精品解析：山东省淄博市高青县第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

2023级二部高二12月考试题数学 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知直线和直线，则是两直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数（ ） A. 9 B. C. 8 D. 5. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 6. 已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题 9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 10. 已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，下列说法正确的为（ ） A. 圆上恰有一个点到直线的距离为 B. 四边形面积的最小值为 C. 存在唯一点，使得 D. 直线恒过定点 11. 已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点使得 C. 直线的方程为 D. 的周长为 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知随机事件中，与相互独立，与对立，且，，则__________. 13. 已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________． 14. 从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点处的切线垂直于的角平分线，已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是__________. 四、解答题 15. 已知以点为圆心的圆与直线相切. （1）求圆A的方程； （2）过点的直线l与圆A相交与M，N两点，当时，求直线l方程； （3）已知实数x，y满足圆A的方程，求的取值范围. 16. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 17. 在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的. （1）求比赛只需打三局的概率； （2）已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率. 18. 已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程； （3）设双曲线C：的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率. 19. 已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级二部高二12月考试题数学 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知直线和直线，则是两直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若直线和直线平行， 则，解得或， 因此，是两直线平行的充分不必要条件. 故选：A. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，再求焦点坐标即可. 【详解】抛物线化为标准方程可得， 故，焦点坐标为. 故选：A. 3. 已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量求点到直线的距离公式计算即可. 【详解】根据题意可知，， 所以点到直线的距离. 故选：B 4. 已知圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数（ ） A. 9 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两圆公切线的条数确定两圆的位置关系，再把两圆的位置关系转化为圆心距与半径和差的数量关系求参数的值. 【详解】圆可化为，圆心为，半径为. 若圆M与圆恰有三条公切线，则两圆外切. 圆可化为，圆心为，半径为，. 由，所以，解得. 故选：B 5. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质,分别求解长轴，短轴，焦距，离心率即可求解. 【详解】由于的长轴长为，短轴长为， 焦距为，离心率为， 而椭圆的长轴长为10，短轴长为8，短轴长为6，离心率为， 故两个椭圆的焦距相等， 故选：D 6. 已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆方程写出其离心率，结合已知有双曲线的离心率为3，再由双曲线离心率求法求得，即可得渐近线. 【详解】由，知椭圆离心率，故双曲线的离心率为3， 所以，可得，故渐近线为. 故选：A 7. 已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点，可得出，利用斜率公式以及已知条件可得出的取值范围，再由可求得该椭圆离心率的取值范围. 【详解】设点，则，且，可得， 易知、， 所以，， 所以，，可得， 故. 故选：D. 8. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的对称性可得、且四边形为平行四边形，由题意可得出，结合余弦定理表示出与，有关齐次式即可得离心率． 【详解】由双曲线的对称性可知，，则四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，， ， 则， 因为，所以，故， 则有， 即，即，则，由，故． 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于，，之间的等量关系，本题中结合题意与双曲线的定义得出，与的具体关系及的大小，借助余弦定理表示出与，有关齐次式，即可得解． 二、多选题 9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线和椭圆的方程，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，曲线为,此时表示圆，故A错误， 对于B，当时，，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 当时，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 故当或时，曲线C是双曲线，B正确， 对于C, 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则满足，解得，故C错误， 对于D，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，故，D正确， 故选：BD 10. 已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，下列说法正确的为（ ） A. 圆上恰有一个点到直线的距离为 B. 四边形面积的最小值为 C. 存在唯一点，使得 D. 直线恒过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离可判断A；利用圆的性质可得切线长，由题可得四边形的面积，可判断B；当时，四边形为正方形，将问题转化为时，求点的个数，即可判断C；由题可知点，在以为直径的圆上，利用两圆方程相减可得公共弦的方程，即可判断D. 【详解】由圆，可知圆心，半径. 对于A，由圆心到直线的距离为， 所以圆上任意一点到直线的距离的取值范围为（当时，直线与圆的两个交点处分别取等号）. 而，所以圆上有两个点到直线的距离为，故A错误； 对于B，四边形的面积， 由圆的性质可得切线长， 所以当最小时（时）, ， 所以四边形的面积的最小值为1，故B正确； 对于C，若，由，，则四边形为正方形，则， 设，则，解得， 即存在唯一P点，使得，故C正确； 对于D，设，因为为过点作圆的切线，所以点在以为直径的圆上. 又，所以以为直径的圆为，即. 与圆联立，相减，即为直线的方程为：. 由，得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题D选项的关键是分析得点在以为直径的圆上，进而两圆方程相减得到直线的方程，再利用直线过定点问题的求解方法即可得解. 11. 已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点使得 C. 直线的方程为 D. 的周长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据焦点坐标求出椭圆方程，并求离心率，将以为直径的圆的方程与椭圆的方程联立，求出交点个数，即可判断选项B，利用点差法求出直线l得方程，即可判断C，观察直线l过椭圆的焦点，即可判断D. 【详解】对于选项A：由已知条件可得，即得， 所以离心率为：，故选项A错误. 对于选项B：由椭圆方程可知，， 以为直径的圆的圆心为，半径为2，圆的方程为， 联立可得，所以，圆与椭圆的交点个数为4个， 故椭圆上存在点使得，故选项B正确. 对于选项C：设，则, 两式相减得， 由直线与椭圆交于、两点， 且点为线段MN的中点，可知 又所以直线l的斜率为，所以直线方程为 整理得：，故选项C正确. 对于选项D：直线过椭圆的焦点，的周长为，故选项D正确. 故选：BCD 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知随机事件中，与相互独立，与对立，且，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由公式可知只需求出即可，结合对立事件的概率公式以及独立事件的乘法公式即可求解. 【详解】由与为对立事件，则， 又与相互独立，则， 所以. 故答案为：. 13. 已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】由题意结合双曲线定义将转换为，进一步由三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示： 由题意，设为双曲线右焦点，线段与双曲线右支交于点， 所以，等号成立当且仅当重合， 所以的最小值为7. 故答案为：7. 14. 从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点处的切线垂直于的角平分线，已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用切线方程和角的平分线垂直，结合斜率之积为，即可求解. 【详解】由题意，椭圆C在点处的切线，且， 所以切线的斜率为，而角的角平分线的斜率为， 又由切线垂直角的角平分线，所以， 即. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知以点为圆心的圆与直线相切. （1）求圆A的方程； （2）过点的直线l与圆A相交与M，N两点，当时，求直线l方程； （3）已知实数x，y满足圆A的方程，求的取值范围. 【答案】（1）; （2）或; （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意知到直线的距离为圆半径，由点到直线的距离公式即可求解； （2）求得圆心到直线的距离，分斜率是否存在两种情况计算可得结论； （3）求得圆心到的距离的最小值的平方，即可得结论. 【小问1详解】 由题意知点到直线的距离为圆的半径， 由点到直线的距离公式可得, 所以圆的方程为. 【小问2详解】 因为直线与圆相交与两点，且，利用垂径定理和勾股定理， 可得圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直到直线的距离为，符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由题意可得，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. 【小问3详解】 表示点到的距离的平方， 又圆心到到的距离为， 所以点到的距离的最小值为，最大值为 所以的最小值为，最小值为， 即的取值范围是. 16. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 在正方体中，， 则四边形为平行四边形，因此， 而平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，再利用线面平行的判定推理作答. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦作答. （3）利用（2）中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在棱长为的正方体中，射线两两垂直， 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， ，棱的中点， 可得， 设平面的法向量， 则， 令，得， 为平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，， 所以点到平面的距离. 17. 在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的. （1）求比赛只需打三局的概率； （2）已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）“比赛只需打三局”可看作互斥事件“甲前三局都获胜”与“乙前三局都获胜”的和事件，可按相互独立事件积事件的概率与互斥事件和事件的概率求解即可； （2）“甲最终获胜”是互斥事件“第三局甲胜”、“第三局甲输第四局甲胜”与“第三局第四局甲均输第五局甲胜”的和事件，按相互独立事件积事件的概率与互斥事件和事件的概率求解即可； 【小问1详解】 设事件=“甲前三局都获胜”，事件=“乙前三局都获胜”， 则， ， 比赛只需打三局的概率为： . 【小问2详解】 甲需要打三局的概率为：， 甲需要打四局的概率为：， 甲需要打五局的概率为：， 则甲最终获胜的概率为：. 18. 已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程； （3）设双曲线C：的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率. 【答案】（1） （2） （3）离心率为或 【解析】 【分析】（1）由题意，根据双曲线与双曲线有相同的渐近线，设出双曲线的方程，将点代入，进而即可求解； （2）设出，两点的坐标，根据线段的中点为以及，两点都在双曲线上，列出等式即可求出直线的斜率，再将代入即可求出直线的方程； （3）可设直线的方程为，由原点到直线的距离为得，结合可求得离心率. 【小问1详解】 因为双曲线与双曲线有相同的渐近线， 不妨设双曲线的方程为， 因为双曲线经过点， 解得， 则所求双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 不妨设,，,， 因为线段的中点为， 所以，， 因为，两点都在双曲线上， 所以， 可得， 即， 则， 所以直线的方程为，即， 联立，则，故直线与双曲线有两个交点， 从而可得直线方程为，即. 【小问3详解】 由题可设直线的方程为，即， 由原点到直线的距离为得，即， 两边同时除以得，整理得，解得或， 故双曲线的离心率为或. 19. 已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而可得方程； （2）设直线，，根据向量可得，结合韦达定理运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：的圆心为，半径为4，且， 则， 可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，则， 所以的方程为. 【小问2详解】 因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交， 设直线，，则， 联立方程，消去x可得， 则， 又因为， 若，则，即， 可得，解得， 所以的方程为，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $