及加权平均数知识，解题的关键是了解有关的定义，难度不大． 7. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分式基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 8. 若，则m的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式把原式变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（ ） A. 最高成绩是9.4环 B. 平均成绩是9环 C. 这组成绩的众数是9环 D. 这组成绩的方差是8.7 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计图即可判断选项A，根据统计图可求出平均成绩，即可判断选项B，根据统计图即可判断选项C，根据所给数据进行计算即可判断选项D． 【详解】解：A、由统计图得，最高成绩是9.4环，选项说法正确，不符合题意； B、平均成绩：，选项说法正确，符合题意； C、由统计图得，9出现了3次，出现的次数最多，选项说法正确，不符合题意； D、方差：，选项说法错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了平均数，众数，方差，解题的关键是理解题意掌握平均数，众数和方差的计算方法． 10. 已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到且，即可求解． 【详解】方程两边同时乘以，得， 解得， 关于x的分式方程的解是正数， ，且， 即且， 且， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键． 11. 某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（　　） A. 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务 B. 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果延误30天完成了这一任务 C. 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误30天完成了这一任务 D. 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前30天完成了这一任务 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据给定的分式方程，找出省略的条件是解题的关键．根据工作时间=工作总量÷工作效率结合所列分式方程，即可找出省略的条件，此题得解． 【详解】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米， ∵所列分式方程为， ∴为实际工作时间，为原计划工作时间， ∴省略的条件为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误30天完成了这一任务． 故选：C． 12. 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，由图2所表示的数学等式，则的值为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以单项式与图形的等面积，根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式，即可求解． 【详解】解：由图2可得 ∵， ∴， 又∵ ∴ 故选为：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果．） 13. 某公司欲招聘工人，对候选人进行三项测试：语言、创新、综合知识，并按测试得分1∶4∶3的比例确定测试总分．已知某候选人三项得分分别为88,72,50，则这位候选人的招聘得分为__________． 【答案】65.75 【解析】 【详解】这位候选人的测试得分=（88×1+72×4+50×3）÷(1+4+3)=65.75（分）， 故答案为65.75（分） 14. 对于非零实数、，规定，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，根据新定义的公式列得分式方程，求解即可，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】∵, ∴ 解得 检验：当时，， ∴是分式方程的解， 故答案为． 15. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，先把式子两边同时平方，利用完全平方公式求出的值，同理可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知2，3，5，m，n五个数据的方差是16，那么3，4，6，，五个数据的标准差是________． 【答案】4 【解析】 【分析】先设原数据的平均数为，即可得出新数据的平均数，再求出原来的方差，和现在的方差，进而得出标准差． 【详解】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为， 则原来的方差， 现在的方差 . 所以方差不变，标准差为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加1所以波动不会变，方差不变，即数据的波动情况不变． 17. 已知，则=_____________. 【答案】121 【解析】 【分析】先利用配方法得到（x−2）2＋（y＋3）2＝0，再根据非负数的性质得到x,y的值，再把原式因式分解即可求解. 【详解】∵ ∴（x−2）2＋（y＋3）2＝0， ∴x-2=0，y+3=0 解得x=2,y=-3 ∴===121 故填：121. 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解题的关键是整式完全平方公式的应用. 18. 若，那么代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值、因式分解的应用，由已知条件得出，，，再将式子化为，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．） 19. 因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，再合并同类项，最后利用十字相乘法分解因式即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 计算： （1）化简下列各式： ①； ②． （2）化简求值：，再从中选一个你认为合适的整数值，对式子进行代入求值． 【答案】（1）①；② （2），当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式的混合计算： （1）①先计算乘方，再根据分式的乘除法计算法则求解即可；②先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【小问1详解】 解：① ； ② ； 【小问2详解】 解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式；当时，原式． 21. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）原方程无解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程： （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴原方程的解． 22. 为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图． （1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数； （2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）； 统计量 平均数 众数 中位数 方差 （1）班 8 8 c 1.16 （2）班 a b 8 1.56 （3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀． 【答案】（1）（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人 （2）a，b，c的值分别为8，9，8 （3）（1）班成绩更均匀 【解析】 【分析】（1）根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论； （2）根据（1）中数据分别计算a，b，c的值即可； （3）根据方差越小，数据分布越均匀判断即可． 【小问1详解】 解：由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人）， ∴（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人）， 答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人； 【小问2详解】 由题意知： a＝＝8； ∵9分占总体的百分比为28%是最大的， ∴9分的人数是最多的， ∴众数为9分，即b＝9； 由题意可知，（1）班的成绩按照从小到大排列后，中间两个数都是8， ∴c＝＝8； 答：a，b，c的值分别为8，9，8； 【小问3详解】 ∵（1）班的方差为1.16，（2）班的方差为1.56，且1.16＜1.56， ∴根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀． 【点睛】本题主要考查统计的知识，根据方差判断稳定性，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键． 23. 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个，只填选项） A． B． C． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】（1）B （2）①，② 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式的几何背景的运用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键． （1）根据图1中剩余面积等于大正方形面积减去小正方形面积，图2面积等于长乘宽，即可得出结论； （2）根据（1）中的等式得出，将代入进行计算即可；②根据（1）中得出的等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由图1可得，剩余部分面积， 由图2可得：阴影部分面积， ∴， 故选：B． 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ② ． 24. 中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍． （1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？ （2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？ 【答案】（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元；（2）第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒 【解析】 【分析】（1）设A种茶叶每盒进价为元，则B种茶叶每盒进价为元，根据“4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒”列出分式方程解答，并检验即可； （2）设第二次A种茶叶购进盒，则B种茶叶购进盒，根据题意，表达出打折前后，A，B两种茶叶的利润，列出方程即可解答． 【详解】解：（1）设A种茶叶每盒进价为元，则B种茶叶每盒进价为元． 根据题意，得 ． 解得． 经检验：是原方程的根． ∴（元）． ∴A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元． （2）设第二次A种茶叶购进盒，则B种茶叶购进盒． 打折前A种茶叶的利润为． B种茶叶的利润为． 打折后A种茶叶的利润为． B种茶叶利润为0． 由题意得：． 解方程，得：． ∴（盒）． ∴第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒． 【点睛】本题考查了分式方程及一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程，并注意分式方程一定要检验． 25. 【阅读材料】 在进行计算或化简时，可以根据题目特点，将一个分数或分式变成两部分之差，如：等． 【问题解决】 利用上述材料中的方法，解决下列问题： （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据题目中的式子特点，先分解，然后裂项，再计算即可解答本题； （2）先提出，然后裂项计算即可解答本题； （3）根据题目中式子的特点，先裂项，然后计算即可解答本题． 【详解】解：（1） ＝++…+ ＝1﹣+…+ ＝1﹣ ＝； （2） ＝×[+…+] ＝×[++…+] ＝×（1﹣+…+） ＝×（1﹣） ＝× ＝； （3） ＝++…+ ＝×（1﹣+…+） ＝×（1﹣） ＝× ＝． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$