精品解析：河北省廊坊市2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题

河北省2025届九年级阶段评估（二） 数学 上册第二十一章~下册第二十七章 注意事项：共8页．总分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 春节期间，贴春联、送祝福一直是我们的优良传统．下列用篆书书写的春联中“五福临门”四个字，其中可以看成中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【详解】解：选项B、C、D的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：A． 2. 点在反比例函数的图象上，则“■”的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入即可得“■”的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴当，， ∴“■”的值为1， 故选：A． 3. 如图， 与位似，点O是它们的位似中心，相似比为，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据，利用位似的性质判断解答即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴， ∴， ∵位似图形的对应线段平行且比相等；位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比； ∴， ∴． ∴， 故ACD正确，B错误， 故选：B． 4. 反比例函数的图象经过第二、第四象限，则k的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 由反比例函数的图象位于第二、四象限，比例系数，根据的取值范围即可得到结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过二、四象限， ， ∴的值可以是， 故选：D． 5. 如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了尺规作相等角、相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 根据作图可知，即可证明． 【详解】解：根据作图可知， 又， ∴， 故选：C． 6. 某条河流的流向（从左往右）及分支如图所示，其中阴影部分是A城市所在的地区，并有两条支流从A城市穿过，现有一艘小船从左往右航行，在河流分支处随机进入一条支流，若小船穿过A城市的概率为，不穿过A城市的概率为，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．根据概率公式直接求解，然后比较即可． 【详解】解：∵共有4条支流，其中小船穿过A城市的有2条支流，不穿过A城市的也有2条支流， ∴小船穿过A城市的概率为，不穿过A城市的概率为， ∴， 故选：B． 7. 固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，x轴表示糖水质量，y轴表示含糖浓度（瓶中固体糖质量与糖水质量的比值），其中描述甲、丙的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含固体糖质量最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，根据题意可知，的值即为糖水中含糖固体质量，再根据图象即可确定乙瓶糖水中含糖固体质量最少，丁瓶糖水中含糖固体质量最多，甲、丙两瓶糖水中含糖固体质量相同解题即可． 【详解】解：根据题意，可知的值即为糖水中含糖固体质量， ∵描述甲、丙两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴甲、丙两瓶糖水中含糖固体质量相同， ∵点乙在反比例函数图象下面，点丁在反比例函数图象上面， ∴乙瓶的的值最小，即糖水中含糖固体质量最少，丁瓶的的值最大，即糖水中含糖固体质量最多， 故选: D． 8. 如图，六边形为 的内接正六边形，直线l与，分别交于点G，H，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接正多边形，先求出中心角的度数，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】∵正六边形内接于 ， ∴， 在中，． ∵， ∴． 故选：C． 9. 如图，在 纸片中，，分别沿平行于 和 的直线和折叠纸片，使点C和点B分别落在 和 上，则四边形为（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等，易证四边形是平行四边形，再作于N，交于点M，由折叠得出，再证，由相似三角形的对应高的比等于相似比，可得，，同理得出，结合得出，即可证明四边形为菱形． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形； 如图，作于N，交于点M，则， 折叠后点C落在 上， ， ， ， ，， ， 由相似三角形的对应高的比等于相似比，可得， 同理可得， 又， ， 四边形为菱形， 故选B． 10. 是方程的一个根，则A可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程得即，得到，计算判断即可． 本题考查了方程的解，求代数式的值，熟练掌握解的定义是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得即， 故， 当时， ，符合题意； ，不符合题意； ，不符合题意； ，不符合题意； 故选：A． 11. “计里画方”（比例缩放和平面直角坐标网格体系）是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志．制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离 的示意图中，记照板“内芯”的高度为．观测者的眼睛（图中用点C表示）与在同一水平线上，若某次测量中，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题侧重考查相似三角形的应用，相似三角形对应边成比例、平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．观察图，可知 与平行，根据相似三角形的性质可得答案． 【详解】解： ∵， ∴， 故B正确； ∵， ∴， ∴，， 故A错误，C、D正确； 故选：A． 12. 如图，点A，B在x轴正半轴上（点B在点A的右侧），，分别以， 为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象经过的中点E，与边交于点F，作轴于点M，轴于点N．若阴影部分（四边形）的面积等于，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像上点的特征，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，设，得以得到点，然后可以得到，然后得到点F的坐标，根据阴影部分的面积求出 值即可解题． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵三角形，三角形是等腰直角三角形， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． 故选D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则______（用含a的代数式表示）． 【答案】3a 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，运用内项之积等于外项之积求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 点和点在反比例函数的图象上，则与的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：，图象的分支在第一三象限，在第三象限的函数值总小于在第一象限的函数值；在同一象限内，y随x的增大而减小．根据在同一象限内，y随x的增大而减小可判断出的大小关系． 【详解】解：， ∴图象的分支在第一、三象限， 在同一象限内，y随x的增大而减小，， ∴． 故答案为：． 15. 武术是中华民族传统文化之瑰宝，源远流长，博大精深，有一个招式为“白鹤亮翅”（如图），其中一个动作可简化为右手手臂绕肘关节在竖直平面内旋转，若某人小臂长，则右手小臂完成动作时扫过的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】根据题意可知． 所以小臂完成动作时扫过的面积是． 故答案为：． 16. 图1是装了液体的长方体容器（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，则图2中阴影部分的面积为______． 【答案】53 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，勾股定理，过点B作 垂直于地面，垂足为E．由勾股定理求出，由平行线的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出，最后即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点B作 垂直于地面，垂足为E． 在中，，， 则． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 则， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：53． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，数轴上的点A，B，C表示的数分别为，2，． （1） 的长为______，的长为______．（用含x的代数式表示） （2）若 ，， 的长满足，求x的值． 【答案】（1）；x； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，解一元二次方程， 对于（1），根据用右边的数减去左边的数表示线段长即可； 对于（2），先表示出 ，再代入数值计算． 【小问1详解】 . 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意可知， ∵， ∴， 即， 解得（舍）， 所以． 18. 为了提升新教材的应用效果，教育主管部门开展了新教材培训活动，在如图所示的场地里摆放了16把椅子，每个方框代表一把椅子，横为排，竖为列，其中圆点表示已有10位老师入座，又有杨老师和梁老师两位老师随机入座．根据会议安排，杨老师需要坐第二排，梁老师需要坐第三排，假设这两位老师在每一排选择座位的可能性相同． （1）杨老师选择座位的可能性为______． （2）请用画树状图或列表的方法求两位老师刚好坐同一列的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查直接列举法和列表法或画树状图求概率，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． （1）运用直接列举法求概率即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两位老师刚好坐同一列的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：杨老师还有三个座位可选，是等可能性的，选择座位的可能性有种，故概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中两位老师刚好坐同一列的结果有 种， ∴两位老师刚好坐同一列的概率为 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，，以原点O为位似中心将 向右侧放大为原来的两倍得到． （1）在图中画出，的面积为______． （2）若内有一点，则点在 中的对应点P的坐标是______． 【答案】（1）作图见解析，6 （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了作位似图形，求位似图形的坐标， （1）连接，并延长至，使，同理得到点，再依次连接，则即为所求作的三角形，然后根据三角形面积公式计算即可 （2）根据位似比及坐标可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，． 故答案为：6； 【小问2详解】 解：∵ 和的位似比为，且点， ∴点． 故答案为：． 20. 如图，点A的坐标为，原点O为 的中点，以 为边在y轴的右侧作正方形 ，反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）请通过计算判断点D关于y轴对称的点E是否在双曲线上． 【答案】（1） （2）点D关于y轴对称的点在双曲线上，过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征． （1）先根据原点O为 的中点，得出，再由A、B的坐标以及正方形的性质即可得到，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）先根据正方形的性质得出点D、E的坐标，再将点E的横坐标代入反比例函数解析式，看得到的y值是否与点E的纵坐标相等即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标为，原点O为 的中点， ∴， ∵正方形 ， ∴， ∴， 代入反比例函数得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵四边形 为正方形， ∴， ∴， ∴点D关于y轴对称的点， 将代入中，得， ∴点D关于y轴对称的点在双曲线上． 21. 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙 ，同学们想测量围墙 的高度．结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面落在点F时，测得m；②当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点D处射进房间地面落在点E时，测得m．此外，还测得窗高m，窗户距地面的高度m，，． （1）求证：，． （2）求围墙 的高． 【答案】（1）见解析； （2）围墙AB的高为m． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解答的关键， （1）根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案； （2）根据“相似三角形的对应边成比例”可得的关系式，进而得出答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 即围墙AB的高为m． 22. 如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 （1）由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． （2）当的长度为时，求弹簧秤的示数． （3）嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 【答案】（1）反比例函数， （2）弹簧秤的示数为 （3）将代入中，得， 解得． ∵， ∴y不可能等于2． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）根据表格数轴可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式即可求解； （3）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【小问1详解】 解：反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，． 答：弹簧秤的示数为4N． 【小问3详解】 略 23. 如图，在 中，，，M是 上一个动点， 与 相切于点M且经过点C， 与 和分别交于点P和点Q，连接． （1）如图1，求证：． （2）如图2，，点O在上． ①连接交于点N，求的值． ②设 的直径为d，直接写出d的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）①；②． 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接，证明，再结合可证明； （2）①分别求出，，，．证明，求出，连接，证明，可得结论；②由①得d有最小值，为，再求出点M和点A重合时，d最大，最大值为，故可得结论． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， 则， ∴． ∵ 与 相切于点M， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：①∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵为直径， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴． 如图2，连接， ∵为直径， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ②由①中可知：d有最小值，此时； 如图3，当点M和点A重合时，d最大， ∵，， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点H，与线段交于点M． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，若，求的面积． （3）如图2，若是以为底边的等腰三角形时，求线段的长． （4）已知Q是直线 上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）2； （3）； （4）存在，． 【解析】 【分析】（1）根据对称轴求出a，再将点B的坐标代入关系式求出c即可； （2）根据相似三角形的性质得出轴，再求出，即可得出答案； （3）先求出直线的关系式，再设点P的坐标，即可表示点M的坐标，进而表示，然后作，则，并表示，再根据勾股定理求出m，可得答案； （4）先求出点P，M的坐标，进而求出直线 的关系式，即可表示出点Q，K，再说明只能是四边形为矩形，然后根据平移的性质求出点的坐标，并根据勾股定理验证即可. 【小问1详解】 解：∵对称轴为直线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴轴． ∵， ∴． 将代入中， 得， 解得，， ∴，． ∴； 【小问3详解】 解：设直线的表达式为，将点B代入，得， ∴直线的表达式为． 设，则， ∴． 由题意知． 如图，过点C作，则， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得（舍去），， ∴； 【小问4详解】 解：存在，． 理由如下：由（3）可知，，． 设直线 的解析式为，将代入得， ∴． 设，， 若以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形，只能是四边形为矩形， ∴，，． ∵点C先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点M， ∴将点K先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 则四边形为矩形，满足题意， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定，勾股定理，坐标与图形等，会用坐标的差表示线段的长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省2025届九年级阶段评估（二） 数学 上册第二十一章~下册第二十七章 注意事项：共8页．总分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 春节期间，贴春联、送祝福一直是我们的优良传统．下列用篆书书写的春联中“五福临门”四个字，其中可以看成中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点在反比例函数的图象上，则“■”的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图， 与位似，点O是它们的位似中心，相似比为，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象经过第二、第四象限，则k的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5. 如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 6. 某条河流的流向（从左往右）及分支如图所示，其中阴影部分是A城市所在的地区，并有两条支流从A城市穿过，现有一艘小船从左往右航行，在河流分支处随机进入一条支流，若小船穿过A城市的概率为，不穿过A城市的概率为，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，x轴表示糖水质量，y轴表示含糖浓度（瓶中固体糖质量与糖水质量的比值），其中描述甲、丙的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含固体糖质量最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，六边形为的内接正六边形，直线l与，分别交于点G，H，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在 纸片中，，分别沿平行于 和 的直线 和折叠纸片，使点C和点B分别落在 和 上，则四边形 为（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 10. 是方程的一个根，则A可能为（ ） A. B. C. D. 11. “计里画方”（比例缩放和平面直角坐标网格体系）是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志．制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离 的示意图中，记照板“内芯”的高度为．观测者的眼睛（图中用点C表示）与在同一水平线上，若某次测量中，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，点A，B在x轴正半轴上（点B在点A的右侧），，分别以， 为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象经过 的中点E，与边交于点F，作轴于点M，轴于点N．若阴影部分（四边形）的面积等于，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则______（用含a的代数式表示）． 14. 点和点在反比例函数的图象上，则与的大小关系为______． 15. 武术是中华民族传统文化之瑰宝，源远流长，博大精深，有一个招式为“白鹤亮翅”（如图），其中一个动作可简化为右手手臂绕肘关节在竖直平面内旋转，若某人小臂长，则右手小臂完成动作时扫过的面积为______． 16. 图1是装了液体的长方体容器（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，则图2中阴影部分的面积为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，数轴上的点A，B，C表示的数分别为，2，． （1） 的长为______，的长为______．（用含x的代数式表示） （2）若 ，， 的长满足，求x的值． 18. 为了提升新教材的应用效果，教育主管部门开展了新教材培训活动，在如图所示的场地里摆放了16把椅子，每个方框代表一把椅子，横为排，竖为列，其中圆点表示已有10位老师入座，又有杨老师和梁老师两位老师随机入座．根据会议安排，杨老师需要坐第二排，梁老师需要坐第三排，假设这两位老师在每一排选择座位的可能性相同． （1）杨老师选择座位的可能性为______． （2）请用画树状图或列表的方法求两位老师刚好坐同一列的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，，以原点O为位似中心将 向右侧放大为原来的两倍得到． （1）在图中画出，的面积为______． （2）若内有一点，则点在 中的对应点P的坐标是______． 20. 如图，点A的坐标为，原点O为 的中点，以 为边在y轴的右侧作正方形 ，反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）请通过计算判断点D关于y轴对称的点E是否在双曲线上． 21. 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙 ，同学们想测量围墙 的高度．结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面落在点F时，测得m；②当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点D处射进房间地面落在点E时，测得m．此外，还测得窗高m，窗户距地面的高度m，，． （1）求证：，． （2）求围墙 的高． 22. 如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 （1）由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． （2）当的长度为时，求弹簧秤的示数． （3）嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 23. 如图，在 中，，，M是 上一个动点，与 相切于点M且经过点C，与 和分别交于点P和点Q，连接． （1）如图1，求证：． （2）如图2，，点O在 上． ①连接交 于点N，求的值． ②设的直径为d，直接写出d的取值范围． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点H，与线段交于点M． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，若，求的面积． （3）如图2，若是以为底边的等腰三角形时，求线段的长． （4）已知Q是直线上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $