精品解析：山东省烟台市蓬莱区（五四制）2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题

蓬莱区2024-2025学年第一学期期中学业水平考试 初二数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的概念是解决的关键．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（ ）． A. 只能是锐角三角形 B. 只能是直角三角形 C. 只能是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形按角分类的方法．根据图示，露出的角是一个锐角，被遮住的两个角可能有两个锐角，有一个直角或钝角，据此解答． 【详解】解：如上图中被信封遮住的可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形． 故选：D． 3. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 4. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明需要证明与全等，这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及已知角的尺规作图，熟练掌握全等三角形的判定及已知角的尺规作图是解题的关键；由作图可知，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知， ∴， ∴； 故选B． 5. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，先由垂直平分线的性质得，，再证明，故平分，然后运用证明，即可作答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，故A选项成立， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故B选项成立， ∴． 在和中， ∵， ∴．故D选项成立， 没有可证明的条件，故C选项不一定成立， 故选：C． 6. 四边形的边长如图所示，，E为边上一动点（不与A，D两点重合），连接，将沿直线折叠，点A的对应点为点F，则点C与点F之间的距离不可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠以及三角形三边的关系，运用折叠的性质是解这道题的关键．E点沿运动时，当折叠F落在时，此时有最小值，再利用三角形三边关系得到，即可得到取值范围，从而对选项进行判断． 【详解】解：如图所示，连接， 根据折叠的性质，我们可以得到， ∴， ∵， 根据三角形三边关系， 可以得到， ∴， 当折叠F落在时， 此时为最小值， ， 故取值范围为：， 故选：D． 7. 如图，已知正六边形中，G，H分别是和的中点，P是上的动点，连接，，则的值最小时，与的夹角（锐角）度数为 （ ）度． A. B. 60 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最短问题，属于中考常考题型． 如图，连接，，交于点，连接．首先证明当点P与点重合时，的值最小，利用等腰三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，交于点，连接． ∵正六边形中，G，H分别是和的中点， 是正六边形的对称轴， ， ， ， ∴当点P与点重合时，的值最小， ，， ， ， ， 故答案为：B． 8. 如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（　　）． A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、轴对称—路线问题等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图：作于交于，连接，根据等边三角形的判定与性质可得，点C关于的对称点为点B，从而得出当P、B、E在同一直线上且时，的值最小为即可解答． 【详解】解：如图：作于交于，连接， ∵在中，，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴，， ∴点C关于的对称点为点B， ， ， ∴当P、B、E在同一直线上且时，的值最小为， ∴的最小值是6． 故选：B． 9. 如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可 【详解】解：根据折叠，可知 ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵ ∴ ∴ 在中，根据勾股定理，得 解得， 所以，的长为， 故选：C 10. 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，c的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式和勾股定理的结合，根据正方形的面积求出，再根据直角三角形的面积和完全平方公式求出即可． 【详解】解：小正方形和大正方形的面积分别是1和9， 个直角三角形的面积和为， ， ， ∵， ， ． 故选：B． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图是一个长方体盒子，用一根细线绕侧面绑在点A、B处，不计结头，细线最短长度为______． 【答案】15 【解析】 【分析】把长方体沿AB边剪开，在根据勾股定理计算即可； 【详解】如图所示，连接，则即为所求的最短长度； ，， 由勾股定理可得：， ∴； 故答案是15． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 12. 如图，是的重心，，_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查三角形的重心，根据是的重心，可得是的中线，即可求解． 【详解】∵是的重心， ∴是的中线 ∴， ∴ 故答案为：4． 13. 如图，P、两点关于对称，P、两点关于对称，若，，则________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质求出的两边相等且有一个角是是解题的关键．根据轴对称的性质可得，，，然后求出，再根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判定，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接， 与关于对称，与关于对称， ，，，， ， ， ， ， 是等边三角形． ， ， 故答案为：7 14. 如图，∠ABC＝90°，ADBC，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F．若AE＝8，BC＝10，则EF的长为 _______． 【答案】2 【解析】 【分析】由作图可知BE＝BC＝10，证明△AEB≌△FBC（AAS），得出BF＝AE＝8，即可得出EF的长． 【详解】解：由作图可知BE＝BC＝10， ∵CF⊥BE，∠A＝90°， ∴∠A＝∠BFC， ∵ADBC， ∴∠AEB＝∠FBC， 在△AEB和△FBC中， ， ∴△AEB≌△FBC（AAS）， ∴BF＝AE＝8， ∴EF＝BE﹣BF＝10﹣8＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 15. 中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为______． 【答案】2或3 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，此题要分两种情况：①当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v． 【详解】解：分以下两种情况： 当时，， ∵点D为的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴（厘米）， ∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间是1秒， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米/秒）； 当时，， ∵（厘米），， ∴（厘米）， ∵（厘米）， ∴（厘米）， ∴运动时间为（秒）， ∴（厘米/秒）， 故答案为：2或3． 16. 谢尔宾斯基三角形是一种具有非凡美学和分形特性的数学图形，它在几何、数学和计算机图形学等领域都有广泛应用．如图叫做谢尔宾斯基地毯，是这样制作出来的：把一个正三角形分为全等的小正三角形，挖去中间的一个小三角形：对剩下的个小正三角形再分别重复以上做法如图是谢尔宾斯基三角形的一部分，已知，则为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，如取的中点，连接，由等边三角形的 性质可得，，进而得到，，利用勾股定理求出即可得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵是正三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 如图，一块三角形模具的阴影部分已破损． （1）如果不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具△ABC的形状和大小完全相同的模具△A′B′C′，需要从残留的模具片中度量出哪些边、角？请简要说明理由． （2）作出模具△A′B′C′的图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）． 【答案】 （1）只要度量残留的三角形模具片的∠B，∠C的度数和边BC的长， 因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等； （2）△A′B′C′如图所示． 【解析】 【详解】分析:（1）根据全等三角形的判定方法，度量出∠B，∠C的度数和边BC的长即可； （2）先作出∠B′=∠B，然后截取B′C′=BC，再作出∠C′=∠C，两个角的边的交点即为点A′． 详解：略 点睛：本题考查了全等三角形的应用，做一个角等于已知角，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 18. 已知，点A，B，C都是格点，用无刻度直尺画图： （1）作的中线； （2）作的高； （3）在上作点E，使； （4）点F为与网格线的交点，在上作点D，使． 【答案】（1） 如图，线段，即为所求； （2） 如图，线段，即为所求； （3） 如图，点即为所求； （4） 如图，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的中线的定义，利用数形结合的思想作出中线即可； （2）取格点，，，得到，据此即可作出高； （3）取格点，连接交于点，点即为所求（构造等腰直角三角形解决问题）； （4）观察图形知，取格点，连接交于点，点即为所求（构造等腰直角三角形解决问题）． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 19. 某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离． 【答案】此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离AB是40海里 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，勾股定理的应用，先根据题意得出，，（海里），（海里），证明为直角三角形，再根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：由题意，得： ，，（海里），（海里）， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ∴（海里）， 答：此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离是40海里． 20. 如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰三角形． （2）32 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质并结合角平分线的定义得出，即可得证； （2）由（1）知，，再证明得出，最后求出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，． ∵点F是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴的周长为． 21. 如图，在中，，，，D，E分别是线段和线段上的点，把沿着直线折叠，若点B恰好与点A重合，求此时线段的长和的面积． 【答案】的长为，的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据折叠的性质得出，，，再根据勾股定理可求出的值，设，则，利用勾股定理得出，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， 在中，，，， 设，则 在中，根据勾股定理得 ， 即， 在中，根据勾股定理得 （负值已舍去） ． 22. 如图，，，，，与交于点P，与交于点O． （1）与全等吗？为什么？ （2）试说明． 【答案】（1） 与全等，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． 在与中， ∴． （2） 如图，记交于点M， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、对顶角相等以及直角的判定， （1）根据题意得，利用即可判定； （2）由（1）知，则，根据题意得，则．结合，则，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，画，并画的平分线，将三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与的两边分别相交于点E、F，试猜想的大小关系，并说明理由． 【答案】 解：，理由如下： 如图：过点P作，垂足是M，N，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识点，证得成为解题的关键 如图：过点P作，垂足是M，N，由角平分线的性质可得，再证，进而证明，最后根据全等三角形的性质即可解答 【详解】略 24. 如图，在等边中，P是等边内一点，且，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识，证明是等边三角形，得出，利用证明，得出，然后利用勾股定理的逆定理判断，最后利用角的和差求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 25. 在中，，为线段上一点，，为射线上一点，且，连接． （）如图， ①依题意补全图形． ②若，，求的长． （）如图，若，连接并延长，交于点，求证：． 【答案】（）①补全图形． ②3； （）证明：如图，过作，交的延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴． 【解析】 【详解】试题分析：（1）①补图见解析； ②根据等腰三角形的性质得出∠BAD=30°，∠CAD=90°，利用直角三角形30°角的性质得出AE=6，从而可求出AD的长； （2）过作，交的延长线于点，可证明，再通过两次证明全等，即可得出结论. 试题解析：（）① 略 ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴． （） 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓬莱区2024-2025学年第一学期期中学业水平考试 初二数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（ ）． A. 只能是锐角三角形 B. 只能是直角三角形 C. 只能是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 3. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明需要证明与全等，这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 6. 四边形的边长如图所示，，E为边上一动点（不与A，D两点重合），连接，将沿直线折叠，点A的对应点为点F，则点C与点F之间的距离不可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 7. 如图，已知正六边形中，G，H分别是和的中点，P是上的动点，连接，，则的值最小时，与的夹角（锐角）度数为 （ ）度． A. B. 60 C. D. 8. 如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（　　）． A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 9. 如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，c的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于（ ） A. 4 B. 2 C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图是一个长方体盒子，用一根细线绕侧面绑在点A、B处，不计结头，细线最短长度为______． 12. 如图，是的重心，，_____． 13. 如图，P、两点关于对称，P、两点关于对称，若，，则________． 14. 如图，∠ABC＝90°，ADBC，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F．若AE＝8，BC＝10，则EF的长为 _______． 15. 中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为______． 16. 谢尔宾斯基三角形是一种具有非凡美学和分形特性的数学图形，它在几何、数学和计算机图形学等领域都有广泛应用．如图叫做谢尔宾斯基地毯，是这样制作出来的：把一个正三角形分为全等的小正三角形，挖去中间的一个小三角形：对剩下的个小正三角形再分别重复以上做法如图是谢尔宾斯基三角形的一部分，已知，则为______． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 如图，一块三角形模具的阴影部分已破损． （1）如果不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具△ABC的形状和大小完全相同的模具△A′B′C′，需要从残留的模具片中度量出哪些边、角？请简要说明理由． （2）作出模具△A′B′C′的图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）． 18. 已知，点A，B，C都是格点，用无刻度直尺画图： （1）作的中线； （2）作的高； （3）在上作点E，使； （4）点F为与网格线的交点，在上作点D，使． 19. 某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离． 20. 如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的周长． 21. 如图，在中，，，，D，E分别是线段和线段上的点，把沿着直线折叠，若点B恰好与点A重合，求此时线段的长和的面积． 22. 如图，，，，，与交于点P，与交于点O． （1）与全等吗？为什么？ （2）试说明． 23. 如图，画，并画的平分线，将三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与的两边分别相交于点E、F，试猜想的大小关系，并说明理由． 24. 如图，在等边中，P是等边内一点，且，，，，求的度数． 25. 在中，，为线段上一点，，为射线上一点，且，连接． （）如图， ①依题意补全图形． ②若，，求的长． （）如图，若，连接并延长，交于点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $