精品解析：辽宁省凌源市实验中学2024-2025学年高一上学期第三次月考数学试卷

高一数学考试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册第一章至必修第二册第四章4.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知为奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 7 D. 1 3. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数（，且）的图像经过定点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图像如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 10 D. 9 8. 若函数的值域为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若命题：无理数的平方是无理数，则（ ） A. 是全称量词命题 B. 是存在量词命题 C. 为真命题 D. ：有些无理数的平方不是无理数 10. 按复利计算利息的一种储蓄，本金为（单位：万元），每期利率为，本利和为（单位：万元），存期数为.已知甲按照这种储蓄存入了一笔本金，当存期数为2时，本利和为1.1万元，当存期数为4时，本利和为1.21万元，则（ ） A. B. C. 甲的本金为1万元 D. 当存期数为8时，甲的本利和超过1.44万元 11. 已知函数的定义域为，且为偶函数，是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的真子集个数为__________． 13. 若函数的定义域为，则函数的定义域为______. 14. 函数的零点最多有___________个，此时的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：. （2）若，求的值. 16. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求的取值范围. 17. 已知． （1）求的最小值； （2）若，求的最小值． 18. 已知定义域为的奇函数的图像经过点. （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）证明：. 19. 若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”. （1）判断定义在上的函数是否是“闭区间同域函数”，并说明理由； （2）若是“闭区间同域函数”（且）的“同域闭区间”，求，； （3）若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学考试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册第一章至必修第二册第四章4.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的判定方法进行判断. 【详解】由“”不能推出“”，所以“”不是“”的充分条件； 由“”可以推出“”，所以“”是“”的必要条件． 综上可知：“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2. 已知为奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 7 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】由于，为奇函数，故， 故选：A 3. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算区间端点的函数值的乘积，利用零点的存在性定理进行判断即可. 【详解】由题意得， ， 所以一定包含零点的区间是. 故选：A. 4. 若函数（，且）的图像经过定点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令指数为0即可得到答案. 【详解】令，则，所以的坐标为. 故选：A. 5. 已知函数的图像如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象得到不等式组，解出即可. 【详解】由图可知在，上单调递减， 则或， 得或. 故选：B. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性得到，再利用作差法得的大小关系. 【详解】由题意得，， 因为函数在上是减函数，所以. 又，所以.故. 故选：D. 7. 若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 10 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式的未知数移到同一侧，得到小于等于关于的函数的最小值，利用基本不等式求解即可. 【详解】由，得对任意的恒成立. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的最大值为10. 故选：C. 8. 若函数的值域为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，通过换元法将表示为，然后根据二次函数的性质求解出的值域. 【详解】令，得，，则， 所以，对称轴，开口向上且，所以， 所以函数的值域为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若命题：无理数的平方是无理数，则（ ） A. 是全称量词命题 B. 是存在量词命题 C. 为真命题 D. ：有些无理数的平方不是无理数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据命题的否定和真假判断即可. 【详解】由题意得是全称量词命题，：有些无理数的平方不是无理数，A，D正确，B错误. 是无理数，但的平方不是无理数，为假命题，C错误. 故选：AD. 10. 按复利计算利息的一种储蓄，本金为（单位：万元），每期利率为，本利和为（单位：万元），存期数为.已知甲按照这种储蓄存入了一笔本金，当存期数为2时，本利和为1.1万元，当存期数为4时，本利和为1.21万元，则（ ） A. B. C. 甲的本金为1万元 D. 当存期数为8时，甲的本利和超过1.44万元 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数函数模型得到，代入数据解得，再合理赋值即可判断. 【详解】由题意得，则解得 因为，所以，A，C正确，B错误. 当时，，D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，且为偶函数，是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据是奇函数，合理赋值即可；对BD，根据奇偶性分析得，再合理赋值即可；对C，赋值得，即可判断. 【详解】对A，由是奇函数，得，即，A正确. 对C，由题得，得， 则的图像关于点对称，所以，C错误. 对BD，由为偶函数，得， 即，得 ， 所以，B，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的真子集个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，即可根据公式求解真子集的个数. 【详解】, 故真子集的个数为， 故答案为： 13. 若函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，得，则. 故答案为：. 14. 函数的零点最多有___________个，此时的取值范围为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将问题转化为函数的图象与直线的交点个数，利用数形结合法求解． 【详解】解：的零点个数为函数的图象与直线的交点个数． 的部分图象如图所示： 当时，的零点个数最多，且最多为． 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：. （2）若，求的值. 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】（1）直接根据指数幂运算即可得到答案； （2）根据根式与指数幂关系以及指数幂运算即可. 【详解】（1）原式. （2）因为， 所以. 16. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解出集合，再根据集合交并补运算即可； （2）分和讨论即可. 【小问1详解】 由题意得， 由或， 得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得. 当时，，得. 当时，或 解得或. 综上，的取值范围为. 17. 已知． （1）求的最小值； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）3 （2）1 【解析】 【分析】（1）构造，再利用基本（均值）不等式求和的最小值. （2）构造，再利用乘“1”法求和的最小值. 【小问1详解】 因为，. 所以 （当且仅当即时取“”）. 故的最小值为3. 【小问2详解】 因为，且. 所以 （当且仅当即时取“”） 故的最小值为1. 18. 已知定义域为的奇函数的图像经过点. （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）证明：. 【答案】（1） （2）83 （3）证明：因为在上均单调递增， 则在上单调递增，而， 根据“川”字型函数特点知的值域为. 由（2）可得 ， 所以. 又在上单调递增，所以. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数特点并代入得到方程组，解出后再检验即可； （2）代入计算得，最后再化简即可； （3）首先得到的单调性和值域，再作差证明恒大于0即可. 【小问1详解】 由题意得得 所以. 经检验为奇函数，故. 【小问2详解】 由题意得，则， 所以. 【小问3详解】 略 19. 若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”. （1）判断定义在上的函数是否是“闭区间同域函数”，并说明理由； （2）若是“闭区间同域函数”（且）的“同域闭区间”，求，； （3）若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求，. 【答案】（1）不是，理由为： 易得在上单调递增，则， 即的值域为，所以不是“闭区间同域函数”. （2） （3），或， 【解析】 【分析】（1）由闭区间同域函数定义判断可得答案； （2）分、讨论，利用的单调性判断可得答案； （3）分时、、讨论，结合闭区间同域函数定义、的单调性判断可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，在上单调递减，则 该方程组无解. 当时，在上单调递增，则解得 综上所述，. 【小问3详解】 由题意得图像的对称轴为直线. 当时，在上单调递增，得 则是方程的两个不相等的实根， 得，，不符合题意. 当时，在上单调递减，在上单调递增，. ①当时，，不符合题意； ②当时，，解得. 当时，在上单调递减，则 两式相减得.由，得，则，即， 将，代入，得或1. 当时，，不符合题意；当时，，符合题意. 综上，，或，. 【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是分时、、讨论，结合闭区间同域函数定义求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $