精品解析：广东省广东实验中学附属江门学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

省实江门学校2024—2025学年第一学期期中考试 高一数学 本试卷共4页，满分：150分，考试时间：120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的概念，可得答案. 【详解】由，则. 故选：A. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】“”的否定为：． 故选：D 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出二次不等式的解，利用充分条件、必要条件的定义求解即可 【详解】由 若成立，则不一定成立，即充分性不成立； 若成立，则一定成立，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B, 4. 下列各组函数中，是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ，与， 【答案】D 【解析】 【分析】分别判断函数的定义域与对应法则，即可作出判断． 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故它们的定义域不同，故不是同一函数； 对于B，与对应法则不同，故不是同一函数； 对于C，由于的定义域为，的定义域为，故它们的定义域不同，故不是同一函数； 对于D，与，定义域与对应法则均相同，故是同一函数． 故选：D 5. 已知函数是幂函数，若为增函数，则等于（ ） A. B. C. 或1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，建立方程，利用幂函数的单调性分别验根，可得答案. 【详解】由题意可得，，解得或， 当时，，则函数不是增函数，不符合题意； 当时，，易知函数是增函数，符合题意. 故选：D. 6. 若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线， 若在区间上单调递增，则，解得， 故选：A 7. 函数满足，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法求出，代入即可求. 【详解】令，则， 所以，即， 所以， 解得. 故选：D 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得，从而得函数的定义域为，由，结合函数的单调性、定义域及偶函数的性质，列出不等式组求解即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以， 解得， 所以函数的定义域为； 又因为在上为增函数， 即在上为增函数， 所以在上为减函数， 又因为， 所以， 整理得， 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据函数的奇偶性及单调性，将原不等式转化为，再结合定义域即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据根式与指数幂的运算，可得答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 存在，使得是真命题 C. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为15 【答案】AC 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定判定选项A正确；利用判别式判定选项B错误；利用等价命题及判别式判定选项C正确；现将条件转化为，进而判定选项D错误. 【详解】对于A：命题“，”的否定是“，”，正确； 对于B：因为，即方程无实数解，也无有理数解， 即存在，使得是假命题，错误； 对于C：若命题“，”为假命题， 则命题“，”为真命题， 即无实数解，则，解得，正确； 对于D：因为，所以，又因为， 所以满足条件的集合有无数个，只要集合B至少包含0,1,3,4四个元素都符合题意，错误. 故选：AC. 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 函数，是偶函数 B. 若函数，则 C. 如果函数在上单调递增，那么它在上单调递减 D. 若函数的定义域是，则函数的定义域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由函数奇偶性判断；对于B，作差比较大小；对于C，由奇函数性质判断；对于D，由抽象函数求定义域方法即可求. 【详解】对于A，的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是偶函数，故A正确； 对于B， ， 所以，故B正确； 对于C，令，定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增，故C错误； 对于D，若函数的定义域是，则， 所以，所以， 所以函数的定义域为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若为上的奇函数，则____________． 【答案】0 【解析】 【分析】由奇函数定义即可求. 【详解】因为为上的奇函数， 所以， 所以， 所以. 故答案为：0 13. 若，则的最小值为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】将整理为，再根据不等式性质即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：3 14. 已知函数是减函数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及分段函数单调性分段处理的原则，结合一次函数与幂函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数是上的减函数， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 化简或求值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂运算和根式运算求解即可. （2）根据指数幂运算求解即可. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 16. 已知集合，集合． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再根据交集、并集、补集的定义求解即可； （2）由题意可得，再由集合的包含关系求解即可. 【小问1详解】 因为， 当时，， 所以；或； 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 17. 最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？ 【答案】（1） （2）90万件 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，由题意得到函数解析式； （2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求出最大值，比较后得到答案. 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， 故 【小问2详解】 时，， 当时，取得最大值， 当时，， 当且仅当即时取到等号， ， 时，取得最大值， 18. 已知函数 （1）写出函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性； （2）用单调性定义证明函数在上单调递增； （3）若定义域为，解不等式 【答案】（1）的定义域为R，为奇函数 （2）证明：任取，，且，则 ，因为，，且，所以，，所以，故，，所以在单调递增，证毕. （3） 【解析】 【分析】（1）求出的定义域，判断并用定义法证明函数在R上为奇函数；（2）定义法证明函数单调性，取值，作差，判号，下结论；（3）利用第一问和第二问的结论解不等式. 【小问1详解】 的分母恒成立，故的定义域为R，函数在R上为奇函数，理由如下：首先定义域关于原点对称，其次，所以在R上为奇函数，证毕. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，即 由（1）知，在R上为奇函数，故，所以，又定义域为，由（2）知，函数在上单调递增，故，解得：，故解集为. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. （1）若. ①求此函数图象的对称中心； ②求的值； （2）类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论（写出结论即可，不需证明）. 【答案】（1）①；② （2）答案详见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目所给推广知识求得的对称中心并由此求得的值. （2）结合函数奇偶性、对称性等知识写出推广结论. 【小问1详解】 ①，， 而满足， 即为奇函数，所以的图象关于点中心对称. ②，由①得，即， 所以 . 【小问2详解】 “函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”， 类比已知条件可得，一个一个推广结论为： 函数的图象关于直线对称的充要条件是函数为偶函数. （答案不唯一） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省实江门学校2024—2025学年第一学期期中考试 高一数学 本试卷共4页，满分：150分，考试时间：120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列各组函数中，是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ，与， 5. 已知函数是幂函数，若为增函数，则等于（ ） A. B. C. 或1 D. 1 6. 若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数满足，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 存在，使得是真命题 C. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为15 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 函数，是偶函数 B. 若函数，则 C. 如果函数在上单调递增，那么它在上单调递减 D. 若函数的定义域是，则函数的定义域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若为上的奇函数，则____________． 13. 若，则的最小值为____________． 14. 已知函数是减函数，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 化简或求值： （1）； （2）． 16. 已知集合，集合． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 17. 最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？ 18. 已知函数 （1）写出函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性； （2）用单调性定义证明函数在上单调递增； （3）若定义域为，解不等式 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. （1）若. ①求此函数图象的对称中心； ②求的值； （2）类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论（写出结论即可，不需证明）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $