专题04 指数函数与对数函数（知识梳理+11考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（广东小高考专用）

专题04 指数函数与对数函数 目录 考情回顾 1 考情解读 1 知识梳理 2 考点精讲 5 考点一：指数幂的运算 5 考点二：指数函数的图象及应用 6 考点三：比较指数式的大小 8 考点四：解指数方程或不等式 9 考点五：指数函数性质的综合应用 10 考点六：对数的运算 11 考点七：对数函数的图象及应用 12 考点八：比较对数值的大小 14 考点九：解对数不等式 15 考点十：对数函数性质的综合应用 16 考点十一：零点问题 17 实战训练 18 考情回顾 考点 考频 考查内容 指数及指数函数 5年4考 指数函数的图象和性质 对数及对数函数 5年3考 对数函数的图象和性质 零点问题 5年2考 求函数的零点及判断零点所在的区间 考情解读 1.指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景. (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. (3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点. 2.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. (2)理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点. (3)了解指数函数与对数函数互为反函数(a>0,a≠1). 知识梳理 1、根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数． （2）性质： ①(且)； ②当为奇数时，；当为偶数时， 2、分数指数幂 ①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)； ②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)； ③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． 3、指数幂的运算性质 ①； ②； ③. 4、指数函数及其性质 （1）指数函数的概念 函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是． （2）指数函数的图象和性质 底数 图象 性质 定义域为，值域为 图象过定点 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在定义域上为增函数 在定义域上为减函数 注意 指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究 5、对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. （2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数. （3）对数式与指数式的互化：. 6、对数的性质、运算性质与换底公式 （1）对数的性质 根据对数的概念，知对数具有以下性质： ①负数和零没有对数，即； ②1的对数等于0，即； ③底数的对数等于1，即； ④对数恒等式. （2）对数的运算性质 如果，那么： ①； ②； ③. （3）对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数. 换底公式的变形及推广： ①； ②； 7、对数函数及其性质 （1）对数函数的定义 形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． （2）对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过点，即当时， 在上是单调增函数 在上是单调减函数 8、函数的零点 对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注 意函数的零点不是点，是一个数. 9、函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标 即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 10、零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数. 11、常见函数模型 （1）指数函数模型（且，） （2）对数函数模型（且，） 12、指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质　　 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 介于指数函数与对数函数之间,相对平稳 图象的变化 随x的增大，图象与轴接近平行 随x的增大，图象与轴接近平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个，当时，有 考点精讲 考点一：指数幂的运算 【典型例题】 解题策略 (1)指数幂的运算首先将根式、分式统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 例1．（2023高三·广东·学业考试）下列运算错误的是（    ） A．a3+a3=2a6 B．a6÷a-3=a9 C．a3·a3=a6 D．（-2a2）3=-8a6 例2．（2019高三·广东·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 例3．已知，，则的值为（    ） A． B．2 C．8 D．15 【即时演练】 1． （    ） A． B． C． D． 2．已知，下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二：指数函数的图象及应用 【典型例题】 解题策略 与指数函数有关的图象问题的求解方法 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． 例1．（2023高三·广东·学业考试）已知函数，则的值为 例2．（2024高二上·广东·学业考试）函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 例3．（2023高三·广东·学业考试）下列函数中，在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 例4．（2023高三·广东·学业考试）函数（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（　　） A．（0，－3） B．（0，－2） C．（1，－3） D．（1，－2） 例5．（2022高二上·广东·学业考试）函数是上的偶函数，当时，，则 ． 例6．函数的图象是（    ） A．   B．     C．   D．   【即时演练】 1．若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 2．已知，那么等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 4．的图象如图所示，a，b为常数，则（   ） A． B． C． D． 5．设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 6．函数（，且）图象过的定点是（    ） A． B． C． D． 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点三：比较指数式的大小 【典型例题】 解题策略 比较指数式的大小的方法 (1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小． (2)不能化成同底数的，一般引入“0”或“1”等中间量比较大小． 例1．已知，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2021高二上·广东梅州·学业考试）已知a=0.23，b=0.32，c=0.33，则a，b，c的大小关系是（   ） A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c 例3．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点四：解指数方程或不等式 【典型例题】 解题策略 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化． 例1．已知函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2022高三下·广东·学业考试）已知集合，，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 考点五：指数函数性质的综合应用 【典例讲解】 解题策略 涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 例1．函数，. (1)求函数的定义域； (2)若为奇函数，求m的值； (3)当时，不等在恒成立，求k的取值范围. 例2．已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 【即时演练】 1．已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若对于任意都有恒成立，求实数的取值范围 2．已知定义在上的函数. （1）写出的单调区间； （2）已知，对所有，恒成立，求的取值范围. 考点六：对数的运算 【典例讲解】 解题策略 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并． (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后利用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算． (3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化． 例1．（2024高三上·广东·学业考试）已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 例2．（2022高三下·广东·学业考试）下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023高三·广东·学业考试）已知函数，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 例4．（2021高二上·广东梅州·学业考试）下列计算正确的是（   ） A．52×5-2=0 B．= 1 C．+= D． 例5．（2022高三下·广东·学业考试）计算： 【即时演练】 1．已知，则a的值可以为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．已知.若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（    ） A． B．3 C． D． 5．计算： . 考点七：对数函数的图象及应用 【典例讲解】 解题策略 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 例1．（2021高二上·广东·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023高三·广东·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例3．（2021高二上·广东·学业考试）下列函数中，在其定义域内是减函数的是（    ） A． B． C． D． 例4．（2023高三·广东·学业考试）下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 例5．（2023高三·广东·学业考试）下列函数可能是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 例6．（2023高三·广东·学业考试）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【即时演练】 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则函数的值域是（   ） A． B． C． D． 3．函数（，）的图象过定点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，在其定义域内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1，则a的值是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 考点八：比较对数值的大小 【典例讲解】 解题策略 对数函数值大小比较的方法 (1)单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底． (2)中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般用“0”或“1”或其他特殊值进行“比较传递”． (3)图象法：根据图象观察得出大小关系． 8-1．（2023高三·广东·学业考试）已知， ，则（　　） A． B． C． D． 8-2．（2020高三上·广东·学业考试），则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8-3．（2023高三·广东·学业考试）下列结论正确的是（    ） A．若则 B．若 ，则 C．若则 D．若，则 8-4．（2022高二上·广东·学业考试）已知，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．已知，则.（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．三个数，，之间的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 考点九：解对数不等式 【典例讲解】 解题策略 (1)在解决与对数函数相关的不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解． (2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论． 例1．设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 例2．已知，，，则实数a的取值范围是 ． 【即时演练】 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设函数，则 ，若，则实数的取值范围是 ． 考点十：对数函数性质的综合应用 【典例讲解】 解题策略 涉及对数函数的综合问题，首先要掌握对数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 例1．已知为定义在R上的奇函数，且当时，．求： (1)时，的解析式； (2)不等式的解集． 例2．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的图象过，求的单调区间． 例3．已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若关于的方程有解，求实数的取值范围. 【即时演练】 1．已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若不等式在上有解，求的取值范围. 2．已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 考点十一：零点问题 【典例讲解】 解题策略 求函数y＝f(x)的零点的方法 (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数根就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法或性质法：若方程f(x)＝0的解不易求出，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点：因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　 例1．（2020高三上·广东·学业考试）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 例2．（2021高二上·广东·学业考试）已知的图象与轴没有公共点，则的取值范围是 （用区间表示）． 例3．已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 例4．函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【即时演练】 1．函数的零点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 实战训练 一、单选题 1．函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．已知函数为偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 3．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5． ． 6．若函数的一个零点为，则另一个零点是 . 7．已知函数，若，则 ． 三、解答题 8．已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的值； (2)求函数的零点． 9．已知函数，且. (1)当时，判断函数的单调性，并加以证明； (2)对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 10．已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)若在上存在零点，求实数m的取值范围． 11．已知函数，，且为偶函数． (1)若，求的值； (2)求实数的值； (3)若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 指数函数与对数函数 目录 考情回顾 1 考情解读 1 知识梳理 2 考点精讲 5 考点一：指数幂的运算 5 考点二：指数函数的图象及应用 7 考点三：比较指数式的大小 12 考点四：解指数方程或不等式 14 考点五：指数函数性质的综合应用 16 考点六：对数的运算 20 考点七：对数函数的图象及应用 23 考点八：比较对数值的大小 29 考点九：解对数不等式 32 考点十：对数函数性质的综合应用 35 考点十一：零点问题 39 实战训练 41 考情回顾 考点 考频 考查内容 指数及指数函数 5年4考 指数函数的图象和性质 对数及对数函数 5年3考 对数函数的图象和性质 零点问题 5年2考 求函数的零点及判断零点所在的区间 考情解读 1.指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景. (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. (3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点. 2.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. (2)理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点. (3)了解指数函数与对数函数互为反函数(a>0,a≠1). 知识梳理 1、根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数． （2）性质： ①(且)； ②当为奇数时，；当为偶数时， 2、分数指数幂 ①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)； ②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)； ③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． 3、指数幂的运算性质 ①； ②； ③. 4、指数函数及其性质 （1）指数函数的概念 函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是． （2）指数函数的图象和性质 底数 图象 性质 定义域为，值域为 图象过定点 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在定义域上为增函数 在定义域上为减函数 注意 指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究 5、对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. （2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数. （3）对数式与指数式的互化：. 6、对数的性质、运算性质与换底公式 （1）对数的性质 根据对数的概念，知对数具有以下性质： ①负数和零没有对数，即； ②1的对数等于0，即； ③底数的对数等于1，即； ④对数恒等式. （2）对数的运算性质 如果，那么： ①； ②； ③. （3）对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数. 换底公式的变形及推广： ①； ②； 7、对数函数及其性质 （1）对数函数的定义 形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． （2）对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过点，即当时， 在上是单调增函数 在上是单调减函数 8、函数的零点 对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注 意函数的零点不是点，是一个数. 9、函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标 即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 10、零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数. 11、常见函数模型 （1）指数函数模型（且，） （2）对数函数模型（且，） 12、指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质　　 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 介于指数函数与对数函数之间,相对平稳 图象的变化 随x的增大，图象与轴接近平行 随x的增大，图象与轴接近平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个，当时，有 考点精讲 考点一：指数幂的运算 【典型例题】 解题策略 (1)指数幂的运算首先将根式、分式统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 例1．（2023高三·广东·学业考试）下列运算错误的是（    ） A．a3+a3=2a6 B．a6÷a-3=a9 C．a3·a3=a6 D．（-2a2）3=-8a6 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算规则，逐个验证选项. 【详解】，选项A的运算错误； ，选项B的运算正确； ，选项C的运算正确； ，选项D的运算正确； 运算错误的是A， 故选：A 例2．（2019高三·广东·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将根式化为指数形式，利用指数运算即可得结果. 【详解】，则. 故选：D 【点睛】本题考查了根式化指数，指数的运算，属于基础题. 例3．已知，，则的值为（    ） A． B．2 C．8 D．15 【答案】D 【分析】根据指数的运算求解即可. 【详解】. 故选：D 【即时演练】 1． （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 2．已知，下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算法则依次计算得到答案. 【详解】对选项A：，故A错误； 对选项B：，故B错误； 对选项C：，故C错误； 对选项D：，故D正确． 故选：D 考点二：指数函数的图象及应用 【典型例题】 解题策略 与指数函数有关的图象问题的求解方法 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． 例1．（2023高三·广东·学业考试）已知函数，则的值为 【答案】－3 【分析】由分段函数的定义计算，注意自变量的取值范围． 【详解】，， ∴． 故答案为：． 例2．（2024高二上·广东·学业考试）函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性来得到值域. 【详解】因为， 那么可知 ， 而函数在上是增函数，故有：， 所以: ，故C项正确 故选：C. 例3．（2023高三·广东·学业考试）下列函数中，在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数在定义域上为减函数，A不满足条件； 对于B选项，函数在定义域上不单调，B不满足条件； 对于C选项，函数在定义域上为增函数，C满足条件； 对于D选项，函数在定义域上不单调，D不满足条件. 故选：C. 例4．（2023高三·广东·学业考试）函数（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（　　） A．（0，－3） B．（0，－2） C．（1，－3） D．（1，－2） 【答案】D 【分析】根据指数函数的图象所过定点的性质求解． 【详解】令x－1＝0，则x＝1，此时，y＝a0－3＝－2，∴图象过定点（1，－2）． 故选：D． 例5．（2022高二上·广东·学业考试）函数是上的偶函数，当时，，则 ． 【答案】9 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】是偶函数，所以. 故答案为： 例6．函数的图象是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【分析】根据图象变换可得函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，由此可得出结论 【详解】因为函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的， 而的图象过点，且在上是增函数， 所以的图象过点，且在上是增函数， 故选：A 【即时演练】 1．若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【答案】A 【分析】根据指数函数定义求参. 【详解】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 2．已知，那么等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据函数解析式求得正确答案. 【详解】. 故选：B 3．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的特征，结合经过的点即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点可得 ，解得， 所以， 故选：A 4．的图象如图所示，a，b为常数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数图象的单调性与函数解析式特点推得，排除A,B两项，再由曲线与轴的交点在点之下，建立幂的不等式，利用函数单调性即可推得. 【详解】由，可得，由图知，函数单调递减， 故，排除A,B项；由图知，当时，， 因时，函数为减函数，故得. 故选:D. 5．设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据指数函数的单调性，确定，，，与的关系，再由时，函数值的大小判断. 【详解】因为当底数大于时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数大于且小于时，指数函数是定义域上的减函数， 所以，大于，，大于且小于， 由图知： ，即， ，即， 所以. 故选：B 6．函数（，且）图象过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数函数图象性质直接判断即可. 【详解】由于指数函数（，且）图象过定点， 所以函数（，且）图象过定点. 故选：D 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 考点三：比较指数式的大小 【典型例题】 解题策略 比较指数式的大小的方法 (1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小． (2)不能化成同底数的，一般引入“0”或“1”等中间量比较大小． 例1．已知，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】A选项可根据指数函数性质判断，BCD选项可以举反例得出. 【详解】A选项，根据指数函数单调递增可知，，A选项正确； BCD选项，取，B选项变成，C选项变成，D选项变成，BCD均错误. 故选：A 例2．（2021高二上·广东梅州·学业考试）已知a=0.23，b=0.32，c=0.33，则a，b，c的大小关系是（   ） A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c 【答案】A 【分析】根据指数函数、幂函数的性质判断可得； 【详解】解：因为在定义域上单调递减，所以，又在定义域上单调递增，所以，所以，即 故选：A 例3．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断出即可求解. 【详解】， 所以 故选：A. 【即时演练】 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质比较大小. 【详解】，，， 因为指数函数单调递减，所以, 所以，所以. 故选:D. 2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性判断指数式的大小关系. 【详解】由题设，，，，又在定义域上递增， ∴. 故选：C. 考点四：解指数方程或不等式 【典型例题】 解题策略 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化． 例1．已知函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】根据指数函数单调性知为单调减函数， 因为，则，解得， 则的取值范围是. 故选：D. 例2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性求解. 【详解】因为，又函数是R上的增函数， 所以， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【即时演练】 1．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可将不等式转化为，利用指数函数的单调性得出， 结合绝对值不等式即可得出结果. 【详解】由得，，则，根据在上单调递增，所以， 解得，即的解集为， 故选：C 2．（2022高三下·广东·学业考试）已知集合，，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解指数不等式，确定集合B，即可得出答案； （2）由得出，列式求解即可. 【详解】（1）， 所以，又， 所以. （2）∵，∴， 由（1）得，又， ∴，解得， ∴的取值范围为. 考点五：指数函数性质的综合应用 【典例讲解】 解题策略 涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 例1．函数，. (1)求函数的定义域； (2)若为奇函数，求m的值； (3)当时，不等在恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由具体函数的定义域可得，求解即可； （2）由化简即可得出答案； （3）由题意可得在恒成立，令，由基本不等式求出即可得出答案. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以的定义域为. （2）若为奇函数，所以， ，所以， 所以，所以. （3）当时，, 所以不等式在恒成立，即， 即，令， ， 因为，所以， 所以， 当且仅当取等， 所以. 故k的取值范围为. 例2．已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点的坐标代入函数中可求出的值，从而可求出函数解析式； （2）由在上是增函数，求出函数的最大值和最小值，从而可求出函数的值域. 【详解】（1）因为函数图象过点（2，5）， 所以， 所以，解得， 因为，所以， 所以， （2）因为在上为增函数， 所以在上是增函数， 所以， ， 所以函数的值域为． 【即时演练】 1．已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若对于任意都有恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)1； (2)在上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）求出函数的定义域，由求出a，再验证作答. （2）函数单调递增，再利用单调增函数的定义推理论证作答. （3）利用（2）的结论，结合已知脱去法则“f”，转化为恒成立的不等式作答. 【详解】（1）的定义域为，又是奇函数，则，解得， 此时，显然，因此为奇函数，符合题意， 所以. （2）在上单调递增， ，任取且， ， 因为，则，有，，，于是，即， 所以在上单调递增. （3）依题意，， 因为在上单调递增，因此，而，有， 当时，，当且仅当时取等号， 因为任意，恒成立，即任意，恒成立，则，解得， 所以的取值范围是. 2．已知定义在上的函数. （1）写出的单调区间； （2）已知，对所有，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减.（2） 【分析】（1）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得出单调区间； （2）由（1）知，函数的最小值为，把不等式转化为恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）函数在上单调递增，在上单调递减. ①当时， 则， 因为，可得，所以， 即，即函数在上单调递增； ②当时， 则， 因为，可得，所以， 即，即函数在上单调递减. 综上可得，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当，函数取得最小值，最小值为， 因为不等式，对所有，恒成立， 即恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数取值范围是. 考点六：对数的运算 【典例讲解】 解题策略 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并． (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后利用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算． (3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化． 例1．（2024高三上·广东·学业考试）已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】结合对数的运算，直接代入求值即可. 【详解】∵，∴， 故选：C． 例2．（2022高三下·广东·学业考试）下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质逐一判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 例3．（2023高三·广东·学业考试）已知函数，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义求值. 【详解】，． 故选：D． 例4．（2021高二上·广东梅州·学业考试）下列计算正确的是（   ） A．52×5-2=0 B．= 1 C．+= D． 【答案】D 【分析】根据指数幂及对数的运算法则计算可得； 【详解】解：，故A错误；，故B错误；，故C错误； ，故D正确； 故选：D 例5．（2022高三下·广东·学业考试）计算： 【答案】2 【分析】根据对数运算性质即可求解. 【详解】. 故答案为：2 【即时演练】 1．已知，则a的值可以为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用对数换底公式，对数方程，利用代数变换求解未知数，然后利用对数的基本性质求解即可． 【详解】， ， 设，则，解得或， 即或，解得或4， 故选：B． 2．已知.若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用对数运算法则进行计算. 【详解】. 故选：A 3．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，，所以. 故选：D 4．（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算可求得答案. 【详解】原式 . 故选：C. 5．计算： . 【答案】4 【分析】利用根式运算、对数运算性质计算得解. 【详解】. 故答案为： 考点七：对数函数的图象及应用 【典例讲解】 解题策略 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 例1．（2021高二上·广东·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】因为， 所以，解得且， 则的定义域为. 故选：C. 例2．（2023高三·广东·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的真数大于零列不等式求解即可. 【详解】根据对数函数的性质得，解得，所以函数的定义域为. 故选：C. 例3．（2021高二上·广东·学业考试）下列函数中，在其定义域内是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域和单调性求得正确答案. 【详解】A选项，是开口向下的二次函数， 在区间上单调递增，所以A选项错误. B选项，的定义域是， 减区间是，在定义域上没有单调性，B选项错误. C选项，因为，所以在定义域上单调递减，C选项正确. D选项，因为，所以在定义域上单调递增，D选项错误. 故选：C 例4．（2023高三·广东·学业考试）下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项判断函数的单调性即可得出答案. 【详解】对于A，在区间上是增函数，故A错误； 对于B，在区间上是减函数，故B正确； 对于C，在上单调递增，故C错误； 对于D，在区间上是增函数，故D错误； 故选：B. 例5．（2023高三·广东·学业考试）下列函数可能是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的图象可得合适的选项. 【详解】对数函数的定义域为，ABCD四个选项中最有可能是对数函数的是A选项. 故选：A. 例6．（2023高三·广东·学业考试）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的图象和性质即得. 【详解】由对数函数性质知为增函数，故排除BD； 当时，，即函数过点，排除C. 故选：A． 【即时演练】 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足：，解得或， 故选：D． 2．已知，则函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在上单调递增可得答案. 【详解】函数在上单调递增 所以，即 所以函数的值域为 故选：B 3．函数（，）的图象过定点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数的性质求函数所过的定点坐标. 【详解】令，则，此时，故定点的坐标为. 故选：C 4．下列函数中，在其定义域内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：函数在定义域上单调递减，故A错误； 对于B：函数在定义域上单调递增，故B正确； 对于C：函数在，上单调递减，故C错误； 对于D：函数在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：B 5．函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1，则a的值是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】由题意可得，从而可求出a的值， 【详解】解：因为，所以函数在区间[1，3]上为增函数， 因为函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1， 所以，解得， 故选：C 6．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】法一：将问题转化为与的值域有交集，并考虑其反面即可得解. 法二：利用的单调性得到，从而得解. 【详解】法一： 因为存在，使得成立， 所以与的值域有交集， 因为， 当时，，则，即的值域为， 当时，为使有意义， 则能成立，即能成立，即， 因为，所以， 此时，故的值域为， 当与的值域没有交集时，有或， 则或，即或. 所以当与的值域有交集时，. 法二： 因为在上是单调递增函数， 所以若存在，使得成立，则有，故， 因为，则，所以，故， 同时，在上能成立，即能成立，即， 因为，所以， 综上：. 故答案为：. 考点八：比较对数值的大小 【典例讲解】 解题策略 对数函数值大小比较的方法 (1)单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底． (2)中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般用“0”或“1”或其他特殊值进行“比较传递”． (3)图象法：根据图象观察得出大小关系． 8-1．（2023高三·广东·学业考试）已知， ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求出，，再根据对数函数的单调性结合中间量法即可得解. 【详解】，，， . 故选：D. 8-2．（2020高三上·广东·学业考试），则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用指数、对数的性质求出、、的范围，即可比较大小. 【详解】因为，，， 所以. 故选：D. 8-3．（2023高三·广东·学业考试）下列结论正确的是（    ） A．若则 B．若 ，则 C．若则 D．若，则 【答案】A 【分析】利用函数的单调性判断每个不等式是否正确. 【详解】由可得，因此A正确； 由可得 ，因此B不正确； ，与大小关系不确定，因此C不正确； 因不知的正负，由无法得出，因此D不正确． 故选：A. 8-4．（2022高二上·广东·学业考试）已知，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，，， 因此，. 故选：A. 【即时演练】 1．已知，则.（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性分别判断的取值范围即可求解. 【详解】，即； ，即； ，即， 所以. 故选：A 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数的运算法则及对数函数的性质计算即可. 【详解】易知， 而，所以， 即. 故选：A 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合对数函数单调性分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递增， 则，所以. 故选：D. 4．三个数，，之间的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数和对数的性质，确定范围即可. 【详解】因为，所以， ， ， 则， 故选：C. 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性确定幂值和对数值的范围即得. 【详解】因，即， 又，即， 而，即， 故. 故选：A. 考点九：解对数不等式 【典例讲解】 解题策略 (1)在解决与对数函数相关的不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解． (2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论． 例1．设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解出集合A,B,再求交集即可. 【详解】解：因为， 由合，解得， 所以， 又因为， 由，解得， 所以， 所以. 故选：D. 例2．已知，，，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据求出，分，，三种情况，结合求出实数a的取值范围，利用来验证，最终求出答案. 【详解】，而单调递减， 故， 若，由可得，故， 此时，满足要求， 若，此时，不合要求， 若，由可得，故，此时，不合要求. 故答案为： 【即时演练】 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别化简集合A,B,再取交集即可. 【详解】， 由，又函数在定义域上单调递减， 得，解得：，即， 故选：C. 2．设函数，则 ，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式求得正确答案. 【详解】. 由解得或； 由解得； 所以或或， 当时，，无解 当时，，解得或； 当时，或， 解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：； 考点十：对数函数性质的综合应用 【典例讲解】 解题策略 涉及对数函数的综合问题，首先要掌握对数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 例1．已知为定义在R上的奇函数，且当时，．求： (1)时，的解析式； (2)不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质,即可求解; （2）根据函数解析式结合对数函数的单调性可解. 【详解】（1）令，则， 即． 又为定义在上的奇函数， 所以． （2）因为在上是奇函数，所以， 所以等价于不等式组，或，或， 解得或或， 故不等式的解集为． 例2．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的图象过，求的单调区间． 【答案】(1) (2)增区间为，减区间为. 【分析】（1）根据解析式有意义解不等式可得； （2）根据图象过点求a，然后由复合函数单调性求解即可. 【详解】（1）由题可知，即， 解得，所以函数的定义域. （2）由函数的图像过，有，解得， 令，则， 因为为增函数，在上单调递增，在上单调递减， 所以，由复合函数单调性可知，函数在的增区间为，减区间为. 例3．已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数的定义域为，函数为奇函数 (2) 【分析】（1）由对数函数性质求定义域，根据奇偶性定义判断奇偶性； （2）利用奇偶性、单调性化简方程，然后方程有解转化为求函数值域，从而得参数范围． 【详解】（1） 为奇函数. （2）由（1）可知：有解 有解 又， 且在上单调递减 有解 设，则 有解 当时， . 【即时演练】 1．已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若不等式在上有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）换元令，结合二次函数的性质求值域； （2）换元令，整理可得在上有解，根据存在性问题分析求解. 【详解】（1）因为， 由对数函数单调性可知，当时，， 令，，即可得，， 可知的开口向上，对称轴为， 由二次函数性质可知当时，，当时，， 所以可得当时，函数的值域为. （2）当时，可得，令，， 可得，即在上有解， 整理可得在上有解， 因为函数在上单调递增，当时， 所以的取值范围是. 2．已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义化简可得实数的值； （2）由基本不等式结合对数函数的单调性可求得函数在上的单调性，由此可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为函数为偶函数，则， 即， 所以， ， . （2）解：， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 考点十一：零点问题 【典例讲解】 解题策略 求函数y＝f(x)的零点的方法 (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数根就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法或性质法：若方程f(x)＝0的解不易求出，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点：因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　 例1．（2020高三上·广东·学业考试）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用零点存在定理判断后可得正确的选项. 【详解】因为均为上的增函数， 故为上的增函数，故至多有一个零点，. 而，，因为的图象不间断， 由零点存在定理可知在区间有且只有一个零点， 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点的位置，注意根据零点存在定理和函数的单调性来判断，在应用零点存在定理判断零点的位置时，需函数的图象是连续不间断，本题属于基础题. 例2．（2021高二上·广东·学业考试）已知的图象与轴没有公共点，则的取值范围是 （用区间表示）． 【答案】 【分析】根据判别式以及一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】依题意， 故的取值范围用区间表示为． 故答案为： 例3．已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】判断函数的单调性，继而结合零点存在定理列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由于在R上均单调递增，故函数在R上单调递增， 又，且，则，解得. 故选：B 例4．函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由函数的单调性结合即可判断零点个数. 【详解】函数是R上的单调递增函数，且， 所以函数只有一个零点， 故选：A. 【即时演练】 1．函数的零点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点. 【详解】令，则， 即函数的零点为0， 故选：B 2．已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用零点的定义代入计算即得. 【详解】依题意，，即，所以. 故选：C 3．函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】令，求解方程即得. 【详解】由，设，则得， 解得，从而，所以. 故选：C. 实战训练 一、单选题 1．函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性计算即可得出结果. 【详解】易知函数在区间上单调递减， 所以其最大值为. 故选：A 2．已知函数为偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质计算可得. 【详解】因为函数为偶函数，又函数的定义域为， 所以，即， 所以对任意的恒成立， 又，所以，解得. 故选：B 3．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复利计算方式可直接计算得出结果. 【详解】根据复利计算利息的方式可知存期数为1时，本利和为， 存期数为2时可得本利和为， 所以存期数为时，本利和为. 故选：D 4．如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合指数函数和对数函数的图象，根据函数图象的对称变化逐一求解可得. 【详解】由图可知，与关于直线对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为. 故选：B 二、填空题 5． ． 【答案】2 【分析】由同底数的对数计算公式化简，即可得出结果. 【详解】. 故答案为：2. 6．若函数的一个零点为，则另一个零点是 . 【答案】 【分析】根据为其中一个零点求出参数的值，即可得到的解析式，再令，即可求出函数的零点. 【详解】因为函数的一个零点为， 所以，解得，所以，令，即，解得或， 所以的零点为和，故另一个零点是. 故答案为： 7．已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】分和两种情况，将代入对应解析式，即可求得值. 【详解】当时，则，此时无解； 当时，则，解得：，满足条件； 故答案为： 三、解答题 8．已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的值； (2)求函数的零点． 【答案】(1) (2)，3 【分析】（1）根据图象可知，即可求解函数解析式，再代入求值； （2）根据零点的定义，解方程，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 所以． （2）因为， 所以． 令， 得． 所以的零点为，3． 9．已知函数，且. (1)当时，判断函数的单调性，并加以证明； (2)对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)存在，， 【分析】（1）结合函数的定义域，分区间和，证明函数的单调性； （2）根据函数的定义域，确定，并根据确定，并代入验证函数是奇函数. 【详解】（1）当时，， 设， ， 因为，所以，则， 所以，即， 所以在上单调递减； 设， ， 因为，所以，则， 所以，即， 所以在上单调递增； （2）， 因为，若函数是奇函数，则，即，则， 所以， ，即， 所以，， ， 所以只要满足，，即，时，函数是奇函数. 【点睛】关键点点睛：不管是函数的单调性，和函数的奇偶性，首先考虑函数的定义域，然后考虑奇函数的性质，在原点处有定义时，. 10．已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)若在上存在零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将问题转化为方程在上有解，令，进而利用二次函数的性质求解即可； （2）分析易得，将问题转化为在上有解，令，进而利用对勾函数性质求解即可. 【详解】（1）由，，， 得，则，即， 则问题转化为方程在上有解， 令，则， 因为函数在上单调递增，且， 所以要使方程在上有解， 则，解得且， 所以a的取值范围为. （2）， 令，即， 当时，方程为，解得，不符合题意， 则，若，则，此时方程显然不成立， 则，整理方程为， 又， 设， 令，则， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且，，， 所以，则，又， 解得. 11．已知函数，，且为偶函数． (1)若，求的值； (2)求实数的值； (3)若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将指数式化为对数式即可； （2）利用偶函数的定义求解即可； （3）把问题转化成最值问题，根据的正，零，负三种情况进行分类讨论，利用函数的单调性求出各自的最值，建立不等式求解即可． 【详解】（1）， ， 解得：； （2）为偶函数， ， 恒成立， 所以； （3）由（2）知：， 对任意的，存在，使得恒成立， 将问题转化为：， 当时，即或， 开口向上，对称轴为， 在上单调递增， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 当时，即或， 为常函数， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， 所以； 当时，即， 开口向下，对称轴为， 在上单调递减， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 综上所述：实数的取值范围为：． 【点睛】本题考查了指数式化为对数式，偶函数、利用单调性研究函数的最值，解题的关键是将不等式恒成立问题转化为最值问题，同时需要注意分类讨论思想的使用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$