精品解析：四川省眉山市东坡区冠城实验学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2023级高二上期半期考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（40分，每小题5分） 1. 若复数，则在复平面内所对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若，，，则C=（ ） A. B. C. D. 3. 先将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将图象上的所有点向左平移个单位；所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设a，b，c是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（ ） A. 10 B. 15 C. D. 7. 某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包，已知甲、乙、丙三人抢到的红包金额超过1元的概率分别，，，若这三人抢到的红包金额是否超过1元互不影响，则这三人中至少有一人抢到的红包超过1元的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（18分，每小题6分） 9. 一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球．事件A＝“两次取到的球颜色相同”；事件B＝“第二次取到红球”；事件C＝“第一次取到红球”．下列说法正确的是（ ） A. B. 事件B与事件C是互斥事件 C. D. 10. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的平均数为13 B. 数据的方差为12 C. D. 11. 已知点为所在平面内一点，满足，下列说法正确的有（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，且，则 C. 若与的面积之比为 D. 若，且，则满足 三、填空题（15分，每小题5分） 12. 已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为__________. 13. 若事件A和B互斥，且，，则________． 14. 如图，在中，，，与相交于点，若（），则__________． 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间． （2）求在区间上的最大值和最小值． 16. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组. （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数； （3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 17. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，． ①求的面积； ②若，求． 19. 如图，在长方体中，，点是的中点. （1）证明：； （2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求，若不存在，说明理由； （3）求二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二上期半期考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（40分，每小题5分） 1. 若复数，则在复平面内所对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】直接对复数化简求出，从而可得其共轭复数即可得答案 【详解】因为，所以， 所以，则， 所以复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若，，，则C=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知三角形的三边长，利用余弦定理可求出角C的值 【详解】因为，，， 所以由余弦定理得，， 因为，所以， 故选：C. 3. 先将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将图象上的所有点向左平移个单位；所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角函数图象的周期变换和相位变换的结论可得答案. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数；再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是的图象． 故选：D. 【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 4. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量平行的坐标表示得出的方程，求解的值，再分别判断充分性和必要性是否成立，从而确定与的条件关系. 【详解】 若平面向量，，则等价于， 又因为，所以， 化简可得：，解得或. 若，则一定满足，充分性成立， 若，还可以取，不能推出，必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件，选A. 5. 设a，b，c是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对A：若，在空间中，直线的位置关系部能确定，故A错； 对B：若，则或，故B错； 对C：若，当直线不平行时，，当直线平行时，直线与平面的位置关系不能确定，故C错； 对D：两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.故D正确. 故选：D 6. 如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（ ） A. 10 B. 15 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别在棱上取点，使得，易证，，则平面截该正方体所得的截面图形是五边形.再计算即可． 【详解】分别在棱上取点，使得， 连接，根据正方体特征及平行公理，易证，， 则平面截该正方体所得的截面图形是五边形. 由题中数据，知道，，可得. 故选：A. 7. 某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包，已知甲、乙、丙三人抢到的红包金额超过1元的概率分别，，，若这三人抢到的红包金额是否超过1元互不影响，则这三人中至少有一人抢到的红包超过1元的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式得到三人抢到的红包都没有超过1元的概率，再根据对立事件概率求法即可求解.. 【详解】解：因为三人抢到的红包金额是否超过1元互不影响， 故三人抢到的红包都没有超过1元的概率为， 即三人中至少有一人抢到的红包超过1元的概率为. 故选：A. 8. 已知点在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据垂直关系，补全长方体，根据长方体外接球的半径公式，即可求解. 【详解】由题意可知，两两互相垂直， 如图，将三棱锥补成长方体，四面体的外接球和长方体的外接球是同一个外接球， 所以， 所以该球的表面积. 故选：C 二、多选题（18分，每小题6分） 9. 一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球．事件A＝“两次取到的球颜色相同”；事件B＝“第二次取到红球”；事件C＝“第一次取到红球”．下列说法正确的是（ ） A. B. 事件B与事件C是互斥事件 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由已知先列举出事件A，B，C包含的基本事件，然后结合互斥事件的概念及古典概率公式检验各选项即可判断. 【详解】解：由题意可得，事件A包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，绿)}， 事件B包含的取球颜色为{(红，红) ，(绿，红)}，事件C包含的取球颜色为{(红，红) ，(红，绿)}， 则，选项A错误； ，选项B错误； 事件AB包含的取球颜色为{(红，红)}， ，选项C正确； 事件B+C包含的取球颜色为{(红，红) ，(绿，红)，(红，绿)}， ，选项D正确. 故选：CD. 10. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的平均数为13 B. 数据的方差为12 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，，利用平均数的性质可得A；利用方差的性质计算可得B：由即可得C；结合方差与平均数计算即可得D. 【详解】依题意，，， 对A：，故A正确: 对B：依题意，， 所以数据的方差为： ，故B错误； 对C：，故C正确; 对D：由 ，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知点为所在平面内一点，满足，下列说法正确的有（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，且，则 C. 若与的面积之比为 D. 若，且，则满足 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量数量积判断夹角为锐角可判断A，由条件可确定为的外心和重心，即中心，确定三角形为等边三角形，据此可计算而判断B，由条件可得出在上且，即可得出三角形的 面积比而判断C，由条件得出，两边平方即可得解，从而判断D. 【详解】对于A，由，则为钝角，故为钝角三角形，错误； 对于，由于且时，， 故为的外心和重心，故为等边三角形， 则，由可得， 故，故B正确； 对于C，，则，记 则在上，且， 由知，到的距离与到的距离之比为，所以与的面积之比为，故C正确； 对于D，因为，且， 由得，， 所以，即，故D正确． 故选：BCD 三、填空题（15分，每小题5分） 12. 已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的共线定理即可求解. 【详解】因为向量与共线， 所以存在唯一的实数k,使得成立, 即，所以，解得， 故答案为：. 13. 若事件A和B互斥，且，，则________． 【答案】0.8## 【解析】 【分析】先利用互斥事件的概率加法公式求出，再由即得. 【详解】因事件A和B互斥，则， 解得，故. 故答案为：0.8. 14. 如图，在中，，，与相交于点，若（），则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，用分别表示，即可得到关于的方程组，进而根据与的关系，即可求得结果． 【详解】设，， 则， 设，， 则， 又不共线，故，解得，则． 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间． （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，再根据周期公式可求得最小正周期，利用正弦函数的性质即得； （2）根据正弦函数的图象及性质即得． 【小问1详解】 ∵ 最小正周期， 由，， 得，， ∴单调递增区间为； 【小问2详解】 ∵，∴， ∴，∴， ∴在上最大值为(当时取到)，最小值为(当时取到). 16. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组. （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数； （3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直方图频率和为1，列方程求，再根据直方图求500名志愿者中年龄在的人数； （2）由第75百分位数分直方图左侧面积为0.75，列方程求第75百分位数. （3）由分层抽样的等比例抽取的性质求出6名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 【小问1详解】 由直方图知：，可得， ∴500名志愿者中年龄在的人数为人. 【小问2详解】 因为，， 所以第百分位数在区间内，若该数为， ∴，解得. 【小问3详解】 由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自， 不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为， 则抽取两人的基本事件有， ，共15个， ∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 17. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案； （2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【小问1详解】 甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. 【小问2详解】 乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . 【小问3详解】 丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： . 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，． ①求的面积； ②若，求． 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）对原式展开后利用余弦定理和正弦定理得，再利用两角差的正弦公式即可得到答案； （2）①利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理求出，最后利用三角形面积即可得到答案；②根据向量线性运算得，最后利用转化法即可求出模长. 【小问1详解】 因为， 所以， 又， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 又，所以， 所以， 即，又， 所以，所以，则. 【小问2详解】 ①因为，由正弦定理可得.又， 由， 所以， 解得或(舍去)，所以， 所以. ②因为， 所以. 所以. 所以 . 19. 如图，在长方体中，，点是的中点. （1）证明：； （2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求，若不存在，说明理由； （3）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明:在长方体中，连接交于点O，则O为的中点，如图，    AI 由四边形是正方形，得， 由平面，平面，得， 而平面，，因此平面， 又平面，所以. （2）存在，； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定、性质推理即得. （2）为的中点，取的中点，利用线面平行的判定推理即得. （3）连接，利用线面垂直的判定性质及二面角的定义求出二面角的正切值即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 存在一点满足时，使得平面 ， 当点满足，即为的中点，取的中点，连接， 在中，为中点，则， 在长方体中，是的中点， 则且， 于是 且，四边形 为，则， 又平面，平面，所以平面. 【小问3详解】 连接，由为矩形边的中点，得， ，则， 由平面，平面，得， 而平面，于是平面，又平面， 因此，是二面角的平面角，， 而二面角的大小为，所以二面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $