精品解析：重庆市万州第二中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

重庆市万州第二中学2024−2025学年度初三（上） 期中考试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、 ，被开方数为负数，无意义，不符合条件； B、 ，根指数为2且被开方数，符合二次根式定义； C、，，则，被开方数为负数，不符合条件； D、，根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式条件； 故选：B． 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义，根据二次根式有意义的条件，根号内的式子必需大于等于0，即可求出答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义，则， 解得， 故选：C． 3. 如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误． 故选：C． 4. 受国际油价影响，今年我国号汽油价格总体呈上升趋势，但在今年月月油价有所下调，某地号汽油价格六月底是元/升，八月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的降低率为，根据题意列出方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据六月底是元/升，八月底是元/升可得到等量关系列出方程． 【详解】解：设该地号汽油价格这两个月平均每月的降低率为，根据题意可得， ， 故选． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意，找出等量关系是解题的关键． 5. 如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为．若的面积为8，则的面积是（） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴， ∵位似比为， ∴， ∵的面积为8， ∴的面积18， 故选：C． 6. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，先根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算出，即可得解． 【详解】解：， ∵，， ∴，即， ∴， 故选：B． 7. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定； C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 8. 若等腰一条边的长度为1，另外两条边的长度分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，那么的周长是（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 解得或，分两种情况讨论，需要检验是否符合三角形的三边关系． 【详解】解：， ， 解得：或， ①当时，三边为，则周长为； 当时，三边为，不满足三角形三边关系，舍， ∴的周长是5， 故选：B． 9. 如图，在正方形中，，延长至E，使，连接平分交于点F，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理的应用等，解题的关键是构造正方形． 作，构造正方形，设，易证，由此列出比例式可求解a的值，然后在中，利用勾股定理即可求得的长度． 【详解】过点F作于点M，作于点N，如图所示． ∵四边形为正方形，， ∴ ∵， ∴四边形为矩形． ∵平分， ∴． ∴四边形为正方形． ∴， 设，则 ∵， ∴ 即， 解得： 在中，， 由勾股定理，得 故选：C． 10. 关于x的多项式，，m为任意实数，则下列结论中正确的有（ ）个． ①若中不含项，则； ②不论x取何值，总有； ③若关于x的方程的两个解分别为，，则实数m的最大值为10； ④不论m取何值，关于x的方程始终有4个不相同的实数解． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】，中不含项，则，可判断①正确；利用求差法克判断②错误；由一元二次方程根与系数的关系得到，进而得，可判断③正确；由得，即或，将多项式A，B代入化简后，根据一元二次方程根的判别式即可可判断④正确． 【详解】解：， 若中不含项，则， ，故①正确； ∵， 当时，不论x取何值，总有，即，故②错误； 若关于的方程，即的两个解分别为，，则， ， 当时，m有最大值，为，故③正确； 由得， 或， 由得， ∴， ∵， ∴有两个不相同的实数根， 由得， ∴， ∴， ∴有两个不同的实数根， ∴始终有4个不相同的实数解，故④正确， 正确的有①③④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查整式的加减，求差法比较大小，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将下列每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值计算出，再与相乘计算即可即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 13. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E、F分别是线段，的中点，若，的周长是，则______cm． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线是判定及性质，根据平行四边形的性质得到，，求出的值，由的周长求出，根据三角形中位线的性质求出EF的长．熟记平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∵点E、F分别是线段，的中点， ∴， 故答案为：． 14. 已知a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，由题意可得，，再将式子变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别是，．，，若函数的图像经过点C，则k的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质和等腰直角三角形，解题关键是恰当构建直角三角形，利用等腰直角三角形求出点C坐标； 作于点D，利用等腰直角三角形求出点C坐标，再求出k的值即可． 【详解】解：作于点D， ∵点A，B的坐标分别是， ∴， ∵， ∴， ∴设， 则点C坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得，或（舍去）， 点C坐标为， ∴k的值为4， 故答案为：4． 16. 若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程、一元二次方程根的判别式，先解分式方程得出，结合题意得出或或或或或或，根据一元二次方程根的判别式求出且，从而得出或或，求和即可． 【详解】解：解方程得：， ∵a使得关于x的分式方程有整数解，且， ∴或或或或或或， ∵关于y的一元二次方程有实数根， ∴，， 解得：且， ∴或或， ∴所有满足条件的整数a的和为， 故答案为：． 17. 如图，在中，，，点分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使A点落在边上的处，，则的长度为______：的长度为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理；掌握相关知识和作出适当的辅助线是解题的关键．根据题意设，再由勾股定理列方程，可求出，作，垂足为，可得为等腰直角三角形，再根据翻折设，，，可得，求出，根据勾股定理求出的长，即可得到的长． 【详解】解：，， ， 将沿着翻折，使A点落在边上的处， ，设，， ， ， 即， 解得， ， 如图，作，垂足为， ，，， ，， ， ， 即， ，， 设，，， ， 解得， ， ，，， ， ， 根据折叠可得， ． 故答案为：，． 18. 对于一个各个数位上的数字不相等且均不为零的四位自然数，且满足，则称这个数为“前和幂数”，如：，因为，所以5924是“前和幂数”．若是“前和幂数”，则这个数是______；若四位数A是“前和幂数”，将“前和幂数”A的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数B，若能被33整除，则满足条件的A的最大值和最小值的差是______． 【答案】 ①. 3674 ②. 4950 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用，因式分解的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键． 根据“前和幂数”的定义求解即可；设这个四位数，则，再结合“前和幂数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到A的最大值与最小值，即可解答． 【详解】解：∵是“前和幂数”， ∴， ∴， 这个数是3674； 设这个四位数，则， ， 四位数A是“前和幂数”， ， ， 能被33整除， 是整数，且，，，， 满足条件的的值为， ， 满足条件的等式为， 满足条件的A的最大值是，最小值为1263， 它们的差为． 故答案为：3674；4950． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，解一元二次方程： （1）先根据平方差公式和二次根式的化简方法去括号，然后计算加减法即可得到答案； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 20. 学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： （1）用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点．（不写作法，只保留作图痕迹） （2）已知：在四边形中，，为中点，为中点． 猜想：，且． 证明：∵是中点， ∴ ∵ ∴ ① 在和中 ， ∴ ∴ ② ，且 ∵是的中点 又是的中点 ∴为的中位线 ∴且 ③ ∴ ∵ ∴ 请你根据该探究过程完成下面命题： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于 ④ ． 【答案】（1） 作图如下： （2） ；；；上底加下底的一半． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，梯形中位线定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图： （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法以及题意作图即可； （2）根据已给推理过程结合全等三角形的性质与判定定理和三角形中位线定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：证明：∵是中点， ∴ ∵ ∴， 在和中 ， ∴, ∴，且, ∴是的中点, 又是的中点, ∴为的中位线 ∴且, ∴, ∵， ∴， ∴连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于上底加下底的一半 21. 文明和卫生是一座城市最亮的底色，也是一座城市最好的名片．万州区正全力争创全国文明城区、国家卫生城区．某校开展“双创”的知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为，，三个等级：．下面给出了部分信息：八年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；九年级10名学生的竞赛成绩在等级中的数据为：81，82，84，88，88．抽取的九年级学生竞赛成绩扇形统计图： 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八年级 86 85 56 九年级 86 88 62.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有1050名学生，九年级有1100名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【答案】（1）86，84，30 （2）九年级学生的成绩更好，因为九年级学生成绩的中位数86大于八年级学生成绩的中位数85，所以九年级学生成绩更好 （3）这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为645人 【解析】 【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值，根据等级所占百分比即可得出m的值； （2）依据表格中平均数、中位数、众数，方差做出判断即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 九年级共10人，A等级占20%则为2人，中位数位于是第五个和第六个的平均数，故； 八年级中出现次数最多的数是84，故； ，故； 故答案为：86；84；30； 【小问2详解】 九年级学生的成绩更好，因为九年级学生成绩的中位数86大于八年级学生成绩的中位数85，所以九年级学生成绩更好 【小问3详解】 （人） 故答案为：人 【点睛】本题考查中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键． 22. 健康来自运动，运动创造美好生活．某个周末，小明和小华相约一起到万州南滨公园跑步锻炼，小明的跑步速度为小华的倍，若他们同时从A地出发，沿相同路线跑步2160米到达B地，则小明比小华早到6分钟． （1）求小明每分钟跑多少米？ （2）若到达B地后，小明继续沿着步道跑步到C地，在他从A地到C地整个跑步过程中前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，小明共消耗1050卡路里热量，在从A地到C地整个跑步过程中，小明共用多少分钟？ 【答案】（1）180米 （2）60分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小华每分钟跑x米，则小明每分钟跑米，根据“小明比小华早到6分钟”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设小华每分钟跑x米，则小明每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小明每分钟跑180米． 【小问2详解】 解：设小明从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小明从A地到C地锻炼共用60分钟． 23. “天高云淡秋风炎，正是人间好游赏”，周末小明和小华决定到某地登山游玩，如图，他们同时从地出发，到达终点地集合，点在点的正北方向，小明先沿着坡度为的斜坡前进米后达到地，再沿地的北偏东的方向爬坡到地，小华沿着地北偏东的方向的爬坡到地，再沿地的北偏西方向爬坡到地．（参考数据：，，） （1）求点到点的距离：（结果保留根号） （2）已知小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟，请通过计算说明：小明和小华谁先到达终点处． 【答案】（1）米 （2）小华先到达终点处 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，设水平线为，根据坡度比求出，进而易得的长度，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解； （2）过点作于点，过点作于点，利用（1）求出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出和的长度，进而求得，再分别求出小明和小华所走的总路程，然后比较它们的大小来求解． 【小问1详解】 解：过点作，交于点，设水平线为， 如下图． ，的坡度为， 则, ． 点在的正北方向， ， ， ． ， ， ， ，， ． 地在地北偏东方向上， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作于点，如下图 地在地北偏东方向上， ． 由（1）可知，， ． ，， ， ， ． ， ， ． 地在地北偏西方向上， ， ， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ． 小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟， 小明到终点所用的时间为（分钟）， 小华到终点所用的时间为（分钟）． ， 小华先到达终点处． 【点睛】本题考查了坡度比，方位角，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，作出图形是解答关键． 24. 如图，在矩形中，，，点Q为边上的中点，动点M从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C时停止，设运动的时间为t秒，记为y（面积不为0）． （1）请直接写出y关于t的函数表达式以及对应的t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； （3）函数与y的图像有且仅有2个交点，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1） （2） 作图如下， 在范围内，随着的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】本题考查了求分段函数的解析式、根据解析式画函数的图象、一次函数的图象与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意，分和讨论，根据三角形面积公式得出关于的函数表达式即可； （2）根据（1）中函数表达式，取，，作出图象，写出该函数的一条性质即可； （3）根据函数与的图象一定经过点，画图分析，当函数与的图象从经过点，逆时针转动到经过时，与的图象有且仅有个交点（不包含刚好经过点时），得出不等式求解，得出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动， ∴，， ∴， ∵，，记为， ∴当时，点在上运动，； 当时，点与点重合，不存在； 如图，当时，点在上运动， ， 综上所述：； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， 当时，（作图用，此时不存在）， 当时，， ∴取，，， ∴在范围内，随着的增大而增大； 【小问3详解】 解：∵函数的图象一定经过点， ∴如图，画图分析， ∴当函数与的图象从经过点，逆时针转动到经过点时，与的图象有且仅有个交点（不包含刚好经过点时）， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点A、点B，直线：与直线交于点，与x轴交于点C，且． （1）求直线的解析式； （2）如图2，若点P是线段上的一动点，连接、，点E、F分别是x轴和y轴上的两个动点，连接、、，当，求点P的坐标及周长的取值范围； （3）如图3，将直线向右平移个单位长度得到直线，直线与y轴交于点Q，连接，在x轴是否存在动点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），的周长取值范围为大于 （3）或 【解析】 【分析】（1）函数，令，求得点B的坐标，进而根据，求得点C的坐标，将点代入直线：中，可求得点D的坐标，采用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）根据，求得，设直线与y轴交于点K，求出，由，可判断点P在第一象限，设，过点P作轴于点G，过点B作于点H，根据可得，求解即可得到点；作点关于x轴的对称点，关于y轴的对称点，连接，交x轴于点E，交y轴于点F，则为最小值，根据两点间的距离公式即可解答，同时要注意此时三角形是否存在； （3）由平移可设直线的解析式为：，根据点向右平移个单位长度得到点在直线上，可求出，得到直线的解析式为：，进而得到，因此是等腰直角三角形，过点B作，则，即点为所求动点，由，得到，从而；作点关于的对称点，连接，交x轴于点，点为所求动点．设点，运用两点间的距离公式，根据，可列出方程组，求解可得，进而求出直线的解析式为，令，可求出，即可解答． 【小问1详解】 解：对于函数，令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线：上， ∴，解得， ∴， ∵直线：过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：对于函数，令，则，解得 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线与y轴交于点K， 则对于直线：，令，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点P在第一象限， ∵点P在线段上， ∴设， 过点P作轴于点G，过点B作于点H， ∴，，， 则 ∴ ∴， ∴； 作点关于x轴的对称点，关于y轴的对称点， 则，， 连接，交x轴于点E，交y轴于点F，此时，， 此时为最小值， ∵， 又因为此时，E，F，O三点重合，不存在三角形， ∴的周长的取值范围为大于． 【小问3详解】 解：∵将直线向右平移个单位长度得到直线， ∴设直线的解析式为：， ∴直线上的点向右平移个单位长度得到点，点在直线上， ∴，解得， ∴设直线的解析式为：， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 过点B作，则，即点为所求动点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 作点关于的对称点，连接，交x轴于点， 根据轴对称可得， ∴，即点为所求动点， ∵， 在中，， ∴，， 设点， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴， 易求过点，的直线的解析式为， 令，则，解得， ∴． 综上所述，存在点M，使得，点M为或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点，轴对称图形的性质，最短路径问题，两点间的距离，坐标与图形，综合运用相关知识是解题的关键． 26. 在中，，． （1）如图1，若点D在边上，且满足，，求的长； （2）如图2，若点D为延长线上一点，点E为中点，在射线上取点F满足，连接，过点A作，且满足，连接，求证：； （3）如图3，点D为的中点，，点E为直线上任意一点，连接，将沿翻折得，连接，，当最小时，将沿翻折得，连接，，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：延长至点H，使得，连接，延长至点，使得，连接， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∴，， ∴三点共线， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作于点K，，设，则，，则，在中，由勾股定理得，同理，继而； （2）延长至点H，使得，连接，延长至点，使得，连接，先证明，可得，导角分析得到，则，由勾股定理得：，则，，因此，得到，，此时三点共线，由，进行等量代换即可求证； （3）由题可得点在以D为圆心，长为半径的圆上运动，即当D、、B共线时，长度最小，最小值为，然后利用翻折和三角形的外角得到，即可得到，然后求出三角形的面积． 【小问1详解】 解：过点D作于点K， ∴， 设， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵，． ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴中，由勾股定理得， 同理， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵点D为的中点，， ∴， 由翻折得：， ∴点在以点D为圆心，为半径的圆上运动， ∵，则， ∴当点三点共线时，且在上时，取得最小值，如图： 在中，由勾股定理得， ∴， 又∵， ∴， 由翻折得：，，， ∴，即， ∴， 过作于点T，则， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市万州第二中学2024−2025学年度初三（上） 期中考试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 受国际油价影响，今年我国号汽油价格总体呈上升趋势，但在今年月月油价有所下调，某地号汽油价格六月底是元/升，八月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的降低率为，根据题意列出方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为．若的面积为8，则的面积是（） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 6. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 若等腰一条边的长度为1，另外两条边的长度分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，那么的周长是（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 不确定 9. 如图，在正方形中，，延长至E，使，连接平分交于点F，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 关于x的多项式，，m为任意实数，则下列结论中正确的有（ ）个． ①若中不含项，则； ②不论x取何值，总有； ③若关于x的方程的两个解分别为，，则实数m的最大值为10； ④不论m取何值，关于x的方程始终有4个不相同的实数解． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将下列每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 若，则______． 13. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E、F分别是线段，的中点，若，的周长是，则______cm． 14. 已知a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别是，．，，若函数的图像经过点C，则k的值为______． 16. 若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的和为______． 17. 如图，在中，，，点分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使A点落在边上的处，，则的长度为______：的长度为______． 18. 对于一个各个数位上的数字不相等且均不为零的四位自然数，且满足，则称这个数为“前和幂数”，如：，因为，所以5924是“前和幂数”．若是“前和幂数”，则这个数是______；若四位数A是“前和幂数”，将“前和幂数”A的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数B，若能被33整除，则满足条件的A的最大值和最小值的差是______． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）计算： （2）解方程： 20. 学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： （1）用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点．（不写作法，只保留作图痕迹） （2）已知：在四边形中，，为中点，为中点． 猜想：，且． 证明：∵是中点， ∴ ∵ ∴ ① 在和中 ， ∴ ∴ ② ，且 ∵是的中点 又是的中点 ∴为的中位线 ∴且 ③ ∴ ∵ ∴ 请你根据该探究过程完成下面命题： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于 ④ ． 21. 文明和卫生是一座城市最亮的底色，也是一座城市最好的名片．万州区正全力争创全国文明城区、国家卫生城区．某校开展“双创”的知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为，，三个等级：．下面给出了部分信息：八年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；九年级10名学生的竞赛成绩在等级中的数据为：81，82，84，88，88．抽取的九年级学生竞赛成绩扇形统计图： 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八年级 86 85 56 九年级 86 88 62.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有1050名学生，九年级有1100名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 22. 健康来自运动，运动创造美好生活．某个周末，小明和小华相约一起到万州南滨公园跑步锻炼，小明的跑步速度为小华的倍，若他们同时从A地出发，沿相同路线跑步2160米到达B地，则小明比小华早到6分钟． （1）求小明每分钟跑多少米？ （2）若到达B地后，小明继续沿着步道跑步到C地，在他从A地到C地整个跑步过程中前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，小明共消耗1050卡路里热量，在从A地到C地整个跑步过程中，小明共用多少分钟？ 23. “天高云淡秋风炎，正是人间好游赏”，周末小明和小华决定到某地登山游玩，如图，他们同时从地出发，到达终点地集合，点在点的正北方向，小明先沿着坡度为的斜坡前进米后达到地，再沿地的北偏东的方向爬坡到地，小华沿着地北偏东的方向的爬坡到地，再沿地的北偏西方向爬坡到地．（参考数据：，，） （1）求点到点的距离：（结果保留根号） （2）已知小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟，请通过计算说明：小明和小华谁先到达终点处． 24. 如图，在矩形中，，，点Q为边上的中点，动点M从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C时停止，设运动的时间为t秒，记为y（面积不为0）． （1）请直接写出y关于t的函数表达式以及对应的t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； （3）函数与y的图像有且仅有2个交点，请直接写出k的取值范围． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点A、点B，直线：与直线交于点，与x轴交于点C，且． （1）求直线的解析式； （2）如图2，若点P是线段上的一动点，连接、，点E、F分别是x轴和y轴上的两个动点，连接、、，当，求点P的坐标及周长的取值范围； （3）如图3，将直线向右平移个单位长度得到直线，直线与y轴交于点Q，连接，在x轴是否存在动点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 26. 在中，，． （1）如图1，若点D在边上，且满足，，求的长； （2）如图2，若点D为延长线上一点，点E为中点，在射线上取点F满足，连接，过点A作，且满足，连接，求证：； （3）如图3，点D为的中点，，点E为直线上任意一点，连接，将沿翻折得，连接，，当最小时，将沿翻折得，连接，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $