精品解析：湖南省永州市宁远县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024年下期期中作业评价 九年级数学 （时量：120分钟满分：120分） 九年级数学上册期中知识要点： 1．反比例函数的定义：形如（k为常数，）的函数称为反比例函数． 2．反比例函数的图像特征：反比例函数的图像是双曲线，当时，图像位于第一、三象限；当时，图像位于第二、四象限． 3．反比例函数的图像性质：反比例函数的图像关于原点对称；在每个象限内，y随x的增大而减小（）或增大（）；反比例函数的图像不会与坐标轴相交． 湘教版九年级数学一元二次方程知识要点主要包括以下内容： 4．一元二次方程定义与形式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，其一般形式为（a、b、c是常数，）． 5．一元二次方程解法：常用方法包括因式分解法、配方法、公式法等．其中，公式法是最通用的方法，其求根公式为． 6．一元二次方程根的判别式：，用于判断一元二次方程的根的情况．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 7．一元二次方程应用：一元二次方程在数学和实际生活中有广泛应用，如求解面积、体积问题，以及最优化问题等． 8．相似图形的定义：形状相同但大小不一定相同的图形称为相似图形． 9．相似比：相似多边形对应边的比称为相似比． 10．相似三角形的判定：包括平行线判定、对应边成比例判定、对应角相等判定等． 11．相似三角形的性质：对应角相等，对应边的比相等，对应线段（如高、中线、角平分线）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下面的函数是反比例函数的是( ) A. B. C. D. 2. 反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣4，3），这个反比例函数的图象一定经过（　　） A. （﹣4，﹣3） B. （3，﹣4） C. （3，4） D. （﹣3，﹣4） 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，D、E分别是上的点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 方程的根的情况是（ ）． A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 7. 电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若a：b：c=2：3：7，且a－b＋3=c－2b ， 则c=（　　） A. 7 B. 63 C. 10．5 D. 5．25 9. 在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 下列命题正确的是（ ） A. 两个菱形相似 B. 各有一个角的两个等腰三角形相似 C. 一角相等的两个直角三角形相似 D. 腰对应成比例的两个等腰三角形相似 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 在比例尺为的地图上，相距5厘米的两地实际距离为______千米． 12. 方程的根为__________ 13. 已知反比例函数，当时，y的值随x值的增大而减小，则m取值范围是__________． 14. 已知m，n是一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值等于 _____． 15. 如图，一次函数与反比例的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是________． 16. 如图，在中，D，F是边上的三等分点，E，G是边上的三等分点．若，则 ___________ ． 17. A4纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为____________． 18. 已知点是线段上的一个黄金分割点，且，，那么______． 三、解答题（共66分） 19. 解方程：． 20. 如图所示，已知反比例函数的图象经过，，，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，求反比例函数函数值的取值范围． 21. 如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9，求证：△ADE与△ACB相似. 22. 如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽． 23. 如图，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分的面积为，求原正方形空地的边长． 24. 请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ． （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的方程有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）直线过点A，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接． ①求的面积； ②利用图象信息，直接写出不等式的解集． ③点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 26. 如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止连接、、． （1）若与相似，求动点的运动时间； （2）在运动过程中，当时，求动点的运动时间； （3）在运动的过程中，能否为的中位线？说明理由． 四、附加题（共20分，本题得分不计入总分，可单独计分） 27. 在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图，若点在线段上运动，交于． 求证：； 当是等腰三角形时，求的长． （2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由； 28. 直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、． （1）求的值及直线的解析式； （2）若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，面积为4时，求点坐标； （3）如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期期中作业评价 九年级数学 （时量：120分钟满分：120分） 九年级数学上册期中知识要点： 1．反比例函数的定义：形如（k为常数，）的函数称为反比例函数． 2．反比例函数的图像特征：反比例函数的图像是双曲线，当时，图像位于第一、三象限；当时，图像位于第二、四象限． 3．反比例函数的图像性质：反比例函数的图像关于原点对称；在每个象限内，y随x的增大而减小（）或增大（）；反比例函数的图像不会与坐标轴相交． 湘教版九年级数学一元二次方程知识要点主要包括以下内容： 4．一元二次方程定义与形式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，其一般形式为（a、b、c是常数，）． 5．一元二次方程解法：常用方法包括因式分解法、配方法、公式法等．其中，公式法是最通用的方法，其求根公式为． 6．一元二次方程根的判别式：，用于判断一元二次方程的根的情况．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 7．一元二次方程应用：一元二次方程在数学和实际生活中有广泛应用，如求解面积、体积问题，以及最优化问题等． 8．相似图形的定义：形状相同但大小不一定相同的图形称为相似图形． 9．相似比：相似多边形对应边的比称为相似比． 10．相似三角形的判定：包括平行线判定、对应边成比例判定、对应角相等判定等． 11．相似三角形的性质：对应角相等，对应边的比相等，对应线段（如高、中线、角平分线）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下面的函数是反比例函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=或y=kx-1（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，据此进行求解即可. 【详解】解：A、是反比例函数，正确； B、是二次函数，错误； C、是正比例函数，错误； D、是一次函数，错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的识别，容易出现的错误是把当成反比例函数，要注意对反比例函数形式的认识． 2. 反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣4，3），这个反比例函数的图象一定经过（　　） A. （﹣4，﹣3） B. （3，﹣4） C. （3，4） D. （﹣3，﹣4） 【答案】B 【解析】 【分析】先求出反比例函数解析式，然后逐一判断点是否在函数图象上即可． 【详解】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣4，3）， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴当时，，当时，，当时，， ∴只有点（3，-4）在反比例函数图像上， 故选B． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式和判断点是否在函数图象上，熟知相关知识是解题的关键． 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：∵是一元一次方程，故A不符合题意； ∵是分式方程，故B不符合题意； ∵是二元一次方程，故C不符合题意； ∵是一元二次方程，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键 4. 如图，在中，D、E分别是上的点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，即可证得，又由，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5. 已知点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到横、纵坐标异号，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，判断即可． 【详解】∵， ∴上格点横、纵坐标异号，且在每一个象限内，y随x的增大而增大． ∵，，， ∴，且， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 6. 方程的根的情况是（ ）． A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先求出根的判别式Δ的值，再判断出其符号即可得到结论． 【详解】解：∵x2+8x+17=0， ∴Δ=82-4×1×17=-4＜0， ∴方程没有实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac的关系是解答此题的关键． 7. 电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——连续增长问题．根据题意，分别表示出三天的票房，再求和等于10亿元即可． 【详解】解：第一天票房为3亿元，设票房每日增长率为x， 则第二天票房亿元， 第三天票房亿元， 累计三天票房总和为10亿元， ∴方程为：， 故选：A． 8. 若a：b：c=2：3：7，且a－b＋3=c－2b ， 则c=（　　） A. 7 B. 63 C. 10．5 D. 5．25 【答案】C 【解析】 【分析】设a=2k，b=3k，c=7k，代入a-b+3=c-2b，求出k的值，即可求出答案． 【详解】设a=2k，b=3k，c=7k， ∵a-b+3=c-2b， ∴2k-3k+3=7k-6k， 解得：k= ， ∴c=7k=10.5， 故选C. 【点睛】本题考查了比例的性质的应用，熟练掌握比例的性质，提高计算能力是解题关键. 9. 在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗杆的高． 【详解】解：设影长为米的旗杆的高是米， 根据题意可得：， 解得：， 即影长为米的旗杆的高是米． 故选：A． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 两个菱形相似 B. 各有一个角的两个等腰三角形相似 C. 一角相等的两个直角三角形相似 D. 腰对应成比例的两个等腰三角形相似 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，用相似三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项，解题的关键是了解相似三角形的判定方法． 【详解】解：A、两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似，故选项不符合题意； B、有一个角的三角形中，角必须为顶角，两个底角分别是，可判定三角形相似，故选项符合题意； C、如果相等的这个角是直角，则这两个直角三角形不一定相似，故选项不符合题意； D、腰对应成比例但是顶角不相等的两个等腰三角形不一定相似，故选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 在比例尺为的地图上，相距5厘米的两地实际距离为______千米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例尺正确进行计算并注意单位的转换是解题的关键．因为比例尺图上距离：实际距离，根据题意列出关系式即可得出实际的距离． 【详解】解：因为比例尺图上距离：实际距离， 设两地实际距离为厘米，得：， 所以相距5厘米的两地的实际距离是（厘米）（千米）， 故答案为：0.5． 12. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 13. 已知反比例函数，当时，y的值随x值的增大而减小，则m取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了反比例函数的性质，根据题意列不等式求解即可． 【详解】∵反比例函数，当时，的值随值的增大而减小 ∴ ∴． 故答案为：． 14. 已知m，n是一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值等于 _____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系与完全平方公式即可求解． 【详解】∵m，n是一元二次方程的两根， ∴，． ∴． 故答案为：20． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和利用完全平方公式变形求解．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 15. 如图，一次函数与反比例的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的数学思想，观察函数图象，取反比例函数图象位于一次函数图象下方时对应的x的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点， 知图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是或． 故答案为：或． 16. 如图，在中，D，F是边上的三等分点，E，G是边上的三等分点．若，则 ___________ ． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，判定平行线后再次运用定理计算． 【详解】因为D，F是边上的三等分点，E，G是边上的三等分点． 所以， 所以， 所以， 因为， 所则． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 17. A4纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，如图，设大长方形的长为，宽为，则小长方形的长为，宽为，根据矩形矩形列出比例式，求出的值即可． 【详解】解：设大长方形的长为，宽为，如图， 则，，， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 已知点是线段上的一个黄金分割点，且，，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫作黄金分割，他们的比值叫作黄金比．本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，， ． ∴ 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握十字相乘法分解因式，是解题的关键． 20. 如图所示，已知反比例函数的图象经过，，，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，求反比例函数函数值的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，将点坐标代入解析式即可求解； （2）将点坐标代入求出的值，再结合函数图象判断时即图象上与B两点之间反比例函数的取值范围． 【小问1详解】 解：∵点，在的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：， 【小问2详解】 把，代入，得：． 由题图可知， 当时，反比例函数函数值的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式和反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的定义和性质是解题的关键． 21. 如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9，求证：△ADE与△ACB相似. 【答案】 证明：∵AB=7.8，AD=3，AC=6，AE=3.9， ∴， ∴， 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB． 【解析】 【分析】由已知条件证出，再由∠A是公共角，根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似，即可判定△ADE与△ABC相似． 【详解】略 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题比较简单，注意掌握两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似定理的应用． 22. 如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽． 【答案】河宽为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：过点A作于点M，交于点N，易证可得，由意义可得，代入可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点A作于点M，交于点N， ∵， ∴， ， ∴ ∵， ∴，解得：， ∴． 答：河宽为． 23. 如图，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分的面积为，求原正方形空地的边长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设原正方形空地的边长为，则剩余部分是长为，宽为的长方形，根据矩形的面积计算公式列出方程即可求解，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原正方形空地的边长为，则剩余部分是长为，宽为的长方形， 根据题意得，， 整理得，， 解得（不合题意，舍去）， 答：原正方形空地的边长为． 24. 请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ． （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的方程有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）它的根分别是已知方程根的相反数，因此所求方程的根为y，则y=-x，将x=-y代入方程就可得到所求的方程.（2）设所求方程的根为y，可得到x= ， 将其代入方程，就可得到a+by+cy2=0，再分情况讨论：当c=0和x≠0，即可求解.（3）设所求方程的根为y，由已知可得到y=x2 ， 由此可得到x= ， 分别将x的值代入方程，就可得到所求的方程. 【详解】（1）设所求方程的根为 ，则 ， 所以． 把代入已知方程，得， ， 化简，得 ， 故所求方程为； （2）设所求方程的根为，则，于是 ， 把代入方程，得 ， 去分母，得 ， 若，有， 于是方程有一个根为0，不符合题意， ， 故所求方程为 ； （3）设所求方程的根为，则， 所以 ， ①当时，把代入已知方程，得 ，即； ②当时，把代入已知方程，得 ，即 ∴所求方程为或. 【点睛】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题目中给出的利用方程根的代换求新方程的方法，并应用“换根法”解决问题． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）直线过点A，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接． ①求的面积； ②利用图象信息，直接写出不等式的解集． ③点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 【答案】（1）， （2）①8；②；③点坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合平行四边形的性质求点的坐标等知识，解决问题的关键是画出图形，清晰分类． （1）根据一次函数的解析式可以求出a的值，再将点A的坐标带入反比例函数的解析式，即可求出k的值； （2）①先根据求出点C的坐标，再根据即可求得答案；②找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的取值范围即可；③分别根据为对角线、为对角线和为对角线三种情况展开讨论即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入得，， ∴， 把，代入得，， ∴； 【小问2详解】 解：点，点的纵坐标是0，， 点的纵坐标是，把代入，得， ， ①如下图所示，作轴于，交于，作轴于， 当时，， ， ， ， ； ②由图象可得，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象上或上方， ∴当时，； ③设，， ，． 当为对角线时，， ， 当为对角线时 解得， ， ， 舍去 当为对角线时 解得：， 综上点坐标为或． 26. 如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止连接、、． （1）若与相似，求动点的运动时间； （2）在运动过程中，当时，求动点的运动时间； （3）在运动的过程中，能否为的中位线？说明理由． 【答案】（1）秒或秒 （2）秒 （3） 不能，理由如下： 如图， 若为的中位线，则， 则， ∴， 解得：， 此时，， ∴， ∴不可能为的中位线． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握知识点，找到相似三角形是解题的关键． （1）已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间； （2）当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间； （3）若若为的中位线，则，则，求出，此时，，故，故不能为的中位线． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得 设经过运动时间为t秒时，与相似． 则，，，； ①当，即时， ； ，即， ． ②当，即时， ， ，即， ． 和都符合， 当动点运动秒或秒时，与相似； 【小问2详解】 解：如图，过点E作于F， 设经过运动时间为t秒时，， 则，，，； ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， （秒）． 【小问3详解】 略 四、附加题（共20分，本题得分不计入总分，可单独计分） 27. 在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图，若点在线段上运动，交于． 求证：； 当是等腰三角形时，求的长． （2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由； 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； 或或 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由等边对等角可得出，由三角形的内角和定理可得出，由，得出，于是得证；分为三种情况：第一种情况，；第二种情况，；第三种情况，；分别根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可推出的长； （2）利用三角形外角的性质可证得，进而可证得，于是可得，又因，于是可求得的长，确定点的位置． 【小问1详解】 略 解：当是等腰三角形时，分为以下三种情况： 第一种情况：如图，， ， ， ， ， 由可知：， ， ， 点为的中点， ； 第二种情况：如图，， 此时点和点重合，点和点重合， 即； 第三种情况：如图，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设， 在中， ，， ， ， ， 解得：， ； 综上所述，的长为或或； 【小问2详解】 解：存在（只有一种情况）， 理由如下： 如图，由（1）可知：， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 答：存在，． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，证明两三角形相似，垂线的定义，等角对等边，三线合一，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元一次方程，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 28. 直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、． （1）求的值及直线的解析式； （2）若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，面积为4时，求点坐标； （3）如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入反比例函数，可得，进一步利用反比例函数的解析式求得点，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）依据题意，画出图形，分两种情况，情况一：直线与反比例函数的图象交于点、，在点上方的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示；情况二：直线与反比例函数的图象交于点、，在点右侧的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示；根据面积列式求解即可得到答案； （3）根据题意分析出是平行于的动直线，上下平移直线，将往下平移到与图象有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；将往上平移到与图象翻折后的曲线有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；在这两者之间的与封闭图形有交点，、关于点对称，即有为的中点，如图所示，求出点，再借助于、关于点对称，得到，求出过点、点时的的值，即可得解． 【小问1详解】 解：点在反比例函数， 将点的坐标代入，得， ， 反比例函数为， 又在反比例函数， ，即， 点，在直线上 ，解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：情况一：直线与反比例函数的图象交于点、，在点上方的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示： 设， 面积为4， ，则，解得； 情况二：直线与反比例函数的图象交于点、，在点右侧的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示： 设， 面积为4， ，则，解得； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：依据题意，直线平行于直线， 上下平移直线，将往下平移到与图象有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；将往上平移到与图象翻折后的曲线有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；在这两者之间的与封闭图形有交点，、关于点对称，即有为的中点，如图所示： 由题意，则， 当与反比例函数有且只有一个交点时，有两个相等的实数根， ，解得或（由图可知，负数舍去）， 此时，与轴的交点， ， ， 由直线的对称性可知，， 此时．与轴的交点， ． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，综合性强，难度较大，涉及待定系数法确定函数解析式、反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积方法、解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、函数交点个数与一元二次方程解的关系、直线平行的性质、点的对称等知识，熟记一次函数及反比例函数图象与性质、数形结合，熟练掌握并能灵活运用相关性质求解是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $