精品解析：广东省深圳市坪山区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

坪山区2024-2025学年九年级上册期中测试 数学试卷 注意事项∶ 1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的 位置上，并将条形码粘贴好． 2.本卷考试时间90分钟，满分100分． 3.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答写在答题卡指定区域内．作答综合题时，把所选题号的信息点框涂黑，并作答．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4.考试结束后，谙将答题卡交回． 一、单选题 1. 如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（ ） A. 漏斗 B. 烧瓶 C. 试管 D. 锥形瓶 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图．解题的关键是掌握从前面看到的是主视图，从左边看到的是左视图是解题的关键．据此进行判断即可． 【详解】解：A．该化学仪器的主视图与左视图不相同，故此选项符合题意； B．该化学仪器的主视图与左视图相同，故此选项不符合题意； C．该化学仪器的主视图与左视图相同，故此选项不符合题意； D．该化学仪器的主视图与左视图相同，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 已知两个相似三角形的面积比为 4：9，则周长的比为 ( ) A. 2：3 B. 4：9 C. 3：2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知了两个相似三角形的面积比，即可求出它们的相似比；再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解． 【详解】∵两个相似三角形的面积之比为4：9， ∴两个相似三角形的相似比为2：3， ∴这两个相似三角形的周长之比为2：3． 故选A 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 3. 如果a是一元二次方程的一个根，那么代数式是（　　） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 4. 平面直角坐标系中，，则坐标原点关于直线对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，坐标与图形性质，如图，过作轴于，求解，可得为等边三角形，再进一步解答即可． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故选B 5. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 对角线垂直的平行四边形是正方形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的判定判断A， 由菱形的判定方法判断B， 由矩形的判定方法判断C， 由平行四边形的判定方法判断D． 【详解】解：对角线互相垂直的矩形是正方形，所以A错误， 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以B正确， 有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以C正确， 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以D正确． 故选A． 【点睛】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形，正方形的判断方法，掌握它们的判定方法是解题的关键． 6. 已知函数的图象如图，下列说法正确的是（ ） A. B. 在每个分支上y随x的增大而增大 C. 若点，点在图象上，则 D. 若点在图象上，则点也在图象上． 【答案】D 【解析】 【分析】利用反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征逐项判定即可． 【详解】解：A、根据反比例函数的图象的两个分支分别位于一、三象限，可得，故选项错误，不符合题意； B、由图象可知，在每个分支上y随x的增大而减小，故选项错误，不符合题意； C、由图象可知，点在第三象限，则，点在第一象限，则，则，故选项错误，不符合题意； D、若点在图象上，且反比例函数的图象关于原点成中心对称，则也在图象上，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征，掌握反比例函数的图象上的点的坐标特征成为解答本题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（其中k为常数，）的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，则一次函数经过点，当时，判断一次函数与反比例函数图象，当，判断一次函数与反比例函数图象，进而可得答案． 【详解】解：， 当，， ∴一次函数经过点， ∴A、C不符合， 当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数经过第一、三象限， ∴B符合， 当时，一次函数经过第二、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限， ∴D不符合， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象、一次函数图象．解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质和图像． 8. 如图，边长为4的正方形中，点E、F分别在边上，连接，且有．将沿翻折，若点D的对应点恰好落在上，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点E作于点，设，，根据勾股定理列方程求得，即可． 【详解】解：过点作于点，如下图： 设，，则，， 由题意可得：，，为等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得：， ，即，解得， ，即，解得， ， 故选：D. 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 二、填空题 9. 如图，以长方形的一边为轴，将其旋转一周得到的立体图形的表面积为___．（结果保留π） 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据面动成体可知得到的立体图形为圆柱；以不同的边为轴旋转一周，所得到的圆柱体的底面半径和高，根据圆柱体的表面积公式计算即可． 【详解】解：长方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是圆柱， 当绕着的边为轴时，旋转一周所得到的是底面半径为，高为的圆柱体， 因此表面积为； 当绕着的边为轴时，旋转一周所得到的是底面半径为，高为的圆柱体， 因此表面积为； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键． 10. 若方程是关于x的一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及绝对值的性质进行列式、求解． 此题考查了一元二次方程定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识和绝对值的性质进行求解． 【详解】解：由题意得， ∴ 解得或， ∵，即， ∴， 故答案为：3． 11. 如图，要测量一座小山丘的高度，某同学在一平面内取A、B两点，且测得与山顶C点的仰角的角度为、，A、B两点的距离是a，过C点作交AB的延长线于点D，则的高度________．（用含有、、a的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正切的定义，根据正切得定义得出，再由，然后代入化简即可得出h即可． 【详解】解：根据题意有：， ∵， ∴， 移项得：， 整理得：， 故答案为：． 12. 如图，是等腰直角三角形，为边上一点，为边上一动点，连接，以为边并在的左侧作等边，连接，则的最小值为______．（提示：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 【答案】7 【解析】 【分析】以为边在左侧作等边三角形，连接，延长交于点P，先证明，得到，当点三点共线时，有最小值，此时，即，则，由角所对的直角边等于斜边的一半，得到，进而得到，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得到，即可得出结果． 【详解】解：如图，以为边在左侧作等边三角形，连接，延长交于点P， ∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 如图，当点三点共线时，有最小值， 此时，， ， ，即， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查直角三角形的特征及等边三角形的综合应用，涉及动点问题，三角形全等的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，把求最小值问题转化为求最小值． 13. 如图，已知等边三角形的顶点分别在反比例函数图像的两个分支上，点在反比例函数的图像上，当的面积最小时，的值__________． 【答案】-3 【解析】 【分析】当等边三角形ABC的边长最小时，△ABC的面积最小，点A，B分别在反比例函数y=图象的两个分支上，则当A、B在直线y=x上时最短，即此时△ABC的面积最小，根据反比例函数图象的对称性可得OA=OB，设OA=x，则AC=2x，OC=x，根据等边三角形三线合一可证明△AOE∽△OCF，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：根据题意当A、B在直线y=x上时，△ABC的面积最小， 函数y=图象关于原点对称， ∴OA=OB， 连接OC，过A作AE⊥y轴于E，过C作CF⊥y轴于F， ∵△ABC是等边三角形， ∴AO⊥OC， ∴∠AOC=90°，∠ACO=30°， ∴∠AOE+∠COF=90°， 设OA=x，则AC=2x，OC=x， ∵AE⊥y轴，CF⊥y轴， ∴∠AEO=∠OFC=∠AOE+∠OAE=90°， ∴∠COF=∠OAE， ∴△AOE∽△OCF， ∴， ∵顶点A在函数y=图象的分支上， ∴S△AOE=， ∴S△OCF=， ∵点C在反比例函数y=（k≠0）的图象上， ∴k=-3， 故答案为-3． 【点睛】本题考查了综合运用反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象关于原点对称，相似三角形的判定与性质及等边三角形等知识点，难度不大，属于中档题． 三、解答题 14. 在平面直角坐标系中，函数的图象记为，函数的图象记为，其中为常数，且，图象，合起来得到的图象记为． （1）若图象有最低点，且最低点到轴距离为3，求的值； （2）若时，点在图象上，且，求的取值范围； （3）若点、的坐标分别为，，连接．当线段与图象恰有三个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】（1）先将函数化为顶点式，根据图象有最低点，且最低点到轴距离为3，可得，即可求解； （2）根据题意可得 ， ，然后分两种情况：当时和当时，进行讨论，即可求解； （3）根据题意可得直线PQ为 ，然后分两种情况：当 时和当 时，并结合图象，进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵图象有最低点，最低点到轴距离为3， ∴ ， ∵最低点到轴距离为3， ∴， ∴ ，解得：； （2））当时， ， ， 当时，点A在函数图象 上，且当 时，函数随着x的增大而减小， 当 时，， 当 时，， 此时 ； 当时，点A在图象 上， ∵函数，的对称轴为 ， ∴当时， 最小为－5， 当 时，， 当 时，， ∴此时 ， 综上所述，的取值范围为； （3）∵点、的坐标分别为，， ∴直线PQ为 ， 当 时，如图： 函数的顶点为 ， 若PQ经过图象M1的顶点 ， 则 ，即 ， 对于图象M2，有，解得： ， （舍去）， ∵ ， ∴直线PQ与图象M2的交点在点P的右侧， ∴线段与图象恰有三个公共点， 由题意得：M1与y轴交于 ∴ ，解得： ； 当 时，如图： 函数的顶点为 ， 若PQ经过图象M2的顶点 ， 则 ，即 ， 对于图象M1，时，解得： ， （舍去）， ∵ ， ∴直线PQ与图象M1的交点在点Q的左侧， ∴此时线段与图象只有一个公共点，不符合题意； 若线段PQ过M2与y轴的交点时，有 ，解得： ， 对于图象M1，，解得： ，（舍去） ， ∵， ∴此时线段PQ与图象M有三个交点，符合题意， 综上所述，当线段与图象恰有三个公共点时， 的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与性质，一元一次不等式组，一元二次方程的解法，利用数形结合思想和分类讨论的思想是解题的关键． 15. 在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF中点．连接BE、CE、AE． （1）求证：∠DAE=∠ADE； （2）求证：△AEB≌△DEC； （3）当EB=BC时，求∠AFD的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠FAD=90°， ∵点E为DF中点． ∴AE是Rt△AFD斜边上的中线， ∴AE=FE=DE， ∴∠DAE=∠ADE； （2） 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=CD， 由（1）知∠DAE=∠ADE； ∴∠BAD-∠DAE=∠ADC-∠ADE，即∠BAE=∠CDE， 在△AEB和△DEC中， ， ∴△AEB≌△DEC（SAS）； （3）75° 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE＝EF＝DE＝DF，根据等边对等角可得∠EAD＝∠EDA； （2）根据正方形的四条边都相等可得AB＝CD，每一个角都是直角可得∠BAD＝∠ADC＝90°，再求出∠BAE＝∠CDE，然后利用“”证明即可； （3）根据全等三角形对应边相等可得EB＝EC，再求出△BCE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠EBC＝60°，然后求出∠ABE＝30°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BAE，然后根据等边对等角可得∠AFD＝∠BAE． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵△AEB≌△DEC， ∴BE=CE， ∵EB=BC， ∴△EBC是等边三角形 ， ∴∠EBC=60°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BE， ∴∠ABE=90°-∠EBC=90°-60°=30°， ∵AB=BE， ∴∠BAE=(180°-∠ABE)=(180°-30°)=75°， 又∵AE=EF， ∴∠AFD=∠BAE=75°． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等角的余角相等的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点并准确根据题意求证是解决问题的关键． 16. 如图，已知直线的图象经过点A，，且与x轴交点C． （1）求k的值； （2）若点，判断点D是否在的图象上； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）点不在的图象上 （3）2 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数函数值，一次函数与几何综合， （1）把代入中得进行求解即可； （2）根据（1）所求求出当时，y的值即可得到答案； （3）先求出点C的坐标，得到，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入中得：， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得直线解析式为， 在中，当时，， ∴点不在的图象上； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度．小刚在处用高的测角仪，测得教学楼顶端A的仰角为，然后向教学楼前进到达，又测得教学楼顶端A的仰角为．求这幢教学楼的高度．（已知：，，结果保留一位小数） 【答案】这幢教学楼的高度是 【解析】 【分析】利用的正弦值可求长，加上即为这幢教学楼的高度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴ ， ∴(m)， 答：这幢教学楼的高度是． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法． 18. 某大型水果超市销售水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每箱售价(元)与每天的销售量(箱)有如表关系(与之间的函数关系是一次函数)： 每箱售价(元) 68 67 66 65 … 40 每天的销售量(箱) 40 45 50 55 … 180 (1)若水蜜桃的进价是40元/箱，该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？ (2)7月份1-16号每天销售水蜜桃盈利1600元．从17号开始连续阴雨，因而从7月17号开始水蜜桃销售价格在(1)的条件下，下降了，同时水蜜桃的进货成本下降了，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了，7月份17-31号水蜜桃销售总盈利比7月份1-16号销售水蜜桃总盈利少7120元，求的值． 【答案】(1) 要使顾客获得实惠，每箱售价是56元； (2)的值为20 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据题意表示每箱的利润进而得出总利润等式求出答案； （2）根据题意分别表示出降价前后的利润进而得出等式求出答案． 【详解】（1）设与之间的函数关系是：， 根据题意可得：， 解得：， 故与之间的函数关系是：， 由题意可得：， 解得：， 顾客要得到实惠，售价低，则舍去， 所以， 答：要使顾客获得实惠，每箱售价是56元； （2）在（1）的条件下，时，，由题意得到方程： 1600×16=[56×(1-m%)-40×(1-10%)]×100×(1+2m%)×15+7120， 解得：，(舍去)， 答：的值为20． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据已知7月份各量之间的变化得出等量关系进而求出是解题关键． 19. 【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变； 平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u，像距为v和焦距f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系： ． 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心， 入射光线 光轴，折射光线经过焦点， 为所成的像． （1） 根据光路图①可知， 当时， ； （2）当时，请仿照图①的方法，在图②中画光路图； 任务二： 凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心O的距离是，（）时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出y与x的关系式； 任务三：根据任务二的关系式得出表： 物距x/ cm 8 10 12 14 16 像高y/ cm 12 6 4 m 2.4 （1） ； （2）当蜡烛的成像的高不小于时，请在坐标系中画出它的图象； 【答案】任务一：（1）； （2）由题意可得如图所示： 任务二：与的关系式是：； 任务三：（1）3； （2）如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； 任务一：（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）根据题意可直接进行作图； 任务二：由任务一可知，，，则，从而得，然后根据可得出与的关系式； 任务三：（1）根据任务二可代值进行求解即可； （2）根据（1）及表格，结合描点、连线可作出函数图象． 【详解】解：任务一：（1）∵光轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）任务二：依题意得：四边形为矩形，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由任务一可知：，设， ∴， ∴， ， ， 解得：， ∴， 即与的关系式是：； 任务三：（1）由任务二可知：， 当时，， ； 故答案为：3． （2）由题意及（1）得：， 解得：， ∴， 将表格中的对应数据在直角坐标系中描点，再按照横坐标由小到大的顺序连线可得该函数的图象， 20. 在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，． （1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长； （2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长； （3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最大值？若存在，直接写出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）16 （2） （3）最大值为8 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数的定义先求出，再利用三角合一，求得，从而得解； （2）过C作于F，过M作于N，利用勾股定理得到，利用等面积法得到，再用勾股定理求得，于是，利用，得到，，最后用得出，即，从而得解； （3）过点A作交的延长线于点P，先证明得到，再证明得到，是的中位线，，要使最大，只需最大，此时共线，的最大值为， 最大为，至此得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵绕点B顺时针旋转得到 ∴，即是等腰三角形， 又∵ ∴， ∵点落在的延长线上 ∴； 【小问2详解】 过C作于F，过M作于N，如图： ∵ ∴ ∵绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ∵ ∴中， ∴ 中，， ∴， 由旋转性质可得：， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ 即 ∴； 【小问3详解】 最大值为8． 补充理由如下： 过点A作交的延长线于点P，连接， ∵绕点B顺时针旋转得到， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中 ∴ ，即点D是中点 又∵点E为的中点 ∴是的中位线， ∴ 要使最大，只需最大，此时共线，的最大值为， ∴最大为 【点睛】本题考查直角三角形的旋转变换，涉及勾股定理、平行线分线段成比例、等腰三角形判定、全等三角形判定与性质等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 坪山区2024-2025学年九年级上册期中测试 数学试卷 注意事项∶ 1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的 位置上，并将条形码粘贴好． 2.本卷考试时间90分钟，满分100分． 3.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答写在答题卡指定区域内．作答综合题时，把所选题号的信息点框涂黑，并作答．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4.考试结束后，谙将答题卡交回． 一、单选题 1. 如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（ ） A. 漏斗 B. 烧瓶 C. 试管 D. 锥形瓶 2. 已知两个相似三角形的面积比为 4：9，则周长的比为 ( ) A. 2：3 B. 4：9 C. 3：2 D. 3. 如果a是一元二次方程的一个根，那么代数式是（　　） A. B. 2 C. 1 D. 4. 平面直角坐标系中，，则坐标原点关于直线对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 对角线垂直的平行四边形是正方形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 6. 已知函数的图象如图，下列说法正确的是（ ） A. B. 在每个分支上y随x的增大而增大 C. 若点，点在图象上，则 D. 若点在图象上，则点也在图象上． 7. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（其中k为常数，）的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为4的正方形中，点E、F分别在边上，连接，且有．将沿翻折，若点D的对应点恰好落在上，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 如图，以长方形的一边为轴，将其旋转一周得到的立体图形的表面积为___．（结果保留π） 10. 若方程是关于x的一元二次方程，则______． 11. 如图，要测量一座小山丘的高度，某同学在一平面内取A、B两点，且测得与山顶C点的仰角的角度为、，A、B两点的距离是a，过C点作交AB的延长线于点D，则的高度________．（用含有、、a的式子表示） 12. 如图，是等腰直角三角形，为边上一点，为边上一动点，连接，以为边并在的左侧作等边，连接，则的最小值为______．（提示：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 13. 如图，已知等边三角形的顶点分别在反比例函数图像的两个分支上，点在反比例函数的图像上，当的面积最小时，的值__________． 三、解答题 14. 在平面直角坐标系中，函数的图象记为，函数的图象记为，其中为常数，且，图象，合起来得到的图象记为． （1）若图象有最低点，且最低点到轴距离为3，求的值； （2）若时，点在图象上，且，求的取值范围； （3）若点、的坐标分别为，，连接．当线段与图象恰有三个公共点时，请直接写出的取值范围． 15. 在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF中点．连接BE、CE、AE． （1）求证：∠DAE=∠ADE； （2）求证：△AEB≌△DEC； （3）当EB=BC时，求∠AFD的度数． 16. 如图，已知直线的图象经过点A，，且与x轴交点C． （1）求k的值； （2）若点，判断点D是否在的图象上； （3）求的面积． 17. 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度．小刚在处用高的测角仪，测得教学楼顶端A的仰角为，然后向教学楼前进到达，又测得教学楼顶端A的仰角为．求这幢教学楼的高度．（已知：，，结果保留一位小数） 18. 某大型水果超市销售水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每箱售价(元)与每天的销售量(箱)有如表关系(与之间的函数关系是一次函数)： 每箱售价(元) 68 67 66 65 … 40 每天的销售量(箱) 40 45 50 55 … 180 (1)若水蜜桃的进价是40元/箱，该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？ (2)7月份1-16号每天销售水蜜桃盈利1600元．从17号开始连续阴雨，因而从7月17号开始水蜜桃销售价格在(1)的条件下，下降了，同时水蜜桃的进货成本下降了，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了，7月份17-31号水蜜桃销售总盈利比7月份1-16号销售水蜜桃总盈利少7120元，求的值． 19. 【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变； 平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u，像距为v和焦距f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系： ． 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心， 入射光线 光轴，折射光线经过焦点， 为所成的像． （1） 根据光路图①可知， 当时， ； （2）当时，请仿照图①的方法，在图②中画光路图； 任务二： 凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心O的距离是，（）时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出y与x的关系式； 任务三：根据任务二的关系式得出表： 物距x/ cm 8 10 12 14 16 像高y/ cm 12 6 4 m 2.4 （1） ； （2）当蜡烛的成像的高不小于时，请在坐标系中画出它的图象； 20. 在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，． （1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长； （2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长； （3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最大值？若存在，直接写出的最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $