5.3 导数的应用（4种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

5.3 导数的应用（4种题型基础练+能力提升练） 1． 利用导数研究函数单调性的定义（共6题） 1．已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．已知的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能是（    ） A．B．C．D． 3．函数在区间上单调递增，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、解答题 4．设函数，其中．讨论的单调性． 5．已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 6．设函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 2． 利用导数求函数的极值（共7小题） 一、单选题 1．如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．函数的极大值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 3．若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数有极值点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．函数在上有且仅有2个极小值点，且最多有5个零点，则正整数的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、解答题 7．已知函数． (1)若，求在处的切线方程． (2)当时，证明：有两个不同的极值点． (3)讨论的单调性． 3． 利用导数求函数最值（共6小题） 一、单选题 1．函数在上的最大值是（    ） A． B．0 C． D． 2．函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（    ）． A．14 B．16 C．18 D．20 3．若曲线的一条切线为，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 4．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 三、解答题 5．已知函数且在处取得极值. (1)求a，b的值； (2)求函数在的最大值与最小值. 6．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 四 利用导数研究二次函数（共4小题） 二、多选题 1．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．存在a使得是函数的极值点 B．当时，存在两个极值点 C．“”是“为减函数”的充要条件 D．存在a使得函数有且仅有两个零点 2．已知，则下列结论正确的是（    ） A．若在上单调递增，则的取值范围是 B．当且时， C．若过点可作出曲线 的三条切线，则的取值范围是 D．若存在极值点，且，其中，则 三、解答题 3．已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. (1)求的解析式； (2)已知，讨论在区间上的最值. 4．已知函数，其中． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，函数在区间上的最小值． 一．选择题（共6小题） 一、单选题 1．若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数是奇函数，函数是偶函数，且当时，，，则时，以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若函数在时取得极小值，则的极大值为（    ） A． B．1 C． D． 5．若函数在区间上有唯一极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．设函数，在上的导数存在，且，则当时（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．在单调递增 B．在处取得极小值 C．在恒成立 D．在处的切线斜率为 三、填空题 9．关于的方程有两个不同实数根，则的取值范围是 ． 10．设.若是函数的极大值点，则 . 四、解答题 11．已知. (1)求函数的导数； (2)求函数的单调区间和极值. 12．已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性． 13．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若函数在内存在极值，求实数的取值范围； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3 导数的应用（4种题型基础练+能力提升练） 1． 利用导数研究函数单调性的定义（共6题） 1．已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据导数为负即可求解.【详解】的定义域为， ，令，解得，故的单调递减区间为，故选：B 2．已知的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据导数正负与函数的单调性的关系即可得解. 【详解】由题意可知，当和时，导函数，函数单调递减； 当时，导函数，函数单调递增，故选项D正确.故选：D. 3．函数在区间上单调递增，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数在恒成立可得． 【详解】在时恒成立，所以，则的取值范围为， 故选：B． 二、解答题 4．设函数，其中．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【详解】的定义域是， 若，，函数在上单调递增， 当时，， 令，解得或，若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． 5．已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 【答案】(1)(2)答案见解析. 【分析】（1）求导，可得结果； 【详解】（1） ． （2）由题， 由于，的解为． ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间，上，，在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减； ③当，即时，在区间，上，， 在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减． 故当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在，上单调递增；在上单调递减． 6．设函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，写出方程即可. （2）含参讨论函数单调性即可. 【详解】（1）当时，，故， 此时函数在处的切线方程为：. （2）由题意，的定义域为， ， 则当时，单调递增；当时，单调递减. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 2． 利用导数求函数的极值（共7小题） 一、单选题 1．如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题，，则， 作出与直线平行的函数的所有切线，如图， 各切线与函数的切点的横坐标依次为，则在，处的导数都等于， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减，因此函数有三个极大值点，有两个极小值点.故选：D. 2．函数的极大值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】D 【分析】求函数的导数，求解以及，得到函数的单调区间，判断极大值点代入，从而求出极大值. 【详解】解：， 令，则，令，则或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值. 故选：D 3．若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的极小值点求出，进而求出极大值. 【详解】函数，求导得， 由是的极小值点，得，解得或， 当时，，当时，；当时，， 则是的极大值点，不符合题意； 当时，，当时，；当时，， 则是的极小值点，符合题意，，又当时，， 所以函数在处取得极大值. 故选：D 4．已知函数有极值点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求函数的导数，转化为导函数有大于1的变号零点，即可求解. 【详解】，， 即有实数根，因为函数的对称轴为， 所以函数在区间有零点，只需满足，得. 故选：B 5．已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据极值点定义或举例判断和为函数的极值点之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】根据极值点的定义，是函数的一个极值点可得， 但是时，不一定是函数的一个极值点， 比如，，满足，但在R上单调递增， 即不是函数的极值点， 故“”是“是函数的一个极值点”的必要不充分条件， 故选：B 6．函数在上有且仅有2个极小值点，且最多有5个零点，则正整数的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】令，根据题意结合正弦函数的性质可得，求解即可. 【详解】令，因为，所以， 所以在上有且仅有2个极小值点，且最多有5个零点， 所以，解得，故正整数的最大值为5， 故选：C 二、解答题 7．已知函数． (1)若，求在处的切线方程． (2)当时，证明：有两个不同的极值点． (3)讨论的单调性． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)答案见解析. 【详解】（1）由题设，则， 所以，，故切线方程为， 整理得. （2）由题设，则， 由函数定义域为，则时，或时， 所以上单调递减，上单调递增， 显然有两个不同的极值点，分别为和，得证. （3）由题设，且， 当时，，故时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，时，或时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，即在上单调递减； 当时，时，或时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 3． 利用导数求函数最值（共6小题） 一、单选题 1．函数在上的最大值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【详解】由题， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以.故选：B. 2．函数在区间上的最大值、最小值分别为，则（    ）． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【详解】因为，函数极值点可能为，又， 而，，，所以，， 所以，故选：D． 3．若曲线的一条切线为，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】设切点，因为，所以，切线方程为， 整理得，所以， 设得， 又因为时，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以.故选：B. 二、多选题 4．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 【答案】ACD 【详解】函数，． 由，得或，此时函数单调递增； 由，得，此时函数单调递减，C正确； 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，A正确； 当时，单调递增，它的最大值为， 最小值为，B错误； ，，它在点处的切线方程为，D正确．故选：ACD. 三、解答题 5．已知函数且在处取得极值. (1)求a，b的值； (2)求函数在的最大值与最小值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）， 依题意，解得. ， 所以在区间上递增； 在区间上递减. 所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意. （2）， ， 由（1）知，在区间上的最大值为，最小值为. 6．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当时，，，则，则，所以所求切线方程为，即. （2）由，即，， 整理得，，即不等式对于恒成立， 设，， 则，当时，，，则； 当时，，，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，则，即实数的取值范围为. 四 利用导数研究二次函数（共4小题） 二、多选题 1．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．存在a使得是函数的极值点 B．当时，存在两个极值点 C．“”是“为减函数”的充要条件 D．存在a使得函数有且仅有两个零点 【答案】BC 【详解】由题可知函数的定义域为，， 对于A选项，若是函数的一个极值点，有，可得，与矛盾，故A选项错误；当时，，记一元二次方程的两个根分别为，，有，，可得， 可得函数的减区间为，增区间为， 有，此时函数没有零点； 当时，，可得，此时函数单调递减， 由可得，所以，故C正确；可得此时函数最多只有一个零点； 当时，，有，，可得，可得函数的减区间为，，增区间为， 故存在两个极值点，故B正确； 且有，， 令，有，令可得， 故函数的减区间为，增区间为，有．故有，可得此时函数最多只有一个零点，由上知D错误． 故选：BC． 2．已知，则下列结论正确的是（    ） A．若在上单调递增，则的取值范围是 B．当且时， C．若过点可作出曲线 的三条切线，则的取值范围是 D．若存在极值点，且，其中，则 【答案】BCD 【详解】对于A，由题意，恒成立，分离参数得恒成立， ，所以，A选项错误； 对于B，当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增； 由得，所以，故选项B正确； 对于C，因为， 所以 所以设切点为则切线的斜率化简得 由条件可知该方程有三个实根，所以有三个实根， 记，解得或， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，当时， 因为过点可作曲线的三条切线，所以，解得， 故选项C正确； 对于D，，则 由题意即 由所以 令则由所以则 整理化简得，又 所以，又所以 所以，故选项D 正确. 三、解答题 3．已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. (1)求的解析式； (2)已知，讨论在区间上的最值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由已知两点坐标得到对称轴，即知道顶点坐标，将二次函数设为顶点式，代入一个点坐标求出的值，即可得到的解析式； （2）由二次函数的单调区，讨论不同的取值范围内，得到在区间上的最值. 【详解】（1）因为图象经过两点，且纵坐标相等， 所以的对称轴为，即的顶点为， 设二次函数的顶点式为， 因为，所以， 所以. （2）当时，在上单调递减， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且 所以，； 综上所述：当时，，； 当时，，； 当时，，； 4．已知函数，其中． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，函数在区间上的最小值． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）当时，求，令，，求解即可； （2）先求，令，在定义域内解得，讨论的取值范围，通过判断函数在的单调性，即可求得最小值. 【详解】（1）当时，，， ， 因为，， 所以当时，解得， 当时，解得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）函数的定义域为， ，， 令，得或（舍）， 当，即时， 当时，，则在上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为， 当，即时， 当时，，则在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为， 当，即时， 当时，，则在上单调递减， 所以函数在区间上的最小值为， 综上. 一．选择题（共6小题） 一、单选题 1．若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果. 【详解】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 2．已知函数是奇函数，函数是偶函数，且当时，，，则时，以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是奇函数，所以函数在对称区间上单调性相同， 又当时，；所以当时，； 因为函数是偶函数，所以函数在对称区间上单调性相反； 又当时，；所以当时，； 而当时，，故A错； 由，则，又，所以，故B对； 异号，所以，，故CD错；故选：B 3．若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】由题设，显然，由， 即，即， 设，，则， 而，则函数在上单调递减，所以， 即在上恒成立，即在上恒成立， 设，，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，又，所以a的取值范围是.故选：B. 4．若函数在时取得极小值，则的极大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由函数，求导可得， 由题意可得，则，解得， 所以，则， ，令，解得或， 可得下表： 极大值 极小值 则函数的极大值为. 故选：D. 5．若函数在区间上有唯一极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数，求导可得， 由题意可得方程在区间上存在唯一解， 由方程，解得，由题意取原点附近相邻的两个解， 即当时，；当时，， ①令，解得；②令，无解.故选：B 6．已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由导数确定单调性，将已知不等式转化为关于不等式，然后利用单调性即可求解． 【详解】设，则 ， 因为，，所以，可得在上单调递减， 不等式，即，即，所以， 因为在上单调递减，所以，解得：， 所以不等式的解集为：， 故选：D 二、多选题 7．设函数，在上的导数存在，且，则当时（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递增，从而得以判断. 【详解】对于AB，不妨设，，则，，满足题意， 若，则，故A错误(排除)， 若，则，故B错误(排除)； 对于CD，因为，在上的导函数存在，且， 令，则，所以在上单调递增， 因为，即，所以， 由得， 则，故C正确； 由得，则，故D正确.故选：CD. 8．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．在单调递增 B．在处取得极小值 C．在恒成立 D．在处的切线斜率为 【答案】BC 【详解】由已知，定义域为，. 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以在上单调递增. 又因为，所以当时，，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增，故A项错误； 所以，在处取得极小值，也是最小值，所以在恒成立，故B、C项正确； 因为，根据导数的几何意义有，在处的切线斜率为，故D项错误. 故选：BC. 三、填空题 9．关于的方程有两个不同实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由方程解的问题转化为零点问题，再进行参数的讨论求解即可. 【详解】令，， 因为有两个不同实数根，所以有两个不同的零点， 若，恒成立，所以在上单调递增，不可能有两个零点. 若，令，则，所以，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为有两个零点，所以，解得，所以. 故答案为： 10．设.若是函数的极大值点，则 . 【答案】 【详解】由题意得，， 因为是函数的极大值点，所以有， 解得或. 又当时，， 或， ， 故函数在和递增，在递减， 此时是函数的极小值点，不符题意；而当时，， 或， ， 故函数在和递增，在递减，此时是函数的极大值点.故答案为：. 四、解答题 11．已知. (1)求函数的导数； (2)求函数的单调区间和极值. 【答案】(1) 【详解】（1）因为，所以. （2）因为,所以, 令,可得或, 当变化时,的变化情况如下表, 正 0 负 0 正 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的单调递增区间为和,单调递减区间为,函数的极大值为,极小值为. 12．已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1)(2)在上单调递增，在上单调递减. 【详解】（1）由题意， 在中，， 中，当时， ，， 中，，∴曲线在点处切线的斜率为 （2）由题意及（1）得， 在中，， 当时， ， ∴即，此时， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴函数在上单调递增，在上单调递减. 13．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若函数在内存在极值，求实数的取值范围； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为， 所以， 因为曲线在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以； （2）由（1）可知， 因为函数在内存在极值， 所以在内有变号根， 因为，所以在内有变号根， 令，， 所以，由，得， 所以当时，，单调递减， 且，， 要使在内有变号根，即在内有变号零点， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为； （3）若对任意的实数，恒成立， 则，即在上恒成立， 设，， 所以， 设，则， 因为，所以，单调递增， 所以，所以，所以单调递增， 所以， 所以，实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$