2024年浙江宁波效实中学强基招生九年级数学试卷

2024年浙江省宁波市效实中学强基招生数学试卷 一、填空题（每空4分） 4分)已知是关于x的方程2~m-1=0的根，当a=号时，0同 X01 = 2.(8分)已知实数a,b,c满足2+b2+c2=1,则ab+bc+ca的最小值为 此时 a+b2tab= 3.(8分)对实数m,m定义运算“⑧为m@n=mmm.已知关于的方程8(8x)=子若该 方程有两个相等的实数根，则实数a的值是 ：若该方程有两个不等负根，则实数a的取值范围 是 4.(4分)如图，AB是半圆O的直径，弦AD,BC相交于点P,∠DPB=60°，D是BC的中点，则AC AB 5.(4分)记Ag1-x)(1-y2,若a+bc=ac,则A=Aab+An+A如= 立 6.(4分)若一条直线过△ABC的内心，且平分△MBC的周长，则该直线分△4BC所成的两个图形的面积 之比为 7.(4分)如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙.在00个小伙子中，如果某人 不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有 人 8.(4分)如果直角三角形的三边都是200以内的正整数，且较长的两边长相差1，那么这样的直角三角 形有个。 9.(4分)用S(n)表示自然数n的数字和，例如：S(10)=1+0=1,S(909)=9+0+9=18.若对任意 自然数n,都有叶S()≠x,则满足这个条件的最大的两位整数x的值是， 10.(8分)把一副扑克牌从上到下按照大王、小王、黑桃A、红桃A、方块A、梅花A、黑桃2、红桃2、 方块2、梅花2，·、黑桃K、红桃K、方块K、梅花K的顺序依次叠成一叠，然后执行步骤①：把整 叠牌最上面一张丢掉，再执行步骤②：把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面，再执行步骤①，再 第1页（共10页） 执行步骤②，…，步骤①和步骤②依次执行直至整叠牌只剩下一张，则最后剩下的这张牌 是 11.(4分)若实数a,b满足ab=2Va-b,则a的取值范围为 12.(4分)已知f(x)=a2-1(xER),若关于x的方程f(x)=x与f(f(x)=x都有解，且两个方程 的解完全相同，则实数a的取值范围是 二、解答题（每题15分） 13.(15分)已知函数f(x)=-2x2+br+c在x=1时有最大值1. (1)求实数b,c的值： (2)设0<m<m,若当m≤x≤n时，f(x)的最小值为上，最大值为上，求m,n的值. n I4.(I5分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，K为AD上一点，连结BK并延长交AC于E,连 结CK并延长交AB于F.求证：∠ADE=∠ADF. B D 15.(15分)设a>b>c>0,已知关于a的方程x2。(a+b+c)x+ab+bc+ca=0. (1)若方程有实根，求证：a,b,c不能成为一个三角形的三条边长： (2)若方程有实根0，求证：b+c<0<a: (3)当方程的两个实根分别为6,9时，求正整数a,b,c的值 16.(15分)如果有理数m可以表示成2x2-6+52(其中x、y是任意有理数)的形式，我们就称m为 “世博数”， (1)两个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗？为什么？ (2)证明：两个“世博数”a、b(b≠0)之商也是“世博数”. 第2页（共10页） 2024年浙江省宁波市效实中学强基招生数学试卷 一、填空题（每空4分） 1.【解答】解：当a=-3时，方程为24+3-1=0， 2 整理得：2r2+3x-2=0, 则(x+2)(2x-1)=0, ..x+2=0,2r-1=0, ∴x=-2,x=0.5,即x0=-2或x0=05, 当0=2时，=(-2)3 =-8+1=.63 (-2)3 8 8 x1=05.17=1-8=-63 当0=0.5时，x03 0.538 8 x31气的值为-63 03 0 8 故答案为：-2或05，-63 2.【解答】解：：a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2≥0， i.ab+bctca≥a4e2)=合 当且仅当a+b+c=0时取等号， 的最小值为：受 此时c=·(a+b),则： c2=(-1)2×(a+b)2=a2+2ab+b2, .a2+b2+c2=a2+b2+a2+2ab+b2=1, 故省案为一子分 3.【解答】解：，m⑧n=m+n, ∴x⑧(a⑧r)=x(a+x)+(ar+x)=(at1)x2+(a+1)x, 又：x8(a@r=是 第3页（共10页） (aD4(aD+是0， 即4(a+1)2+4(a-1)x+1=0, 若该方程有两个相等的实数根， 则 [4(a+1)≠0 16(a+1)2-16(a+1)=0 解得a=0: 4(a+1)≠0 若该方程有两个不等负根，则 16(a+1)2-16(a+1)>0 1 4(a+>0 解得a>0. 故答案为：0，a>0. 4.【解答】解：，AB是半圆O的直径， ∠ACB=90°， :∠DPB=60°， .∠APC=∠DPB=60°， ∴.∠CAD=90°-∠APC=30°， ,D是BC的中点， .BD-CD. ∴.∠BAD=∠CAD=30°， .∠BAC=∠CADH∠B.AD=60°， .∠ABC=90°-∠BAC=30°， ..AC=1 AB 2 故等案为受 5.【解答】解：根据题意，可知a、b、c均不为0， “A-x3)(1-y xy .A=Aab+Abc+Aca =1-a2)(1-b21-b2)(1-c21-c2)(1-a3 ab bc ac 第4页（共10页） =1-a2-b2+a2b21-c2-b2+b2c2-c2-a2-c2a2 ab bc ac '.'a+b+c=abc, d-c-a2c-b2cta2b2c,a-e2a-b2atb2c2a,b-e2p-apte2a2p abc abc abc -c-a2c-b2cta2b2cta-c2a-b2atb2c2atb-c2b-a2b+c2a2p abc (atb+c)-a2c-b2ctab (a+btc)-c2a-b2atbc (a+btc)-c2b-a2b+ca (atbtc) abc =abc-a2c-b2cta2btab2tabc-c2a-b2atabc+b2c+bc2-c2b-a2btca2tabc+c2a abc _4abc abc =4. 故答案为：4. 6.【解答】解：通过图可看到，过内心O的直线m将△4BC的周长平分. 段△4BC的周长为a,内切圆半径为人则左边部分的面积为号X一ar。 2 4 同理右边部分的面积也为上a, 4 ∴，该直线分成的两个图形的面积相等， 该直线分△ABC所成的两个图形的面积之比为1：1， 故答案为：1：1. m F B 7.【解答】解：取100个小伙子为这样一种特殊情况，他们的身高与体重互不相等，并且最高者同时也就 是最轻者，次高者同时也就是次轻者， 第k高者同时也就是第k轻者(k=1,2,,100), 显然这100个小伙子都是棒小伙子 故答案为：100. 8.【解答】解：设该直角三角形三边长为x、少+1，其中x≤<200，由勾股定理得： x2+2=(+1)2, 第5页（共10页） .x2=241, 显然2+1为大于1且小于401的奇数， x为大于1小于20的奇数， x=3,5,7,9,11,13,15,17,19,即满足题意的直角三角形有9个. 故答案为：9. 9.【解答】解：因为90+S(90)=99,89+S(89)=106,88+S(88)=104, 87+S(87)=102,86+S(86)=100,85+S(85)=98,84+S(84)=96, 83+5(83)=94,82+5(82)=92,81+5(81)=90,80+5(80)=88, 当n<80且n为自然数时，+S(n)≤79+7+9=95， 当n>90且n为自然数时，+S(n)>99, 所以若对任意自然数n,都有+S(n)≠x, 则满足这个条件的最大的两位整数x的值为97. 故答案为：97. 10.【解答】解：不妨将54张牌按照上述顺序依次标号为1,2,3，…，54， 1、对于任意2”张牌经过题中步骤不断操作，最后剩下的一定是第2”张牌： 2、每一次（两次步骤为一次）操作结束都可以看作下一轮新的开始： 3、比54小的最大的2的幂次方是32,54-32=22，第一轮先丢掉22张牌，即此时放到牌堆最底下的 是原第44张牌红桃J,牌堆剩下32张牌，经过题中步骤最后留下的就是红桃J 故答案为：红桃J 方法二：1、对于任意2”张牌经过题中步骤不断操作，最后剩下的一定是第2”张牌： 2、每一次（两次步骤为一次）操作结束都可以看作下一轮新的开始： 3、比54小的最大的2的幂次方是32,54-32=22，第一轮先丢掉22张牌，即此时放到牌堆最底下的 是原第44张牌红桃J,牌堆剩下32张牌，经过题中步骤最后留下的就是红桃J. 故答案为：红桃J 11.【解答】解：由题意易知 a+b0 a-b>0 所以a≥0， ①显然a=0时，b=0, ②当a>0时，不妨设b=a, 此时 ab=(1t)a20-1<t<1 a-b=(1-t)a>0 第6页（共10页）】 则(1+)a=2N(1-t)a=(1+t)2a=4(1-D, 若=1，则a-b=0,则a=b=0,不符合题意， 若1=-1，则a+b=0,则a=-b=0,也不符合题意， 所以-1<1<1， 9品4六号 即14(1-t28-4(1t)。8 易知1<1<1时，0<1+t<2→号<1 21+t 令 1 则a8()2分 由二次函数的性质可知 >8×号骨2号0 综上，a的取值范围为0，+∞). 故答案为：0，+∞). 12.【解答】解：f(x)=x, ∴.ar2-x-1=0, f(f(x))=x, ∴.a(ar2-1)2-x-1=0 即ax4-2a2x2-x+a-1=0, ∴.(ar2-x-1)(a22+ar-at1)=0, 由题意可知a2-x-1=0有实根， ①当a=0时，有∫(x)=-1,即x=·1 令∫(f(x)=x,即f(-1)=·1=x,符合要求： ②当a≠0时，f(x)=x有解， 则△=1+4a≥0， 解得a>子 要满足题意，此时2x2+ar-a+1=0要么没有实根，要么实根是方程ar2-x-1=0的根， 若a2x2+am-a+1=0没有实根， 则△=2-42(1-a)<0, 解得á<叠 第7页（共10页） 若a2x2+ar-a+1=0有实根且实根是方程ax2-x-1=0的根， 则由方程ar2-x-1=0,得a22=ar+a, 代入a2x2+ar-a+1=0,有2ar+1=0, 解释x合 再代入得上+分-1=0， a4 统上所述，▣的取值范围是子<a<受 故答案为：女<是 二、解答题（每题15分） 13.【解答】解：(1)x=1时函数有最大值， x= b 2x(-2)=1, .b=4, 又x=1时有最大值1，代入得-2+4+c=1, c=-1, 故b=4,c=-1. (2)f(x)=-2x2+4x-1=-2(x-1)2+1, f(x)≤1 又0<m< 1≤1 m ∴.m≥1. ,m≤x≤n, (m)=-2(m-1)2+1= m f(m)=-2(n-1)2+1= n m、n是关于x的方程-2x-1)241=上的两个根， .(x-1)(2x2-2x-1)=0, ∴x=1或1W3或1-VE 2 2 第8页（共10页） 1≤m<n, 六m=1,n=1E 2 14.【解答】证明：如图，过A作BC的平行线GH,分别交CF、DF、DE、BE的延长线于点G、M、N、 H. H :GH∥BC, :AM想AG BD FB BC ∴AM=BDAG BC AN AE A出 CD EC BC ∴AN=CDAH BC .AML BD-AG ANCD·AH A坦KAAG BD KD CD ∴.BDAG=CDAH, : M ∴AM=AN, ,AD⊥BC,点M、N在直线GH上， .MN∥BC AD⊥AM, ∴.∠MAD=∠NAD=90°，又AD=AD, ,.△ADM≌△ADN(SAS), ∴.∠ADN=∠ADM,即∠ADE=∠ADF. 15.【解答】解：(1)由方程有实根得，△=(a+b+c)2-4(ab+bc+ca)≥0即0≤a2+b2+c2-2ab-2bc- 2ca=a (a-b-c)-b (atc-b)-c(atb-c)<a (a-b-c), 第9页（共10页） 由a>0,得a-b-c>0,即a>b+c.所以，a,b,c不能成为一个三角形的三边.(2)设f(x)=x2- (arb+c)x+ab+bc+ca,则f(btc)=bc>0,f(a)=bc>0,且f(atb+c)<0由(1)知b+c<a地+c 2 3 <a,所以二次方程的实根x0都在b+c与a之间，即a>0>b+c.(3)由根与系数关系有a+b+c=I5, ab+bc+ca=54,得a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=225-108=117<112. 由(2)知a>9,故得92<a2<112, a=10. ..b+c=5,bc=4, 由b>c 解得b=4,c=1,∴.a=10,b=4,c=1. 16.【解答】解：：m=2x2-6g叶52=(x-2y)2+(x-y)2,其中x、y是有理数， ∴.“世博数”m=p2+g2(其中p、q是任意有理数)，只须p=x-2妙，q=x·y即可.(3分) ∴对于任意的两个两个“世博数”a、b,不妨设a=2+2,b=2+s2,其中了、k、八、s为任意给定的有 理数，(3分)则 (1)ab=(了2+2)(2+2)=()2+(s-k)2是“世博数”(3分) 2是+k252+k3)2 2(3分) b r2+s2 (r2+832 _(jrtks)2+(js-kr)2 2足得2学等e是6 (r2+g2)22+6 第10页（共10页）