精品解析：四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试卷

2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A，B，C三个选项中的图形都能找到一条直线，使图形对折后能够完全重合，是轴对称图形，D选项的图形找不到一条直线，使图形对折后能够完全重合，不是轴对称图形， 故选D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，据此相关性质内容进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A 3. 生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432用科学记数法表示为（ ） A. 0.432×10-5 B. 4.32×10-6 C. 4.32×10-7 D. 43.2×10-7 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，这里1＜a＜10，指数n是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解： 0.00000432=4.32×10-6， 故选B． 【点睛】本题考查科学记数法． 4. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】解：设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2）， 可得方程180°（n﹣2）=1080°， 解得：n=8． 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是根据题意列出一元一次方程． 5. 如图，AB=AD，要说明△ABC≌△ADE，需添加的条件不能是（　　） A. ∠E=∠C B. AC=AE C. ∠ADE=∠ABC D. DE=BC 【答案】D 【解析】 【详解】∵AB=AD，且∠A=∠A， ∴当∠E=∠C时,满足AAS,可证明△ABC≌△ADE， 当AC=AE时,满足SAS,可证明△ABC≌△ADE， 当∠ADE=∠ABC时,满足ASA,可证明△ABC≌△ADE， 当DE=BC时,满足SSA,不能证明△ABC≌△ADE， 故选：D. 6. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断． 【详解】解：A、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； B、是因式分解，选项正确； C、，选项错误； D、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变． 7. 已知是一个完全平方式，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式：进行求解即可． 【详解】解：由题意可得，， 故选：B． 8. 若把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】把和都扩大为原来的2倍后代入化简即可． 【详解】解：由题意得： ， 则分式的值不变， 故选D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 9. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（    ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点据此判断即可． 【详解】解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形． 故选C． 10. 如图，，点D在边上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握全等三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 11. 已知关于x的分式方程的解是非负数，那么a的取值范围是（　　） A. a＞1 B. a≥1 C. a≥1且a≠9 D. a≤1 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式方程的解法用参数表示x，再根据分式方程解的情况和分式方程有意义的条件列出不等式组并求解即可． 【详解】解：∵关于x的分式方程的解是非负数， ∴解该方式方程得． ∴ ∴a≥1，且a≠9． 故选：C． 【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值，熟练掌握该知识点是解题关键． 12. 如图，平分，且于点，若的面积等于10，则的面积等于（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，通过证明，得到，根据三角形中线的性质，即可求解，本题考查了，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，根据中线求三角形面积，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形． 【详解】解：延长交于点， 平分， ， 又于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 点关于轴对称的点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标系中的对称． 根据关于轴对称的点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 14. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 15. 已知，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式以及代数式的化简，解题的关键在于熟记公式，整体代入． 【详解】解： 即：的值为． 故答案为：． 16. 如图，中，，点B在x轴的正半轴，坐标为．平分，点M在的延长线上，点N为边上的点，则的最小值是________ 【答案】 【解析】 【分析】在x正半轴上取点，使，过A作轴于点D，先证，得，由，由点到直线的距离垂线段最短，确定最小值为，由等腰三角形的判定和含直角三角形的性质求解即可； 【详解】在x正半轴上取点，使，过A作轴于点D， 平分， ， ，， ， ， ， 当，即与D重合时，的值最小， 最小值为， ， ， ， ， ， ， ， 最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，理解A点是固定点，而M和N均为动点，然后运用三点共线及点到直线的最短距离确定最小值是本题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握实数混合运算的法则是解题的关键． 先计算绝对值、零指数幂和负整指数幂，再算加减即可． 【详解】解：原式． 18. 先化简：，然后选择一个恰当的数代入求值． 【答案】，（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的加减法的法则计算括号里面的，再根据分式的除法法则计算括号外面的，最后确定不能取的值，选择一个能使式子有意义的值代入计算． 【详解】解： 由题意，得，，， 当时，原式． 19. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形的公共边和公共角． 根据两边及其夹角对应相等可以判断，再由全等三角形对应边相等可说明结论． 【详解】略 20. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先找最简公分母转化为整式方程，然后求解即可． 本题考查了解分式方程，掌握去分母的过程是解题关键． 【详解】解： 经检验：当时， 则是原分式方程的解． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时点关于这条直线的对称点的坐标为______； （3）在轴上确定一点，使的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） （4）求的面积 【答案】（1） 即为所求： （2）轴， （3） 点即为所求： （4） 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题． （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点，，，再连接即可． （2）利用轴对称的性质求解问题即可． （3）连接交轴于点，连接，点即为所求， （4）利用分割法的思想，将三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，即为轴，此时点关于这条直线的对称点的坐标为． 故答案为：轴，； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：的面积为． 22. 如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． (1)求证：AD=BE； (2)求∠AEB的度数． 【答案】（1）∵△ACB和△ECD都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， 又∵∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴AD=BE； （2）∠AEB=60°． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，然后根据SAS证明△ACD≌△BCE，即可得出AD=BE； （2）由△ECD是等边三角形可得∠CDE=∠CED=60°，根据补角的性质可求∠ADC=120°，根据全等三角形的性质可得∠BEC=∠ADC=120°，进而根据∠AEB=∠BEC﹣∠CED可得出答案． 【详解】证明：略 （1） （2）在等边△ECD中， ∠CDE=∠CED=60°， ∴∠ADC=120°， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠BEC=∠ADC=120°， ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=120°﹣60°=60°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的应用，能推出△ACD≌△BCE是解此题的关键． 23. 为打造绿色生态公园，明湖公园计划购买甲、乙两种树苗．已知一棵甲种树苗比一棵乙种树苗贵4元，购买甲种树苗的费用和购买乙种树苗的费用分别是7000元和5000元． （1）若两种树苗购买的棵数一样多，求甲、乙两种树苗的单价； （2）根据（1）中两种树苗的单价，若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过12000元，求甲种树苗最多购买多少棵． 【答案】（1）甲种树苗的单价为14元，乙种树苗的单价为10元；（2）250棵 【解析】 【分析】（1）设甲种树苗的单价为x元，则乙种树苗的单价为（x-4）元，然后根据题意列出方程求解即可得到答案； （2））设甲种树苗购买m棵，则乙种树苗购买了（1100-m）棵，然后根据总花费不超过12000元，列出不等式求解即可. 【详解】解：（1）设甲种树苗的单价为x元，则乙种树苗的单价为（x-4）元，由题意得： 解得：x=14 经检验x=14是原方程的解，x-4=10 答：甲种树苗的单价为14元，乙种树苗的单价为10元． （2）设甲种树苗购买m棵，则乙种树苗购买了（1100-m）棵，由题意得： ， 整理得： 解得： 答：甲种树苗最多购买250棵． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式和分式方程的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 24. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则 解得：，，另一个因式为的值为 问题：仿照以上方法解答下面两个问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． （2）已知二次三项式（为常数）能因式分解为两个因式相乘，这两个因式都是一次二项式，且一次项系数都是正整数，常数项为整数，试猜测它的两个因式，并求的值． 【答案】（1）另一个因式为，的值为20 （2） 设一个因式是，另一个因式是， ； 或设一个因式是另一个因式是，． 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法． （1）设另一个因式为，然后把利用多项式乘多项式法则计算，根据计算结果求出a，k和另一个因式即可； （2）设一个因式是，则另一个因式是，或设一个因式是则另一个因式是,然后利用多项式乘多项式法则计算，根据计算结果求出a即可． 【小问1详解】 解：设另一个因式为，得 ． 则． ， 解得：，． 另一个因式为，的值为20． 【小问2详解】 解：设一个因式是，则另一个因式是． ， ； 或设一个因式是则另一个因式是 ， ． 故的值是或2． 25. 已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动． （1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t＝　 　（s）时，△PBC是直角三角形； （2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？ （3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？ （4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由． 【答案】（1）； （2）t＝1或2（s）； （3）t＝1（s）； （4）面积相等，理由如下： 如图所示： 作PE⊥AD于E，QG⊥AD延长线于G，则PE∥QG， 则易知∠G＝∠AEP，∠A＝∠ACB＝∠QCG＝60°， 在△EAP和△GCQ中， 因为， 所以△EAP≌△GCQ（AAS）， 所以PE＝QG，所以，△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等． 【解析】 【分析】（1）当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°，所以BP＝1.5cm，即可算出t的值； （2）因为∠B＝60°，可选取∠BPQ＝90°或∠BQP＝90°，然后根据勾股定理计算出BP长，即可算出t的大小； （3）因为∠DCQ＝120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD＝CQ，然后可证明△APD是直角三角形，即可根据题意求出t的值； （4）面积相等．可通过同底等高验证． 【详解】解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°， ∠BPC＝90°，所以BP＝1.5cm， 所以t＝. （2）当∠BPQ＝90°时，BP＝0.5BQ， 3﹣t＝0.5t，所以t＝2； 当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ， 3﹣t＝2t，所以t＝1； 所以t＝1或2（s）; （3）因为∠DCQ＝120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD＝CQ， 所以∠PDA＝∠CDQ＝∠CQD＝30°， 又因为∠A＝60°， 所以AD＝2AP，2t+t＝3， 解得t＝1（s）； （4）略 【点睛】本题主要考查对于勾股定理的应用和等腰三角形的判定，还要注意三角形面积的求法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432用科学记数法表示为（ ） A. 0.432×10-5 B. 4.32×10-6 C. 4.32×10-7 D. 43.2×10-7 4. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 如图，AB=AD，要说明△ABC≌△ADE，需添加的条件不能是（　　） A. ∠E=∠C B. AC=AE C. ∠ADE=∠ABC D. DE=BC 6. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是一个完全平方式，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 1或 8. 若把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 9. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（    ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 都有可能 10. 如图，，点D在边上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于x的分式方程的解是非负数，那么a的取值范围是（　　） A. a＞1 B. a≥1 C. a≥1且a≠9 D. a≤1 12. 如图，平分，且于点，若的面积等于10，则的面积等于（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 点关于轴对称的点的坐标为_____． 14. 分解因式：_____________． 15. 已知，则的值是______． 16. 如图，中，，点B在x轴的正半轴，坐标为．平分，点M在的延长线上，点N为边上的点，则的最小值是________ 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 先化简：，然后选择一个恰当的数代入求值． 19. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 20. 解方程： 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时点关于这条直线的对称点的坐标为______； （3）在轴上确定一点，使的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） （4）求的面积 22. 如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． (1)求证：AD=BE； (2)求∠AEB的度数． 23. 为打造绿色生态公园，明湖公园计划购买甲、乙两种树苗．已知一棵甲种树苗比一棵乙种树苗贵4元，购买甲种树苗的费用和购买乙种树苗的费用分别是7000元和5000元． （1）若两种树苗购买的棵数一样多，求甲、乙两种树苗的单价； （2）根据（1）中两种树苗的单价，若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过12000元，求甲种树苗最多购买多少棵． 24. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则 解得：，，另一个因式为的值为 问题：仿照以上方法解答下面两个问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． （2）已知二次三项式（为常数）能因式分解为两个因式相乘，这两个因式都是一次二项式，且一次项系数都是正整数，常数项为整数，试猜测它的两个因式，并求的值． 25. 已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动． （1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t＝　 　（s）时，△PBC是直角三角形； （2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？ （3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？ （4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $