精品解析：山西省太原市常青藤中学校2024-2025学年高一上学期暑假素养测试数学试题

太原市常青藤中学校高一暑假素养测试 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：韩永权 一.选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（    ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 3. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，那么称函数是区间上的“可变函数”，区间叫做“可变区间”.若函数是区间上的“可变函数”，则“可变区间”为（ ） A. 和 B. C. D. 6. 已知函数，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 二.选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为的外心，，，的角平分线交于点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，则（ ） A. 三棱锥的外接球的表面积为 B. 三棱锥的外接球的体积为 C. 点C到平面的距离为 D. 已知点P是底面（不含边界）内一动点，且平面，则线段的长度的取值范围是 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，若，则__________. 13. 当时，的最小值为_________. 14. 在△ABC中，，，点M满足，则________． 四.解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，其中. （1）求的定义域； （2）若，求的值. 16. 已知向量. （1）若，求； （2）若 为单位向量，对任意实数恒成立，求向量的夹角的取值范围. 17. 在中，内角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求边上的中线长. 18. 2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图： （1）求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数； （2）用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在这组的概率. 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原市常青藤中学校高一暑假素养测试 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：韩永权 一.选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各项所给条件，结合均值不等式分析、判断作答. 【详解】对于A，当时，，A不正确； 对于B，当时，，且，若，则，B不正确； 对于C，，则，即C不正确； 对于D，当时，由均值不等式得成立，当且仅当时取等号，则D正确. 故选：D 2. 已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（    ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的图象所过的定点坐标，由此建立的关系，再利用均值不等式“1”的妙用求解作答. 【详解】函数中，当，即时，恒有，则点， 依题意，，即，又，因此， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故选：D 3. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知表示出，再由换底公式可求. 【详解】，， . 故选：C. 4. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用和差角公式、二倍角公式化简各选项，计算判断作答. 【详解】对于A，，A不符合； 对于B，，B不符合； 对于C，，C符合； 对于D，，D不符合. 故选：C 5. 如果函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，那么称函数是区间上的“可变函数”，区间叫做“可变区间”.若函数是区间上的“可变函数”，则“可变区间”为（ ） A. 和 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意,分析函数y=f (x)和y=f(x)的单调区间，结合“可变函数”的定义分析可得答案. 【详解】因为的单调递减区间为， 在和上为增函数， 所以的“可变区间”为和， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的单调性的判定以及应用，关键是理解“可变函数”,“可变区间”的含义，属于中档题. 6. 已知函数，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由，求得，再判断其单调性，然后由，利用其单调性求解. 【详解】解：因为函数，且， 当时，，解得， 当时，，解得（舍去）， 所以， 当时，单调递增； 当时，，单调递增，且， 所以在R上递增， 因为， 所以，即， 解得， 故选：A 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和正切公式得，再利用二倍角公式化简，根据同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得. 【详解】因为，所以， 则 . 故选：D 8. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 二.选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为的外心，，，的角平分线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A、B：根据题意结合正弦定理可得，结合平面向量的线性运算求；对于C、D：根据外心的性质结合平面向量的数量积运算求解. 【详解】在中，有正弦定理可得，可得， 在中，有正弦定理可得，可得， 因为，，为的角平分线， 可知， 则， 可得， 所以，即， 可得， 故A正确，B错误； 分别取的中点，连接，可知， 因为为的外心，则， ， 所以， 故C正确；D错误. 故选：AC. 10. 已知复数，，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】设，，根据共轭复数及复数相等的充要条件判断A、C，利用特殊值判断B、D. 【详解】设，，则，， 对于A：因为，所以，即，所以，故A正确； 对于B：令，，则， 但是，所以，故B错误； 对于C：因为，， 所以，故C正确； 对于D：令，，满足，但是，故D错误. 故选：AC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，则（ ） A. 三棱锥的外接球的表面积为 B. 三棱锥的外接球的体积为 C. 点C到平面的距离为 D. 已知点P是底面（不含边界）内一动点，且平面，则线段的长度的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，取的中点，连接，则可证得三棱锥的外接球的球心，从而可求出球的半径，进而求出球的表面积和体积，对于C，利用等体积法求解判断，对于D，取的中点，连接，可证得平面∥平面，则可得点在平面上的轨迹为线段（不含端点），从而可求出的范围. 【详解】对于AB，取的中点，连接，因为平面，平面， 所以，所以，同理可证， 所以， 所以三棱锥的外接球的球心，设外接球的半径为，则 ， 所以外接球的表面积为，体积为， 所以AB正确， 对于C，因为E，F分别是棱，的中点，所以， 所以， 所以, 设点C到平面的距离为， 因为，所以， 所以，解得，所以C错误， 对于D，取的中点，连接， 因为为的中点，所以∥， 因为∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为为的中点，为的中点，∥，， 因为∥，，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 因为平面，所以平面， 因为平面平面， 所以点在平面上的轨迹为线段（不含端点）， 在中，， 则边上的高为, 所以线段的长度的取值范围是，所以D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查正方体的性质的应用，考查三棱锥外接球问题，考查动点的轨迹问题，选项D解题的关键是由面面平行得到线面平行，从而可找到点的轨迹，考查计算能力和空间想象能力，属于较难题. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，若，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】令，可得为奇函数，再根据奇函数的性质求解. 【详解】令，则，为奇函数， 由，解得，所以. 所以. 故答案为：4. 13. 当时，的最小值为_________. 【答案】0 【解析】 【分析】代数式凑配后利用二次函数性质和基本不等式求解． 【详解】 ， 当且仅当，时，， 所以的最小值为0. 故答案为：0. 14. 在△ABC中，，，点M满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据可得，在中分别利用余弦定理可得，再求出可得答案. 【详解】设， 因为，，所以， 因为，所以, 因为， 所以，得， 在分别由余弦定理得 ，，， 所以， 所以，得， 所以， 所以， 即. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，解题的关键是在中分别利用余弦定理找出的关系，再结合又得到的关系，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 四.解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，其中. （1）求的定义域； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）由函数有意义的条件，求函数定义域； （2）利用函数解析式求的值，由求出，计算的值即可. 【小问1详解】 函数有意义，则有，得， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 因为， 所以，即， 所以，即， 故. 16. 已知向量. （1）若，求； （2）若 为单位向量，对任意实数恒成立，求向量的夹角的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用向量加减，数量积的坐标运算计算即可； （2）运用模长公式两边平方，结合数量积转化为对任意的实数 恒成立，再用二次函数中根的判别式来解决恒成立问题，转化为．最后借助余弦函数的性质得到角度范围即可. 【小问1详解】 因为 所以 ，，； 【小问2详解】 是单位向量，设的夹角为 ， 由 得：， 所以 ，即， 即 对任意的实数 恒成立， 则 ，解得：， 又因为 ，函数 在 上单调递减， 因此 ． 所以向量 的夹角的取值范围是 . 17. 在中，内角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求边上的中线长. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，转化为三角函数求角； （2）首先根据三角形的面积公式，求得，再根据余弦定理求得，再根据中线向量关系， 利用数量积公式，即可求解. 【小问1详解】 ，∴由正弦定理得：， ，∴， ∴，即， ，∴， ∴， 【小问2详解】 ， ， 在中，由余弦定理得 ，所以， 设的中点为，则 ， 两边同时平方得： = 所以 ，所以. 18. 2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图： （1）求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数； （2）用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在这组的概率. 【答案】（1），平均数为； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再求出阅读时长的平均数. （2）求出抽取的6名观众中，区间内的人数，再利用列举法求出古典概率即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图得：，解得， 阅读时长在区间内的频率分别为， 所以阅读时长的平均数. 【小问2详解】 由频率分布直方图，得数据在两组内的频率比为， 则在内抽取人，记为，在内抽取 人，记为， 从这名志愿者中随机抽取人的不同结果如下： ，共15个， 其中抽取的人都在内的有，共6个， 所以所抽取2人都在内的概率． 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）因为，O是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可； (2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 [方法一]：通性通法—坐标法 如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则，设, 所以， 设为平面的法向量， 则由可求得平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为， 所以，解得． 又点C到平面的距离为，所以， 所以三棱锥的体积为． [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角 如图所示，作，垂足为点G． 作，垂足为点F，连结，则． 因为平面，所以平面， 为二面角的平面角． 因为，所以． 由已知得，故． 又，所以． 因为， ． [方法三]：三面角公式 考虑三面角，记为，为，， 记二面角为．据题意，得． 对使用三面角的余弦公式，可得， 化简可得．① 使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．② 将①②两式平方后相加，可得， 由此得，从而可得． 如图可知，即有， 根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得， 结合的正切值， 可得从而可得三棱锥的体积为． 【点睛】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理； 方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解. 方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $