精品解析：2024年上海市奉贤区五校联考中考数学三模试卷

2024年上海市奉贤区五校联考中考数学三模试卷 一.选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 的相反数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知一组数据2，a，4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 不等式组解集在数轴上表示为( ) A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 5. 已知两圆的圆心距是3，它们的半径分别是方程x2-7x+10=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（　　） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二.填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 把多项式分解因式的结果是_______． 8. 节约粮食势在必行，据统计，我国每年浪费粮食约是吨，将用科学记数法表示为 ____________． 9. 函数中，自变量x的取值范围是 ________． 10. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 11. 若关于的方程有实数根，则实数m的取值范围是_______． 12. 如图，点均在直线上，点在直线外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为____________． 13. 如图，经过的重心，设，，那么可以用向量，表示为：____________． 14. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为________________（结果保留根号） 15. 在中，，是边上的高，且，则的度数是____________． 16. 一个封闭平面图形上及其内部任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径的比值称为该图形的“周率”，如果正三角形、正方形和圆的周率依次记为a、b、c，那么将a、b、c从小到大排列为______． 17. 对于平面直角坐标系中第一象限内的点和．已知，，，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M．N，若中的任意一点满足，，则称四边形是的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例如，就是的某两个覆盖的特征点．若直线的图象上存在覆盖的特征点，则m的取值范围是_____． 18. 如图，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点，我们称：点为正方形的一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．连接、、、，并延长交于点．下列结论中：①；②；③；④；其中正确的结论的序号为______． 三.解答题（满分78分） 19. 先化简，再计算：，其中a是满足条件的合适的非负整数． 20. 解方程： 21. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，分别连接． （1）求这个反比例函数表达式； （2）求的面积； （3）请直接写出自变量取值范围． 22. 国际象棋玩过么？国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的随意一个，那么国王从格子走到格子的最少步数就是数学的一种距离，叫“切比雪夫距离”．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“切比雪夫距离”，给出如下定义： 若，则点与的“切比雪夫距离”为； 若，则点与的“切比雪夫距离”为． （1）已知， ①若的坐标为，则点与的“切比雪夫距离”为 ； ②若为轴上的动点，那么点与“切比雪夫距离”的最小值为 ； （2）已知，，设点与的“切比雪夫距离”为，若，求（用含的式子表示）． 23. 如图1，在边长为6的正方形中，是边的动点，以为圆心，为半径作圆，与相切于点，连接并延长交于点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，与相交于点，连接并延长交于点，当满足时，试判断与位置关系并说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点． （1）请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； （2）如果点在函数的图象上，求点的坐标； （3）将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 25. 如图，已知在等腰中，，，，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合） （1）求边BC的长； （2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果，求线段AD的长； （3）过点D作，垂足为E，DE交BF于点Q，连接DF，如果和相似，求线段BD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上海市奉贤区五校联考中考数学三模试卷 一.选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 的相反数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】的相反数是3． 故选A． 【点睛】本题考查求一个数的相反数．掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题关键． 2. 已知一组数据2，a，4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数与众数的意义，要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．依此先求出a，再求这组数据的平均数． 【详解】解：众数是5，已知的三个数都只出现了一次， 就可以知道， 所以平均数． 故选：B． 3. 不等式组的解集在数轴上表示为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】， 解①得：x＞-3， 解②得：x≤2， 故不等式的解集为：-3＜x≤2， 在数轴上表示为： 故选C． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解． 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 解：．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； ．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； ．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； ．该图形是不轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：． 5. 已知两圆的圆心距是3，它们的半径分别是方程x2-7x+10=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（　　） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：∵x2-7x+10=0， ∴（x-2）（x-5）=0， 解得：x1=2，x2=5， ∴两圆的半径分别是2，5， ∵3=5-2， ∴这两个圆位置关系是：内切． 故选A． 考点：1.圆与圆的位置关系；2.解一元二次方程-因式分解法． 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得一次函数图象经过的象限以及反比例函数图象所在的象限． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴直线经过第一，二，四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象和系数的关系，解题的关键是判断出a，b，c的符号． 二.填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 把多项式分解因式的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法或公式法求因式分解，掌握提公因式或公式法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为： ． 8. 节约粮食势在必行，据统计，我国每年浪费粮食约是吨，将用科学记数法表示为 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 函数中，自变量x的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式与分式有意义的条件，从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分． 【详解】解：根据题意得到：， 解得． 故答案为：． 10. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集是， 故的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 11. 若关于的方程有实数根，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，一元二次方程有实根的方法即可求解，掌握根与系数的关系求参数的方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故答案为： ． 12. 如图，点均在直线上，点在直线外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为____________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、确定圆的条件，熟练掌握列表法与树状图法、确定圆的条件是解答本题的关键． 根据题意可得出所有等可能的结果以及经过这三个点能够画出圆的结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：从这五个点中随机选择三个点，所有等可能的结果有：，，共10种， 其中经过这三个点能够画出圆的结果有：，)，共6种， ∴经过这三个点能够画出圆的概率为． 故答案为：． 13. 如图，经过的重心，设，，那么可以用向量，表示为：____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据重心是三角形三条中线的交点得到，由此可由求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵经过的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，重心的定义，正确表示出是解题的关键． 14. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为________________（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算．过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正六边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正六边形的一条边，点是正六边形的中心，过作于， 在正六边形中， ，则， ，， ， ∴正六边形的面积为， ， ， 的近似值为， 故选：B． 15. 在中，，是边上的高，且，则的度数是____________． 【答案】30°或60° 【解析】 【分析】分2种情况，①当D在线段AC上时，②当D点在CA延长线上时，根据三角函数可得∠A的度数，再根据等边对等角以及三角形内角和求出∠ACB的度数即可． 【详解】解：①如图1，∵是边上的高, , ∴sin∠A= ∴∠A=60° ∵ ∴∠C=∠ABC= (180°-∠A) ÷2=60° ②如图2，∵是边上的高, , ∴sin∠BAD= ∴∠BAD=60° ∵ ∴∠ABC=∠ACB ∴∠ACB=∠ABC=∠BAD÷2=30° 故答案为：60°或30° 【点睛】本题考查了三角函数和等腰三角形的性质、以及三角形的内角和定理、外角性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 16. 一个封闭平面图形上及其内部任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径的比值称为该图形的“周率”，如果正三角形、正方形和圆的周率依次记为a、b、c，那么将a、b、c从小到大排列为______． 【答案】b＜a＜c 【解析】 【分析】根据“周率”和“直径”的含义求出a、b、c即可作答． 【详解】根据“周率”的含义求出正三角形和正方形的 “周率”，圆的圆周率是c=π， 设正方形的边长为1，则周长为4，正方形的“直径”为，则， 设正三角形的边长为1，则周长为3，正三角形的“直径”为1，则a=3， 则有：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，根据题意求出a、b、c是解答本题的关键． 17. 对于平面直角坐标系中第一象限内的点和．已知，，，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M．N，若中的任意一点满足，，则称四边形是的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例如，就是的某两个覆盖的特征点．若直线的图象上存在覆盖的特征点，则m的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意知，当，时，直线图象上存在覆盖的特征点，则有，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当，时，直线图象上存在覆盖特征点， ∴， 解得： ∴的取值范围为：． 故答案为：．． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．解题的关键与难点在于根据题意列不等式． 18. 如图，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点，我们称：点为正方形的一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．连接、、、，并延长交于点．下列结论中：①；②；③；④；其中正确的结论的序号为______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①连结，根据等腰三角形的性质和正方形的性质证明，从而证明是的切线，再证明、都是的切线，用切线长定理即可证明，所以①正确；②和都是等腰三角形，根据三角形内角和定理可证得（），所以②正确；③设正方形的边长为，连接，过点作于点，于点，根据正切定义可得，用含的代数式表示和，它们均为，所以③正确；④由前面得到的结论，可得，，求得，所以④正确． 【详解】解：①如图，连接，则． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； ∵，， ∴、都是的切线， ∴， ∵， ∴．故①正确； ②∵， ∴，， ∴[]． 故②正确； ③如图，设正方形的边长为，连接、交于点，作于点，于点，则，四边形为矩形． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵是半圆的直径， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∴，整理，得， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 故③正确； ④如图，∵，，， ∴． 故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质、圆的切线的判定、切线长定理、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，设正方形的边长为，将有关线段用含的代数式表示． 三.解答题（满分78分） 19. 先化简，再计算：，其中a是满足条件的合适的非负整数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的运算，化简求值，先通分计算分式的加减，再将除法变为乘法计算并化为最简，最后选择适合的数值代入计算即可． 【详解】解： ． 根据题意可知， ∴a取值2，将代入，原式． 20. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用换元法解方程、解分式方程、解二元一次方程等知识点，掌握用换元法解分式方程是解题的关键． 设，则原方程另一个分式为，可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x，然后检验即可． 【详解】解：设，则 ， ∴原方程变为： ，即：，解得：，． 当时，即 ，解得： ； 当时，即 ，解得： ． 经检验： 都是原方程的解． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，分别连接． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）请直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（）利用一次函数求出点的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （）联立函数解析式，求出点坐标，再由一次函数解析式得出点坐标，根据计算即可求解； （）根据函数图象即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，求出交点的坐标是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵一次函数 经过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数过点， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：联立函数解析式得，， 解得或， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：由图象可得，当或时，． 22. 国际象棋玩过么？国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的随意一个，那么国王从格子走到格子的最少步数就是数学的一种距离，叫“切比雪夫距离”．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“切比雪夫距离”，给出如下定义： 若，则点与的“切比雪夫距离”为； 若，则点与的“切比雪夫距离”为． （1）已知， ①若的坐标为，则点与的“切比雪夫距离”为 ； ②若为轴上的动点，那么点与“切比雪夫距离”的最小值为 ； （2）已知，，设点与的“切比雪夫距离”为，若，求（用含的式子表示）． 【答案】（1）①3②2 （2） 【解析】 【分析】（1）①结合题意，根据“切比雪夫距离”的定义求解即可；②设点，分和两种情况讨论，即可获得答案； （2）结合已知条件，分两种情况讨论：当时，由，，可确定此时点与的“切比雪夫距离”；当时，易得，，令，解得，即当时，点与的“切比雪夫距离”；当时，可有，此时点与的“切比雪夫距离”．即可获得答案． 【小问1详解】 解：①∵，， 又∵，， ∴， ∴根据“切比雪夫距离”的定义，点与的“切比雪夫距离”为3． 故答案为：3； ②若为轴上的动点，则可设点， 当时，， 又∵， ∴， ∴此时点与“切比雪夫距离”的值为； 当时，， 又∵， ∴， ∴此时点与“切比雪夫距离”的值为2． 综上所述，若为轴上的动点，那么点与“切比雪夫距离”的最小值为2． 故答案为：2； 【小问2详解】 根据已知条件，，， 则当时， ， ， ∴此时点与的“切比雪夫距离”； 当时， 可有，， 令，解得， 即当时，可有，此时点与的“切比雪夫距离”， 当时，可有，此时点与的“切比雪夫距离”． 综上所述，点与的“切比雪夫距离”． 【点睛】本题主要考查了新定义“切比雪夫距离”、平面直角坐标系中点的坐标特征、化简绝对值以及一元一次不等式的应用等知识，理解题意，灵活运用相关知识是解题关键． 23. 如图1，在边长为6的正方形中，是边的动点，以为圆心，为半径作圆，与相切于点，连接并延长交于点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，与相交于点，连接并延长交于点，当满足时，试判断与的位置关系并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是的切线，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用圆的切性的性质定理，正方形的性质和全等三角形的判定定理得到，则，再利用全等三角形的判定定理解答即可； （2）利用（1）的结论得到，利用正方形的性质和同圆的半径相等的性质得到，利用全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵与相切于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 是的切线，理由如下： 证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 24. 在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点． （1）请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； （2）如果点在函数的图象上，求点的坐标； （3）将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线； （2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A1的坐标； （3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A2的坐标． 【小问1详解】 解：将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线， 如图： 【小问2详解】 解：由题意，得点的“关联点”为， 由点在抛物线上，可得， ∴， 又在抛物线上， ， 解得． 将代入，得； 【小问3详解】 解：点的“待定关联点”为， ∵在抛物线的图象上， ， ． 又 , 当时，， 故可得． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标． 25. 如图，已知在等腰中，，，，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合） （1）求边BC的长； （2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果，求线段AD的长； （3）过点D作，垂足为E，DE交BF于点Q，连接DF，如果和相似，求线段BD的长． 【答案】（1）10；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】（1）如图作交BC于点H，设BH=x，根据正切可求出AH=2x，再根据勾股定理解出x即可． （2）作交AC于点E，利用三角形面积公式可求出的长，再利用勾股定理可求出，从而得到．再利用和结合边的等量关系得到两个关于未知边的方程组，解出方程组即可． （3）根据题意可证明，所以分两种情况讨论①当DQ=DF时，如图，作交BF于点P，，再反复利用正切函数结合勾股定理求出x的值，最后再利用正切函数即可求出BD的长②当DF=QF时，如图，作 交DQ于点O，同理设，解出x的值，最后再利用正切函数即可求出BD的长． 【详解】（1）如图作交BC于点H，设BH=x， 根据题意，， ∴AH=2x， 在中，， ∴ 解得x=5． ∴BH= 5． 又∵是等腰三角形，即H点为BC中点， ∴BC=2BH=10． （2）根据题意可知，即， ∴， ∴，． 作交AC于点E， ∴，得到：，即． ，得到：． 又∵ ∴， 由 ， 解得，． ∵，是等腰三角形， ∴也是等腰三角形， ∴． （3）∵，， ∴， 又∵， ∴ 当DQ=DF时，如图，作交BF于点P， 设， ∵, ∴， ∴， ∴， ∵， ∵, ∴， ∴， ∵，即 解得x=，经检验是原方程的解，即． ∴ ． 当DF=QF时，如图，作 交DQ于点O， 设， 同理，，， ∵ , ∴， ∴， ∴， 同理∵，即 解得，经检验是原方程的解，． ∴ ． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正切函数，边的等量关系等知识，作出每一个问的辅助线是解答本题的关键，综合性较强，较难．需特别注意最后问的分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$