3.2.2函数的奇偶性课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

3.2.2函数的奇偶性 世间万物绚丽多彩，美不胜收。但有一种美是最令人向往的，那就是对称美，在对称美中有两种对称是最独特的，那就是轴对称和中心对称。而这两种对称美也存在于一些函数图像中，让我们一起来看一看！ 2 课堂小结 教学过程 问题探究 发现函数图象的“美” 关于原点对称 关于轴对称 若图象是以轴为对称轴的轴对称图形，就称是偶函数 若图象是以原点为中心的中心对称图形，就称是奇函数 这些是我们比较熟悉的一些函数的图像 大家仔细观察，你能否从图象对称的角度进行一下分类呢？ 通过观察我们可以发现，这些函数的图像呈现两种不同的对称性，一种是以坐标原点为中心的中心对称图形，另一种是以y轴为对称轴的轴对称图形， 我们把图象关于y轴对称的函数称为偶函数，我们把图象关于原点对称的函数称为奇函数 我们根据函数的图像可以很直观的判断一个函数是否是奇偶函数。 但是有些函数的图像很难画出来，这个时候我们又该如何判断函数的奇偶性？ 能否直接根据函数的解析式进行判断呢？ 我们带着这样的疑问来思考下面的问题 3 课堂小结 教学过程 问题探究 问题一 点B是否也在的图象上？ 已知是偶函数(如图所示）,点是图象上任意一点，点是点关于轴的对称点 问题二 点A、B的坐标之间有何联系？ ？ 是偶函数 ? 已知F(x)是偶函数，它的图像如图所示,A是F(x)图象上任意一点，点B是点A关于y轴的对称点，请同学们思考下面两个问题并给出你的答案： 问题一： 点B是否也在F(x)的图象上？我们先来看一个动画 我们知道，偶函数的图象是关于y轴对称的，所以只要点A在图象上，A关于y轴的对称点B也一定在F(x)的图象上。 问题二：点A、B的坐标之间有何联系？因为,A是F(x)图象上任意一点，我们把点A的横坐标用x来表示，则点A的坐标为（x,F(x)),因为点B与点A关于y轴对称，所以点B的横坐标为-x，因为点B在F(x)的图象上，则点B的纵坐标为F(-x)，因为A,B两点关于y轴对称，AB两点的纵坐标相等，即F(-x)=F(x)。 所以我们可以得到结论：F(x)是偶函数，则有F(-x)=F(x)，反之是否成立？ 4 课堂小结 教学过程 问题探究 问题三：若对于定义域内的任意的，都有定义，并满足，则的图象具有怎样的对称性？ 图象关于y轴对称 = 我们来看问题3，若对于F(x)定义域内的任意的x，F(−x)都有定义，并满足F(−x)=F(x)，则F(x)的图象具有怎样的对称性？ 对于F(x)图象上的一点A（x,F(x)），A关于y轴的对称点B的坐标就是（-x,F(x)）因为F(−x)=F(x)，这个B点的坐标还可以表示为（-x,F(-x)），则B点也在F(x)的图象上，对于F(x)图像上的任意一点，这个结论都是成立的，那么我们最终得到的F(x)的图象一定是关于y轴对称的。所以F(−x)=F(x)可以推出F(x)的图象关于y轴对称，也就可以推出F(x)是一个偶函数 5 课堂小结 教学过程 问题探究 如果对一切使有定义的，也有定义，并且=成立，则称为偶函数。 偶函数定义 前提条件： 定义域关于原点对称 思考：函数的定义域有什么特点？ 从而我们给出偶函数的定义，即：如果对一切使F(x)有定义的x，F(−x)也有定义，并且F(−x)=F(x)成立，则称F(x)为偶函数。 我们注意定义中有一个前提条件：如果对一切使F(x)有定义的x，F(−x)也有定义，如何诠释这句话？ x在F(x)的定义域内，对应的-x也要在F(x)的定义域内，此时F(−x)才有意义，思考：函数F(x)的定义域有什么特点？F(x)定义域关于原点对称，这是判断一个函数是否是偶函数的前提条件。 6 课堂小结 教学过程 问题探究 奇偶性 偶函数 奇函数 图 象 性 质 关于轴对称 关于原点对称 定义 前 提 关 系 式 的定义域关于原点对称 类比偶函数定义的探究，请同学们分组讨论，给出奇函数的定义。奇函数的图像是以原点为中心的中心对称图形，所以对于F(x)图像上任意一点A(x,F(x)),它关于原点对称的点B也一定在F(x)的图像上，且B点的横坐标为-x,纵坐标为F(-x)，因为AB关于原点对称，所以纵坐标互为相反数，即：F(-x)=-F(x)，反之也一定成立。并且奇函数的的定义域也必须关于原点对称，从而给出奇函数的定义 7 课堂小结 教学过程 问题探究 如果对一切使有定义的，也有定义，并且=成立，则称为奇函数。 奇函数定义 如果对一切使F(x)有定义的x，F(−x)也有定义，并且F(−x)=-F(x)成立，则称F(x)为奇函数。 8 课堂小结 教学过程 问题探究 例1：判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） 解：的定义域为R 所以是偶函数 因为 所以是奇函数 解:因为的定义域不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数 因为 解：的定义域为 （3） （2） 我们学习了函数奇偶性的定义，那同学能不能判断出下列函数的奇偶性呢？大家分组讨论，并派个代表汇报本组的讨论结果： （1）f(x)的定义域是,关于坐标原点对称，我们再来看f(-x)与f(x)的关系：f(−x)=(−x)^2+|−x|=(x)^2+|x|=f(x)，所以f(x)是偶函数 （2）g(x)的定义域是x不等于0，关于坐标原点对称，我们再来看g(-x)与g(x)的关系：g(−x)=−x+k/−x=−(x+k/x)=−g(x)，所以g(x)是奇函数 （3）因为h(x)的定义域不关于原点对称，所以h(x)即不是奇函数也不是偶函数 9 陈晓丹 (陈) - 课堂小结 教学过程 问题探究 例如： 有没有函数既是奇函数又是偶函数呢？ 10 陈晓丹 (陈) - 课堂小结 教学过程 问题探究 例2：作出在轴左边的图象。 11 课堂小结 教学过程 问题探究 例3：设是定义于上的函数，且 ①讨论的奇偶性； ②如果在上，，试求在上的表达式。 ①解： 的定义域为 所以为偶函数 ②解：当时， 由偶函数性质得： 因为 12 课堂小结 教学过程 问题探究 本节课你学到了哪些知识与方法？ 形的对称 奇函数 偶函数 式的规律 图象法 奇偶性的判断 定义法： 定义域定义式 函数按照奇偶性可以分为： 数 形 结 合 几何直观 奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数 类比思想 13 课后探究 类比函数奇偶性的定义，探讨下列问题： （1）函数是偶函数 函数图象关于直线对称 （2）函数是奇函数 函数图象关于点对称 ? ? 作业布置 1. 必做：教材P84 1题, 教材P85 5题 2.选做： 教材P84 2、3题, 教材P86 6题 Microsoft Game DVR 网络画板 $$