精品解析：黑龙江省哈尔滨市松北区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024－2025学年度上学期九年级期中考试题 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 2024的倒数的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的方程mx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. m＜2 B. m＞2 C. m＞2且m≠0 D. m＜2且m≠0 5. 已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　） A. 45° B. 35° C. 25° D. 20° 6. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为 （   ） A. B. C. D. 7. 如图是切线，点A为切点，交于点C，点D在上，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“6”，“”，除数字外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为0的概率是（    ） A. B. C. D. 9. 如图，中，已知，，点在边上，线段绕着点逆时针旋转（）后，如果点恰好落在边上，那么的度数是（ ） A. 50° B. 60° C. 80° D. 120° 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④其中，其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 5G信号的传播速度为300000000m/s，将300000000用科学记数法表示为__________． 12. 在函数中，自变量的取值范围是_____________________． 13. 若是关于的一元二次方程，则_______． 14. 计算：的结果是___________________． 15. 如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为_____ ． 16. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 17. 若二次函数y＝x2﹣6x+3a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为___． 18. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为________． 19. 一个扇形的面积为，半径为6cm，则扇形的圆心角是_______________度． 20. 如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线的长为______． 三、解答题（其中21－22题各7分，23－24题各8分，25－27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出线段绕着点B顺时针旋转的线段，点E在小正方形的顶点上； （2）在图中画出以为边的等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且的周长为．连接，请直接写出点G到的距离是多少． 23. 某学校食堂为学生提供了A，B，C，D四种套餐，为了解学生对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取若干名学生进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）在这次随机抽样中，一共调查了多少名学生？ （2）通过计算补全条形图，并求出扇形统计图中C的扇形圆心角的度数； （3）若该学校现有在校学生1500人，请你估计该学校喜欢D套餐的学生一共有多少名． 24. 如图，是半圆的直径，C，D是半圆上不同于A，B的两点，，与相交于点F．是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点E． （1）求证：； （2）若，写出四个图中等于的线段． 25. 某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接国庆，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）问要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ （2）问将售价降价多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润． 26. 如图1，点A、C、E、G在上，； （1）求证：； （2）如图2，点F在上，连接、，延长、交于点B，作延长线于点H，若，，求证：； （3）在（2）的条件下，若°，求的长． 27. 如图1，抛物线过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接，且平分，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段于点E，点F是线段上的动点（点F不与点O和点B重合），连接，设点F的横坐标为t，的面积为s，求s关于t的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，当时，将沿折叠，点B的对应点为点，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度上学期九年级期中考试题 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 2024的倒数的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了倒数和相反数，根据“只有符号不相同的两个数互为相反数；乘积为1的两个数互为倒数”，即可求出答案． 【详解】解：2024的倒数是， 的相反数是， 故选：D． 2. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A、∵，选项A不正确，不符合题意； B、∵，选项B不正确，不符合题意； C、∵，选项C正确，符合题意； D、∵，选项D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及完全平方公式，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2． 3. 下列图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念 对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合． 4. 已知关于x的方程mx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. m＜2 B. m＞2 C. m＞2且m≠0 D. m＜2且m≠0 【答案】D 【解析】 【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是要熟记一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别公式． 5. 已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　） A. 45° B. 35° C. 25° D. 20° 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可． 【详解】∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∴∠ACB=∠AOB=45°． 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为 （   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是（0，0），先向左平移1个单位，再向下平移3个单位是，则对应的二次函数关系式是， 故选C. 7. 如图是切线，点A为切点，交于点C，点D在上，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由可求出∠AOC=．再由AB为圆O的切线，得AB⊥OA，由直角三角形的两锐角互余，即可求出∠ABO的度数， 【详解】解：∵ ， ∴， ∵AB为圆O的切线， ∴AB⊥OA，即∠OAB=90°， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 8. 不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“6”，“”，除数字外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为0的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，根据树状图法求解概率，即可得到答案． 【详解】根据题意，如下图，总共有四种结果，其中两次记录的数字之和为0的情况有两种， 即两次记录的数字之和为0的概率是：， 故选：A． 【点睛】本题考查了概率的知识，解题关键是熟练掌握树状图法求解概率的性质，从而完成求解． 9. 如图，中，已知，，点在边上，线段绕着点逆时针旋转（）后，如果点恰好落在边上，那么的度数是（ ） A. 50° B. 60° C. 80° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出图形，证明为等腰三角形，由等腰三角形的性质证明，然后利用三角形内角和定理得出答案即可． 【详解】解：根据题意，将线段绕着点逆时针旋转，当点恰好落在边上时，如下图， 此时，由旋转的性质可知， ∴， ∴， 即的度数是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，理解题意，证明为等腰三角形是解题关键． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④其中，其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ， ，故此选项正确； ②当时，，故，错误； ③根据抛物线的对称性，可知：当时函数值，，且， 即，代入得，得，故此选项错误； ④当时，的值最大．此时，， 而当时，， 所以， 故，即，（其中，故此选项正确． 故①④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数的图象为一条抛物线，当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与轴的交点坐标为． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 5G信号的传播速度为300000000m/s，将300000000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【详解】300000000的小数点向左移动8位得到3， 所以300000000用科学记数法表示为3×108， 故答案为3×108． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 在函数中，自变量的取值范围是_____________________． 【答案】x≠7． 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：由有意义，得 x-7≠0， 解得x≠7， 故答案为：x≠7． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13. 若是关于的一元二次方程，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程．由此可解． 【详解】解：由题意知， 解得， ， 故答案为：1． 14. 计算：的结果是___________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，本题考查二次根式的运算，根据二次根式的化简，即可进行求解． 【详解】解：原式== 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的运算，先化简再进行合并二次根式是解决此类问题的关键． 15. 如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为_____ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理；添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．连接，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理得． 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴， 在中，， ∴，即． 解得，． 故答案为：5． 16. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上内容． 根据解一元二次方程的步骤求出方程的根，然后根据三角形的三边关系进行验证，最后求出周长即可． 【详解】解： 或 或， 当时，，不能构成三角形，舍去； 当时，，能构成三角形； ∴此三角形的周长是， 故答案为：13． 17. 若二次函数y＝x2﹣6x+3a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为___． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用抛物线与x轴只有一个交点⇔b2﹣4ac＝0，进而解方程得出答案． 【详解】∵二次函数y＝x2﹣6x+3a的图象与x轴有且只有一个交点， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3a＝0， 解得：a＝3， 故答案为：3． 【点睛】考核知识点：抛物线与x轴的交点．理解二次函数图象及其性质是关键. 18. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握“直径所对的圆周角是直角”、“圆内接四边形对角互补”等知识点是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而求出，再根据圆内接四边形对角互补，即可解答． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ． 故答案为：． 19. 一个扇形的面积为，半径为6cm，则扇形的圆心角是_______________度． 【答案】130°． 【解析】 【分析】设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式得：13π=， 解得n=130． 故答案是：130°． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键． 20. 如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点B在抛物线y=x2的第一象限部分，可设B点坐标为（x，x2），则x＞0．根据B点的横坐标与纵坐标之和等于6，列出方程x+x2=6，解方程求出x的值，再求出OB的长即可得到结论． 【详解】解：连接OB，如图， ∵正方形OABC的顶点B在抛物线y=x2的第一象限部分， ∴可设B点坐标为（x，x2），且x＞0． ∵B点的横坐标与纵坐标之和等于6， ∴x+x2=6， 解得x1=2，x2=-3（不合题意舍去）， ∴B（2，4）， ∴OB2=22+42=20， ∴ ∵四边形OABC是正方形， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键． 三、解答题（其中21－22题各7分，23－24题各8分，25－27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算化简分式，再将的值代入求解即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，正确的计算是解题的关键． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出线段绕着点B顺时针旋转的线段，点E在小正方形的顶点上； （2）在图中画出以为边的等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且的周长为．连接，请直接写出点G到的距离是多少． 【答案】（1）如图，线段即为所求； （2）如（1）图，即为所求，点G到的距离是． 【解析】 【分析】本题是作图题，主要考查了画旋转图形，等腰三角形的性质，勾股定理等知识． （1）根据旋转的性质即可画出图形； （2）根据等腰三角形与勾股定理可得答案． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求； 【小问2详解】 如（1）图，即为所求，点G到的距离是， 根据勾股定理得，，，， ， 为等腰三角形，周长为， ， ， ， 点G到的距离是． 23. 某学校食堂为学生提供了A，B，C，D四种套餐，为了解学生对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取若干名学生进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）在这次随机抽样中，一共调查了多少名学生？ （2）通过计算补全条形图，并求出扇形统计图中C的扇形圆心角的度数； （3）若该学校现有在校学生1500人，请你估计该学校喜欢D套餐的学生一共有多少名． 【答案】（1）一共调查了240名学生 （2）补全条形图如下： 扇形统计图中C的扇形圆心角的度数为 （3）该学校喜欢D套餐的学生一共有150名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，正确从统计图中得到相应的数据是解题的关键． （1）根据条形统计图中喜欢B套餐的人数和扇形统计图中喜欢B套餐人数占被调查总人数的进行求解即可； （2）根据（1），结合条形统计图和扇形统计图得数据即可求出答案； （3）喜欢B套餐人数占被调查总人数的百分比，乘以实际总人数即可求出该学校喜欢D套餐的学生人数． 【小问1详解】 解：（名）， 故这次随机抽样中，一共调查了240名学生； 【小问2详解】 喜欢A套餐的学生有（名）， 喜欢C套餐的学生有（名）， 扇形统计图中C的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 （名）， 答：该学校喜欢D套餐的学生一共有150名． 24. 如图，是半圆的直径，C，D是半圆上不同于A，B的两点，，与相交于点F．是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点E． （1）求证：； （2）若，写出四个图中等于的线段． 【答案】（1） 证明：是半圆的直径， ， 在和中， ， ； （2）分别是线段． 【解析】 【分析】（1）由是半圆的直径，可知，利用即可证明； （2）根据等腰三角形的性质可知，由，可得，设，则，由是半圆所在圆的切线，可得，根据，可解出x的值，进而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， ， ，， 即， ， ， 设，则， 是半圆所在圆的切线， ， ， 解得， 即，， ， 又， 图中等于的线段分别是． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的判定与性质，切线的性质，圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25. 某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接国庆，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）问要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ （2）问将售价降价多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）每件童装应降价20元 （2）将售价降价15元/件时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润为1250元 【解析】 【分析】（1）设每件童装应降价x元，根据利润单件利润销售量列出方程求解即可； （2）设每千克樱桃应售价m元，利润为W元，根据利润单件利润销售量列出W与m的关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件童装应降价x元， 由题意得，， 解得或， ∵要尽量减少库存， ∴， ∴每件童装应降价20元； 【小问2详解】 解：设将售价降价m元/件，每天的利润为W元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W最大，最大为1250， ∴将售价降价15元/件时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润为1250元 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和关系式是解题的关键． 26. 如图1，点A、C、E、G在上，； （1）求证：； （2）如图2，点F在上，连接、，延长、交于点B，作延长线于点H，若，，求证：； （3）在（2）的条件下，若°，求的长． 【答案】（1） 证明： ， ， ； （2） 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据弧、弦、圆周角的关系证明即可； （2）根据圆周角定理证明，即可得证； （3）连接、、，证明是等边三角形，则，根据圆周角定理可得是的直径，则，根据勾股定理求出，设，根据勾股定理列方程求出x即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接、、， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是的直径， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的综合，涉及弧、弦、圆周角的关系，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定． 27. 如图1，抛物线过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接，且平分，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段于点E，点F是线段上的动点（点F不与点O和点B重合），连接，设点F的横坐标为t，的面积为s，求s关于t的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，当时，将沿折叠，点B的对应点为点，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）把点和分别代入抛物线的解析式，用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线解析式可得顶点，点，因此，，在中，作斜边上的中线，根据勾股定理得，进而求得是等边三角形，根据角平分线的定义求得， 在中，由勾股定理得，进而可知，作于N，点F的横坐标为t，则，利用即可求出答案； （3）当时，可得，，由，求得，，将沿折叠，由折叠的性质可知，，进而可得，因此，即轴，设垂足为P，，在中，求出 和的值，进而求得，即可求得答案． 【小问1详解】 解：把点和分别代入中，得： ， 解得， ∴抛物线的解析式； 【小问2详解】 解： ， ∴顶点，对称轴与x轴的交点， ∴，， 在中，作斜边上的中线， ∵， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ， 在中，， ， ， 作于N， ∵点F的横坐标为t， ∴， ， ， 即； 【小问3详解】 解：当时，代入，得， ， ∵， ， ∴， ∵将沿折叠， ，， ， ， ，即轴，设垂足为P， ， 在中， ∵， ， ∵， ， ， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $