精品解析：重庆市铜梁中学、江津中学等七校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

2024—2025学年度上期高二半期七校联考 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知直线，则直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角的定义判断即可. 【详解】因为直线，所以直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 已知双曲线的虚轴长为，一个焦点为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出、的值，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，设其标准方程为， 由题意可得，解得， 故双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 3. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（ ） A. B. 5 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，结合空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 因为平面，则， 所以，，解得. 故选：B. 4. 在平行六面体中，，，， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算性质可求得的长. 【详解】如下图所示： 由题意可得，， 由空间向量数量积的定义可得， ，同理可得， 由空间向量的平行六面体法则可得， 所以， ，即. 故选：C. 5. 已知抛物线 ，过点作弦，弦恰被点 平分，则弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】设点、， 因为点为线段的中点，则 ， ， 若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 由题意可得，将这两个等式作差可得， 即，所以，直线的斜率为. 故选：D. 6. 在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 是正三角形，且平面 底面 ，为线段的中点.记异面直线与所成角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，过作，以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及异面直线的夹角公式，代入计算，即可求解. 【详解】过在平面 内作，垂足为点， 因为侧面 是正三角形，所以是的中点， 又因为平面 底面 ，平面平面，平面 ， 所以底面 ， 以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 则，， 所以，， 故选：C. 7. 已知两点、，若圆上存在点，使，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，求出点的轨迹方程为，可知圆与圆有公共点，利用圆与圆的位置关系看得出关于的不等式组，由此可解得正实数的取值范围. 【详解】设点，则，， 因为，则，所以，， 化简可得，故点的轨迹方程为， 由题意可知，圆与圆有公共点， 两圆圆心距为， 所以，，即， 因为 ，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 8. 若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点（为垂足，在线段上），且满足，则该双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系写出过点F的直线AB的方程，分别联立直线AB与两渐近线的方程求出点A、B的横坐标，由知，从而得，带入、可得a、c的关系式，化简方程即可求得离心率. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为： ， 设过点与渐近线垂直的方程为， 由，得， 由，得， 因为，所以，则， 所以，化简得，即， 解得（舍去）或，则. 故选：D 【点睛】与斜率为k的直线垂直的直线斜率为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 已知是椭圆的左、右焦点，A，B是左、右顶点，为上异于A，B的一点，延长交椭圆于点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率 B. 的最小值为 C. 的周长为 D. 的面积的最大值为1 【答案】AC 【解析】 【分析】由离心率的定义可得A正确；由通径长可得B错误；由椭圆的定义可得C正确；当点在上顶点时面积最大可得D错误； 【详解】   对于A，由题意可得，所以，故A正确； 对于B，由椭圆焦点弦性质可知， 的最小值为椭圆的通径长，故B错误； 对于C，由椭圆的定义可得的周长为， 故C正确； 对于D，因为，当三角形的高最大时面积最大，即点为短轴端点时面积最大， 所以的面积的最大值为，故D错误； 故选：AC. 10. 已知动点与两定点、的距离之比为，设动点 的轨迹为，下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 面积的最大值为 C. 最大时， D. 设，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知距离之比建立关系即可得出轨迹方程，可判断A选项；易得 到的最大距离为，即可求出最大面积，可判断B选项；当最大时，直线与圆相切，利用勾股定理可判断C选项；由题意得出，当 为线段与圆的交点时，取最小值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，由题，即， 整理得，A错； 对于B选项， 以为底，且 到的最大距离为半径， 所以 面积的最大值是，B对； 对于C选项，当最大时，此时，直线与圆相切， 取点，则 ，且， 由勾股定理可得，C对； 对于D选项，由题意可得， 则， 当且仅当 为线段与圆的交点时，等号成立， 所以，的最小值为，D对. 故选：BCD. 11. 如图，在多面体中，平面 ，四边形 是正方形，且，， 、分别是线段、的中点，是线段上的一个动点（含端点、），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，向量法证明线线垂直判断A选项；利用共线向量的坐标表示可判断B选项；由，求体积最大值判断C选项；向量法求线面角的正弦值的变化情况判断选项D. 【详解】平面 ，四边形 是正方形， 以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得、、、、 、、、， 对于A，假设存在点，使得， 则，又， 则，解得：， 即点与重合时，，A对； 对于B，假设存在点，使得， 因为，， 因为，则存在 ，使得，即， 所以，，解得， 故当点为线段的中点时，，B对； 对于C选项，连接 、、， 设， 因为， 当，即点与点重合时，取得最大值， 又点到平面的距离， 所以，，C错； 对于D，由上分析知，，， 若是面的法向量，则， 令，则， 设直线与平面所成的角为， 因为函数在上单调递减， 则当点自向处运动时，即逐渐增大时，直线与平面所成的角逐渐增大，D对. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线：，则直线恒过定点_______. 【答案】 【解析】 【分析】把直线方程变形为关于的方程，令解出即可； 【详解】由题意可得，令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为： 13. 在棱长为的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为____________. 【答案】 【解析】 【分析】方法1：如图点到直线的距离为等腰三角形边AE所对应的高，由等面积法可得答案；方法2：如图建立空间直角坐标系，由空间向量知识可得答案. 【详解】方法1：由正方体棱长为2，则，又为的中点， 则. 点到直线的距离为等腰三角形边AE所对应的高， 取 中点为F，连接EF，则EF为边上的高， 则； 方法2：如图建立空间直角坐标系，则， ，. 则在上的投影向量为：. 则到直线的距离. 故答案为：. 14. 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点. 是上的动点，点，且的最大值为，则____________.动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据椭圆定义可得出，可得出，当且仅当 为射线与椭圆的交点时，等号成立，可求出的值，进而可得出，根据椭圆的光学性质可得出点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】根据椭圆定义得， 所以，， 当且仅当 为射线与椭圆的交点时，等号成立， 因为的最大值为，且，则，解得， 则. 设切椭圆于点， 由椭圆的光学性质可得、、三点共线，， 则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以，到直线的距离为， 由圆的几何性质可知，点到直线的距离最小值，最大值，即. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知、、、四点. （1）求经过、、三点的圆 的方程； （2）若直线过点且与圆 相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆 的标准方程为，将点、、的坐标代入圆 的方程，求出、、的值，即可得出圆 的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，解出的值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 设圆 的标准方程为， 因为、、三点都在圆 上， 则，解得， 因此，圆 的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，圆 的圆心为，半径为, ①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心 到直线的距离为，合乎题意； ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 因为直线与圆 相切，所以，，解得 此时，直线的方程为，即. 综上，直线的方程为 或. 16. 如图，已知 平面 ，底面 为正方形，， 、分别为、的中点.  （1）求证： 平面 ； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得 平面 ； （2）利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 因为 平面 ，四边形 为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， ，， 设平面 的法向量为，则， 令，得，则，故 平面 . 【小问2详解】 由（1）知，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线与抛物线交于 、两点，若点满足，求直线的方程. 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义可求出的值，由此可得出抛物线的方程； （2）根据题意，设直线的方程为 ，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 由抛物线的定义可得，解得 ， 因此，抛物线的方程为 . 【小问2详解】 若直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意， 故可设直线的方程为 ，设点、， 由，整理得 ，则， 由韦达定理可得 ，， 因为，， 所以， 即，即， 即，解得， 因此，直线的方程为，即 . 18. 如图1，已知正方形 的边长为，分别为的中点，将正方形 沿折成如图2所示的二面角，使得，点 是线段 上的动点（包含端点）. + （1）若 为的中点，直线与平面 的交点为，试确定点的位置，并证明直线 平面 ； （2）是否存在点 ，使二面角为？若存在，求出线段的大小；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）点在的延长线上，且，证明见解析 （2）存在，线段为 【解析】 【分析】（1）由题意点O在平面ABFE与平面ADE的交线上，延长EA，FM交于点O，连接OD，可得点O位置；连接DF交EC于点N，可得，从而可证； （2）取AE的中点H，连接DH，则，可证DH⊥平面ABFE，过点H作直线，以为坐标原点，以HA，HT，HD分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设出点 的坐标，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 直线平面，点在平面内，也在平面 内， 点在平面与平面 的交线上， 延长交于点，连接，如图所示， ， 为的中点， 与 全等， ， 点在的延长线上，且， 连接交于点，连接， 四边形 为矩形，是的中点， 为 的中位线，， 又平面 ， 平面 ， 直线平面 . 【小问2详解】 如图，由已知可得， ， 又，平面 ，平面 ， 又平面，平面⊥平面 ， ，为等边三角形， 取的中点，连接，则， 平面 平面 ，平面平面，平面 ， 平面，过点作直线 ， 以为坐标原点，以 ， ， 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，，，，则， 设（），则， 设平面 的法向量为， 则，即，取，则，， 平面 的一个法向量为， 又平面的一个法向量为 ， 要使二面角的大小为， 则，解得， 存在点 ，使二面角为， 此时线段为. 19. 已知为坐标原点，是椭圆 的左、右焦点，的离心率为，点 是上一点， 的最小值为. （1）求椭圆的方程； （2）已知是椭圆的左、右顶点，不与轴平行或重合的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且. ①证明：直线过定点； ②设 的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）①证明如下： 证明：设直线的方程为 ， ， 由得 ， ，即 ， ， 在椭圆上 ， ，即 ， ， ，即， 在直线上， ， ， ，即， 此时 ， 直线的方程为，即直线过定点 . ②. 【解析】 【分析】（1）应用离心率公式及焦点到椭圆距离的最值列方程组求解，即可求出椭圆方程； （2）①设直线方程联立方程组得出韦达定理再应用斜率公式得出，再结合韦达定理计算求出即可得出定点；②先表示面积 计算化简结合对勾函数得出最值. 【小问1详解】 由题可知，， 解得 ， ， 椭圆的方程为 . 【小问2详解】 ①略 ②记直线过定点 ， ， ， ， ， 令 ，则， 在 上单调递增， 当时，有最大值. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造对勾函数形式应用函数的单调性得出函数的最值进而求出面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上期高二半期七校联考 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知直线，则直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 不存在 2. 已知双曲线的虚轴长为，一个焦点为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（ ） A. B. 5 C. D. 1 4. 在平行六面体中，，，， ，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线 ，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 在四棱锥中，底面是正方形，侧面 是正三角形，且平面 底面，为线段的中点.记异面直线与所成角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知两点、，若圆上存在点，使，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点（为垂足，在线段上），且满足，则该双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 已知是椭圆的左、右焦点，A，B是左、右顶点，为上异于A，B的一点，延长交椭圆于点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率 B. 的最小值为 C. 的周长为 D. 的面积的最大值为1 10. 已知动点与两定点、的距离之比为，设动点的轨迹为，下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 面积的最大值为 C. 最大时， D. 设，则的最小值为 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，、分别是线段、的中点，是线段上的一个动点（含端点、），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线：，则直线恒过定点_______. 13. 在棱长为的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为____________. 14. 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则 ____________.动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知、、、四点. （1）求经过、、三点的圆的方程； （2）若直线过点且与圆相切，求直线的方程. 16. 如图，已知 平面，底面为正方形，，、分别为、的中点.  （1）求证： 平面 ； （2）求与平面所成角的正弦值. 17. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线与抛物线交于、两点，若点满足，求直线的方程. 18. 如图1，已知正方形的边长为，分别为的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，使得，点是线段 上的动点（包含端点）. + （1）若为的中点，直线与平面 的交点为，试确定点的位置，并证明直线 平面 ； （2）是否存在点，使二面角为？若存在，求出线段的大小；若不存在，请说明理由. 19. 已知为坐标原点，是椭圆 的左、右焦点，的离心率为，点是上一点， 的最小值为. （1）求椭圆的方程； （2）已知是椭圆的左、右顶点，不与轴平行或重合的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且. ①证明：直线过定点； ②设 的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $