精品解析：江苏省常州市溧阳市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

溧阳市2024～2025学年度第一学期期中质量调研测试 九年级数学试题 2024.11 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分每小题给出的四个选项中只有一个选项正确） 1. 以下方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程 的解是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 在中，，若点O为的外心，则等于（ ） A. 40° B. 50° C. 100° D. 110° 5. 下列说法中，正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 三角形有且只有一个外接圆 C. 四边形都有一个外接圆 D. 圆有且只有一个内接三角形 6. 如图，已知切于点A，的半径为3，，则切线长为（ ） A. B. 8 C. 4 D. 2 7. 若关于x的一元二次方程的一个实数根为2024，则方程一定有实数根 （ ） A. 2024 B. C. D. 8. 如图，正方形和的边长分别是a、b（），将正方形绕点C旋转，在旋转过程中，的面积S的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题．每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 将一元二次方程化成一般形式为________． 10. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 11. 将一元二次方程化成（a，b 为常数）的形式，则ab＝_____． 12. 若一个矩形的两边长相差 2，且面积为 80，则较短边的长是________． 13. 已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是___________． 14. 如图，为的直径，为的弦，，则的度数为_______． 15. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是，其中水面的宽为，则排水管内水的最大深度为________cm． 16. 已知圆弧所在圆的半径为，所对的圆心角为，则这条弧的长为_____． 17. 如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则______°． 18. 如图，中，，，，点D是边上的动点，连接，以为直径的圆与交于点E，连接，则的最小值是_____． 三、解答题（本大题共8小题，共64分请在答卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解方程 （1） （2） （3） （4） 20. 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根为x1 ，x2，那么以这两个根的倒数，为根的一元二次方程称为原方程的倒根方程． 应用： （1）通过计算，判断方程②是不是方程①的倒根方程： ①， ②， （2）请求出一元二次方程的倒根方程． 21. 已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果m取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数n的值． 22. 小明家的餐桌是长，宽为的长方形桌面．小明妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的倍，且使四周垂下的边等宽．小明妈妈想算出四周垂下的边宽度，你能帮小明妈妈解决这个问题吗？ 23. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，格点A，B，C均在圆上，且点D，E也是格点． （1）该圆的直径等于________cm； （2）请用无刻度的直尺按要求作图； ①作弦，使得，再作劣弧的中点G，请判断四边形的形状； ②过点B作该圆的切线，请直接写出切线与弦的位置关系和点C到切线的距离． 24. 如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，若． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径及的长． 25. 如图，扇形中，，点是上一点，； （1）求扇形 的面积； （2）过点作交弧于点，求 的长， 26. 如图，已知在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，点A、在上，，且点A在x轴上． （1）如图1，当点 A 的坐标为时，则点B的坐标为_____________，点C的坐标为____________； （2）如图2，当点C的坐标为时，求点 A、B的坐标； （3）如图3，点A，B，C的坐标分别为，请直接写出b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 溧阳市2024～2025学年度第一学期期中质量调研测试 九年级数学试题 2024.11 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分每小题给出的四个选项中只有一个选项正确） 1. 以下方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不合题意； B．符合一元二次方程的定义，选项符合题意； C．中未知数最高次数是3，不是一元二次方程，故选项不合题意； D．不是整式方程，故选项不合题意； 故选：B． 2. 方程 的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．解此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的各种方法，灵活运用． 分解因式得出，推出方程，即可求出方程的解． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得． 故选：C． 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据结果判断根的情况即可． 【详解】一元二次方程中，，，， ∴， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，理解的结果与一元二次方程根的情况是解题的关键．即当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 4. 在中，，若点O为的外心，则等于（ ） A. 40° B. 50° C. 100° D. 110° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 已知点O是的外心，那么即为同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：由于点O是的外心， 所以在的外接圆中， 则同对着弧； 由圆周角定理得：． 故选：C． 5. 下列说法中，正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 三角形有且只有一个外接圆 C. 四边形都有一个外接圆 D. 圆有且只有一个内接三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件以及和圆有关的相关知识，不在同一直线上的三点确定一个圆．根据确定圆的条件逐一判断后即可得到答案． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误； B、三角形有且只有一个外切圆，原命题正确； C、并不是所有的四边形都有一个外接圆，原命题错误； D、圆有无数个内接三角形．原命题错误； 故选：B． 6. 如图，已知切于点A，的半径为3，，则切线长为（ ） A. B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理等知识点，掌握切线的性质成为解题的关键． 如图：连接，由切线的性质可得，然后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵切于点A， ∴， ∵的半径为3，， ∴， ∴． 故选C． 7. 若关于x的一元二次方程的一个实数根为2024，则方程一定有实数根 （ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解一元二次方程根的定义，将代入方程中，再两边同时除以，可得结论． 【详解】解：关于x的一元二次方程的一个实数根为2024， ， ， ， 是方程的一个实数根， 故选：D． 8. 如图，正方形和的边长分别是a、b（），将正方形绕点C旋转，在旋转过程中，的面积S的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求出，可判断点A的运动轨迹为以C为圆心，为半径的圆，作线段的垂直平分线，交点A的运动轨迹于点和，从而得出以为底时，高的取值范围，进而即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长是b， ∴． ∵正方形的边长是a， ∴点A的运动轨迹为以C为圆心，为半径的圆，作线段的垂直平分线，交点A的运动轨迹于点和，如图， ∵， ∴点A在运动过程中，距离的最小距离为，最长距离为， ∴，， ∴S的取值范围是． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，垂线段最短，勾股定理，旋转的性质，利用数形结合的思想是解题关键． 二、填空题（本大题共10小题．每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 将一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此设出方程的另一个，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， ∴方程的另一根为1， 故答案为：1． 11. 将一元二次方程化成（a，b 为常数）的形式，则ab＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】方程利用配方法整理后判断即可求出a与b的值． 【详解】解：方程， 变形得：， 配方得：，即， 则， 故， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12. 若一个矩形的两边长相差 2，且面积为 80，则较短边的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设矩形较短边的长是x，则较长边的长是x+2，根据面积为80列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设矩形较短边的长是x，则较长边的长是x+2， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 所以较短边的长是8． 故答案为：8． 13. 已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是___________． 【答案】34 【解析】 【分析】分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b时；结合韦达定理即可求解； 【详解】解：当a=4时，b＜8， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根， ∴4+b=12， ∴b=8不符合； 当b=4时，a＜8， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根， ∴4+a=12， ∴a=8不符合； 当a=b时， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根， ∴12=2a=2b， ∴a=b=6， ∴m+2=36， ∴m=34； 故答案为：34． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键． 14. 如图，为的直径，为的弦，，则的度数为_______． 【答案】50° 【解析】 【分析】由同弧所对的圆周角相等可知，再由直径所对的圆周角为直角即可得到答案． 【详解】解：连接BD， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，掌握基础知识是解题的关键． 15. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是，其中水面的宽为，则排水管内水的最大深度为________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 如图：过O作交于点C，垂径定理可得，进而勾股定理求得，进而求解即可． 【详解】解：如图：过O作交于点C，可得出，     由直径是，则半径， 在中，根据勾股定理得． 所以排水管内水的深度为：． 故答案为：2． 16. 已知圆弧所在圆的半径为，所对的圆心角为，则这条弧的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长的计算，直接利用公式求解即可，解题的关键是熟练掌握弧长公式的应用． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 17. 如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，余角的性质，熟练掌握圆周角定理，切线性质定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理，切线的性质，余角的性质解答即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵过点C作的切线交的延长线于点E， ∴， ∴， 故答案为：42． 18. 如图，中，，，，点D是边上的动点，连接，以为直径的圆与交于点E，连接，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边中线等于斜边的一半、圆周角定理等内容，取中点F，连接、、，根据直径可得，利用直角三角形斜边中线求出，则，利用勾股求出，即可得解． 【详解】解：取中点F，连接、、， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∵点E在以为直径的圆上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共64分请在答卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握直接开方法、配方法和因式分解法是解题的关键． （1）运用直接开方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可； （3）运用配方法求解即可； （4）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：移项得： 开方得：， 解得：； 【小问2详解】 解：因式分解得：， ∴或， 解得：； 【小问3详解】 解：方程变形得：， 配方得：， 开方得：， ∴或， 解得：； 【小问4详解】 解：因式分解得：，即， ∴或， 解得：． 20. 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根为x1 ，x2，那么以这两个根的倒数，为根的一元二次方程称为原方程的倒根方程． 应用： （1）通过计算，判断方程②是不是方程①的倒根方程： ①， ②， （2）请求出一元二次方程的倒根方程． 【答案】（1）方程②是方程①的倒根方程 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，以及题目所给倒根方程的定义． （1）分别求出两个方程的解，根据倒根方程的定义进行判断即可； （2）先求出的根，再求出其根的倒数，最后根据倒根方程的定义即可解答． 【小问1详解】 解：①， ， ， ， ②， ， ， ． ∴方程②是方程①的倒根方程； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴，， ∴方程的倒根方程为， 整理得：． 21. 已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果m取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数n的值． 【答案】（1）且 （2），或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到，且，然后解不等式即可得到m的范围； （2）在（1）中m的取值范围内确定满足条件的m的值，再解方程，然后把它的解代入可计算出n的值． 【小问1详解】 解：根据题意得，且， 解得且； 【小问2详解】 解：∵且， ∴m的最大整数为，此时方程变形为， 解得，， 把代入，得：， 解得； 把代入，得：， 解得． 22. 小明家的餐桌是长，宽为的长方形桌面．小明妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的倍，且使四周垂下的边等宽．小明妈妈想算出四周垂下的边宽度，你能帮小明妈妈解决这个问题吗？ 【答案】四周垂下的边宽度为 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设四周垂下的边宽度为，再根据题意用表示桌布的长与宽，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设四周垂下的边宽度为，则桌布的长为：，宽为：， 根据题意得，． 解得：（舍去） 答：四周垂下的边宽度为 23. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，格点A，B，C均在圆上，且点D，E也是格点． （1）该圆的直径等于________cm； （2）请用无刻度的直尺按要求作图； ①作弦，使得，再作劣弧的中点G，请判断四边形的形状； ②过点B作该圆的切线，请直接写出切线与弦的位置关系和点C到切线的距离． 【答案】（1） （2）①图形如图所示，四边形的形状是矩形； ②如图，直线即为所求，，． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线、勾股定理，垂径定理、切线的判定和性质等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）①取格点T、R，连接交于点F，作直线交于点G，连接即可；②取格点H，作直线即可，设交于点T，求出可得结论． 【小问1详解】 解：圆的直径为，； 故答案为：5； 【小问2详解】 解：①由作图可知是直径， ∴， ∵， ∴四边形是矩形； ②由作图可知． 设交于点T，圆心为O． ∴ ∵， ∴， ∴， ∴点C到切线BH的距离为． 24. 如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，若． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径及的长． 【答案】（1） 证明：如图，作垂足为H，连接， ∵，点D是边的中点， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，即， ∴是的平分线， ∵O在上，与相切于点E， ∴，且是的半径， ∵是的平分线，， ∴是的半径， ∴是的切线． （2）3， 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）如图，作垂足为H，连接，先证明是的平分线， ，然后由切线的判定定理进行证明即可； （2）根据勾股定理和直角三角形的性质可得、，设的半径为r，则，，然后证明，根据相似三角形的性质列比例式可求得r，然后运用勾股定理求得，最后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，点D是边的中点， ∴， 设的半径为r，则， ∵，， ∴， ∴，即，解得：， ∴ 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 25. 如图，扇形中，，点是上一点，； （1）求扇形 的面积； （2）过点作交弧于点，求 的长， 【答案】（1） （2）为 【解析】 【分析】此题主要考查了扇形面积，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键； (1)依题意得，，，则是等腰直角三角形，再由勾股定理求出，进而可得扇形的面积； (2)过作于，交的延长线于，证明四边形为矩形，再根据是等腰直角三角形得， ，则，，然后由勾股定理求出，进而可得的长； 【小问1详解】 解：， ，， ∴， ，， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∴， ， 扇形的面积为：； 【小问2详解】 解：过点作于，作交的延长线于，连接，如图所示： ， 四边形为矩形， ，， 由（1） 知：是等腰直角三角形，且， ，， ，； ， ， 在中，由勾股定理： ， ； 26. 如图，已知在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，点A、在上，，且点A在x轴上． （1）如图1，当点 A 的坐标为时，则点B的坐标为_____________，点C的坐标为____________； （2）如图2，当点C的坐标为时，求点 A、B的坐标； （3）如图3，点A，B，C的坐标分别为，请直接写出b的值． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形得性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识是解的关键． （1）根据题干易得是直径，所以，再解直角三角形求出C点坐标即可； （2）由C坐标很容易求出半径长度，进而求出，再根据得到，从而推出，再以为底角构造等腰直角三角形，再根据勾股定理列方程求解即可； （3）由半径相等可得，再根据构造直角三角形，作C关于y轴的对称点，作，连接，则tan∠C'=，整理得，然后结合前面b和c的关系求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图：过C作于点D，则， 则， ∴， ∴． 故答案为：， ． 【小问2详解】 解：如图，过C作轴于点D，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图：连接，过B作轴于点G， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 作简化示意图如下， 在上找一点H，连接，使， ∵， ∴， 设，则，， 在中，，即， 整理得，， ∴（负值舍去）， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，作C关于y轴的对称点，作，连接， 则， ∴， ∴，整理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴，整理可得， 即， ∴或c=（舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $