第1章 解直角三角形（单元测试·基础卷）-2024-2025学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

第1章 解直角三角形（单元测试·基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点，连接交y轴于点B．若， 则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 5．（22-23九年级上·福建泉州·期中）三角板是我们数学学习中必不可少的工具，利用三角板可以拼出很多角，现将一副含45°角和30°角的三角板按如图所示的方式放置，则的值为（    ）    A． B． C． D．无法确定 6．（2024·浙江杭州·三模）如图，是的直径，点在线段上，交于点，连接．设，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，则底角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在矩形中，点E是边上一点，将延折叠，使点D的对应点F为恰好落到边上，若，则（   ） A． B． C． D． 10．（2022·辽宁大连·一模）经过对“锐角三角函数”一章节的学习后，小胖同学十分好奇角的三角函数值．于是他利用课余时间对其正切值进行了探究．在询问了老师、与同学研讨后，他决定通过构造已学的特殊角（如，，），以特殊角的三角函数值来解决问题．在他的提示下，请你帮助小胖同学求出：角的正切值为（　　） A．-1 B． C． D．+1 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知α为锐角， 且，则α等于 ． 12．（22-23九年级上·山西·阶段练习）有下列几个数：，0，，5，从这四个数中随机抽取一个数，恰好是一元二次方程的根的概率是 ． 13．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向继续航行，则轮船与A岛的最近距离是 海里．（用含三角函数的式子表示） 14．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若关于x方程有两个相等实数根，则锐角度数为 ． 15．（22-23九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，点是的边上一点，，． （1） ； （2）若反比例函数的图象经过点，则 ． 16．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则尺上沿的交点C在尺上的读数是 （结果精确到，参考数） 17．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在中，如果，边、上的中线、相交于点，如果，，那么 ． 18．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，已知直线分别与轴和轴相交于点和点，且直线的解析式为，于点，与轴正半轴的夹角为，则等于 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2024·山东德州·二模） （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，求的长． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在边上，，连结交于点． (1)求的长． (2)的值为___________． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·四川成都·期中）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得，点，，在同一直线上，且直线与水平地面平行，图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果保留根号）． 23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．   (1)求两点间的距离； (2)试说明该车是否超过限速． 24．（本小题满分12分）（2023·海南·模拟预测）6月6日是全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识发现当张角时（点是A的对应点）用眼舒适度较为理想．（结果精确到1cm；参考数据：，，，） (1)填空：______；______； (2)求的长； (3)求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D C B C A A D 1．B 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，根据的正切值求出的度数是解题的关键．先根据，且是锐角求出的度数，即可求解． 【详解】解：，且是锐角， ， ， 故选：B． 2．C 【分析】作轴于点D，利用相似三角形的判定和性质求得，利用平行线分线段成比例定理求得，再根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：作轴于点D，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正切函数的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 3．C 【分析】本题考查三角函数，先将余弦函数、正弦函数进行转换，再根据正弦函数的增减性求解． 【详解】解：， 当时，随的增大而增大， ， ， ， 故选C． 4．D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理等知识点，先由非负数的性质得出，，根据三角函数求得，的度数，然后根据三角形内角和定理，求得的度数，从而确定三角形的形状，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 故选：D． 5．C 【分析】根据特殊角的三角函数和三角板的特殊角的度数解答即可． 【详解】解：如图：    ， ， ， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数以及三角板的特殊角的度数，解题时注意：熟记特殊角的三角函数值． 6．B 【分析】本题考查了解直角三角形．根据，，可得，，所以，，代入式子化简即可． 【详解】解：，， ，， ，， ． 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，先解得到，再由旋转的性质得到，则，最后解求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 8．A 【分析】设，当时，，不能构成三角形；当时，,能构成三角形，过A作于D，得，即得． 【详解】如图，等腰是“倍长三角形”，设， 当时，，不能构成三角形，三角形不存在； 当时，,能构成三角形， 过A作于D， 则， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了新定义——“倍长三角形”．熟练掌握新定义，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，余弦定义，分类讨论，是解题的关键． 9．A 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，解直角三角形．根据题意设，，则，由翻折变换可知，，，证明，推出，，在中，由勾股定理求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， 设，，则， 由翻折变换可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴，， ∴， 故选：A． 10．D 【分析】构造等腰，平分，，设，，得到，再结合等腰直角三角形的性质即可求出各线段的长度，由图可知：，即有：，解方程即可求解． 【详解】构造等腰，平分，，设，， 各角度和线段的长度如下图所示，， 由图可知：， 即有：， 整理得：， 即：，（负值舍去）， 经检验，是原方程的根， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了求解角的正切值的知识，依据特殊角构造出是解答本题的关键． 11．/40度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，由，α为锐角，得到，即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵，α为锐角， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、解一元二次方程、简单的概率计算，先根据特殊角的三角函数值求解各数，再解一元二次方程，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：，， 解一元二次方程得， 即5和是一元二次方程的根， ∴从这四个数中随机抽取一个数，恰好是一元二次方程的根的概率是， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了锐角三角函数，方位角，正确理解余弦的概念是解题关键．根据，即可求出的值． 【详解】解：在中，， ，海里， （海里）， 故答案为：． 14．/60度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，从而可求出α的余弦值，然后根据特殊角的三角函数值确定α的度数． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15． / 10 【分析】（1）根据题意得到，设，则，根据勾股定理得到，解得，即可求得，解直角三角形即可求解； （2）根据待定系数法即可求得． 【详解】解：（1）作轴于M， ∵． ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴，解得， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，则， ∴， ∵反比例函数的图象经过点P， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征，求得P的坐标是解题的关键． 16． 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，过点B作于D，过点C作于E，根据等腰直角三角形的性质可得，再通过解直角三角形可求得的长，进而可求解． 【详解】解：如图，过点B作于D，过点C作于E， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即与尺上沿的交点C在尺上的读数是． 故答案为：2.6． 17． 【分析】根据、上的中线、相交于点得到点是的重心，进而求出的长度，再利用等腰三角形的三线合一得到，结合求出的长度，进而求得，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：边、上的中线、相交于点，， 点是的重心， ， ． 在中，如果，是边上的中线, ， ， , ， , ． 故答案为：． 【点晴】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一，重心的性质，锐角三角函数值的求法，三角形面积公式，利用重心求出是解答关键． 18．/ 【分析】本题考查锐角三角函数和一次函数的知识，根据题意，直线的解析式为，求出，的坐标，得到，的值，根据，得到的角度，根据，三角形的内角和，求出，即可． 【详解】解：直线的解析式为， ∴当，；当，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（1）；（2）， 【分析】（1）首先化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，然后计算加减； （2）根据分式的运算法则化简，再代入a即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式      当时，原式． 【点睛】此题考查了化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 20． 【分析】本题考查了含30度直角三角形性质，等腰直角三角形的判定及勾股定理；过C作于D，在中，得，求出，有，则在中，由含30度直角三角形性质，得，由勾股定理得；最后即可得解． 【详解】解：如图，过点C作于点D． 在中，， ， ， 在中， ， ， ． ． 21．(1) (2)4 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、菱形的性质及三角函数，熟练掌握菱形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后根据正切的定义可进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为4． 22．(1)长 (2)物体上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解即可求解； （2）在中，由勾股定理得，，解求得，根据即可求解． 【详解】（1）解：在中， 答：长． （2）在中，     在中， ， 答：物体上升的高度为． 23．(1)20米 (2)该车没有超过限速，理由见解析 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出的长是解题的关键． （1）首先利用列方程求出米，然后求出米，进而求解即可； （2）首先求出该车的速度，进而比较求解即可． 【详解】（1）∵米， ∴，即 ∴米， ∵ ∴ ∴米， ∴米； （2）∵米千米，该车从点点行驶到点所用时间为1秒小时 ∴该车的速度为千米/小时， ∵ ∴该车没有超过限速． 24．(1)30，72 (2) (3) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）根据邻补角进行求解即可； （2）解直角三角形即可； （3）解直角三角形，求出，用求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：30，72； （2）在直角三角形中，， ∴； ∴的长为； （3）在直角三角形中，， ∴， ∴； ∴的长约为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$