河南模式2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷（四）

河南模式2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷（四） 考试时间：100分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1．下列图形中不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列长度的各组线段中，可以组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，6，11 D．4，7，12 3．式子，，，，，中，属于分式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．纳米是非常小的长度单位，．把的物体放在乒乓球上，就如同把乒乓球放在地球上．等于（    ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．使分式的值为零的x的值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点D，连接，若的周长为12，，则的周长为（    ） A．7 B．12 C．17 D．20 8．如图，已知，是射线上一点，，是射线上的点．已知，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 9．综合实践活动小组为测量池塘两端的距离，活动小组的三位同学分别设计出如下三种方案： 小华：如图①，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，量出的长即为A，B的距离． 小欣：如图②，先过点B作的垂线，在上取C，D两点，使，再过点D作的垂线，交的延长线于点E，则量出的长即为A，B的距离． 小彤：如图③，过点B作的垂线，在上取一点D，连接，然后在的延长线上取一点C，连接，使．这时只要量出的长即为A，B的距离． 以上三位同学设计的方案中可行的是（    ） A．小华和小欣 B．小欣和小彤 C．小华和小彤 D．三个人的方案都可以 10．小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形，小球P从出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，当小球P第2024次碰到长方形的边时，若不考虑阻力，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题 11．生活中处处有数学，起重机的底座、输电线路的支架都是采用三角形结构，从数学角度来说，是因为三角形具有 ． 12．若一个n边形n个内角与某一个外角的总和为，则n等于 ． 13．如图，巡逻艇C在游轮A北偏东的方向上，巡逻艇C在游轮B北偏东的方向上，游轮B位于游轮A的正东方向，则的度数为 ． 14．如图，已知边长为a，b的长方形，若它的周长为24，面积为32，则a2b＋ab2的值为 ． 第14题图 第15题图 15．如图，在中，，，平分，点E、F分别是射线和线段上的动点，连接、，则的最小值为 ． 三、解答题 16．（1）计算：；（2）计算：； （3）解方程：． 17．先化简，再求值：，并在，0，1中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 18．如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线，请你说明它的道理． 19．格点的三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出适当的平面直角坐标系； (2)请画出关于纵轴对称的； (3)在横轴上找一点P，使最短，并在图中标出点P的位置． 20．学习过等边三角形，小丽用折纸的方法裁出一个等边三角形．如图，先将正方形纸片对折后展开，折痕为．点E在线段上，连接，将沿折叠，点B落在上的点H处，连接，，沿和裁剪得到，则即为等边三角形，请给予证明． 21．如图，小明在制作手工时，想把一块直角三角形的卡纸均匀分成大小、形状都相同的三个三角形，如果，，小明利用直尺（无刻度）和圆规进行了如下操作，请你帮小明完成下面的尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作的平分线，交与点D． (2)作_________的垂直平分线（选择正确选项并完成作图）． A．线段    B．线段    C． 线段 (3)根据以上信息请判断： 点D在直线上吗？_______（填“在”或“不在”） 理由：_______________________________． 22．中国某外贸企业从国外某地区进口了A，B两种材料．已知B种材料比A种材料每吨多2万元，用900万元购进A种材料吨数是用800万元购进B种材料吨数的1.5倍． (1)求A，B两种材料每吨各多少万元． (2)由于市场的需要，该企业再次用1550万元购进A，B两种材料共240吨，A种材料的单价较上次上涨了，B种材料的单价较上次下降了，求该企业最多能购买A种材料的数量． 23．问题初探 （1）在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题： 如图①，在中，高，交于点F，且，试说明，有怎样的数量关系． 小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证，从而得出． 小明证明的依据可能是__________（填序号）．    ①    ②    ③    ④ 引导发现 （2）老师看同学们的兴致很高，又出了一道题： 如图②，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上．    填空：______°； 判断线段与的数量关系，并写出证明过程． 拓展延伸 （3）中，，，如图③，点D在线段上，于点E，交于点F，且，请直接写出和的数量关系．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A B C C B D B 1．D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中是轴对称图形，故不符合要求； B中是轴对称图形，故不符合要求； C中是轴对称图形，故不符合要求； D中不是轴对称图形，故符合要求； 故选：D． 2．B 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边． 根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：A．，两边之和小于第三边，故不能组成三角形； B．，两边之和大于第三边，故能组成三角形； C．，两边之和等于第三边，故不能组成三角形； D．，两边之和小于第三边，故不能组成三角形． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】解∶ 分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方法则和用科学记数表示的一般形式为，其中，n为正整数，注意单位之间的换算．根据，求出，然后进行计算即可． 【详解】解∶∵， ∴， 故选∶A． 5．B 【分析】本题考查了整式运算，熟练掌握运算性质是解答本题的关键．根据同底数幂相乘法则判断选项A；根据幂的乘方法则判断选项B；根据平方差公式判断选项C；根据完全平方公式判断选项D即可． 【详解】解∶A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算正确，符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 6．C 【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，解得． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子为零、分母不为零是解题的关键． 7．C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握．由题意知，垂直平分，则，由的周长可求，即可求解． 【详解】解∶由作图知：垂直平分， ∴， ∵的周长为12， ∴， 又， ∴的周长为． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和含角的直角三角形．过点作，垂足为．利用等腰三角形的“三线合一”先求出，利用含角的直角三角形的边间关系，再求出，最后利用线段的和差关系求出． 【详解】解：过点作，垂足为． ，，， ． 在中，， ． ， ． ． 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．在三个图中分别根据全等三角形的判定方法证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】解：在和中， ， ， ，故小华的方案可行； ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故小欣的方案可行； ， ， 在和中， ， ， ，故小彤的方案可行； 综上可知，三人方案都可行， 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了点的坐标规律性变化，解决此类问题的关键是找到待求量与序号之间的关系．按照反弹时反射角等于入射角，画出图形，可以发现每六次反射一个循环，最后回到起始点，然后计算2024有几个6即可求出对应点的坐标． 【详解】解：按照反弹时反射角等于入射角，画出图形，如下图： ，，，，，，，…， 通过以上变化规律，可以发现每六次反射一个循环， ∵， ∴， ∴点的坐标是． 故选：B． 11．稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形的稳定性在生活中的应用．根据三角形稳定性解决问题． 【详解】解：起重机的底座、输电线路的支架都是采用三角形结构，这里所运用的数学原理是三角形的稳定性． 故答案为：稳定性． 12．9 【分析】本题考查多边形内角和及不等式知识，熟练掌握多边形的内角和公式及计算法则是解题关键，设该多边形为x边形，其中一个外角为y，利用多边形内角和定理结合题意即可完成． 【详解】解：设该多边形为x边形，其中一个外角为y， 根据题意可得，， 所以， 即可得， 解得， 因为x是整数，所以，即这个多边形为9边形． 故答案为：9． 13．45 【分析】本题考查了方位角，三角形内角和定理．先求出，的度数，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，， ∴． 故答案为：45． 14．384 【分析】先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可． 【详解】根据题意得：a+b=12，ab=32， ∴a2b+ab2=ab（a+b）=32×12=384． 故答案为：384． 【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力． 15．18 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题．灵活应用角平分线性质、三角形三边的关系、垂线段最短，将所求最小值转化为求的长是解题的关键．接、，在射线上取点Q，使，过点C作于P，根据轴对称性可得，则当C、E、Q三点共线，且时，的最小值为，然后在中，利用含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解∶如图，连接、，在射线上取点Q，使，过点C作于P， ∵平分， ∴F、Q关于对称， ∴， ∴， 当C、E、Q三点共线，且时，的最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为18． 故答案为：18． 16．（1）1（2）（3） 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，分式的混合运算，解分式方程，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，然后根据实数的计算法则求解即可； （2）首先通分，然后再根据同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减进行计算即可； （3）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 17．，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，考虑分式无意义的情况是解题的关键．按照分式的化简法则，将分式化简，再根据分式无意义的条件，选择合适的值，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式无意义， ∴取时，原式． 18．见解析. 【分析】AC为公共边，其中AB=AD，BC=DC，利用SSS判断两个三角形全等，根据全等三角形的性质解题． 【详解】解：在△ACD和△ACB中， AD=AB，CD=CB ，AC＝AC． ∴△ACD≌△ACB． ∴∠DAC＝∠BAC， ∴AE是∠DAB的平分线. 【点睛】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及一次函数的应用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． （1）根据A、B、C的坐标即可建立平面直角坐标系； （2）依据轴对称的性质，即可得到关于y轴成轴对称的图形，； （3）作点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时的最小值等于． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图，即为所求， ； （3）解：如图，点P即为所求， ． 20．见解析 【分析】本题主要考查了正方形的折叠问题，垂线平分线的性质，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定方法．根据折叠得出垂直平分，根据垂直平分线性质得出，根据折叠，结合正方形性质得出，即可证明结论． 【详解】解：根据折叠可知，垂直平分， ∴， 根据折叠可知：， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 21．(1)见解析 (2)作图见解析；A (3)在；理由：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴点D在直线上 【分析】（1）用尺规作的平分线即可； （2）用尺规作线段的垂直平分线即可； （3）先证明，得出，再根据线段垂直平分线的判定进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，为所求作的的平分线； （2）解：如图，作线段的垂直平分线． 故答案为：A； （3）解：在；理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点D在直线上． 【点睛】本题主要考查了尺规作一个角的平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握基本作图方法． 22．(1)A种材料每吨6万元， B种材料每顿8万元 (2)该企业最多能购买A种材料70吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设A种材料每吨x万元，则B种材料每顿万元，根据“用900万元购进A种材料吨数是用800万元购进B种材料吨数的1.5倍”列出关于x的分式方程，然后求解即可； （2）设购进A种材料m吨，则购进B种材料吨，根据购进A、B两种材料的总费用不超过1550元，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种材料每吨x万元，则B种材料每顿万元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， 答：A种材料每吨6万元， B种材料每顿8万元； （2）解：设购进A种材料m吨，则购进B种材料吨， 根据题意，得， 解得， 答：该企业最多能购买A种材料70吨． 23．（1）②；（2）22.5，，过程见解析；（3） 【分析】（1）先证明，则，从而即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由余角的性质得，结合角平分线的定义可求出；根据证明得，根据证明得，进而可求出； （3）先证明，，然后根据证明得，根据证明得，进而可证． 【详解】（1）∵，， ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． 故答案为：②； （2），理由为： 延长交延长线于F，    ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：22.5； （3）；理由如下： 如图，作于点H，交延长线交于点G ， ， ， 为等腰直角三角形， ． ，即 ， ， ． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 在 和 中， ，    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一，余角的性质，其中根据全等三角形的判定方法构造全等是解决本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$