河南模式2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷（一）

河南模式2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷（一） 考试时间：100分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1．2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，中国代表团以40金27银24铜共91枚奖牌，创造了新的境外参加奥运会最佳成绩．中国队跳水项目包揽8金，射击、乒乓球和举重各夺5金，多个项目实现历史性突破．如图所示的体育项目图案中，是轴对称图形的是 （   ） A．B． C． D． 2．油菜是我国栽培面积最大的油料作物，栽培范围几乎遍布全国各地，花期多集中在2～4月，可持续约20~30天，从花粉产量来看几乎占全年花粉总产量的一半．油菜花粉是蜜蜂从油菜花中采集回来的花粉团，花粉团直径约0.00315米．将数据0.00315用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图，为估计湖岸边、两点之间的距离，小洛在湖的一侧选取一点．测得米，米，则、间的距离可能是(   ) A．50米 B．70米 C．200米 D．250米 4．已知，下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 5．若点的坐标是，点的坐标是，则与满足(   ) A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．轴 D．轴 6．已知分式有意义，则满足的条件是(    ) A． B． C． D．任何实数 7．位于高新区的火炬大桥是洛阳市区目前最靠西的一座跨洛河桥，也是洛阳市宽度最宽、承重能力最强、单孔跨度最大、配建立交规模最大的桥梁，其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是(   ) A． B． C． D． 8．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分拼成一个长方形，比较这两个阴影部分面积的结果，可以验证的乘法公式是（     ） A． B． C． D． 9．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图2中，的大小是(   ) A． B． C． D． 10．某工厂要加工个零件，甲队单独完成需小时，乙队单独完成比甲队少用3小时，则两队一起加工这批零件需要(   )小时． A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题 11．计算： 12．分解因式：x2（x﹣3）﹣x+3＝ ． 13．回顾尺规作图法中作一个角等于已知角的过程不难发现，实质上是我们首先作一个三角形与另一个三角形全等，再根据全等三角形对应角相等完成的．那么两个三角形全等的理论依据是 ．    14．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点，若，，则的值为 ． 15．如图，在锐角三角形中，，．的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 三、解答题 16．（1）计算：；（2）解方程：. 17．先化简，再求值：，其中，． 18．已知，在中，，． 请根据要求完成以下任务： (1)利用直尺和圆规，作的角平分线交于点，作的垂直平分线，垂足为，与交于点； (2)求的度数． 19．如图，点，，，在同一条直线，，．有下列三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中只选取其中一个，使得，写出你选的条件并证明； (2)求证：． 20．在四边形中，．，点、分别在边、上，且平分．    (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 21．为落实“全民健身国家战略，推动健康中国建设”，我市体育局组织了系列的体育赛事，其中半程马拉松（公里），他们约好一起去公园长跑训练，跑完后，发现小林用分钟跑的路程和小李用分钟跑的路程一样多，而小林的平均配速比小李的平均配速小分钟/公里，问这次训练小林和小李的平均配速各是多少分钟/公里．（说明：“配速”是速度的一种，指每公里所花的时间，它是长跑者关注的一项重要指标） 22．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，求的值． 解：， ，即． 又， ， 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则______； (2)为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地、，（）它们面积和为，边长和为，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 23．（1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，连接、，延长交于点，求证：，； （2）类比探究：如图2，和都是等腰直角三角形，即，，，则与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）问题解决：若和都是等腰三角形，且，，，请直接写出线段和的数量关系及它们所在直线的夹角． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D A D A B C B 1．D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此分析即可． 【详解】解：A、B、C均不能找到一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意，D选项能找到一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够互相重合，故符合题意， 故选：D． 2．D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：D． 3．C 【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．已知两边确定第三边的范围时，第三边的长大于已知两边的差，且小于已知两边的和．根据三角形的三边关系确定的范围，据此即可判断． 【详解】解：∵， 则，即． 则符合条件的只有C． 故选C． 4．D 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、合并同类项、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘除法，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项法则求解即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选D． 5．A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，是解题的关键．根据两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，可知两点关于轴对称即可． 【详解】解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴这两个点关于轴对称， 故选：A． 6．D 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分母不为0是解本题的关键． 【详解】解：∵分式有意义，而， ∴满足的条件是：为全体实数； 故选D 7．A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，并能结合已知条件选取合适的方法是解题关键．根据已知条件可得，，结合全等三角形的判定方法依次对各个选项判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴若添加，无法证明，A选项符合题意； 若添加，可利用证明，B选项不符合题意； 若添加，可借助证明，C选项不符合题意； 若添加，可借助证明，D选项不符合题意； 故选：A． 8．B 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查完全平方式的几何运用，根据阴影部分面积关系可得结论． 【详解】图1中阴影部分面积 图2中阴影部分面积 ∴可以验证的乘法公式是 故选：B． 9．C 【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形内角和及等腰三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． 根据正多边形的性质可求出，根据等腰三角形的性质求出的度数，再利用角的和差可得答案． 【详解】解：∵是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 10．B 【知识点】分式除法 【分析】本题考查了列代数式（分式），分式的除法运算的应用，解题的关键是熟悉工作总量、工作时间和工作效率之间的关系．由工作总量“1”除以工作效率即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： ， 故选B． 11． 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握零指数幂与负整数指数幂的法则是解题关键．根据零指数幂与负整数指数幂法则计算即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 12．． 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】先提公因式，再根据平方差公式即可解答本题． 【详解】解： = = =． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．分解的式子的结果一般要分解到不能再分解为止． 13．/边边边 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】根据作图过程可知，两个三角形的三条边对应相等，即可得出结果． 【详解】解：如图，由作图可知：   ， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定方法．熟练掌握证明两个三角形全等．是解题的关键． 14． 【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、对顶角相等、平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，如图，过点作，得，根据平行公理的推论得，得出，最后根据对项角相等得出．掌握平行公理的推论及平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 15．5 【知识点】含30度角的直角三角形、线段问题(轴对称综合题)、垂线段最短 【分析】此题考查轴对称的性质，的直角三角形的性质， 过作于，作关于的对称点，连接，证明在上，当，，共线，且垂直时，最短，即，在上，即的长，进一步可得答案． 【详解】解：过作于，作关于的对称点，连接， ∵平分， ∴在上， ∴， 当，，共线，且垂直时，最短， 即，在上，即的长， ，， ， ∴的最小值是5． 故答案为： 5 16．（1）；（2） 【知识点】整式的混合运算、解分式方程 【分析】本题考查的是整式的混合运算，分式方程的解法，掌握多项式的乘法的运算法则与解分式方程的步骤是解本题的关键； （1）利用乘法公式与多项式的乘法运算法则先计算乘法运算，再合并同类项即可； （2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：； 经检验：是原方程的根， ∴原方程的根为． 17．，． 【知识点】分式加减乘除混合运算、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则先化简原式，然后将，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 18．(1)画图见解析 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，作线段的垂直平分线，三角形的内角和定理的应用，熟练的作图是解本题的关键； （1）根据作已知角平分线的方法作的平分线即可，再结合，作的垂直平分线即可； （2）由等腰三角形的性质先求解，再求解，，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，射线，直线即为所求； ． （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 19．(1)选③，证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键； （1）由，，再选择两边所夹的角相等，再证明全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再证明两直线平行即可． 【详解】（1）解：选择③， 在与中， ， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 20．(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解本题的关键； （1）过点A作于点G，根据角平分线性质结合题意得，再根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证出，结合，再根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，   平分，， ． ， ， 又∵， ； ∴平分； （2）在和中， ， ， ， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．这次训练小林的平均配速为分钟/公里，小李的平均配速为分钟/公里． 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查分式方程解决应用问题，设这次训练小林的平均配速为x分钟/公里，根据路程一样多列式求解即可得到答案； 【详解】解：设这次训练小林的平均配速为x分钟/公里，则这次训练小李的平均配速为分钟/公里，由题意可得， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：这次训练小林的平均配速为分钟/公里，小李的平均配速为分钟/公里． 22．(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查的是完全平方公式变形的应用，掌握、、、、之间的关系是解题的关键． （1）由可得，再代入可得答案； （2）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由已知条件得，，同理可求，由，可求得，从而可求得，由，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）设大正方形的边长为，正方形的边长为，面积和为，边长和为， ，， ， ， 解得：， ， ， ②， 由①②解得：， ． 23．（1）证明见解析，（2），；（3），它们所在直线的夹角为 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等腰三角形的定义 【分析】（1）由等边三角形的性质证明，可得，，再利用三角形的内角和定理可得结论； （2）由等腰直角三角形的性质证明，可得，，再利用三角形的内角和定理可得结论； （3）由等腰三角形的性质证明，可得，，再利用三角形的内角和定理可得结论； 【详解】证明：（1）和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 记，的交点为，则， ∴． （2）和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 记，的交点为，则， ∴， ∴． （3）如图， ∵，，， ∴∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长，相交于， ∵， ∴， 即和所在直线的夹角为； 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用类比的方法进行证明是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$