第1章 解直角三角形（单元测试·培优卷）-2024-2025学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

第1章 解直角三角形（单元测试·培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（22-23九年级下·上海·阶段练习）下列实数是有理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）在中，，若，，那么下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（19-20九年级上·河北邯郸·期末）如图，的值为（    ）． A． B． C．3 D．2 4．（24-25九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则此三角形解的情况是（    ） A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解 5．（2024·江苏无锡·三模）已知，在平面直角坐标系中，，，现将绕点逆时针旋转，当线段第一次与轴平行时，点落在处，点落在处，求（    ） A． B． C． D． 6．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，放风筝的人与风筝的水平距离是90米，若拉紧的风筝线与水平线的夹角，则放出的线的长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（2024·海南省直辖县级单位·三模）如图，在中，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取，使．②分别以点和点为圆心，以大于，两弧在内交于点．③作射线交于点，若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 8．（2021·浙江嘉兴·一模）将一张长宽分别为和的长方形纸片按如图方式折叠，使点分别落在长方形纸片内的点处，折痕分别交于点，且满足．喜欢探究的小明通过独立思考，得到两个结论：①当点在一条直线上时，；②当时，四边形是菱形．下列判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都正确 D．①，②都错误 9．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）正方形对角线交于O，点E和F分别在和延长线上，且，连结，其中与和交于点G和M，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，已知点M在反比例函数位于第二象限的图象上，点N在x轴的负半轴上，连接交该图象于点P，若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，给出以下结论：的度数随着k的值的变化而变化；②的面积随着k的值的变化而变化；③；④的面积为．其中正确的有（    ） A．① B．①② C．②③ D．②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与x轴夹角为，将沿直线翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线（）上，则 ． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，若，则的值是 ． 13．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，小明驾车从A地途经B地到C地，在地图上测得B地在A地的北偏西方向，C地在B地的北偏东方向，C地在A地的北偏东方向，A地到B地的距离是，那么A，C两地的距离约为 ．(结果保留到．参考数据：) 14．（2024九年级下·全国·专题练习）点E，F分别是图1中矩形的边，的中点，沿虚线剪为四块，拼成如图2无缝隙无重叠的平面图形，已知阴影部分的面积是空白面积的8倍，则的正切值是 ． 15．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，E，F分别是，的中点，M是上的一点，，分别沿，两条不同的直线剪两刀，使剪得的三块纸片恰能拼成一个等腰三角形（不能有重叠和缝隙），则拼成的等腰三角形的底角的正切值为 ． 16．（23-24九年级下·浙江金华·开学考试）如图，半圆是一棱镜的横截面，为其直径，一束光线在半圆上的点处发生折射，且折射光线在上的点处发生反射，反射光线又在半圆上的点处发生折射射出棱镜．已知，图中箭头方向表示光的方向，虚线表示法线或入射平面（法线都经过点），则 ． 17．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，图中用实线表示的线段与斜边垂直，用虚线表示的线段都与直角边垂直，按照这一规律一直画下去，就会有无数条实线线段，则图中这无数条实线线段的和： ． 18．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则： （1）的度数是 ； （2）的长是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）计算： (1) (2) 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形中，，，点在边上，，垂足为． (1)求证：； (2)若，则的值为________ 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，是等腰直角三角形，，点D，E分别在边上运动，连接交于点F，且始终满足．   求证： (1)； (2)； (3)若，求的长． 22．（本小题满分10分）（2024·四川眉山·二模）我国一艘巡航船在南海海域处巡逻，岛上的海军发现点在点的正西方向，岛上的海军发现点在点的南偏东的方向上，已知点在点的北偏西方向上，且、两地相距120海里，如图所示． (1)求此时点到岛的距离； (2)上的处有一只渔船发出求救信号，希望处的巡航船沿方向在个小时赶到处进行救援，若巡航船以每小时海里／小时的速度能提前到达吗？已知在岛测得点在的南偏东的方向上．（不计水流速度，结果保留根号） 23．（本小题满分10分）（2024·浙江·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·广东深圳·期中）综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动． 【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形中，，，P为边上的一动点，以为边向右作等边，连接，如何求的最小值？ 【探究发现】小亮发现：如图4所示，以为边向下构造一个等边，便可得到，进而将的最小值转化为的最小值的问题． （1）按照小明的想法，求证：；并求出的最小值． 【拓展应用】 （2）小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2，若将图1当中构造的等边三角形，改为以为边向右构造正方形，在运动过程中，求出的最小值． （3）小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3，若将图2当中构造的正方形改为以为边向右构造菱形，使，也可求得的最小值．请你直接写出最小值为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A B A A C A C C 1．C 【分析】本题考查对有理数、无理数的定义、平方根和立方根、锐角三角函数．正确理解无理数的定义是解题的关键，注意无理数包括三种形式：（1）开方开不尽的数，如：；（2）无限不循环小数，如：（相邻两个2之间依次多1个0）；（3）含有的某些数，如：． 根据有理数以及无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可． 【详解】解：A、是无理数，不符合题意； B、是无理数，不符合题意； C、是有理数，符合题意； D、是无理数，不符合题意； 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了三角形函数，利用勾股定理求出，再根据正弦、余弦和正切的定义计算即可判断求解，掌握正弦、余弦和正切的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，，， ∴选项正确，选项错误， 故选：． 3．A 【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出∠A=∠1，然后在Rt△ACB中，根据三角函数的定义解答即可． 【详解】解：如图，分别取A、B、C点， ∵∠1和∠BAC所对的弧相同， ∴∠BAC=∠1， ∵AC⊥CB， 在Rt△ACB中， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，圆周角定理，解题的关键是通过同弧所对的圆周角相等，把∠1转化为∠A． 4．B 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题意求出的值并画出图形，与的值进行比较即可得到此三角形解的情况. 【详解】由题意得： ， ， 如图， ∴此三角形解的情况有两种， 故选： B. 5．A 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理和解直角三角形，过作轴于点，交于点，由旋转性质可知：， ，则由勾股定理得， 则，，最后用正切的定义即可解，熟练掌握知识点的运用是解题的关键． 【详解】如图，过作轴于点，交于点， ∵，， ∴， 由旋转性质可知：， ∴，，， ∴， ∴，则由勾股定理得： ∴，， ∴， 故选：． 6．A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵米，，， ∴， ∴， 故选：A． 7．C 【分析】本题是一道典型的利用胡不归模型解决线段和最值得问题，胡不归模型的重点就在于能否把转化成为，根据题目中的条件构造直角三角形是解决本道题的关键． 根据题目中所给的条件，判断AF为角平分线，由问题可知，需要利用胡不归模型构建直角三角形，转化两条线段和为一条线段，利用三角函数求出线段长度． 【详解】解：由作图步骤可知，射线为的角平分线， ， ， 平分， ， 过点作于，交于， 在中，， ， ， 根据点到直线的距离，垂线段最短，此时值最小， 在中，， ， ， ， 故选：C． 8．A 【分析】由题意得，由折叠的性质可得，，然后可得，进而可分别当点在一条直线上时和当时进行求解即可． 【详解】解：①当点在一条直线上时，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则有， ∴， ∴在中，，即， 解得：， ∵， ∴，故①正确； ②当时，如图所示： 延长，分别交AD、BC于点G、H，过点作于点P， 由①可知，，， ∴∠EHB=∠DEH=60°，，， ∴，则cm， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 由，BC=4cm，可得： ， ∴在Rt△中，， ∴四边形不是菱形，故②错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查三角函数、矩形的性质、折叠的性质、菱形、平行四边形的判定、含30°直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握三角函数、矩形的性质、折叠的性质、菱形、平行四边形的判定、含30°直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 9．C 【分析】证明，则，，，如图，作于，于，证明，则，，证明，则，设，，则，，，，，证明，则，即，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， 如图，作于，于， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质， 正切等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质， 正切是解题的关键． 10．C 【分析】过P作轴于H，过M作于G，过M作轴于L， 设，由是以为斜边的等腰直角三角形，证明，可得，而M在反比例函数位于第二象限的图象上，得到，可得，故，故③正确，①错误；求出，可得的面积为，故④错误，②正确； 【详解】解：过P作轴于H，过M作于G，过M作轴于L，如图： 设，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， ，， ， ∵M在反比例函数位于第二象限的图象上， ， ，即， 解得， ， ， ，故③正确； 的度数不会随着k的值的变化而变化，故①错误； ， ， ∴的面积为，故④错误； ∴的面积随着k的值的变化而变化，故②正确； ∴正确的有②③， 故选：． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 11． 【分析】本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点C的坐标是解答此题的关键．设点C的坐标为，过点C作轴，作轴，由折叠的性质易得，，，用锐角三角函数的定义得，，得点C的坐标，进而得出答案． 【详解】解：设点C的坐标为，过点C作轴，作轴， ∵将沿直线翻折， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∵点C在第二象限， ∴， ∵点C恰好落在双曲线 ∴ 故答案为：． 12． 【分析】本题考查三角函数解直角三角形，解一元二次方程，由推出，进而得出，再解一元二次方程可得答案． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 令，则， 解得， ， ， 故答案为：． 13．5.5 【分析】本题解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点作于点，根据正弦的定义求出，余弦定义求出，再根据等腰直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：， ， 在中，，， ， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 则， ∴， 答：A，C两地的距离约为． 故答案为：5.5． 14． 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；设，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：设， 根据题意知大正方形面积等于小正方形面积的9倍， 则， ， 整理，得， ． ， 故答案为． 15．或2 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求正切值，延长，分别交直线于点K、H，证明分别沿，两条不同的直线剪两刀，拼接成的三角形为，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：延长，分别交直线于点K、H，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴，， ∵点F为中点， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴分别沿，两条不同的直线剪两刀，拼接成的三角形为， ①当时，过点M作于点N，如图所示： ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ； ②当时， ∵， ∴， ∵点F为中点， ∴， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ， ∴拼成的等腰三角形的底角的正切值为或2． 故答案为：或2． 16．/ 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形和相似三角形，利用相关性质解答． 过点M作于点D，过点N作于点E，通过证明，得出，设，则，，通过证明，得出，进而推出，再构造含15度的直角三角形，即可解答． 【详解】解：过点M作于点D，过点N作于点E， 设， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 由光的反射可得：， ∴， ∴，即， 整理得：， ∴， ∴， ∴． 构造如图所示直角三角形，使， 设， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴． 故答案为：． 17． 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键，同时掌握同角的余角相等，平行线的判定与性质．先根据求出的值，然后根据已知条件证得，从而求得，同理可得，，，，，，最后即可求出答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， ， 同理，，，，，， ． ．．． ， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用三角形相似及可得，再利用三角形的外角性质结合可求得； （2）作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：(已知)， ，， ， ， 为等边三角形， ，， ， ，， 如图，过点作的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：，． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值的计算，实数的混合运算， （1）先计算特殊角的三角函数值，去绝对值，负指数幂，再根据实数的混合运算即可求解； （2）先计算负指数幂，零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值，再根据实数混合运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：    ． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正切函数的定义和矩形的性质，利用图形中发现公共角、公共边等隐含条件证明相似三角形是解答本题的关键． （1）先根据矩形的性质得，，，然后利用得到，最后结合，即可证明； （2）先利用勾股定理得出，由得，可求出，然后证明，最后根据正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ，，， ∵， ， ， ， ，， ； （2）解：在中，， ， ∴，即，解得， ∵，， ∴， 四边形为矩形， ， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， 故答案为：． 21．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识． （1）求出，，则，又由即可证明，则，结论得证； （2）证明，则，得到，进一步即可得到，又由，即可证明结论； （3）勾股定理求出，由，得到，则，由勾股定理得到，由（2）可知，，则，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， 由（2）可知，， ∴， ∴， 即的长为． 22．(1)点到岛的距离为海里 (2)能 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键时添加辅助线，构造直角三角形： （1）过点作，分别解，求出的长即可； （2）过点作，设，分别解，求出的值，比较巡航船2小时行驶的路程与的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点作，则：， 由题意，得：，， 在中，， 在中，， ∴点到岛的距离为海里； （2）过点作，设，则：， 由题意，得：，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴巡航船以每小时海里／小时的速度能提前到达． 23．(1)支点O到小竹竿的距离 (2)点A上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点G，由题意可知，，在中，应用特殊角三角函数值求即可； （2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解． 【详解】（1）解：作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∴支点O到小竹竿的距离． （2）解：记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， ， 在中， m ∴点A上升的高度为． 24．（1）见解析，；（2）；（3） 【分析】（1）过点作于，交于，可证得，得出，由为定点，可得当时，即点与点重合时，最小，再利用解直角三角形求得即可； （2）以为边向下作正方形，连接、交于点，连接，，过点作于，交于，可推出，，证得，得出，即，故当取得最小值时，最小，利用解直角三角形求得，进而可求得的最小值； （3）连接、交于，在下方作射线、射线，使，射线、射线交于点，过点作于，交于，连接，可证得，得出，即，故当取得最小值时，最小，由点为定点，可得当，即点与点重合时，最小，运用解直角三角形即可求得答案． 【详解】解：（1）如图，过点M作于K，交于L， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中，， ∴ ∴当最小时，最小， ∵M为定点， ∴当时，即点P与点K重合时，最小， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为； （2）如图，以为边向下作正方形，连接交于点O，连接，过点O作于，交于T， ∵四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 当BG取得最小值时，最小， ∵点O为定点， ∴当时，即点P与点重合时，最小， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为12， ∴的最小值为， （3）如图，连接交于O，在下方作射线、射线，使，射线、射线交于点Q，过点Q作于，交于K，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，最小， ∵点Q为定点， ∴当，即点P与点重合时，最小， 由（2）知：， ∴， ∴的最小值． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等三角形和相似三角形，此题难度较大，属于中考压轴题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$