专题07 锐角三角函数与解直角三角形期末题型专练（期末复习专项训练）九年级数学上学期浙教版

专题07 锐角三角函数与解直角三角形期末题型专练 题型1 锐角三角函数的定义 题型5 解直角三角形的应用（重点） 题型2 锐角三角函数间的关系 题型6 坡度和坡角问题 题型3 特殊角的三角函数值（常考点） 题型7 仰角、俯角问题（常考点）（重点） 题型4 解直角三角形（常考点）（重点）（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 锐角三角函数的定义（共3小题） 1．（2024秋•北仑区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果把Rt△ABC的各边都扩大为原来的4倍，则sinA的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 2．（2024秋•丽水期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•湖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，则sin∠BAC的值为（　　） A． B． C． D． 题型二 锐角三角函数间的关系（共3小题） 1．（2024秋•海曙区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，下列结论：①；②；③，其中结论正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024秋•义乌市校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tanA，那么sinA＝ ． 3．（2024秋•慈溪市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若，则tanB的值是 　 ． 题型三 特殊角的三角函数值（共5小题） 1．（2024秋•义乌市校级期末）（1）计算：2cos245°﹣tan30°•sin60°． （2）求中锐角α的值． 2．（2024秋•江北区期末）计算：． 3．（2024秋•东阳市期末）计算：sin230°﹣2cos30°•tan60°•sin245°． 4．（2024秋•上虞区期末）计算：4cos230°+tan45°﹣8sin260°． 5．（2024秋•义乌市校级期末）计算：sin45°+2cos30°﹣tan60°+（﹣1）2025． 题型四 解直角三角形（共10小题） 1．（2024秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线，设∠A＝α，则（　　） A．BD＝AB•sin2α B．BD＝AB•sinα•tanα C．AD＝AB•cosα•sinα D．AD＝AB•cosα•tanα 2．（2024秋•杭州期末）如图，点P是锐角∠BAC的边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AC于点Q．若，则tanA＝（　　） A． B．2 C． D． 3．（2024秋•嵊州市期末）如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，A，B，O三点均在格点上，则sin∠AOB的值是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•鄞州区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AB＝10，则BC的长是（　　） A．6 B．8 C． D． 5．（2024秋•杭州期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为 ． 6．（2024秋•越城区期末）如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，AP⊥DP，CD⊥DP，若BC＝18，AB＝4，tanC，则DP的长是 ． 7．（2024秋•婺城区校级期末）如图，将Rt△ABC以直角顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转90°得到Rt△DEC，延长AB，交DE于点F，设tanA＝k，则的值为（　　） A．1﹣k B．k C． D． 8．（2024秋•永康市期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，，设△ABC和△DBC的面积分别为S1和S2，则的值为（　　） A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.4 9．（2024秋•鹿城区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上的一点，BC＝6，． （1）求AC的长． （2）若AC﹣CD＝2，求sin∠CAD的值． 10．（2024秋•上虞区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB于点E，连接CE． （1）求BE的长； （2）求tan∠ECB的值． 题型五 解直角三角形的应用（共7小题） 1．（2024秋•鹿城区期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角∠BAC＝130°，点D在伞柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝m，则AD的长度可表示为（　　） A．msin65° B．mcos65° C．2msin65° D．2mcos65° 2．（2024秋•永康市期末）如图，教室内的地面上有个倾倒的畚箕，手柄BC⊥AB，∠BCA＝α，小天将畚箕绕点A按顺时针方向旋转后平放在地面，则B′C的长可表示为（　　） A． B． C．BC•（cosα+tanα） D． 3．（2024秋•温州期末）如图1是一款折叠床，图2是其侧面示意图，若AB＝AC＝a，BD＝CD＝b，∠BAC＝60°，∠BDC＝110°，则点A，D之间的距离为（　　） A．asin30°﹣bcos55° B．acos30°﹣bsin55° C．asin30°﹣bsin55° D．acos30°﹣bcos55° 4．（2024秋•江北区期末）小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究． 已知笔记本电脑屏幕宽AB＝BC＝23cm．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：sin70°≈0.9，cos70°≈0.3） （1）如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使∠ABC＝110°，求此时电脑屏幕上点A与桌面的距离． （2）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使∠ABC分别为110°与120°时，点A距离桌面的高度差． 5．（2024秋•永康市期末）台风“康妮”来袭，小胜发现校园内一棵大树被吹斜了，他想利用所学知识测算倾斜后的大树顶端A距离地面的高度．他在同一时刻测得如下数据：①大树AB的影长BC为10m；②大树与地面所成锐角∠ABC大约为76°；③点D处竖直放置1.6m的竹竿DE，其影长DC为1.2m．（参考数据：tan76°≈4，sin76°≈0.97，tan37°） （1）该时刻太阳光线与水平地面所成夹角∠ACB为多少度？ （2）小胜收集的数据能否帮助他计算出大树顶端A距离地面的高度？若能，请计算出结果；若不能，请说明理由． 6．（2024秋•嵊州市期末）“腊月二十五，推磨做豆腐”．嵊州市某新农村至今还保留着过除夕前磨豆腐的传统习俗．如图1是磨豆腐用的传统工具老石磨，主要部件为一条磨凳，上下两个磨盘，一根推拉杆以及用拉绳稳定的推拉用的扶手等．图2是老石磨静止时的示意图，推拉杆AB及扶手CD平行于水平面，E是天花板顶部的拉钩，两根拉绳与扶手CD恰好组成等腰三角形CDE，此时拉钩E与扶手CD的中心点B所在的直线垂直于水平面．现测得推拉杆AB距地面的高度为1.2m，天花板顶部E距地面3.1m，若∠BCE＝80°，求两根拉绳的总长度至少为多少m． （结果精确到0.01m．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67） 7．（2024秋•拱墅区期末）图1是某种笔记本电脑支架．如图2，其底座AB放置在水平桌面上，通过调节点C，点D处的角度，控制托盘EF的位置．电脑机身和屏幕分别用线段EG，GH表示，CD＝16cm，EG＝GH＝21cm，ED＝5cm． （1）若∠ACD＝60°，∠CDG＝90°． ①为使屏幕与桌面保持垂直，求∠EGH的度数． ②求点H到桌面的最大距离（不计材料的厚度）． （2）在（1）的情况下，保持∠CDG＝90°，并逐渐减小∠ACD的度数．圆圆同学说：“点G到桌面的距离越来越小．”点点同学说：“点G到桌面的距离先变大，后变小．”你认为谁的说法正确，说明理由． 题型六 坡度和坡角问题（共5小题） 1．（2024秋•温州期末）为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度i＝1：的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为2米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为 　 　 米． 2．（2024秋•湖州期末）如图，在教学楼走廊上有一拖把以30°的倾斜角斜靠在墙面上，影响了同学们的行走，小明自觉地将拖把从点A挪动到了点A′的位置，使其倾斜角变为60°如果拖把的长为2米，则行走的通道拓宽了 　 　 米．（结果保留根号） 3．（2024秋•上虞区期末）如图1和图2，将一个成Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5cm（如箭头所示），那么木桩上升（　　）厘米． A．5tan10° B．5sin10° C． D． 4．（2024秋•义乌市校级期末）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为；斜坡AB改造为斜坡CD，斜坡＝260米，其坡度为1：3．求斜坡AB下降的高度AC．（结果保留根号） 5．（2024秋•丽水期末）一个长方体木箱沿着斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，BC＝2.9m．已知木箱高AB＝1.2m，斜面坡角∠BCD为37°．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （1）过点B作BE⊥CD于点E，求BE的长（精确到0.1m）； （2）求木箱端点A距地面CD的高度（精确到0.1m）． 题型七 仰角、俯角问题（共7小题） 1．（2024秋•义乌市期末）如图小明在点C处测得树顶端A的仰角为α，且BC＝20米，则树高度AB为（　　）米． A．20tanα B． C．20sinα D． 2．（2024秋•宁波期末）如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，小明进行如下的测量．已知测角仪的高度AB为1.75m，从点B处看塔顶P的仰角为30°，向前移动64m到达C点，从点D处看塔顶P的仰角为60°． （1）求点D与塔顶P的距离； （2）若在点D处看塔底E的仰角为23°，且测得点E到塔中心F的距离为5m．求古塔的高度PF（参考数据：sin23°≈0.39，cos23°＝0.92，tan23°＝0.42，，结果精确到0.1米）． 3．（2024秋•杭州期末）如图是一个广场的改造平面示意图，已知斜坡AB长60m，坡角∠BAC为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分，修建一个平行于水平地面CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（1.73，结果精确到0.1米） （1）若改造后的新的斜坡BE的坡比为：1，求平台DE的长是多少米？ （2）一幢建筑物GH距离A点30m远（即AG＝30m），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角∠HDM为30°．点B，C，A，G，H，D，E在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？ 4．（2024秋•北仑区期末）无人机是进行空中拍摄的常见工具．如图，两个观测者从A，B两地观测空中C处的一架无人机，分别测得仰角为45°，53°，已知此时无人机的高度为80m．当无人机竖直向上飞行2s后到达点C1，在A处测得无人机的仰角为51.4°．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°，cos51.4°） （1）求A，B两地的距离． （2）很多城市有无人机限高（120m），求继续匀速上升几秒后无人机达到限定高度． （3）假设无人机匀速上升时的速度与匀速水平飞行时的速度相同．到达限高后，无人机沿与AB平行的路线（如图所示）继续匀速飞行9s后，从B处观测无人机的仰角为 　 　 ． 5．（2024秋•温州期末）数学与生活：测量二号楼的高度． 素材1：如图，从点O看一号楼，观测楼顶点P的仰角是30°，向前走90m到达A点，测得楼顶点P的仰角是60°． 素材2：一架无人机悬停在点H处，在此处测得一号楼顶部E的俯角为37°，二号楼顶部F的俯角为53°，点H到地面距离HM为90m，且．（参考数据： 任务1：根据素材1的测量数据，求出一号楼CE的高度．（保留根号） 任务2：根据素材2的测量数据，求出二号楼DF的高度．（保留根号） 6．（2024秋•鄞州区期末）宁波中心大厦是浙江在建第一高楼，某兴趣小组用无人机航拍测量宁波中心大厦的高度．无人机的起飞点为地面上的点O处，点O与办公楼的水平距离OA为100m，与宁波中心大厦的水平距离OB为260m．无人机先从点O处垂直起飞，到高度为89米的P处时，沿与地面平行方向水平飞行到点Q，此时测得办公楼顶部C的仰角∠CQE为58°，宁波中心大厦顶部D的仰角∠DQE也为58°．已知办公楼AC的高度是153m． （1）求从点P飞行到点Q的水平距离； （2）求宁波中心大厦的高度． （参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）． 7．（2024秋•湖州期末）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．在“综合与实践”活动中，瑶瑶计划借助无人机测量月亮酒店大楼AB的高度，她设计了如下测量方案： 如图，瑶瑶站在离月亮酒店大楼水平距离为40米的广场高地E处，E处高出湖面的距离CE＝2.4米，无人机旋停在点C正上方的点D处，测得月亮酒店大楼AB的顶部B处的俯角α的正切值是，此时无人机离湖面的高度CD为120米，已知瑶瑶的目高（眼睛到地面的距离）EF＝1.6米． （1）求月亮酒店大楼AB的高度． （2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过12秒时，无人机是否离开瑶瑶的视线FB？请说明理由． $专题07 锐角三角函数与解直角三角形期末题型专练 题型1 锐角三角函数的定义 题型5 解直角三角形的应用（重点） 题型2 锐角三角函数间的关系 题型6 坡度和坡角问题 题型3 特殊角的三角函数值（常考点） 题型7 仰角、俯角问题（常考点）（重点） 题型4 解直角三角形（常考点）（重点）（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 锐角三角函数的定义（共3小题） 1．（2024秋•北仑区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果把Rt△ABC的各边都扩大为原来的4倍，则sinA的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【分析】根据正弦的定义解答． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴sinA． 如果把Rt△ABC的各边都扩大为原来的4倍， ∴sinA′， ∴sinA的值不变． 故选：A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的相关知识，明确正弦的定义是解题的关键． 2．（2024秋•丽水期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正切的定义即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键要熟练掌握正切的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 3．（2024秋•湖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，则sin∠BAC的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正弦的定义解答即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2， 则sin∠BAC， 故选：B． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦． 题型二 锐角三角函数间的关系（共3小题） 1．（2024秋•海曙区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，下列结论：①；②；③，其中结论正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据勾股定理，可用BC表示AB，根据锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2BC， 由勾股定理，得ABBC， ①sinA，故①错误； ②cosA，故②错误； ③tanA，故③正确； 故选：B． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．（2024秋•义乌市校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tanA，那么sinA＝ ． 【分析】作出图形，设BC＝k，AC＝2k，利用勾股定理列式求出AB，再根据锐角的正弦即可得解． 【解答】解：如图， ∵tanA， ∴设BC＝k，AC＝2k， 由勾股定理得，ABk， ∴sinA． 故答案为：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用“设k法”表示出三角形的三边求解更加简便． 3．（2024秋•慈溪市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若，则tanB的值是 　 ． 【分析】根据题意设BC＝3a，AB＝4a，然后利用勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵sinA， ∴设BC＝3a，AB＝4a， ∴ACa， ∴tanB． 故答案为：． 【点评】本题考查互余两角的三角函数关系，解题的关键是掌握三角函数的定义． 题型三 特殊角的三角函数值（共5小题） 1．（2024秋•义乌市校级期末）（1）计算：2cos245°﹣tan30°•sin60°． （2）求中锐角α的值． 【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入计算得到答案； （2）根据30°的正切值是解答． 【解答】解：（1）原式＝2×（）21； （2）3tan（α﹣20°）， 则tan（α﹣20°）， ∴α﹣20°＝30°， ∴α＝50°． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．（2024秋•江北区期末）计算：． 【分析】根据特殊角的函数值sin30°； cos30°；tan30°；sin45°；cos45°；tan45°＝1；sin60°；cos60°； tan60°；代入计算即可． 【解答】解：原式， ． ． 【点评】此题主要考查了特殊角的函数值，关键是正确掌握特殊角的函数值． 3．（2024秋•东阳市期末）计算：sin230°﹣2cos30°•tan60°•sin245°． 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算得到答案． 【解答】解：sin230°﹣2cos30°•tan60°•sin245° ＝（）2﹣2（）2 ． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．（2024秋•上虞区期末）计算：4cos230°+tan45°﹣8sin260°． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解：4cos230°+tan45°﹣8sin260° ＝4×（）2+1﹣8×（）2 ＝41﹣8 ＝3+1﹣6 ＝﹣2． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．（2024秋•义乌市校级期末）计算：sin45°+2cos30°﹣tan60°+（﹣1）2025． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答． 【解答】解：原式21 1． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 题型四 解直角三角形（共10小题） 1．（2024秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线，设∠A＝α，则（　　） A．BD＝AB•sin2α B．BD＝AB•sinα•tanα C．AD＝AB•cosα•sinα D．AD＝AB•cosα•tanα 【分析】根据正弦，余弦及正切的定义，依次对所给选项进行判断即可． 【解答】解：由题知， ∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线， ∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD． 在不同的直角三角形中， 根据正弦、余弦及正切的定义可知， sinα； cosα； tanα； AB•sin2α＝AB， 由得，BC2＝AB•BD， 所以， 即BD＝ABsin2α． 故A选项符合题意． AB•sinα•tanα＝AB， 显然BC与CD一定不相等， 所以AB•sinα•tanα一定不等于BD． 故B选项不符合题意． AB•cosα•sinα＝ABCD， 显然AD与CD一定不相等， 所以AB•cosα•sinα一定不等于AD． 故C选项不符合题意． AB•cosα•tanα＝ABBC， 显然AD与BC不一定相等， 所以AB•cosα•tanα不一定等于AD． 故D选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本主要考查了解直角三角形，熟知正弦、余弦及正切的定义是解题的关键． 2．（2024秋•杭州期末）如图，点P是锐角∠BAC的边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AC于点Q．若，则tanA＝（　　） A． B．2 C． D． 【分析】根据正切的定义进行求解即可． 【解答】解：由题知， ∵PQ⊥AC， ∴∠AQP＝90°． 在Rt△APQ中， tanA． 又∵， ∴tanA． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键． 3．（2024秋•嵊州市期末）如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，A，B，O三点均在格点上，则sin∠AOB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AB，分别过点O和点A作AB及OB的垂线，垂足分别为M，N，利用面积法求出AN的长再结合正弦的定义即可解决问题． 【解答】解：连接AB，分别过点O和点A作AB及OB的垂线，垂足分别为M，N， 由勾股定理得， OA＝OB， AB． ∵OA＝OB，OM⊥AB， ∴AM． 在Rt△OAM中， OM． ∵， ∴AN． 在Rt△OAN中， sin∠AOB． 故选：A． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，能通过辅助线构造出合适的直角三角形、熟知正弦的定义及巧用面积法是解题的关键． 4．（2024秋•鄞州区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AB＝10，则BC的长是（　　） A．6 B．8 C． D． 【分析】利用正弦的定义求值即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AB＝10， ∴， 解得：AC＝6． 由勾股定理得：， 故选：B． 【点评】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 5．（2024秋•杭州期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为 ． 【分析】借助于格点，连接BM，AM，得出BM∥DC，进而得出∠ABM＝∠APC，最后在Rt△ABM中根据正弦的定义即可解决问题． 【解答】解：连接BM，AM， 则BM∥DC，∠AMB＝90°， ∴∠ABM＝∠APC． 令正方形网格的边长为a， 则AM， AB． 在Rt△ABM中， sin∠ABM， ∴sin∠APC＝sin∠ABM． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，能通过辅助线构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 6．（2024秋•越城区期末）如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，AP⊥DP，CD⊥DP，若BC＝18，AB＝4，tanC，则DP的长是 ． 【分析】先根据所给条件得出AP∥CD，进而得出∠APB＝∠C，再结合正切的定义及AB的长求出BP的长，进一步可求出PC的长，最后再结合∠C的正切即可解决问题． 【解答】解：∵AP⊥DP，CD⊥DP， ∴∠APD＝∠D＝90°， ∴AP∥CD， ∴∠APB＝∠C， ∴tan∠APB＝tanC． 在Rt△ABP中， tan∠APB， ∴， 则PB＝8． 又∵BC＝18， ∴PC＝18﹣8＝10． 在Rt△DCP中， tanC， ∴DC＝2DP， ∴DP2+（2DP）2＝102， 解得DP， ∴DP的长是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键． 7．（2024秋•婺城区校级期末）如图，将Rt△ABC以直角顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转90°得到Rt△DEC，延长AB，交DE于点F，设tanA＝k，则的值为（　　） A．1﹣k B．k C． D． 【分析】在Rt△ABC中，根据tanAk，设AC＝a，则BC＝ak，由旋转的性质得：CD＝AC＝a，CE＝BC＝ak，∠D＝∠A，则BD＝a﹣ak，AE＝a+ak，证明∠DFB＝90°得△DBF和△AEF都是直角三角形，在Rt△DFB中，sinD，在Rt△AEF中，sinA，由此得，据此可得的值． 【解答】解：在Rt△ABC中，tanAk， 设AC＝a，则BC＝ak， 由旋转的性质得：CD＝AC＝a，CE＝BC＝ak，∠D＝∠A， ∴BD＝CD﹣BC＝a﹣ak，AE＝AC+CE＝a+ak， ∵∠A+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠DBF，∠D＝∠A， ∴∠D+∠DBF＝90°， ∴∠DFB＝90°， ∴△DBF和△AEF都是直角三角形， 在Rt△DFB中，sinD， 在Rt△AEF中，sinA， ∵∠D＝∠A， ∴， ∴． 故选：D． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，图形的旋转及其性质，熟练掌握图形的旋转及其性质，灵活运用锐角三角函数的定义进行计算是解决问题的关键． 8．（2024秋•永康市期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，，设△ABC和△DBC的面积分别为S1和S2，则的值为（　　） A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.4 【分析】先根据三角形的面积公式得出，进而得出，再结合∠CBD的正弦得出即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为AC⊥BD， 所以， 所以． 在Rt△BCE中， sin∠CBD． 令CE，BC＝10k， 则BE， 所以． 又因为， 所以． 故选：C． 【点评】本题主要考查了解直角三角形及三角形的面积，能根据三角形的面积公式表示出及熟知正弦的定义是解题的关键． 9．（2024秋•鹿城区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上的一点，BC＝6，． （1）求AC的长． （2）若AC﹣CD＝2，求sin∠CAD的值． 【分析】（1）根据正切定义求解即可； （2）根据勾股定理求出AD＝2，再根据正弦定义求解即可． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，， ∴， ∴AC＝4； （2）∵AC＝4，AC﹣CD＝2， ∴CD＝2， ∴AD2， ∴sin∠CAD． 【点评】此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义是解题的关键． 10．（2024秋•上虞区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB于点E，连接CE． （1）求BE的长； （2）求tan∠ECB的值． 【分析】（1）根据勾股定理求出AB，证明△AED∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案； （2）作EF⊥BC于F，根据相似三角形的性质求出EF、CF，根据正切的定义计算即可． 【解答】解：（1）由勾股定理得，AB3， 由题意得，AD＝2，CD＝1， ∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A， ∴△AED∽△ACB， ∴，即， 解得，AE， ∴BE＝AB﹣AE＝2； （2）作EF⊥BC于F， 则EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， ∴，即， 解得，EF＝2，BF＝2， ∴CF＝1， ∴tan∠ECB2． 【点评】本题考查的是解直角三角形、相似三角形的判定和性质、掌握正切的定义、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型五 解直角三角形的应用（共7小题） 1．（2024秋•鹿城区期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角∠BAC＝130°，点D在伞柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝m，则AD的长度可表示为（　　） A．msin65° B．mcos65° C．2msin65° D．2mcos65° 【分析】连接EF交AD于点O，根据已知易得：四边形AEDF是菱形，从而利用菱形的性质可得OA＝ODAD，∠AOF＝90°，∠FAD＝65°，然后在Rt△AOF中，利用锐角三角函数的定义求出AO的长，从而求出AD的长，即可解答． 【解答】解：连接EF交AD于点O， ∵AE＝AF＝DE＝DF＝m， ∴四边形AEDF是菱形， ∴OA＝ODAD，∠AOF＝90°，∠FAD∠EAF＝65°， 在Rt△AOF中，AO＝AF•cos65°＝mcos65°， ∴AD＝2AO＝2mcos65°， ∴AD的长度可表示为2mcos65°， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（2024秋•永康市期末）如图，教室内的地面上有个倾倒的畚箕，手柄BC⊥AB，∠BCA＝α，小天将畚箕绕点A按顺时针方向旋转后平放在地面，则B′C的长可表示为（　　） A． B． C．BC•（cosα+tanα） D． 【分析】根据垂直定义可得：∠ABC＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC和AB的长，再利用旋转的性质可得：AB′＝AB＝BC•tanα，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，∠BCA＝α， ∴AC，AB＝BC•tanα， 由旋转得：AB′＝AB＝BC•tanα， ∴B′C＝AC+AB′BC•tanα＝BC•（tanα）， 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（2024秋•温州期末）如图1是一款折叠床，图2是其侧面示意图，若AB＝AC＝a，BD＝CD＝b，∠BAC＝60°，∠BDC＝110°，则点A，D之间的距离为（　　） A．asin30°﹣bcos55° B．acos30°﹣bsin55° C．asin30°﹣bsin55° D．acos30°﹣bcos55° 【分析】连接BC，连接AD并延长交BC于点E，证明AD是BC的垂直平分线，△ABC是等边三角形，再由等边三角形的性质得∠BAD＝∠CAD＝30°，∠BDE＝∠CDE＝55°，然后在Rt△BDE和Rt△ABE中，由锐角三角函数的定义求出DE和AE的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接BC，连接AD并延长交BC于点E， ∵AB＝AC，DB＝DC，∠BAC＝60°， ∴AD是BC的垂直平分线，△ABC是等边三角形， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝30°，∠BDE＝∠CDE∠BDC＝55°， 在Rt△BDE中，BD＝b，DE＝BD•cos55°＝bcos55°， 在Rt△ABE中，AB＝a，AE＝AB•cos30°＝acos30°， ∴AD＝AE﹣DE＝acos30°﹣bcos55°， ∴点A，D之间的距离为acos30°﹣bcos55°， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等边三角形的性质以及翻折变换等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2024秋•江北区期末）小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究． 已知笔记本电脑屏幕宽AB＝BC＝23cm．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：sin70°≈0.9，cos70°≈0.3） （1）如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使∠ABC＝110°，求此时电脑屏幕上点A与桌面的距离． （2）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使∠ABC分别为110°与120°时，点A距离桌面的高度差． 【分析】（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，先利用平角定义可得∠ABD＝70°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）延长AB交CE于点F，根据题意可得：BF⊥CE，从而可得∠BFC＝90°，然后分别求出当∠ABC＝120°时，当∠ABC＝110°时，BF的长，从而进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵∠ABC＝110°． ∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝70°， 在Rt△ABD中，AB＝23cm， ∴AD＝AB•sin∠ABD＝23×sin70°≈23×0.9＝20.7（cm）， ∴此时电脑屏幕上点A与桌面的距离约为20.7cm； （2）延长AB交CE于点F， 由题意得：BF⊥CE， ∴∠BFC＝90°， 当∠ABC＝120°时， ∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝60°， 在Rt△BCF中，BC＝23cm， ∴BF＝BC•cos60°＝2311.5（cm）， 当∠ABC＝110°时， ∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝70°， 在Rt△BCF中，BC＝23cm， ∴BF＝BC•cos70°≈23×0.3＝6.9（cm）， ∴点A距离桌面的高度差＝11.5﹣6.9＝4.6（cm）， ∴点A距离桌面的高度差约为4.6cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．（2024秋•永康市期末）台风“康妮”来袭，小胜发现校园内一棵大树被吹斜了，他想利用所学知识测算倾斜后的大树顶端A距离地面的高度．他在同一时刻测得如下数据：①大树AB的影长BC为10m；②大树与地面所成锐角∠ABC大约为76°；③点D处竖直放置1.6m的竹竿DE，其影长DC为1.2m．（参考数据：tan76°≈4，sin76°≈0.97，tan37°） （1）该时刻太阳光线与水平地面所成夹角∠ACB为多少度？ （2）小胜收集的数据能否帮助他计算出大树顶端A距离地面的高度？若能，请计算出结果；若不能，请说明理由． 【分析】（1）根据垂直定义可得∠EDC＝90°，然后在Rt△EDC中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠DEC的值，从而可得：∠DEC≈37°，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）过点A作AF⊥BC，垂足为F，从而可得∠AFC＝∠EDC＝90°，进而可得AF∥ED，然后利用平行线的性质可得∠FAC＝∠CED＝37°，再设BF＝xm，则CF＝（10﹣x）m，最后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵ED⊥BC， ∴∠EDC＝90°， 在Rt△EDC中，DE＝1.6m，CD＝1.2m， ∴tan∠DEC， ∴∠DEC≈37°， ∴∠ACB＝90°﹣∠DEC＝53°， ∴该时刻太阳光线与水平地面所成夹角∠ACB约为53度； （2）过点A作AF⊥BC，垂足为F， ∴∠AFC＝90°， ∵∠EDC＝90°， ∴∠AFC＝∠EDC＝90°， ∴AF∥ED， ∴∠FAC＝∠CED＝37°， 设BF＝xm， ∵BC＝10m， ∴CF＝BC﹣BF＝（10﹣x）m， 在Rt△ABF中，∠ABF＝76°， ∴AF＝BF•tan76°≈4x（m）， 在Rt△ACF中，tan37°， 解得：x， 经检验：x是原方程的根， ∴AF＝4x＝10（m）， ∴大树顶端A距离地面的高度约为10m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 6．（2024秋•嵊州市期末）“腊月二十五，推磨做豆腐”．嵊州市某新农村至今还保留着过除夕前磨豆腐的传统习俗．如图1是磨豆腐用的传统工具老石磨，主要部件为一条磨凳，上下两个磨盘，一根推拉杆以及用拉绳稳定的推拉用的扶手等．图2是老石磨静止时的示意图，推拉杆AB及扶手CD平行于水平面，E是天花板顶部的拉钩，两根拉绳与扶手CD恰好组成等腰三角形CDE，此时拉钩E与扶手CD的中心点B所在的直线垂直于水平面．现测得推拉杆AB距地面的高度为1.2m，天花板顶部E距地面3.1m，若∠BCE＝80°，求两根拉绳的总长度至少为多少m． （结果精确到0.01m．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67） 【分析】易得EB的长度，进而根据80°的正弦值可得EC的长度，也就是ED的长度，相加即为两根拉绳的总长度． 【解答】解：如图：EB⊥CD，ED＝EC， ∴∠EBC＝90°， 由题意得：EB＝3.1﹣1.2＝1.9（m）， ∵∠BCE＝80°， ∴EC1.94（m）， ∴ED≈1.94（m）， ∴EC+ED≈3.88（m）． 答：两根拉绳的总长度至少为3.88m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．把生活中的立体图形转化为数学中的平面图形是解决本题的关键． 7．（2024秋•拱墅区期末）图1是某种笔记本电脑支架．如图2，其底座AB放置在水平桌面上，通过调节点C，点D处的角度，控制托盘EF的位置．电脑机身和屏幕分别用线段EG，GH表示，CD＝16cm，EG＝GH＝21cm，ED＝5cm． （1）若∠ACD＝60°，∠CDG＝90°． ①为使屏幕与桌面保持垂直，求∠EGH的度数． ②求点H到桌面的最大距离（不计材料的厚度）． （2）在（1）的情况下，保持∠CDG＝90°，并逐渐减小∠ACD的度数．圆圆同学说：“点G到桌面的距离越来越小．”点点同学说：“点G到桌面的距离先变大，后变小．”你认为谁的说法正确，说明理由． 【分析】（1）①易得CDE＝90°，∠BMG＝90°，根据四边形的外角和是360°可得∠EGH的度数； ②作DN⊥GM于点N，DH⊥AB于点H，分别求得GN和DH的长，再加上HG的长度，即为点H到桌面的最大距离； （2）判断出点G到桌面的距离的表示方法，取几个特殊值代入可得点G到桌面的距离，即可判断哪位同学的说法正确． 【解答】解：（1）①延长HG交AB于点M，则∠BMG＝90°， ∵∠CDG＝90°， ∴CDE＝90°， ∵四边形的外角和为360°，∠ACD＝60°， ∴∠EGH＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°； ②作DN⊥GM于点N，DH⊥AB于点H， ∴∠DNG＝90°，∠DHC＝90°， ∵∠ACD＝60°，CD＝16cm， ∴DH＝CD•sin60°＝8（cm）， ∵EG＝21cm，ED＝5cm， ∴DG＝21﹣5＝16（cm）， ∵∠EGH＝120°， ∴∠DGN＝60°， ∴GN＝16×cos60°＝8（cm）， ∵GH＝21cm， ∴点H到桌面的最大距离为：21+8+8（29+8）cm， 答：点H到桌面的最大距离为（29+8）cm； （2）点点同学的说法正确．理由如下： 设∠ACD＝α，则∠DGH＝180°﹣α， ∴∠DGN＝α， ∴点G到桌面的距离为：GN+DH＝16×cosα+16×sinα， 当∠ACD＝60°时，点G到桌面的距离为（8+8）cm， 当∠ACD＝45°时，点G到桌面的距离为：16×cos45°+16×sin45°＝16（cm）， 当∠ACD＝30°时，点G到桌面的距离为：16×cos30°+16×sin30°＝（88）cm， ∵8+816， ∴点G到桌面的距离先变大，后变小． ∴点点同学说得对． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．把所求的线段合理分割，整理到直角三角形中，是解决本题的关键． 题型六 坡度和坡角问题（共5小题） 1．（2024秋•温州期末）为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度i＝1：的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为2米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为 　 　 米． 【分析】根据题意可得：BC⊥AC，然后在Rt△ABC中，根据已知可得tan∠BAC，从而可得∠BAC＝30°，最后利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答． 【解答】解：由题意得：BC⊥AC， 在Rt△ABC中，tan∠BAC， ∴∠BAC＝30°， ∵AC＝2米， ∴AB4（米）， 故答案为：4． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．（2024秋•湖州期末）如图，在教学楼走廊上有一拖把以30°的倾斜角斜靠在墙面上，影响了同学们的行走，小明自觉地将拖把从点A挪动到了点A′的位置，使其倾斜角变为60°如果拖把的长为2米，则行走的通道拓宽了 　 　 米．（结果保留根号） 【分析】根据余弦的定义分别求出AO、A′O，计算即可． 【解答】解：在Rt△AOB中，∠BAO＝30°，AB＝2米， ∵cos∠BAO， ∴AO＝AB•cos∠BAO＝2（米）， 在Rt△A′OB′中，∠B′A′O＝60°，A′B′＝2米， 则A′O＝A′B′•cos∠B′A′O＝21（米）， ∴AA′＝AO﹣AA′＝（1）米， 故答案为：（1）． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（2024秋•上虞区期末）如图1和图2，将一个成Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5cm（如箭头所示），那么木桩上升（　　）厘米． A．5tan10° B．5sin10° C． D． 【分析】根据正切的定义计算即可． 【解答】解：在Rt△PNB中，BN＝5cm，∠PBN＝10°， ∵tan∠PBN， ∴PN＝BN•tan∠PBN＝5tan10°（cm）， 故选：A． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 4．（2024秋•义乌市校级期末）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为；斜坡AB改造为斜坡CD，斜坡＝260米，其坡度为1：3．求斜坡AB下降的高度AC．（结果保留根号） 【分析】根据坡度与坡角的关系得到∠ABE＝30°，根据正弦的定义求出AE，再根据坡度的概念、勾股定理求出CE，计算即可． 【解答】解：∵斜坡AB的坡度为1：， ∴， ∴∠ABE＝30°， ∴AE＝AB•sin∠ABE＝200×sin30°＝100（米）． ∵斜坡CD的坡度为1：3， ∴， ∴可设CE＝x米，则DE＝3x米． ∵CE2+DE2＝CD2，CD＝260米， ∴x2+（3x）2＝2602， 解得， ∴米． 因此斜坡AB下降的高度AC为米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度的概念、掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 5．（2024秋•丽水期末）一个长方体木箱沿着斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，BC＝2.9m．已知木箱高AB＝1.2m，斜面坡角∠BCD为37°．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （1）过点B作BE⊥CD于点E，求BE的长（精确到0.1m）； （2）求木箱端点A距地面CD的高度（精确到0.1m）． 【分析】（1）根据垂直定义可得：∠BEC＝90°，然后在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，即可解答； （2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，交BC于点H，过点B作BG⊥AF，垂足为G，根据题意可得：FG＝BE＝1.74m，∠AGB＝∠ABC＝∠CFG＝90°，从而可得∠C+∠CHF＝90°，∠BAH+∠AHB＝90°，再根据对顶角相等可得∠CHF＝∠AHB，从而入库单∠C＝∠BAH＝37°，然后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵BE⊥CD， ∴∠BEC＝90°， 在Rt△BCE中，∠BCD＝37°，BC＝2.9m， ∴BE＝BC•sin37°≈2.9×0.6＝1.74≈1.7（m）， ∴BE的长约为1.7m； （2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，交BC于点H，过点B作BG⊥AF，垂足为G， 由题意得：FG＝BE＝1.74m，∠AGB＝∠ABC＝∠CFG＝90°， ∴∠C+∠CHF＝90°，∠BAH+∠AHB＝90°， ∵∠CHF＝∠AHB， ∴∠C＝∠BAH＝37°， 在Rt△ABG中，AB＝1.2m， ∴AG＝AB•cos37°≈1.2×0.8＝0.96（m）， ∴AF＝AG+FG＝0.96+1.74≈2.7（m）， ∴木箱端点A距地面CD的高度约为2.7m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 题型七 仰角、俯角问题（共7小题） 1．（2024秋•义乌市期末）如图小明在点C处测得树顶端A的仰角为α，且BC＝20米，则树高度AB为（　　）米． A．20tanα B． C．20sinα D． 【分析】根据题意可得：∠ABC＝90°，∠ACB＝α，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，在点C处测得树顶端A的仰角为α，且BC＝20米， ∴∠ACB＝α， 在Rt△ABC中，AB＝BC•tanα＝20tanα（米）， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 2．（2024秋•宁波期末）如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，小明进行如下的测量．已知测角仪的高度AB为1.75m，从点B处看塔顶P的仰角为30°，向前移动64m到达C点，从点D处看塔顶P的仰角为60°． （1）求点D与塔顶P的距离； （2）若在点D处看塔底E的仰角为23°，且测得点E到塔中心F的距离为5m．求古塔的高度PF（参考数据：sin23°≈0.39，cos23°＝0.92，tan23°＝0.42，，结果精确到0.1米）． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，三角函数的定义等知识；运用三角函数求出PC和QC是解决问题的关键． 【解答】解：（1）如图1， ∵∠PBD＝30°，∠PDG＝60° ∴∠BPD＝∠PBD＝30° ∴PD＝BD＝64m． 答：点D与塔顶P的距离为64m； （2）如图，过点E，F作BD的垂线，分别交BD的延长线于点M，N． ∵∠PDG＝60°PD＝64m， ∴DN＝32m，． ∵MN＝EF＝5m， ∴DM＝27m， ∵∠EDG＝23°， ∴FN＝EM＝27tan23°＝11.34m， ∴PF＝PN﹣FN＝3211.34＝55.36﹣11.34＝44.02（m）≈44.0m． 答：这个宝塔的高度PF约为44.0m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，三角函数的定义等知识；运用三角函数求出PC和QC是解决问题的关键． 3．（2024秋•杭州期末）如图是一个广场的改造平面示意图，已知斜坡AB长60m，坡角∠BAC为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分，修建一个平行于水平地面CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（1.73，结果精确到0.1米） （1）若改造后的新的斜坡BE的坡比为：1，求平台DE的长是多少米？ （2）一幢建筑物GH距离A点30m远（即AG＝30m），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角∠HDM为30°．点B，C，A，G，H，D，E在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？ 【分析】（1）根据垂直定义可得：∠BCA＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC和AC的长，再利用平行线的性质可得∠DFB＝∠ACB＝90°，最后利用平行线分线段成比例可得：BF＝CF＝30米，从而可得DF是△ABC的中位线，进而可得DF＝30米，再根据已知易得：EF＝10米，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：FM＝CG，GM＝CF＝30米，FM⊥HG，从而可得FM＝CG＝90米，进而可得DM＝60米，然后在Rt△DMH中，利用锐角三角函数的定义求出HM的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵BC⊥AC， ∴∠BCA＝90°， 在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝60m， ∴BC＝AB•sin45°＝6060（米）， AC＝AB•cos45°＝6060（米）， ∵DF∥CG， ∴∠DFB＝∠ACB＝90°， ∵点D是AB的中点， ∴BF＝CFBC＝30（米）， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DFAC＝30（米）， ∵斜坡BE的坡比为：1， ∴BF：EF：1， ∴EF10（米）， ∴DE＝DF﹣EF＝30﹣1012.7（米）， ∴平台DE的长约为12.7米； （2）由题意得：FM＝CG，GM＝CF＝30米，FM⊥HG， ∵AG＝30米， ∴FM＝CG＝AG+AC＝30+60＝90（米）， ∵DF＝30米， ∴DM＝FM﹣DF＝60（米）， 在Rt△DMH中，∠HDM＝30°， ∴HM＝DM•tan30°＝6020（米）， ∴HG＝HM+GM＝2030≈64.6（米）， ∴建筑物GH高约为64.6米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 4．（2024秋•北仑区期末）无人机是进行空中拍摄的常见工具．如图，两个观测者从A，B两地观测空中C处的一架无人机，分别测得仰角为45°，53°，已知此时无人机的高度为80m．当无人机竖直向上飞行2s后到达点C1，在A处测得无人机的仰角为51.4°．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°，cos51.4°） （1）求A，B两地的距离． （2）很多城市有无人机限高（120m），求继续匀速上升几秒后无人机达到限定高度． （3）假设无人机匀速上升时的速度与匀速水平飞行时的速度相同．到达限高后，无人机沿与AB平行的路线（如图所示）继续匀速飞行9s后，从B处观测无人机的仰角为 　 　 ． 【分析】（1）作CM⊥AB于点M，则tan53，则BM＝60，即可求解； （2）tan51.4，则C1M＝100，则无人机的速度为（100﹣80）÷2＝10（m/s），即可求解； （3）设此时从B处观测无人机的仰角为α，则无人机继续水平飞行的距离为9×10＝90（m），则无人机的高度为120m，距离点B的水平距离为60+90＝150（m），即可求解． 【解答】解：（1）作CM⊥AB于点M， 则tan53，则BM＝60， ∵∠CAM＝45°，则AM＝CM＝80， 则AB＝AM﹣BM＝80﹣60＝20（m）； （2）tan51.4，则C1M＝100， 则无人机的速度为（100﹣80）÷2＝10（m/s）， 则继续匀速上升的时间为：（120﹣100）÷10＝2（s）； （3）设此时从B处观测无人机的仰角为α， 则无人机继续水平飞行的距离为9×10＝90（m）， 则无人机的高度为120m，距离点B的水平距离为60+90＝150（m）， 则tanα＝120÷150， ∵tan51.4， 故α＝90°﹣51.4°＝38.6°， 故答案为：38.6°． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，构建直角三角形是解题的关键． 5．（2024秋•温州期末）数学与生活：测量二号楼的高度． 素材1：如图，从点O看一号楼，观测楼顶点P的仰角是30°，向前走90m到达A点，测得楼顶点P的仰角是60°． 素材2：一架无人机悬停在点H处，在此处测得一号楼顶部E的俯角为37°，二号楼顶部F的俯角为53°，点H到地面距离HM为90m，且．（参考数据： 任务1：根据素材1的测量数据，求出一号楼CE的高度．（保留根号） 任务2：根据素材2的测量数据，求出二号楼DF的高度．（保留根号） 【分析】任务1：根据三角形的外角性质得到∠OPA＝30°，得到∠OPA＝∠POA，证明PA＝OA＝90m，再根据正弦的定义计算即可； 任务2：过点E作EG⊥HM于G，过点F作FN⊥HM于N，根据正切的定义求出EG，进而求出MD，再根据正切的定义计算即可． 【解答】解：任务1：由题意可知：∠POA＝30°，∠PAB＝60°，OA＝90m， 则∠OPA＝∠PAB﹣∠POA＝30°， ∴∠OPA＝∠POA， ∴PA＝OA＝90m， 在Rt△PAB中，PB＝PA•sin∠PAB＝9045（m）， 答：一号楼CE的高度为45m； 任务2：过点E作EG⊥HM于G，过点F作FN⊥HM于N， 则MG＝PB＝45m，EG＝CM， ∴HG＝HM﹣MN＝（90﹣45）m， 在Rt△EGH中，tan∠HEG， ∴EG（120﹣60）m， ∵， ∴MD（120﹣60）＝（90﹣45）m， 在Rt△FNH中，tan∠HFN， ∴HN＝NF•tan∠HFN＝（90﹣45）（120﹣60）m， ∴FD＝NM＝HM﹣HN＝90﹣（120﹣60）＝（6030）m， 答：号楼DF的高度为（6030）m． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．（2024秋•鄞州区期末）宁波中心大厦是浙江在建第一高楼，某兴趣小组用无人机航拍测量宁波中心大厦的高度．无人机的起飞点为地面上的点O处，点O与办公楼的水平距离OA为100m，与宁波中心大厦的水平距离OB为260m．无人机先从点O处垂直起飞，到高度为89米的P处时，沿与地面平行方向水平飞行到点Q，此时测得办公楼顶部C的仰角∠CQE为58°，宁波中心大厦顶部D的仰角∠DQE也为58°．已知办公楼AC的高度是153m． （1）求从点P飞行到点Q的水平距离； （2）求宁波中心大厦的高度． （参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）． 【分析】（1）证明四边形OAEP为矩形，得AE＝OP＝89m，解Rt△CQE，求出QE＝40m，即可得出结论； （2）延长PQ交BD于点F，则QF⊥BD，解Rt△QFD，求出DF的长即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意得，OP⊥OA，CA⊥OA，PE⊥OP，PE⊥CA， ∴四边形OAEP为矩形， ∴AE＝OP＝89m， 在Rt△CQE中， ∵∠CQE＝58°，CE＝AC﹣OP＝64m， ∴QE40m． ∴PQ＝OA﹣QE＝100﹣40＝60m； （2）如图，延长PQ交BD于点F， 由题意得，由条件可知四边形OBFP为矩形， ∴BF＝OP＝89m， ∴Q、C、D共线， 在Rt△QFD中，∵∠DQF＝58°，QF＝PF﹣PQ＝200m， ∴DF＝QF×tan58°＝320m， ∴BD＝DF+FB＝409m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．（2024秋•湖州期末）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．在“综合与实践”活动中，瑶瑶计划借助无人机测量月亮酒店大楼AB的高度，她设计了如下测量方案： 如图，瑶瑶站在离月亮酒店大楼水平距离为40米的广场高地E处，E处高出湖面的距离CE＝2.4米，无人机旋停在点C正上方的点D处，测得月亮酒店大楼AB的顶部B处的俯角α的正切值是，此时无人机离湖面的高度CD为120米，已知瑶瑶的目高（眼睛到地面的距离）EF＝1.6米． （1）求月亮酒店大楼AB的高度． （2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过12秒时，无人机是否离开瑶瑶的视线FB？请说明理由． 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义求解； （2）根据三角形相似的性质求解． 【解答】解：（1）延长AB交过D的水平线于N， 由题意得：四边形ACDN为矩形， ∴DN＝AC＝40米，AN＝DC＝120米， 则NB＝DNtanα＝20米， ∴AB＝AN﹣NB＝100米． （2）无人机没有离开瑶瑶的视线； 过F作FM⊥AB于M，延长FB交DN的延长线于G， 则FM＝AC＝20米，FM∥NG，BM＝AB﹣AM＝AB﹣CF＝100﹣（2.4+1.6）＝96米， ∴△BFM∽△BGN， ∴，即：， 解得：NG＝8， ∴DG＝GN+ND＝48（米）， ∵12×4＝48＜48， ∴无人机没有离开瑶瑶的视线． 【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角和俯角，掌握三角函数的定义和相似三角形的性质是解题的关键． $