精品解析：山东省烟台市莱州市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中学业水平检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共6页，共3道大题，28道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共12个小题，下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 是分式 B. 对于任意实数，总有意义 C. 将式子写成分式的形式是 D. 分式的分子为0，则分式的值为0 2. 下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个分式中，为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差，之后小亮进行了补测，成绩为90分．与该班39人的体能测试成绩相比，关于该班40人的体能测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变小 B. 平均分不变，方差变大 C. 平均分变小，方差变小 D. 平均分变小，方差变大 5. 在篮球选修课上，男、女各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人均投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（ ） A. 男生投篮水平比女生投篮水平高 B. 男生、女生投篮命中次数的极差相等 C. 男生、女生投篮命中次数的中位数均为6 D. 男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定 6. 已知一个圆的面积为，则该圆的半径是（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 若多项式可分解为，则的值为（    ） A. B. C. D. 9. 若关于的方程无解，则的值是（ ） A. 2 B. 2或1 C. 2或 D. 10. 某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（ ）． A. 每天比原计划多铺设10米，结果延明15天才完成 B. 每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成 C. 每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成 D. 每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成 11. 如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（　　） A. B. C. D. 12. 观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（ ） A. 1000 B. 998 C. 1 D. 2 二、填空题（本题共8个小题） 13. 已知a、b是的两边，且满足，则的形状是 __________． 14. 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元，某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是______________元． 15. 如图，根据图中给出的数据，判断第一个图形的周长与第二个图形的周长的关系：______．（填“”或“”或“”或“无法判断”） 16. 甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天的工作量是______． 17. 已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为__________． 18. 若，则分式的值是______． 19. 下列几种说法： ①在开机状态下，按键即可进入统计计算状态； ②标准差不可能是0； ③如果一组数据，，…，的方差是5，则另一组数据，，…，的方差是20； ④某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：）如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均分 标准差 甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 601.6 8.11 乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624 599.3 16.86 历届比赛表明，成绩达到就能打破纪录，为了打破纪录，应该选甲参加这项比赛． 以上说法中，正确的个数为______个． 20. 定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差例数，是的差倒数……以此类推，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 21. 按要求计算： （1）利用因式分解进行简便计算：； （2）因式分解：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0）；点A的坐标为（5，2）．如果将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段B，求点的坐标． 23. 解方程： （1）； （2）． 24. （1）式子的值能否为0？为什么？ （2）若，求的值． 25. 某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级成绩的频数分布直方图如图： （数据分成五组：，，．，）； b．七年级成绩在的数据如下（单位：分）：80，85，85，85，85，85，85，85，85，88，89． c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 m n 八年级 83 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 ， ； （2）下列推断合理的是 ； ①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小； ②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩一定超过了该校八年级一半以上学生的成绩． （3）竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数． 26. 小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有20分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟． （1）小刚步行的速度是每分钟多少米？ （2）小刚能否在电影放映前赶到电影院？ 27. 课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … （1）请用“作差法”完成老师提出的问题； （2）比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） （3）解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 28. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释． 学习材料：如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． （1）若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． （2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，请模仿学习材料中的拼图方式，画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． （3）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为______．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中学业水平检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共6页，共3道大题，28道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共12个小题，下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 是分式 B. 对于任意实数，总有意义 C. 将式子写成分式的形式是 D. 分式的分子为0，则分式的值为0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的定义，分式的值，根据与分式相关的概念与性质逐一分析判断即可. 【详解】解：A. 是整式，故不符合题意， B. ∵， ∴对于任意实数，总有意义，故符合题意； C. 将式子写成分式的形式是，故不符合题意； D. 分式的分子为0，分母不为0，则分式的值为0，故不符合题意； 故选：B 2. 下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式的过程．根据因式分解的定义，即可求解． 【详解】解：A、右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D、属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列四个分式中，为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式，判断即可． 【详解】解：A、为最简分式，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：A． 4. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差，之后小亮进行了补测，成绩为90分．与该班39人的体能测试成绩相比，关于该班40人的体能测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变小 B. 平均分不变，方差变大 C. 平均分变小，方差变小 D. 平均分变小，方差变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义，算术平均数．根据平均数，方差的定义计算即可． 【详解】解：小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分， 该班40人的测试成绩的平均分为90分不变， 根据方差的计算公式， ， ， 可得方差变小了， 故选：A． 5. 在篮球选修课上，男、女各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人均投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（ ） A. 男生投篮水平比女生投篮水平高 B. 男生、女生投篮命中次数的极差相等 C. 男生、女生投篮命中次数的中位数均为6 D. 男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出男生、女生投篮命中次数的平均数、方差、中位数、极差，再逐项判断即可得． 【详解】解：男生投篮命中次数按从小到大进行排列为， 女生投篮命中次数按从小到大进行排列为， 则男生投篮命中次数的平均数为， 男生投篮命中次数的方差为， 女生投篮命中次数的平均数为， 女生投篮命中次数的方差为， 男生投篮命中次数的极差为，女生投篮命中次数的极差为， 所以选项B说法错误； 男生投篮命中次数的中位数为5，女生投篮命中次数的中位数为5， 所以选项C说法错误； 由平均数相等可知男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定，故选项A说法错误，选项D说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数、方差、中位数、极差，熟记各量的定义、计算公式、意义是解题关键． 6. 已知一个圆的面积为，则该圆的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据提公因式法及公式法将原式变形求解即可． 【详解】解：， ∴圆的半径是， 故选：A． 【点睛】题目主要考查提公因式法及公式法分解因式的应用，理解题意，熟练掌握因式分解方法是解题关键． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算．先运算乘方，然后把除法转化为乘法，再约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 8. 若多项式可分解为，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：． 【详解】解：多项式可分解为， ． ． ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键 9. 若关于的方程无解，则的值是（ ） A. 2 B. 2或1 C. 2或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：方程去分母得：， 整理得：， 当时，整式方程无解，所以原分式方程无解， 或当时分母为0，方程无解， 即，， 综上可知或1时方程无解． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容． 10. 某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（ ）． A. 每天比原计划多铺设10米，结果延明15天才完成 B. 每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成 C. 每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成 D. 每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成 【答案】C 【解析】 【分析】根据每个分式表示的含义，进行判断即可． 【详解】解：∵实际每天铺设管x米， ∴表示原计划每天铺设管道的长度， 即：每天比原计划多铺设10米， 方程表示：原计划的所用天数减去实际所用天数等于15，即：结果提前15天完成； 故选C． 【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解每个分式表示的含义，是解题的关键． 11. 如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出，，由等腰三角形三线合一性质得出，再求出的度数即可． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角度数是． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和旋转的性质．求出是解题的关键． 12. 观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（ ） A. 1000 B. 998 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，已知等式左边利用裂项求和变形，然后解方程求出的值． 【详解】解：已知等式整理得： ， ∴ 去分母得： 解得： 经检验：是分式方程的解. 故选: B． 二、填空题（本题共8个小题） 13. 已知a、b是的两边，且满足，则的形状是 __________． 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】依据题意，由得，再进行适当变形得，结合三角形两边之和大于第三边，有，从而可以得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 14. 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元，某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是______________元． 【答案】2.25 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得结果． 【详解】解：这天销售的矿泉水的平均单价是： （元）． 故答案为：2.25． 【点睛】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 15. 如图，根据图中给出的数据，判断第一个图形的周长与第二个图形的周长的关系：______．（填“”或“”或“”或“无法判断”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，正确列出关于两个图形周长的代数式是解题的关键．如图所示，设凹槽的深度为a，分别求出两个图形的周长，然后比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设凹槽的深度为a， 由题意得，第一个图形的周长， 第二个图形的周长， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天的工作量是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式中的分式，分式的加法运算，根据两队的工作时间可得每天的工作效率，再列式计算即可. 【详解】解：∵甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程， ∴乙工程队完成一项工程需天， ∴两队共同工作一天的工作量是：， 故答案为： 17. 已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为__________． 【答案】m＞1且m≠2． 【解析】 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围． 【详解】原方程整理得：2x-m=x-1 解得：x=m-1 因为x＞0，所以m-1＞0，即m＞1．① 又因为原式是分式方程，所以，x≠1，即m-1≠1，所以m≠2．② 由①②可得，则m的取值范围为m＞1且m≠2． 故答案为：m＞1且m≠2． 【点睛】考核知识点：解分式方程.去分母，分母不等于0是注意点. 18. 若，则分式的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，由，根据完全平方公式得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 19. 下列几种说法： ①在开机状态下，按键即可进入统计计算状态； ②标准差不可能是0； ③如果一组数据，，…，的方差是5，则另一组数据，，…，的方差是20； ④某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：）如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均分 标准差 甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 601.6 8.11 乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624 599.3 16.86 历届比赛表明，成绩达到就能打破纪录，为了打破纪录，应该选甲参加这项比赛． 以上说法中，正确的个数为______个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查科学计算器的使用、方差、标准差的相关知识，熟知相关知识及计算器的使用是正确解决本题的关键． 按科学计算器的使用方法及方差、标准差的概念、计算方法逐一判断各说法即可． 【详解】解：①在开机状态下，按键即可进入统计计算状态是正确的； ②当各个数据相等时，标准差是0，此说法错误； ③如果一组数据，，…，的方差是5，则另一组数据，，…，的方差是，此说法正确； ④从两名跳远运动员10次的成绩来看，乙运动员成绩达到的次数多于甲运动员，成绩也比甲运动员高，更有可能打破纪录，应该选乙参加这项比赛．此说法不正确． 因此正确的说法有两个， 故答案为：2. 20. 定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差例数，是的差倒数……以此类推，则________． 【答案】 【解析】 【分析】依次求出，，，，发现规律即可解决问题．本题考查数字变化的规律，能通过计算发现这列数按循环出现是解题的关键． 【详解】解：由题知， ∵， ∴， 则， 则， ∴， 则， 则， ， 依次类推，这列数按循环出现， 又因为余2， 所以． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 21. 按要求计算： （1）利用因式分解进行简便计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解及因式分解的应用，掌握公式法分解因式是关键； （1）把原式化为，再利用完全平方公式进行简便计算即可； （2）先变形，再提公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 22. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0）；点A的坐标为（5，2）．如果将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段B，求点的坐标． 【答案】（3,-4）． 【解析】 【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点 作 轴于点D，可证得 ，从而得到 ， ，再由点B的坐标是（1，0）；点A的坐标为（5，2），可得到,OD=OB+BD=3,即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点 作 轴于点D， ∴∠ACB=∠ =90°， ∴∠A+∠ABC=90°， ∵线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段B， ∴∠ =90°， ， ∴∠ABC+ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ， ∵点B的坐标是（1，0）；点A的坐标为（5，2）， ∴OB=1，AC=2，OC=5， ∴BD=AC=2，BC=OC-OB=4， ∴,OD=OB+BD=3, ∵点在第四象限内， ∴点的坐标为（3,-4）． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的变换——旋转，全等三角形的判定和性质，根据题意，找到全等三角形是解题的关键． 23. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解分式方程的步骤是解本题的关键； （1）先把方程整理为：，再去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可； （2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. 【小问1详解】 解：， 原方程变形得：， 方程两边都乘得：， 解这个方程，得：， 检验：将代入原方程两边， 左边，右边， 左边右边， 是原方程的根. 【小问2详解】 解：， 原方程变形得：， 方程两边都乘得：， 解这个方程，得：， 检验：当时，原方程中分式和的分母的值为零， 是原方程的增根，应舍去， 因此，原方程无解. 24. （1）式子的值能否为0？为什么？ （2）若，求的值． 【答案】 （1）式子的值不能为0，理由如下： 原式 ， 若原分式的值为0，则，且， ， 只有当时，，而此时，原分式没有意义， 式子的值不能为0； （2） 【解析】 【分析】此题考查了分式的加减法，代数式化简求值． （1）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算得到最简结果，判断即可； （2）先将原式化简，再将两边同时乘以后得，，进而得，再将入化简后的原式即可得出答案． 【详解】解：（1）略 （2） ， ， 原式． 25. 某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级成绩的频数分布直方图如图： （数据分成五组：，，．，）； b．七年级成绩在的数据如下（单位：分）：80，85，85，85，85，85，85，85，85，88，89． c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 m n 八年级 83 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 ， ； （2）下列推断合理的是 ； ①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小； ②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩一定超过了该校八年级一半以上学生的成绩． （3）竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数． 【答案】（1）85；85 （2）① （3）估计七年级成绩优秀的学生人数大约为340名 【解析】 【分析】本题主要考查频率分布直方图，用样本估计整体，准确理解题目的信息是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义进行求解即可； （2）根据题意中获取的信息进行判断即可； （3）用样本估计整体进行计算． 【小问1详解】 解：把七年级30个学生的成绩从小到大排列，排在第15和第16个数分别是85，85，故中位数； 七年级30个学生的成绩中出现次数最多的是85，故众数. 故答案为：85；85； 【小问2详解】 解：由题意可知，样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小，故①说法正确； 若八年级小明同学的成绩是84分，高于八年级成绩的中位数，所以能推断他的成绩成绩高于八年级一半或者一半以上，故②说法错误； 故答案为：①； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计七年级成绩优秀的学生人数大约为340名． 26. 小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有20分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟． （1）小刚步行的速度是每分钟多少米？ （2）小刚能否在电影放映前赶到电影院？ 【答案】（1）小刚步行的速度是每分钟80米； （2）小刚不能在电影放映前赶到电影院． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设小刚步行的速度是每分钟米，则小刚骑自行车的速度是每分钟米，利用时间路程速度，结合小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用时间路程速度，结合在家拿钱包用了2分钟，可求出小刚回到电影院所需时间，再将其与20分钟比较后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设小刚步行的速度是每分钟米，则小刚骑自行车的速度是每分钟米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴小刚步行的速度是每分钟80米． 【小问2详解】 解：小刚不能在电影放映前赶到电影院，理由如下： 根据题意小刚回到电影院所需时间为（分钟）， ， 小刚不能在电影放映前赶到电影院． 27. 课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … （1）请用“作差法”完成老师提出的问题； （2）比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） （3）解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 【答案】（1） （2）< （3） 解：由题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为． ， 又， ， ， ， ∴在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，，又，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）当时，从而可得，从而可以得解； （3）依据题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为，进而可得，再结合，可得0，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意得， ， 又， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 由题意，结合（1）当时， ， 故答案为：． 【小问3详解】 略 28. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释． 学习材料：如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． （1）若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． （2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，请模仿学习材料中的拼图方式，画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． （3）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为______．（直接写出结果） 【答案】（1）①③④⑤； （2） 由题意可得，图形如图所示， ； （3）9或21或12 【解析】 【分析】本题考查整式乘法，因式分解与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． （1）根据图形表示出两个正方形边长与a、b的关系、，结合面积加减计算逐个判断即可； （2）根据整式得到三个大正方形、两个小正方形、五个长方形，然后画出图形即可解答； （3）根据因式分解的结果再展开求解即可解答． 【小问1详解】 解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 综上：的值为：9或21或12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $