精品解析：2023年上海市虹口区中考三模数学试题

2022~2023学年上海市虹口区中考第三次模拟试卷 数学试卷 （考试时间100分钟 满分150分） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3．考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分． 4．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 5．本卷为回忆版． 一．选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据运算的法则逐一运算判断即可． 【详解】解：：，故此选项错误； ：，故此选项错误； ：，故此选项正确； ：，故此选项错误； 故答案为： 【点睛】本题主要考查了同类型的合并，同底数幂的乘法，负指数幂，零指数幂，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 2. 若关于x不等式组的解集中有6个整数解，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据题意求出关于a的不等式组．先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集是， ∵不等式组有6个整数解， ∴整数解是2，3，4，5，6，7， ∴m的取值范围是， 故选：D． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故A不符合题意； B．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意； C．该图形不是轴对称图形，故C不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 4. 下列命题中，真命题是（　　） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧 C. 在同圆中，相等的弦所对的弧也相等 D. 经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的有关概念和性质、垂径定理进行判断解答． 【详解】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题； B、垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧，是真命题； C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题； D、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，原命题是假命题； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关概念和性质、垂径定理等知识． 5. 已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和C选项，根据B选项和D选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，即可得出结果． 【详解】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上， ∴可以排除A选项和C选项； B选项和D选项中，抛物线的对称轴， ∵ ， ∴， ∴抛物线开口向下，可以排除B选项， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 6. ⊙与⊙半径分别为l和3，那么列四个叙述中，错误的是（ ）． A. 当时，⊙与⊙有两个公共点； B. 当⊙与⊙有两个公共点时，； C. 当时，⊙与⊙没有公共点； D. 当⊙与⊙没有公共点时，． 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆与圆位置关系的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】当时，⊙与⊙相交，有两个公共点，故选项A描述正确； 当⊙与⊙有两个公共点时，，故选项B描述正确； 当时，⊙与⊙没有公共点，故选项C描述正确； 当⊙与⊙没有公共点时，或，故选项D描述错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆与圆位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆位置关系的性质，从而完成求解． 二．填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】先把原式化为，再整体代入即可． 详解】解：， 当时， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘法的分配律及整体代入法，熟练运用整体代入法是本题的关键． 8. 已知多项式5+3+=M ,当=0时，M=-5，当=-3时，M=7，那么当=3时，M_______. 【答案】-17 【解析】 【分析】由题意，当x=0时，ax5+bx3+cx+d=-5，可得d=-5，当x=-3时，ax5+bx3+cx+d=7，即a（-3）5+b（-3）3+c（-3）-5=7，35a+33b+3c=-12，当x=3时，M=35a+33b+3c-5=-12-5=-17，M的值为-17． 【详解】解： 由题意，∵当x=0时，ax5+bx3+cx+d=-5， ∴d=-5， 当x=-3时，ax5+bx3+cx+d=7， 即a（-3）5+b（-3）3+c（-3）-5=7， ∴35a+33b+3c=-12， 当x=3时，M=35a+33b+3c-5=-12-5=-17， 故答案为:M的值为-17． 【点睛】本题主要考查代数式求值的相关知识，解决本题的关键是要熟练采取整体代入的方法． 9. 函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案． 【详解】解：由有意义可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平面直角坐标系中象限内点的坐标符号列出关于m的不等式，求解不等式得到m的范围．． 【详解】∵点在第二象限， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式的基本能力、平面直角坐标系中象限内点的坐标符号，解决本题的关键是严格遵循解不等式的基本步骤． 11. 小明的期中数学成绩为80分，期末数学成绩为90分，将期中和期末按照4：6的比例计算，得到总评成绩，则小明的数学总评成绩为_______分． 【答案】86 【解析】 【分析】按照加权平均数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：小明的数学总评成绩为： ． 故答案为：86． 【点睛】本题主要考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式，是解题的关键． 12. 如图，正方形的顶点A，B，C的坐标分别为，，，直线与正方形的边始终有交点，则b的取值范围是________． 【答案】−3≤b≤3 【解析】 【分析】利用正方形的性质可求出点D的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征分别求出直线y＝x＋b过点B和过点D时b的值，进而可得出直线y＝x＋b与正方形ABCD的边相交时b的取值范围． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（4，1），点C的坐标为（4，4）， ∴点D的坐标为（1，4）， 当直线y＝x＋b过点B时，有1＝4＋b， 解得：b＝−3； 当直线y＝x＋b过点D时，有4＝1＋b， 解得：b＝3， ∴当直线y＝x＋b与正方形ABCD的边始终有交点时，b的取值范围为−3≤b≤3． 故答案为：−3≤b≤3． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，利用极限值法找出b的最大及最小值是解题的关键． 13. 国旗上的五角星绕其中心至少旋转____°可与自身重合． 【答案】72 【解析】 【分析】求出五角星的相邻两个顶点与中心点构成的角的度数即可． 【详解】解：五角星的相邻的两个顶点与中心点构成的角的度数是：，所以五角星绕其中心至少旋转，可与自身重合， 故答案是：72． 【点睛】本题考查旋转角的计算，掌握周角等于360°是解题的关键． 14. 如果、、满足关系式，那么______（用向量、表示）. 【答案】 【解析】 【分析】把看成关于的方程即可解决问题. 【详解】∵， ∴， ∴， 故填：. 【点睛】此题考查平面向量，可以转化为关于的方程来解决问题. 15. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为_________ 【答案】0 【解析】 【分析】根据在双曲线上和点关于轴的对称点在双曲线上可求得B点坐标，从而求得k值. 【详解】∵点在双曲线上，即 ∵点和点B关于轴的对称，即 ∴，即 ∴ 故答案为：0 【点睛】本题考查了反比例函数和对称的性质，解题的关键在于根据对称求出点B的坐标，从而求得k值. 16. 如图，这是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表： 0 2 3 6 … 0 … 则该运动员踢出的足球在第_________s落地． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键． 【详解】解：由题意可设抛物线解析式为：， 当时，；当时，， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得：或， 则该运动员踢出的足球在第落地， 故答案为：． 17. 如图，在函数和的图象上，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用反比例函数中k的几何意义求得是解题的关键． 分别过A和B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则由条件可证明，且利用反比例函数k的几何意义可得，则可得出． 【详解】解：作轴于C点，轴于D点， 如图， 设B点的坐标为，， 设A点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∴． 18. 如图，中，，，为内一点，，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接，得为等边三角形，证明点，，，共线，过点A作于点，根据等腰三角形的性质证明，延长交于点，利用含度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，的值，根据，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质，得，，，， ，， 为等边三角形， ，， ， 点B、P，共线， ， 点，，共线， 点，，，共线， 过点A作于点， ， ， ， ， ， ， ， 延长交于点， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是利用含度角的直角三角形的性质． 三．解答题（满分78分） 19. 计算：． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别根据立方根，分母有理化，负整数指数幂以及绝对值的代数意义化简各项后，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 20. 解方程组： 【答案】或 【解析】 【分析】利用因式分解法求，得到或，然后得到两个二元一次方程组，分别求出方程组的解即可. 【详解】解：由（1）得或， 或， 解方程组得：， ， 则原方程组解为 和 . 【点睛】本题主要考查解二元二次方程组，解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解，然后得到新的方程组.也可以利用代入消元法进行求解. 21. 如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使，连接BF，DF． （1）求证：DF与半圆相切； （2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OF，证明，可得，根据矩形的性质可得，进而即可得证； （2）连接，根据题意证明，根据相似三角形的性质求得，进而勾股定理，根据矩形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：连接OF． ， ， 四边形是矩形， ∴DF与半圆相切. 【小问2详解】 解：连接， ，， ， 为半圆的直径， ， ， ， ， ， ， 在中， 矩形的面积为 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 22. 2023年3月24日，第17届欧洲杯预选赛正式打响，本届欧洲杯足球场采用了几种喷灌系统，如图1是喷灌系统可以旋转的喷嘴工作实景图，已知足球场可以近似看成长为96米，宽为64米的矩形． 某实验室为进一步研究喷灌技术，按比例尺制作了一个足球场沙盘矩形，如图2． （1）________米， _________米； （2）如图3，在足球场沙盘左右半场的两个中心位置分别安装一个覆盖半径为4.95米的喷嘴P、Q，请问两个喷嘴同时工作时，能否覆盖整个足球场沙盘？请说明理由； （3）如图4，在足球场沙盘中装有一个可以平行移动的喷灌杆，初始位置为，喷灌杆平移喷灌时覆盖范围呈菱形区域，M、N、E、F在沙盘边界上，已知米，求的长； （4）利用无人机沿着足球场沙盘的对称轴或对角线飞行并进行左右对称喷灌，喷灌覆盖范围呈正方形，当无人机恰好能喷灌整个足球场沙盘时，请在上述规定的飞行路线中，任意选择其中的两条路线，直接写出无人机喷灌面积的最小值分别是_________平方米（面积相同算同一种）． 【答案】（1）， （2）不能覆盖整个足球场沙盘 （3） （4）无人机喷灌面积的最小值分别是平方米或平方米或平方米或平方米 【解析】 【分析】（1）根据比例尺计算即可； （2）由即可知道不能覆盖整个足球场沙盘； （3）先证明，再设，即可得到，再利用菱形的性质可得，利用勾股定理列方程计算即可； （4）利用无人机沿着足球场沙盘的对称轴或对角线飞行并进行左右对称喷灌，喷灌覆盖范围呈正方形，当无人机恰好能喷灌整个足球场沙盘时，分5种情况讨论，求出对应正方形边长即可． 【小问1详解】 解:∵按比例尺制作了一个足球场沙盘矩形， ∴，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解:由P、Q是足球场沙盘左右半场的两个中心位置可得，，， ∴， ∴； ∴不能覆盖整个足球场沙盘； 【小问3详解】 解:延长交于，如图， ， ∵菱形区域， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴中，， 中，， ∴，解得； ∴； 【小问4详解】 解：如图，当无人机沿着足球场沙盘的对称轴飞行时，当无人机恰好能喷灌整个足球场沙盘时，喷灌覆盖范围呈正方形的边长是，此时无人机喷灌面积为（平方米）； 如图，当无人机沿着足球场沙盘的对称轴飞行时，当无人机恰好能喷灌整个足球场沙盘时，喷灌覆盖范围呈正方形的边长是，此时无人机喷灌面积为（平方米）； 如图，当无人机沿着足球场沙盘的对称轴与飞行时，由题意知，，且，则；同理，， ∴(米)， 此时无人机喷灌正方形的面积为（平方米）； 如图，当无人机沿着足球场沙盘的对角线飞行时，此时正方形的边长为矩形对角线的长，而， 则无人机喷灌正方形的面积为（平方米）； 如图，当无人机沿着足球场沙盘的对角线飞行时，过作于； ∵， ∴； 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 则此时正方形的边长为：， ∴此时无人机喷灌面积为（平方米）； 综上，无人机喷灌面积的最小值分别是平方米或平方米或平方米或平方米． 故答案为：平方米或平方米或平方米或平方米． 【点睛】本题考查的是四边形综合题，涉及到菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是把实际问题转换成我们熟悉的数学图形问题，注意分类讨论． 23. 如图，在中，，，点是线段边上的一点，连接，点在射线上，过作交于点． （1）如图，当是的中点，且时，若，求的长； （2）如图，当时，延长交于点，取的中点，连接，过点作，交的延长线于点，求证． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）根据勾股定理得到，得，根据勾股定理即可得到的长，再证明，可得，根据可得出的长； （2）过G作于N，连接，证明得到，，根据余角的性质，外角定理得到，可得,证明，根据全等三角形的性质得到，证明可得，于是得到结论． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，过G作于N，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点H为的中点， ∴ ∴， ∴。 24. 如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知，，点的纵坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）若在抛物线上仅存在三个点到直线的距离为，求的值； （3）如图2，直线交抛物线于、两点，当的内心在轴上时，此时直线一定和经过原点的某条直线平行吗？若是，请求出这条过原点的直线解析式：若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设是抛物线在上方的一点，，当取得最大值时，的长即为所求，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． （3）设分别交轴于点，依题意，平分，则，分别求得直线，进而联立抛物线解析式得出的坐标，待定系数法求直线解析式，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，，， ∴设， ∵点在轴且纵坐标为，则， 将代入得： 解：， ∴函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴，则是等腰直角三角形， 设直线的解析式为 则 解得： ∴直线 如图所示，设是抛物线在上方的一点，，作轴交于于点， 设是抛物线在上方的一点，，当取得最大值时，则在抛物线上仅存在三个点到直线的距离为，此时， 设，则 ∴, ∵轴，则是等腰直角三角形， ∴ 则时取得最大值，， ∴ 【小问3详解】 解：如图所示，设分别交轴于点， 依题意，平分，则， 设直线的解析式为，将点代入得， 即 则直线的解析式为， ∴，则，则 设直线的解析式为，将点代入得， ∴ ∴直线的解析式为 联立与抛物线， 即 解得： 则即， 联立与抛物线， 即 解得： 则即， 将，代入 得， 解得： 即的解析式为， ∴直线一定和经过原点的某条直线平行，这条过原点的直线解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，最值问题，一次函数与二次函数综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 已知：如图1，四边形中，． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）如图2，点E、F 分别在、上，连接交于点K，，，，求：的值 （3）如图 3，在（2）的条件下，点P是下方一点，连接，，，G为中点，连接KG，若， ，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可得证； （2）过作，证明，在中，利用勾股定理可得，进而可得的值； （3）延长、交于，证出，再过作，取的中点，连接、、、，从而可证出，再证，，即可求出． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， 在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 证明：过作，交于， ∵四边形 是平行四边形，， ∴，，，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中 ，， ， ， ∴． 【小问3详解】 解：延长、交于， ， ∵， ∴, ，， 由（2）得：， ， 即：， 是等边三角形， 设， ，， ， 在中 ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，过作，取的中点，连接、、、， ， ，， 是的中点， ，， ， ，，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了考查了平行四边的判定与性质，等边三角形的判定及性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，中位线等，掌握相关判定定理及性质，根据题意作出辅助线，构建直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022~2023学年上海市虹口区中考第三次模拟试卷 数学试卷 （考试时间100分钟 满分150分） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3．考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分． 4．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 5．本卷为回忆版． 一．选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的不等式组的解集中有6个整数解，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，真命题是（　　） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧 C. 在同圆中，相等的弦所对的弧也相等 D. 经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 5. 已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. ⊙与⊙半径分别为l和3，那么列四个叙述中，错误的是（ ）． A. 当时，⊙与⊙有两个公共点； B 当⊙与⊙有两个公共点时，； C 当时，⊙与⊙没有公共点； D. 当⊙与⊙没有公共点时，． 二．填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么______． 8. 已知多项式5+3+=M ,当=0时，M=-5，当=-3时，M=7，那么当=3时，M_______. 9. 函数的自变量的取值范围是_______． 10. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，则m的取值范围是______． 11. 小明的期中数学成绩为80分，期末数学成绩为90分，将期中和期末按照4：6的比例计算，得到总评成绩，则小明的数学总评成绩为_______分． 12. 如图，正方形的顶点A，B，C的坐标分别为，，，直线与正方形的边始终有交点，则b的取值范围是________． 13. 国旗上的五角星绕其中心至少旋转____°可与自身重合． 14. 如果、、满足关系式，那么______（用向量、表示）. 15. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为_________ 16. 如图，这是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表： 0 2 3 6 … 0 … 则该运动员踢出足球在第_________s落地． 17. 如图，在函数和的图象上，，则_________. 18. 如图，中，，，为内一点，，则的值为______． 三．解答题（满分78分） 19. 计算：． 20. 解方程组： 21. 如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使，连接BF，DF． （1）求证：DF与半圆相切； （2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积． 22. 2023年3月24日，第17届欧洲杯预选赛正式打响，本届欧洲杯足球场采用了几种喷灌系统，如图1是喷灌系统可以旋转的喷嘴工作实景图，已知足球场可以近似看成长为96米，宽为64米的矩形． 某实验室为进一步研究喷灌技术，按比例尺制作了一个足球场沙盘矩形，如图2． （1）________米， _________米； （2）如图3，在足球场沙盘左右半场的两个中心位置分别安装一个覆盖半径为4.95米的喷嘴P、Q，请问两个喷嘴同时工作时，能否覆盖整个足球场沙盘？请说明理由； （3）如图4，在足球场沙盘中装有一个可以平行移动的喷灌杆，初始位置为，喷灌杆平移喷灌时覆盖范围呈菱形区域，M、N、E、F在沙盘边界上，已知米，求的长； （4）利用无人机沿着足球场沙盘的对称轴或对角线飞行并进行左右对称喷灌，喷灌覆盖范围呈正方形，当无人机恰好能喷灌整个足球场沙盘时，请在上述规定的飞行路线中，任意选择其中的两条路线，直接写出无人机喷灌面积的最小值分别是_________平方米（面积相同算同一种）． 23. 如图，在中，，，点是线段边上的一点，连接，点在射线上，过作交于点． （1）如图，当是的中点，且时，若，求的长； （2）如图，当时，延长交于点，取的中点，连接，过点作，交的延长线于点，求证． 24. 如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知，，点的纵坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）若在抛物线上仅存在三个点到直线的距离为，求的值； （3）如图2，直线交抛物线于、两点，当的内心在轴上时，此时直线一定和经过原点的某条直线平行吗？若是，请求出这条过原点的直线解析式：若不是，请说明理由． 25. 已知：如图1，四边形中，． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）如图2，点E、F 分别在、上，连接交于点K，，，，求：的值 （3）如图 3，在（2）的条件下，点P是下方一点，连接，，，G为中点，连接KG，若， ，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$