专题27.9 相似三角形的应用举例（2大知识点6类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题27.9 相似三角形的应用举例（2大知识点6类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 【要点提示】测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 【知识点2】测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 【要点提示】　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【题型目录】 【题型1】利用影子的长度测量物体的高度.......................................2 【题型2】利用镜子的反射测量物体的高度.......................................4 【题型3】利用标杆测量物体的高度.............................................7 【题型4】利用相似三角形的性质设计方案测量高度..............................10 【题型5】直通中考..........................................................16 【题型6】拓展延伸..........................................................19 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用影子的长度测量物体的高度 【例1】（24-25九年级上·河南焦作·期中）雨后的一天晚上，小明和小彬想利用自己所学的测量物体高度的相关知识，测量一盏探照灯离地面的距离．如图，当小明直立在点处时，小彬测得小明的影子的长为；此时小明恰好在他前方的点处的小水坑中看到探照灯（点）的倒影．已知小明的身高为，请你利用以上数据求出探照灯离地面的距离． 【答案】探照灯离地面的距离为米 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．设米，米，则米，证明，，利用相似三角形的性质得到线段的比例关系，构建方程组求解即可． 解：由题意可得：，，，，， 设米，米，则米． ， ， ， ①， ，， ， ， ②， 由①②解得：， 经检验，是方程组的解． 探照灯离地面的距离为米． 【变式1】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为 m． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 解：作，，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长2米，乙灯照射的影子长3米，已知涛涛同学身高为1.6米，两盏路灯和的高度相同，两路灯相距为15米，求路灯的高． 【答案】路灯的高为6.4米 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 根据题意，得，，，，，继而得到，，之后列出比例式，解答即可． 解：由题意知：，，，，， ，， ， ， 又， ， ， 解得， ， ， 答：路灯的高为米． 【题型2】利用镜子的反射测量物体的高度 【例2】（24-25九年级上·上海·期中）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下： ①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离． ②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离； ③计算树的高度； 解：设． ∵， ∴． …． 请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 【答案】见解析，树的高度为 【分析】本题是对相似三角形的综合考查，熟练掌握相似三角形判定及相似比是解决本题的关键． 设，先证，得到，再证，得到，从而求出x的值即可． 解：设． ∵， ∴， ， ∵， ∴， 解得． 把代入 中，得 解得， ∴树的高度为． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图是初三某班学习小组设计用手电筒来测量逸夫楼高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到逸夫楼的顶端处，已知，，且测得，，，那么逸夫楼的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用入射与反射得到，则可判断，于是根据相似三角形的性质即可求出，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 解：根据题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴逸夫楼的高度约为， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，某数学兴趣小组在测量旗杆（与地面垂直）的高度时，由于旗杆底部无法直接到达，他们先在点C出放一小镜，然后站在点E处，从点E的垂直上方点D处用激光笔照射小镜发现反射光线正好照到旗杆顶端A，此时测得，，接着将小镜向点E处移动到点G，调整激光笔高度，在点F（点F在上）处发现反射光线又照到旗杆顶端A，测得，已知图中各点均在同一平面内，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为． 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，证明，，再利用相似三角形的性质建立方程解题即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得， ∴，即， ∴， ∴ 解得 答：旗杆的高度为． 【题型3】利用标杆测量物体的高度 【例3】（2024·广东·模拟预测）九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度，标杆与雕塑的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求醒狮雕塑的高度． 【答案】12.8米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得的长度即可． 解：如图所示，设线段与线段交于点G． ∵， ∴，四边形、是矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 答：醒狮雕塑的高度为． 【变式1】（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，某水平地面上建筑物的高度为，在点和点处分别竖立高是的标杆和，两标杆相隔，并且建筑物、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到点处，在处测得建筑物顶端和标杆顶端在同一条直线上；从标杆后退到点处，在处测得建筑物顶端和标杆顶端在同一直线上，则建筑物的高是    【答案】54 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 根据题意可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 解：∵， 解得：， 解得：，即建筑物的高是．故答案为：54． 【变式2】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）某数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．求宝塔的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．证明出，相似，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解，即可得到结论． 解：由题意知，， ， ， 由题知，， ， ， ， ， 米，米，米， ， 米． ， 米， 故答案为：． 【题型4】利用相似三角形的性质设计方案测量高度 【例4】（24-25九年级上·河南郑州·期中）一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：在操场上点处放一面平面镜，从点处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在F处．从点处向后退到点处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部点的像，测得的眼睛距地面的高度、为，已知点B，C，D，F，H在同一水平线上，且，，（平面镜的大小忽略不计）． 方案二：利用标杆测量灯柱的高度，已知标杆高，测得，． 方案三：利用自制三角板的边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知两条边，，测得边CE离地面距离． 三种方案中， 方案不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二、三，12米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可 解：相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行， 故答案为：二，三 选方案一 ， ， ， ∵， ， 设，则， 同理可得， ， ， ， 解得． 米． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在学完利用相似三角形测高后，我校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度．测量方案如下：如图，首先，小辉站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小辉刚好看到大雁塔的顶端的像，此时测得小辉的眼睛到地面的距离为1.6米；然后，小刚在处竖立了一根高2.4米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为6米，为28米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度．（平面镜大小厚度忽略不计） 【答案】54.4米 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，正确根据相关知识点进行计是解题关键．根据题意，可证，设，可得，再证，即可求解． 解：已知，，，点、、、、在一条直线上， ， 米，米，米，米，米， 由题意可知：， ， ， 设， ， ， ，， ， ，且， ， ， 大雁塔的高度米． 【变式2】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） (1)嘉嘉发现当米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度． (2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】(1)飞虹塔的高度是42米 (2)飞虹塔的大致高度为 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后可根据相似三角形的性质进行求解； （2）设，则有，，由题意易得，然后根据相似三角形的性质可得，进而问题可求解． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 答：飞虹塔的高度是42米； （2）解：设，则有，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：飞虹塔的大致高度为． 【变式3】（24-25九年级上·山西临汾·期中）下表是小明数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容． 项目主题：测量河流的宽度． 项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度． 项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据： 题目 测量河流宽度AB 目标示意图 测量数据 ，， 如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务． 任务一：（1） 请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度； （2）请你写出这个方案中求河流宽度时用到的相似三角形的知识．____________（写出一个即可） 任务二：（3）小宇选择的测量工具是标杆和皮尺，如图是该方案的示意图．其中线段表示河宽，请直接写出需要测量的线段有哪些？ 【答案】（1）河流的宽度为；（2）相似三角形的对应边成比例（答案不唯一）；（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键： （1）证明，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可； （2）根据题意可知本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识； （3）证明，得到，要求出的长，需要知道的长，据此可得答案． 解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故河流的宽度为； （2）本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识（答案不唯一）； （3）如图：根据题意可得， 则， ∴， ∴要求出的长，需要知道的长， ∴需要测量的线段为． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型5】直通中考 【例1】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米， 故选：D． 【例2】（2023·江苏南京·中考真题）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），． (1)在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变． (2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大． ①画出此时所在位置的示意图； ②的长度的最大值为 cm． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②. 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，勾股定理的实际应用，正确写出比例式，并进行换算是解题关键． （1）设平移到，在地面上形成的影子为．利用平行相似即可； （2）①以为圆心，长为半径画圆，当与相切于时，此时最大为．②先证明，再利用勾股定理求出，由，即可求出的长度的最大值． 解：（1）解：设平移到，在地面上形成的影子为． ， ，，， ，，， ， ， ， 沿着方向平移时，长度不变． （2）解：①以为圆心，长为半径画圆， 当与相切于时，此时最大为． 此时所在位置为． ②，， ， ， 设，则， 在中， ， ， ， ，（舍去）， ， 由①， ， ， 即的长度的最大值为， 故答案为：80． 【题型6】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为，现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求．    【答案】甲同学的加工方法符合要求 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意得出，，，再根据正方形的性质得出，，再分别设图①正方形的边长为，图②正方形的边长为，代入数值得出，即可得出结果． 解：∵，，面积为， ∴， 解得：， 如图①，设正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 如图②，过点作，分别交于两点，    又∵，，面积为，， ∴，， ∴，， 设图②正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴图①中的正方形的面积要大，所以甲同学的加工方法符合要求． 【例2】（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段． 发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由； 探究：若，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?    【答案】发现：，理由见详解；探究：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】发现：证明，得到，即可证明； 探究：过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理求出的值，再证明，利用相似比求出的值，即可获得答案． 解：发现：， 理由如下：连接，如下图，    ∵立杆相交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 探究：如下图，过点作于点，过点作于点，    ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 答：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，综合性较强，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27.9 相似三角形的应用举例（2大知识点6类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 【要点提示】测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 【知识点2】测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 【要点提示】　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【题型目录】 【题型1】利用影子的长度测量物体的高度.......................................2 【题型2】利用镜子的反射测量物体的高度.......................................3 【题型3】利用标杆测量物体的高度.............................................4 【题型4】利用相似三角形的性质设计方案测量高度...............................5 【题型5】直通中考...........................................................7 【题型6】拓展延伸...........................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用影子的长度测量物体的高度 【例1】（24-25九年级上·河南焦作·期中）雨后的一天晚上，小明和小彬想利用自己所学的测量物体高度的相关知识，测量一盏探照灯离地面的距离．如图，当小明直立在点处时，小彬测得小明的影子的长为；此时小明恰好在他前方的点处的小水坑中看到探照灯（点）的倒影．已知小明的身高为，请你利用以上数据求出探照灯离地面的距离． 【变式1】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为 m． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长2米，乙灯照射的影子长3米，已知涛涛同学身高为1.6米，两盏路灯和的高度相同，两路灯相距为15米，求路灯的高． 【题型2】利用镜子的反射测量物体的高度 【例2】（24-25九年级上·上海·期中）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下： ①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离． ②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离； ③计算树的高度； 解：设． ∵， ∴． …． 请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图是初三某班学习小组设计用手电筒来测量逸夫楼高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到逸夫楼的顶端处，已知，，且测得，，，那么逸夫楼的高度为 ． 【变式2】（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，某数学兴趣小组在测量旗杆（与地面垂直）的高度时，由于旗杆底部无法直接到达，他们先在点C出放一小镜，然后站在点E处，从点E的垂直上方点D处用激光笔照射小镜发现反射光线正好照到旗杆顶端A，此时测得，，接着将小镜向点E处移动到点G，调整激光笔高度，在点F（点F在上）处发现反射光线又照到旗杆顶端A，测得，已知图中各点均在同一平面内，求旗杆的高度． 【题型3】利用标杆测量物体的高度 【例3】（2024·广东·模拟预测）九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度，标杆与雕塑的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求醒狮雕塑的高度． 【变式1】（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，某水平地面上建筑物的高度为，在点和点处分别竖立高是的标杆和，两标杆相隔，并且建筑物、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到点处，在处测得建筑物顶端和标杆顶端在同一条直线上；从标杆后退到点处，在处测得建筑物顶端和标杆顶端在同一直线上，则建筑物的高是    【变式2】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）某数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．求宝塔的高度为 米． 【题型4】利用相似三角形的性质设计方案测量高度 【例4】（24-25九年级上·河南郑州·期中）一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：在操场上点处放一面平面镜，从点处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在F处．从点处向后退到点处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部点的像，测得的眼睛距地面的高度、为，已知点B，C，D，F，H在同一水平线上，且，，（平面镜的大小忽略不计）． 方案二：利用标杆测量灯柱的高度，已知标杆高，测得，． 方案三：利用自制三角板的边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知两条边，，测得边CE离地面距离． 三种方案中， 方案不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在学完利用相似三角形测高后，我校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度．测量方案如下：如图，首先，小辉站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小辉刚好看到大雁塔的顶端的像，此时测得小辉的眼睛到地面的距离为1.6米；然后，小刚在处竖立了一根高2.4米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为6米，为28米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度．（平面镜大小厚度忽略不计） 【变式2】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） (1)嘉嘉发现当米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度． (2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【变式3】（24-25九年级上·山西临汾·期中）下表是小明数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容． 项目主题：测量河流的宽度． 项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度． 项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据： 题目 测量河流宽度AB 目标示意图 测量数据 ，， 如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务． 任务一：（1） 请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度； （2）请你写出这个方案中求河流宽度时用到的相似三角形的知识．____________（写出一个即可） 任务二：（3）小宇选择的测量工具是标杆和皮尺，如图是该方案的示意图．其中线段表示河宽，请直接写出需要测量的线段有哪些？ 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型5】直通中考 【例1】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 【例2】（2023·江苏南京·中考真题）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），． (1)在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变． (2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大． ①画出此时所在位置的示意图； ②的长度的最大值为 cm． 【题型6】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为，现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求．    【例2】（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段． 发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由； 探究：若，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?    1 学科网（北京）股份有限公司 $$