精品解析：江苏省无锡市惠山区2024-—2025学年上学期九年级期中考试数学试题

九年级数学期中试卷 2024．11 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答 题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目的选项标号涂黑．如需改动，请用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0．5毫米黑色墨水签字笔作答．写在 答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗、描写清楚． 4．请把试题的答案写在答卷上，不要写在试题上． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的．) 1. 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．代入特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：． 故选B． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的指数最高是2的整式方程是一元二次方程”进行逐一判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、∵不是整式方程， ∴不是一元二次方程，故不符合题意； C、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； D、是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 3. 已知的半径为5，点到圆心的距离为6，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于半径，点在圆外；点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于半径，点在圆内，据此判断即可． 【详解】解： 点在外． 故选：C 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是比较好点和圆心距离与半径大小． 4. 若，则下列等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，可根据设，再逐个判断即可． 【详解】∵， ∴设，，， ∴，故A选项结论正确，不符合题意； ，，故，故B选项结论正确，符合题意； ，故C选项结论正确，不符合题意； ，故D选项结论正确，不符合题意； 故选：B． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是        A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到∆=≥0且a≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：由题意可得： ∆==≥0，a≠0 解得：且 故：选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解本题的关键． 6. 如图，若点D是线段的黄金分割点，，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割比例是是解题的关键． 【详解】解：∵点D是线段的黄金分割点，， ∴， 故选：C． 7. 如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．先求出，再根据相似三角形的判定逐项判断即可得． 【详解】解：∵， ∴，即． A、在和中， ， ∴，则此项不符合题意； B、在和中， ， ∴，则此项不符合题意； C、因为对应的夹角是与，但已知条件不能得出，所以此项不能判定与相似，符合题意； D、在和中， ， ∴，则此项不符合题意； 故选：C． 8. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点是运行轨道的最低点，则点到弦的距离为（ ） A. 5米 B. 4米 C. 3米 D. 2米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 故选：D 9. 如图，在正方形中，点E是边上一点，连接与对角线交于点P，过点P作交于点F，连接交于点G，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，对于①：易知点A、B、F、P四点共圆，然后可得，则问题可判定；对于②：把绕点A顺时针旋转得到，则有，然后易得，则有，则可判定；对于③：连接，在上截取，连接，易得，然后易证，进而问题可求解；对于④，由③可得，进而可得，然后可得相似比为，最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴点A、B、F、P四点共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ②把绕点A顺时针旋转得到，如图所示： ∴，， ∴， ∵， ∴三点共线， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③连接交于O，在上截取，连接，如图所示： ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由①可得点A、B、F、P四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④由③可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：以上结论正确的有①②③④； 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10. 如图，是的直径，，是半径上的一动点，交于点，在半径上取点，使得，交于点，点位于两侧，连结交于点.点从点出发沿向终点运动，在整个运动过程中，与的面积和的变化情况是（ ） A. 一直减小 B. 一直不变 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 【答案】B 【解析】 【分析】先证明Rt△OPC≅Rt△DQO，得到OP=DQ.再证明△CPE∽△DQE，得到PE=PC，EQ=OP，S面积和=SPEC+SDEQ=，由勾股定理求得和，和不变. 【详解】连接OC，OD，PD，CQ．设PC=x，OP=y． ∵PC⊥AB，QD⊥AB， ∴∠CPO=∠OQD=90°， ∵PC=OQ，OC=OD， ∴Rt△OPC≅Rt△DQO， ∴OP=DQ=y， 设PE＝a,则EQ＝x＋y－a, ∵△CPE∽△DQE， ∴ 即 解得：a＝x, ∴PE＝x,EQ＝y, ∴S面积和=SPEC+SDEQ= 在△CPO中,由勾股定理得:CP2+OP2=OC2, 即x2+y2=25， ∴S面积和=SPEC+SDEQ= = = 与的面积和始终不变． 故选B． 【点睛】本题考查圆，三角形全等和相似的应用，读懂题意正确转化条件是解题关键. 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．) 11. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_____ 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 在比例尺是的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是_____平方米． 【答案】500 【解析】 【分析】本题考查比例尺，掌握比例尺的换算是关键． 根据比例尺换算出长方形的土地实际的长与宽，计算即可． 【详解】解：∵测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，比例尺是， ∴实际长方形的土地长厘米米， 实际长方形的土地宽厘米米， ∴这块土地的实际面积是平方米． 故答案为：500． 13. 已知直角三角形的两条直角边分别为6、8，则它的外接圆半径_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心；根据勾股定理求得直角三角形的斜边长，进而即可得到结论． 【详解】解：直角边长分别为6和8， 斜边是10， 这个直角三角形的外接圆的半径为5， 故答案为： 14. 如图，点A，B，C，D在上，，，则_________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了同弧上的圆周角的性质、三角形内角和等相关知识点，解题的关键是将已知角度与待求角度集中在同一个三角形内． 利用同弧上的圆周角相等得到，然后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，小军在时测量某树影长时，日照的光线与地面的夹角恰好是，当他在时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角是，若两次测得的影长之差为，则树的高度为______．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】2.6 【解析】 【分析】设树顶为点，根据题意可知，，通过三角形的外角性质可知，从而可知，则通过锐角三角函数可求出在直角三角形中的即树的高度． 【详解】解：如图所示，设树顶为F点， 根据题意，有，， ， ， 是等腰三角形， ， 在直角三角形中， ， ， 树高． 故答案为：2.6． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用知识点，通过等腰三角形找出，然后再通过锐角三角函数求出树高是解题的关键． 16. 如图，点E， 点 F 分别在菱形的边，上，延 长交 的延长线于点H，且，交于点G，若，则的值为____ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，然后设，则，，，证明出，利用相似三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵四边形是菱形， ， ∵， 设，则， ∴， ∴ ， ， ∴，即 ， ， ， ∴． 故答案为：． 17. 与x轴交于点A，B，与y轴的正半轴交于点C．若，则点C的纵坐标为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，，过作于，于，判定四边形是矩形，得到，，由，，得到，由垂径定理得到，求出，得到，由等腰直角三角形的性质求出，，得到，由勾股定理求出，得到，于是得到的纵坐标． 【详解】解：连接，，，过作于，于， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是中点， ， ， ， ， 的纵坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形，坐标与图形的性质，关键是由圆周角定理判定是等腰直角三角形，从而求出、的长，由勾股定理求出的长． 18. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC=cm，，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则DQ的最小值为_____cm． 【答案】## 【解析】 【分析】先证△ABP≌△ACQ，易得∠DCQ恒为60°，根据点到直线的所有连线中，垂线段最短，可知DQ的最小值即为DH，进行求解即可． 【详解】解：连接CQ，过点D作DH⊥CQ，垂足为H，如图所示： ∵△APQ∽△ABC， ∴∠PAQ＝∠BAC，AP：AB＝AQ：AC， ∴， 即∠BAP＝∠CAQ， ∵AB＝AC， ∴AP＝AQ， ∵在△ABP和△ACQ中， ∴△ABP≌△ACQ（SAS）， ∴∠ACQ＝∠ABC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠ACQ＝30°， ∴∠DCQ＝60°， ∴∠CDH＝30°， ∵AB＝AC＝cm，∠BAC＝120°， ， ∴，， cm，（cm）， ∴CH＝cm，DH（cm）， ∴DQ的最小值即为cm． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最小值问题，在运动过程中找出Q的运动轨迹，并运用垂线段最短求解是解决本题的关键． 三、解答题(本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的混合运算； （1）代入特殊角三角函数值，然后计算即可； （2）代入特殊角三角函数值，然后计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，灵活先用解一元二次方程的方法是解答本题的关键： （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴ 21. 如图，在中，，点在上，于点． （1）求证：； （2），且，求长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）根据“两角相等的两个三角形相似”即可求证； （）由相似三角形的性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵于点，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位 长度，的顶点都在格点上． （1）以原点O 为位似中心，在第三象限内画出将放大为原来的2倍后的位似图形； （2）的面积是 ； （3）的面积是 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3）14 【解析】 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据题意连接，，并延长至，，，使得，，，顺次连接，，，则即为所求； （2）利用割补法求解即可； （3）根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【小问1详解】 如图，为所作； 【小问2详解】 的面积是； 【小问3详解】 ∵和关于原点位似，位似比为 ∴，且相似比为 ∴，即 ∴． 23. 如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． （1）求证：； （2）若，，求的直径． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧）以及解直角三角形， （1）先由圆周角定理得到，结合已知得到，即可证明； （2）连接，由“直径所对圆周角是直角”可得，由垂径定理可得，得到，，解直角三角形得到，即可得到． 【小问1详解】 证明：∵与是所对的圆周角， ∴． 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵为的直径， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∵， ∴ 又∵， ∴． 即的直径为6． 24. 如图，四边形内接于，平分，交于点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，若经过圆心，且，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，即可得出，结合圆周角定理推出，由相似三角形的性质可得，即可得证； （2）由圆周角定理结合角平分线的定义得出，从而得出，推出，由勾股定理得出，结合等腰直角三角形的性质得出，作于，求出、的长，即可得解． 【小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：为直径， ， 平分， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， 作于， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ． 25. “户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； （2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，根据2022年的种植面积2020年的种植面积建立方程，解方程即可得； （2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程可得的值，再根据该水果售价不能超过15元/千克即可得． 【小问1详解】 解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应上涨元，则每周销售量为千克， 由题意得：， 解得或， ∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克， ， 解得， 所以， 答：售价应上涨6元． 26. 随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在坡脚处测得塔顶的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米且在处测得塔顶的仰角．（点、、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，） （1）求坡面的坡度； （2）求基站塔的高． 【答案】（1） （2）基站塔的高为米 【解析】 【分析】（1）过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，过点作，垂足为，利用勾股定理求出，然后利用坡度的求解方式求解即可； （2）设米，则米，米，根据，求出米，米．在中，求出；再根据（米． 【小问1详解】 解：如图，过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，过点作，垂足为． 根据他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米， （米），（米）， 根据勾股定理得：（米） 坡面的坡度为；, 即坡面的坡度比为； 【小问2详解】 解：设米，则米，米， ， ， 米， 米． 在， 米，米，， ， 解得； （米）， （米， （米）． 答：基站塔的高为米． 【点睛】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法． 27. （1）问题背景：如图1，，，， 求证：； （2）尝试应用：如图2，为正方形外一点，，过点作，垂足为，连接．若，求的值； （3）拓展创新：如图3，四边形是正方形，点是线段上一点，以为对角线作正方形，连接，．当，时，求的长． 【答案】（1）证明见详解；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，，，根据两边对应成比例且夹角相等可得； （2）根据条件，易证，根据相似三角形的性质和，即可求得的值； （3）由相似三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，∵，，， ∴，且，， ∴，， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， 在正方形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点作于点， ∵四边形是正方形， ，， ∵四边形是正方形， ，， ，， ，， ， ， 设，则，， ， ， ， 解得：（舍去），， ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握正方形以及相似三角形的性质． 28. 如图，在中，，，为边上的中线．点E从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点C运动，同时点F从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点A运动，连接E，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，的平分线交的边于点H，连接和．设点E的运动时间为秒． （1）求证：； （2）求点E到的距离；（用含t的代数式表示） （3）当点G落在边上时，求的值； （4）直接写出点G在区域（含边界）内的时长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）2 （4） 【解析】 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）过点E作于点T．根据等腰三角形的性质得到，．再利用锐角三角函数关系求得即可； （3）当点G落在边上时，，证明得到，结合勾股定理和（2）中结论可求得，根据等腰直角三角形判定与性质可得点H与点C重合，进而利用求解即可； （4）分别分点G落在上、点G在上时、点G在上三种情况，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意得，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图1，过点E作于点T． ∵，为边上的中线， ∴，． 由题意得， ∴， ∴， ∴， 即点E到的距离是； 【小问3详解】 解：如图2，当点G落在边上时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（2）知，， ∴，解得， ∴，， ∴， 又∵， ∴此时点H与点C重合， ∴； 【小问4详解】 解：点G在区域(含边界)内的时长为秒． 若点G落在上，如图3， ∵， ∴，又， ∴， ∴，即，此时，不符合题意，所以点G不可能落在上； 当点G在上时，如图4． ∵，平分， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，. ∵，即， ∴，解得； 当点G在上时，如图5，由等腰三角形的对称性可得点H与点B重合，， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴，即点G在区域(含边界)内的时长为秒． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的性质，利用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学期中试卷 2024．11 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答 题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目的选项标号涂黑．如需改动，请用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0．5毫米黑色墨水签字笔作答．写在 答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗、描写清楚． 4．请把试题的答案写在答卷上，不要写在试题上． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的．) 1. 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为5，点到圆心的距离为6，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 4. 若，则下列等式错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是        A. 且 B. C. 且 D. 6. 如图，若点D是线段的黄金分割点，，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 7. 如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似是（　　） A. B. C. D. 8. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点是运行轨道的最低点，则点到弦的距离为（ ） A. 5米 B. 4米 C. 3米 D. 2米 9. 如图，在正方形中，点E是边上一点，连接与对角线交于点P，过点P作交于点F，连接交于点G，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，是的直径，，是半径上的一动点，交于点，在半径上取点，使得，交于点，点位于两侧，连结交于点.点从点出发沿向终点运动，在整个运动过程中，与的面积和的变化情况是（ ） A. 一直减小 B. 一直不变 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．) 11. 已知，是一元二次方程两个根，则的值为_____ 12. 在比例尺是的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是_____平方米． 13. 已知直角三角形的两条直角边分别为6、8，则它的外接圆半径_____． 14. 如图，点A，B，C，D在上，，，则_________． 15. 如图，小军在时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角恰好是，当他在时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角是，若两次测得的影长之差为，则树的高度为______．（结果精确到，参考数据：，） 16. 如图，点E， 点 F 分别在菱形的边，上，延 长交 的延长线于点H，且，交于点G，若，则的值为____ 17. 与x轴交于点A，B，与y轴的正半轴交于点C．若，则点C的纵坐标为___________． 18. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC=cm，，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则DQ的最小值为_____cm． 三、解答题(本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 19 计算 （1） （2） 20. 解下列方程： （1） （2） 21. 如图，在中，，点在上，于点． （1）求证：； （2），且，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位 长度，的顶点都在格点上． （1）以原点O 为位似中心，在第三象限内画出将放大为原来的2倍后的位似图形； （2）面积是 ； （3）的面积是 ． 23. 如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． （1）求证：； （2）若，，求的直径． 24. 如图，四边形内接于，平分，交于点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，若经过圆心，且，，求的长． 25. “户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； （2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 26. 随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在坡脚处测得塔顶的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米且在处测得塔顶的仰角．（点、、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，） （1）求坡面的坡度； （2）求基站塔的高． 27. （1）问题背景：如图1，，，， 求证：； （2）尝试应用：如图2，为正方形外一点，，过点作，垂足为，连接．若，求的值； （3）拓展创新：如图3，四边形是正方形，点是线段上一点，以为对角线作正方形，连接，．当，时，求长． 28. 如图，在中，，，为边上的中线．点E从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点C运动，同时点F从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点A运动，连接E，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，的平分线交的边于点H，连接和．设点E的运动时间为秒． （1）求证：； （2）求点E到的距离；（用含t的代数式表示） （3）当点G落在边上时，求的值； （4）直接写出点G在区域（含边界）内的时长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$