广西南宁市第三中学、柳州高中2024-2025学年高二上学期联考（三）数学试卷

高二月考（三） 数学试题 第 1页 共 4页 南宁三中 2024~2025学年度上学期 2026届高二月考（三） 数学试题 2024.12 命题人：柳州高中 审题人：汪朝宽 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正 确的. 1、设 i23z ，则在复平面内 z对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2、在等比数列 }{ na 中，若 8,18,0 421  aaa ，则公比 q等于（ ） A. 2 3 B. 3 2 C. 3 2  D. 3 2 或 3 2  3、设非零向量 ba, 满足 baba  ，则（ ） A. ba  B. ba  C. ba // D. ba  4、等差数列 na 中，已知 18753  aaa ，则该数列的前 9项和为（ ） A.54 B.63 C.66 D.72 5、已知 nm, 是两条不重合的直线， 是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A.若 //m ， //n ，则 nm // B.若 //m ， n ，则 nm // C.若 nm  ， m ，则 //n D.若 m ， //n ，则 nm  6、为弘扬新时代的中国女排精神，甲、乙两个女排校队举行一场友谊赛，采用五局三胜制（即某队先 赢三局即获胜，比赛随即结束），若甲队以 3:2赢得比赛，则甲队输掉的两局恰好相邻的概率是（ ） A. 6 1 B. 3 1 C. 2 1 D. 3 2 7、直线 3 kxy 被圆     432 22  yx 截得的弦长为 32 ，则 k （ ） A. 3 B. 3 C. 3 3 D. 3 3  8、设椭圆 1E 和双曲线 2E 的公共焦点为 21,FF ，P是两曲线的一个公共点， 6021  PFF .记椭圆与双 曲线的离心率分别为 1e 与 2e ，则点  21,eeM 到中心O距离的最小值为（ ） A. 2 13  B. 2 13  C. 2 12  D. 2 12  高二月考（三） 数学试题 第 2页 共 4页 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求，全部选对得 6分，选对但不全的得部分分，有错选的得 0分. 9、设 na 是等比数列， nS 与 nT 分别是它们的前 n项的和与积，则下列说法正确的有（ ） A. nka 是等比数列（ Rk ） B.若 BAqS nn  ，其中 RBA, ，则 0 BA C.若 11 a ， 10  q ，则 nT 有最大值 D.若 01 a ， 0q ，则 }{n nT 是等比数列 10、对于   1 3 sin2        xxf （ 0 ），下列正确的有（ ） A.若 2 ，则  xf 关于直线  12 5: xl 对称 B.若 2 ，则  xf 关于点       0, 6 P 中心对称 C.若   1xf 在     3 ,0  上有且仅有 4个根，则  13,10 D.若  xf 在     3 ,0  上单调，则      2 50， 11、已知抛物线 pxyC 2: 2  （ 0p ），过点       0, 2 pE 的直线依次交抛物线于 BA, 两点，F 为抛物 线C的焦点，记 AEF ， AFB ， AFE ， BFX （ X 为 x轴），则下列说法 正确的是（ ） A.   恒成立 B. l与抛物线C相切时， 1k C. 90 时， 2 1 k D.存在直线 l，使得   三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12、若   xxaxf  22 是奇函数，则 a ____________. 13、若数列 na 对任意正整数 n，有 qaa nmn  （其中 Nm ， q为常数， 0q 且 1q ），则称数 列 na 是以m为周期,以 q为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列” na 的前 3项 为 2,1,1 ，周期为3，周期公比为 2，则数列 na 的前 13项和为____________. 14、长方体 1111 DCBAABCD  中， 21  AAAB ， 3AD .点 FE, 分别是 1, AAAB 的中点,记面 1EFC 为 ，直线 PDA 11 ，则直线 BP与 1CD 所成角的余弦值为____________. 高二月考（三） 数学试题 第 3页 共 4页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题共 13分）在 ABC 中，角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，且 c ba BA BC     sinsin sin3sin . （1）求角 A的大小； （2）若 CBA cos1sinsin2  ， ABC 外接圆半径为 2， BAC 的角平分线与 BC交于点D .求 AD的长. 16、（本题共 15 分）如图，四棱锥 ABCDP  中， PA 平面 ABCD， CDAD  ， BCAD // ， 2 CDADPA ， 3BC . E为 PD的中点，点 F 在 PC上，且 3 1  PC PF . （1）求证： CDAE  ； （2）求二面角 PAEF  的正弦值； （3）点G在 PB上，且 3 2  PB PG .判断 FEGA ,,, 四点是否共面，说明理由. 17、（本题共 15分）某校杰出校友为回报母校，设立了教育基金，有 A和 B两种方案.方案 A是在每年 校庆日这天向基金账户存入 100万元.当天举办仪式奖励优秀的教师和品学兼优的学生共计 40万元， 剩余资金用于投资，预计可实现 %10 的年收益.方案B是今年校庆日一次性给基金账户存入1000万 元，校庆日奖励为第一年奖 40万，每年增加10万，余下资金同样进行年化 %10 收益的投资.设 na 表示第 n年校庆后基金账户上的资金数（万元）. （1）对于 A、B两种方案，分别写出 21,aa 及 1na 与 na 的递推关系； （2）按两种方案基金连续运作 10年后，求基金账户上资金数额.（精确到万，参考数据： 36.21.1 9  ， 59.21.1 10  ） 高二月考（三） 数学试题 第 4页 共 4页 18、（本题共 17分）已知数列 na 满足 11 a ，      为奇数 为偶数 na na a n n n ,2 ,1 1 （ Nn ）.设 12  nn ab . （1）写出 21,bb ，并证明 1nb 是一个等比数列； （2）求数列 na 的通项公式； （3）是否存在正整数 k，使得 22122 ,,  kkk aaa 成等比数列？若存在，请求出 k的值；若不存在，请 说明理由. 19、（本题共 17 分）已知椭圆 1: 2 2 2 2  b y a xC （ 0 ba ）的左、右焦点分别为 1F 和 2F ，焦距为 2 . 点  00 , yxM 在椭圆C上，当线段 2MF 的中垂线经过 1F 时，有 2 12cos 12   FMF . （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，过原点O作圆     3 2: 20 2 0  yyxxM 的两条切线，分别与椭圆C交于点P和点Q， 直线OP、OQ的斜率分别记为 21,kk .当点M 在椭圆上运动时. ① 证明： 21kk 恒为定值，并求出这个定值； ② 求四边形OPMQ面积 S的最大值. 南宁三中20242025学年度上学期2026届高二月考（三) 数学参考答案 1.A,2.C,3.A,4.A,5.D,6.C,7.D, 8.A,【解析】S=btan30°=bcot30°，所以b2=3b,即a2-c2=3(c2-a),即a+3a=4e2, ,选择A. 2 9.BCD,【解析】对于A,当k=0时不满足，A错：B正确：对于C中数列是递减的，当所以项都是正数，所以T (对-1) - 有最大值，C正确：对于0.T,=aa,…a,=ag…ag=aq23 Vag2=ag2,所 +- T 可=q2为常数，D正确。 492 10.ACD,【解析】对于A,f)=2sin(2x-)+1,2×x-?=二，A正确：对于B,对称中心的纵坐标是 3 1232 ,B错，对于6由e0孕得m-晋e号号0-争，所以3x≤号和-号<4，所以10≤0<13，C 正确：对于D, -骨所0< 3 2,D正确。 5 1L.ABD,【解析】 =my-2→y2-2mpy+p2=0 4%2 (y2=2px F 则+y2=2mp,y2=p2, 对于A.ka+m=少。+当=》+2出-p+2 2my yp-p(2mp)=0 号 _p my-p my2-p (my-p)(my2-p) (my-p)(my2-p) A正确：对于B,△=(2mp)2-4p2=0,解得m=±1，所以k=±1，B正确：对于C, kkB=当。Xh=乃一X乃 yy2 p xpp my-p my:-p my mp(+x2)+p*m'p*-mp(2mp)+p 2 解得m=士5，所以k=士万C错：对于D, p(Y2-y) =p0y+2)2-4yy 。=py2mp'-4p -2 kkr(my-p)(omy:-p)my-mp(y+y)+pmp-mp(2mp)+pm -2 p2 aka子n02mtg1m所以am0k日m时2mma字 '1+kakm1+,1 1-m2 若a=0,则12m上1， 所以存在，D正确。 2-m2 解得m=士 12.1,【解析】f(0)=a-1=0,所以a=1 13.76,【解析】4n+3=2an,所以这个数列三项做一组，(1,1,2)，(2,2,4)，(4,4,8)，(8,8,16)16,16,32)，所以 S3=(1+1+2)+(2+2+4)+(4+4+8)+(8+8+16)+16=76 (202 (0.02) 14,25,【解析】 79 3 如图B(3,20),P(2,0,2),BP=(-1,-2,2),CD=(0,-2,2), (02,0 D 则cos(BP,CD)= 0+4+42W2 (32 √1+4+4V4+43 16【解折1①因为nC508=4-b,由正孩定理得-a- ，…2分 sin A+sin B c a+b 即b2+c-a2=5bc,由余弦定理得cosA=+c-Q-V36c=V5 ,…2分（公式1分，结果1分） 2be 2bc 2 又因为0<A<π， 1分 所以A=T」 …1分(6分） 6 )2由2 sin AsinB=1+cosC,得2sin2sinB=1+cos(3石-B,… 6 即sin(B+)=l, 4444…1分 3 因为<B+花<4虹 …1分 3 33 所以B+T=花，所以B= 32 ,4…4…1分(10分) 6 b 由正弦定理得 2元=2r=4.所以a=b=2c=25.1分 6 3 由Sumc=Sas+5Sauc,得besin=)c-ADsin号+b-4Dsin,l分 A 2 2 22 2 即2x23sinz=25.ADsin7+2·ADsin 6 12 "12 2 26x 所以AD= (W5+》2(3-) =V6.…1分(13分) 4 16.【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD,…1分 又因为AD⊥CD,AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD,…1分 又因为AEC平面PAD,所以AE⊥CD.……1分(3分) (2)取BC上靠近B的三等分H,连接AH,因为，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC, PA=AD=CD=2,BC=3,E为PD的中点，点F在PC上，且PF={ PC 3 所以AH,AD,AP两两垂直，以AH,AD,AP为X,,z轴建系，…1分 B0号净.正=0F-号诗 A …1分 大》 设n=(x,八，z)为平面AEF的法向量， 5(0,,) (n.AE=y+=0 (02o) 则 222.，4,0’n“2分 3 2,-,0 (230 则平面PAE的法向量为m=(1,0,0),… …1分(9分) 1 1 cos(m,）= 1x1+1+15' 车行行中车年转中中8卡卡行：行卡华4号行85华 …2分 6 设二面角F-AE-P的大小为O,则sin0= 12=1 3 所以二面角F-AE-P的正弦值y 44444-1分（们2分） 3 （3)法-：因为点G在PB上，且PG-名，所以PG=2PB,…1分 PB 3 所G=+元=+号P丽=002+l-2=停3， 3 叉因为EF=(径，行所以AG=2EF,- …l分 所以A,G,E,F四点是否共面。……1分(15分) (3)法二：AG=-2AE+2AF,所以A,G,E,F四点是否共面. (3)法三：AGn=0,所以AG⊥n,所以A,G,E,F四点是否共面。 3 17.【解析】(1)方案A:a1=100-40=60,a2=60×1.1+60=126,…2分 a4=1.l0n+60,…1分 方案B:41=1000-40=960,a2=960×1.1-50=1006,，…2分 04+1=1.l0n-(40+10n）=L.lan-10n-40,…1分(6分) (2)方案A:am+1=1.1an+60,设am1+A=1.l1(a。+A),则am1=1.lam+0.1A,则0.1A=60,所以A=600, 所以a41+600=1.l(an+600),…1分 因为a+600=660,所以{an+600}是以660为首项，以1.1为公比的等比数列，…1分 所以an+600=660×1.1-,所以an=660×1.1-600,…1分 所以a10=660×1.1”-600=660×2.36-600≈958，…1分(10分) 方案B:an1=1.1an-10n-40,设an+1+A(n+1)+B=1.1(an+An+B),则an1=1.1an+0.1An+0,1B-A, 0.1A=-10「A=-100 0.1B-A=-40{8=-1400'所以a-100n+1)-1400=1.1(a-100m-1400),2分 因为41-100×1-1400=-540， 所以{an-100n-1400}是以-540为首项，以1.1为公比的等比数列，…1分 所以an-100n-1400=-540×1.1,所以an=-540×1.1-+100n+1400,…1分 所以a0=-540×1.1°+100×10+1400=-540×2.36+2400≈1126，…1分(15分) 18.【解析】(1)b=a1=l,b2=a3=a241=a2+1=a41+1=2a1+1=3,…2分 b4+1=a2m1+1=(a2n+1)+1=a2m-1+2=2aa-+2=2b,+2=2(bn+l),所 b+1=2…4分 b+1 又因为b+1=2,所以bn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列.… …1分(7分) (2)由(1)知bn+1=22-=2”,所以bn=2”-1, …1分 所以a2m-1=bn=2”-1=√2-(W2)20-小-1，…1分 所以当n为奇数时，0n=√2(W2)”-1=(W2)1-1,…1分 当n为偶数时，an=an-4=20n-1=2[(W2)-1-刂=2-(W2)”-2,…2分 [(W2)1-1,n为奇数 所以am= …l分(13分） 2(W2)”-2,n为偶数 (3)假设存在满足题意的正整数k,则(a24)=a2k×a2+2,… …1分 即[（√2）24+-12=[2(N2)2*-2][2-(2)2*+2-2],即(21-1)2=[22-2][221-2]， 即4，(2)2-8.2+3=0，…1分 则(22*-1022-3)=0，所以2=，或者2=3 2 在正整数范围内无解，…1分 所以不存在正整数k,使得a2,42k+,42+2成等比数列.…1分(17分) 19.【解析】(1)C=2,… …1分 当线段MF的中垂线经过F时，MF曰FF=2c=2, 所以MB上2a-2,所以cos∠MF,E=2 2a-2)5-1,…1分 所以a=√2，b=1,…1分 所以椭圆C的标准方程女 7P=1.“*…1分(4分 (2)①直线OP:y=x与圆M相切，则k。- 2 44…1分 ki+1 即(3x-2)k-6xyk1+(3y6-2)=0, …1分 直线O0:y=kx与圆M相切，同理有(3x6-2)k号-6xyk2+(3y好-2)=0，…1分 所以kk2是方程(3x行-2)k2-6xyk+(3y-2)=0的两根，…1分 所以kk, 3y8-231-2)-22636-2 2 2 1(定值).…2分(10分) 3x6-2 3-2=3-2=2 ②法一：由O向知人= 2k ,如图，设P(x,乃)，(x22) y=kx 2 由+听=1 …1分 2 所以川OPVx+=VI+k)x= 2k+2 …1分 V2k2+1 2k?+2 (2k3+2)k 4k2+2 同理可得OQ目 2k+1(2k号+)K V2k2+1 5 sno=5m+Sw-oP1+o00-号 12、V2k+2+V4k+1 ,…1分(14分) V2k+1 因为（√2k2+2+V4k+1)2≤2(N2k+2)2+(W4k2+1)2]=6(2k+): 所以 2+21≤6，当组仅当2+2=41，即%=士号时取等号。 V2k+1 2x2k+2+4+1xxN6=1…2分 V2k+1 23 当且仅当2+2=4状+1，即人=士巨时取等号. 2 所以四边形OPMQ面积S的最大值为1.…1分(17分) 2k好+2 ②法二：同理可得引OQ日 (2k3+2)K3 4k+2 2k号+1 V(2k3+1)k2 2k+1 所以10p+00°.2火+2+4+1=3（定值 2k+1 因为0OP1+1O0)'≤2(OP+1O0)=6,所以(OP1+OQD=V6, 当且仅当2k+2=4状+1，即飞=士5时取等号， 2 所以SOpw0=SOPM+Soow= oP1HoeD-op+1ogns1. 1 所以四边形OPMQ面积S的最大值为1. ②法三设PQ.因为2+1=0，所以=， 因为P0在椭圆C上，所以g=0-号X1-号)=，整理得+店=2.所以+巧=1， 所以OP+OQ=x+x号++号=3（定值） 因为OP1+OQD2≤2(OP+OQ)=6,所以0OP+1OQDm=V6, 当且仅当2次+2=4k+1,即无=士5时取等号， 2 musaw-5am+w-0r+o0-}or+100s1: 所以四边形OPMQ面积S的最大值为1.