第1章 直角三角形的边角关系（单元测试·培优卷） -2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第1章 直角三角形的边角关系（单元测试·培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在“、、、、、”数中，无理数的个数是（  ） A．2 B．4 C．4 D．5 2．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（    ） A． B． C． D．3 4．（23-24九年级下·全国·单元测试）下列给出的四个命题：①所有锐角三角函数值都是正数；②；③在中，，若，则，，其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，含角的直角三角尺的斜边与矩形直尺的边在同一直线上，此时直尺的另一边与直角三角尺的直角边的交点D恰好是的中点，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 6．（2024·广东·模拟预测）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座D点2米的A点处测量，塑像底部C点的仰角为，顶部B点的仰角为，点B，C，D在同一条直线上，则塑像的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是的边的中点，，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 8．（2022·辽宁大连·一模）经过对“锐角三角函数”一章节的学习后，小胖同学十分好奇角的三角函数值．于是他利用课余时间对其正切值进行了探究．在询问了老师、与同学研讨后，他决定通过构造已学的特殊角（如，，），以特殊角的三角函数值来解决问题．在他的提示下，请你帮助小胖同学求出：角的正切值为（　　） A．-1 B． C． D．+1 9．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（   ）    A．2 B． C． D． 10．（2024·安徽安庆·三模）如图，在正方形中，点E是上一点，连接，以为腰向右侧作等腰直角，连接，已知，下列结论错误的是（    ） A．当平分时， B．当和的面积相等时， C．当时， D．当取最小值时， 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2023·浙江湖州·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点在原点处，且，则直线的函数表达式是 ．    12．（24-25九年级上·山东威海·期中）若一个三角形三条边长的比为，则最小角的余弦值是 ． 13．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，某一时刻某海域有两艘自西向东航行的渔政执法船．（船B在船A的正东方向），此时船A测得在其东北方向30海里处有一渔船C．同时船B测得渔船C在它的北偏东的方向，则两船相距 海里．（结果保留根号） 14．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，， （），为线段上一点，且，连接，为的中点． （1）当时，点的坐标为 ； （2）若，，设点的坐标为，则= （用含的式子表示）． 15．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，，点A在x轴上，，射线与x轴成，把绕点O逆时针旋转a度得，点M在射线上（端点除外），若在的三个顶点中的任意两个顶点与点M构成的三角形与相似，当时，则点M的坐标 ． 16．（2024·广东惠州·模拟预测）如图在函数图象上，的横坐标为1，垂直轴于，垂直函数图象，交轴与，过作轴的垂线与函数图象于点，垂直于函数图象交轴与．以此类推的坐标为 ． 17．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ． 18．（21-22九年级·浙江宁波·自主招生）如图，分别为三边上的高，若，，则 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）19．（24-25九年级上·山东东营·期中） （1）计算：． （2）先化简，再求代数式的值，其中． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，． (1)求的值； (2)延长至点，使得，求的长． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点． (1)求证：； (2)点在边上，满足．若，求和的长． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，点B到地面m的距离为． (1)求斜坡l的坡度； (2)求点M与点N的高度差． 23．（本小题满分10分）（2024·河南驻马店·三模）郑州东站(图1)是京广高速铁路和徐兰高速铁路的交汇站，也是以高速铁路为中心，集高速铁路、城际铁路、城市地铁、公路客运、城市公交、机场巴士、出租车等多种交通方式为一体的交通枢纽．某数学兴趣小组想要用无人机测量东站入口 的高度(垂直于水平地面)，测量方案如图2，先将无人机垂直上升至距水平地面高的点 P，在此处测得东站入口顶端A的俯角为 再将无人机沿水平方向向东站入口飞行到达点Q，此时测得东站入口底端B的俯角为 ，求东站入口 的高度．（直线l，点A，B，P，Q均在同一平面内．参考数据： ，，) 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·河北唐山·期中）在矩形中，，E为边上一点（不与点A，B重合），将矩形沿折叠，使点B落在点F处． 【观察发现】 （1）如图，当分别与交于点G，H时，写出一个与相似的三角形，并进行证明； 【迁移探究】 （2）如图，当与的交点H恰好是的中点时，求阴影部分的面积； 【拓展应用】 （3）当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A D C D D A C 1．A 【分析】本题考查了无理数的定义，特殊角的三角函数值．带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据定义即可判定． 【详解】解：、、、、， 则无理数有和共2个， 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的表示是解题的关键，根据题意设，，根据勾股定理求出，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 设，， 由勾股定理得：， ∴， 故选：B． 3．C 【分析】由可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为，则为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解． 【详解】∵P点坐标为（1，1）， 则OP与x轴正方向的夹角为45°， 又∵， 则∠BAO=45°，为等腰直角形， ∴OA=OB， 设OC=x，则OB=3OC=3x， 则OB=OA=3x， ∴． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键． 4．A 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形的相关计算；根据以上知识逐一分析即可． 【详解】解：由锐角三角函数的定义可得：所有锐角三角函数值都是正数，故①符合题意； ∵，， ∴，故②不符合题意； 如图，∵， ∴， ∴，不一定成立，故③不符合题意； ∴真命题有①； 故选A 5．D 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，掌握直角三角形的性质，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，由矩形的性质可得，利用锐角三角函数求出，进而得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可知，，， ， 四边形是矩形，， ， ， 在中，， ， 是的中点 ， 在中，， ， 故选：D 6．C 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，在中，，在中，，即可求出答案. 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴ 米． 故选：C 7．D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，求角的正弦值，延长 至点，使，连接，，可证明四边形是平行四边形，得到，则当最大时，最小；过点A作 交的延长线于点，由于，则最大为30度，据此可得答案． 【详解】解：如图，延长 至点，使，连接，． 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， 当最大时，最小． 过点A作 交的延长线于点， ∴， 当且仅当 时等号成立，此时最大，， 的最小值为， 故选：D． 8．D 【分析】构造等腰，平分，，设，，得到，再结合等腰直角三角形的性质即可求出各线段的长度，由图可知：，即有：，解方程即可求解． 【详解】构造等腰，平分，，设，， 各角度和线段的长度如下图所示，， 由图可知：， 即有：， 整理得：， 即：，（负值舍去）， 经检验，是原方程的根， ∴， 故选：D． 【点拨】本题考查了求解角的正切值的知识，依据特殊角构造出是解答本题的关键． 9．A 【分析】过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，设正方形边长为，则，证明，四边形为矩形，得出，，求出，设，则，得出，求出，，即可得出答案． 【详解】解：过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，如图所示：    则，设正方形边长为， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握正方形的性质． 10．C 【分析】如图1，在上截取，连接，则，，当平分∠ECF时，得出，，得出．设，则，得出等式，解出，即可判断选项A；如图2，过点F作，交的延长线于点H，根据，．证明，则得出，，再根据，列出，即，即可解出（负值已舍去），即可判定选项B；当时，，证出，证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出．即可判定选项C； 如图3，以为边向右侧作正方形，连接，证明，得出，，故得出当时，有最小值，此时是等腰直角三角形，即可解出，再根据相似三角形的性质即可解出．即可判断选项D． 【详解】根据题意可得，， A．如图1，在上截取，连接，则， ∵，平分∠ECF， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∴， 解得， 即．故选项A结论正确； B．如图2，过点F作，交的延长线于点H， ， ， ∴， 则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去），故选项B结论正确； C．当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 则．故选项C结论错误； D．如图3，以为边向右侧作正方形，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，此时是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴．故选项D结论正确． 【点拨】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 11． 【分析】 作轴，根据菱形的性质，可得，求出的度数，设,根据锐角三角函数，用表示出点的坐标，通过待定系数法，即可求解， 本题考查了，菱形的性质，特殊角三角函数值，求一次函数解析式，解题的关键是：用表示出点的坐标． 【详解】解：过点，作轴，交轴于点，     ∵是菱形， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边；本题首先根据三角形三边的比可以判断三角形是直角三角形，再由大边对大角，小边对小角，根据三角函数的定义求解. 该题关键是通过三边的比判断出该三角形为直角三角形． 【详解】解：三角形三边之比，， 这个三角形是直角三角形， 如下图所示， 根据大边对大角可知：最小， 故答案为： ． 13． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，过点C作于点D，利用，计算解题即可． 【详解】解：过点C作于点D， 根据题意可得，海里，， 在中，海里， 在中，海里， ∴海里， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等边三角形的性质与判定； （1）根据坐标得出是等边三角形，进而解得出的坐标，根据中点坐标公式得出的坐标，将代入，即可求解； （2）过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴ ∴ ∵是的中点， ∴ 即 ∴当时， 故答案为：． （2）如图所示，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 15．或 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，勾股定理，设点M的横坐标为x，则可得到，由相似可得这个三角形是等腰直角三角形，然后分和两种情况，利用勾股定理分别计算长即可解题． 【详解】解：设点M的横坐标为x， ∵射线与x轴成， ∴纵坐标为， ∴点M的坐标为， ∴， 又∵在的三个顶点中的任意两个顶点与点M构成的三角形与相似， ∴这个三角形是等腰直角三角形， 当时，如图， 则， ∴， 即，解得， ∴点M的坐标为， 当时，如图， 则， ∵，， ∴， ∴ 即，解得， ∴点M的坐标为， 故答案为：或． 16． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，一次函数的性质，点的坐标规律的探究．利用特殊角的三角函数值求得，再利用直角三角形的性质结合一次函数的性质，求得，，，找到规律求得，据此求解即可． 【详解】解：∵的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴与的横坐标都为4， ∴， ∴， 同理，，， ∴与的横坐标都为16， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角的性质，点的坐标规律探索．连接，求得，，，分别得到，， ，，推导得到，滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到，由此得到滚动2024次后停止滚动，则，据此求解即可． 【详解】解：连接， 由题意得，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ， 同理， ， ， 滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到， ∴滚动2024次后停止滚动，则时，， 故答案为：． 18． 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等角对等边，锐角三角函数，先由，，，得，再由，得，则，，得，，由，得，再证明，得，变形为，可证明，得，所以，用同样的方法求得，即可求得，证明三角形相似并且根据相似三角形的对应边成比例得出比例式是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（1）；（2）， 【分析】本题主要考查分式的化简求值及实数的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及实数的运算． （1）先计算乘方、负整数指数幂、立方根、代入三角函数值，最后计算加减即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再求出a的值，代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ， ， 原式． 20．(1) (2) 【分析】本题考查三角函数求值，等腰三角形性质，勾股定理． （1）过点作的垂线，垂足为，利用等腰三角形性质得到，然后根据勾股定理求出，然后利用正弦的概念求解即可； （2）根据题意利用即可求出本题答案． 【详解】（1）解：过点作的垂线，垂足为， ，， ． 在中，， ∴． （2）解：在中，，即， ， ． 21．(1)见解析 (2), 【分析】（1）根据矩形的判定，证明四边形是矩形，即可得证； （2）过C作于F，过O作于G，则，由等腰三角形的判定可得，根据三角函数和勾股定理可求，， ，再根据三角形等面积可求，再根据矩形的性质和中位线的性质，勾股定理即可求出和的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ； （2）解：过C作于F，过O作于G，则， ， ， ， ， 在中，， ， 设，则， ， ， 解得：， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 是的中位线， ， 在中，． 【点拨】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，三角函数，等腰三角形的性质和判定，三角形中位线的性质，解题的关键是综合运用以上知识，正确的作出辅助线． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）过点作于点，利用勾股定理可得的长，再根据坡度的定义求解即可得； （2）过点作于点，作于点，则，，再解直角三角形可得的长，然后根据求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵点到地面的距离为， ∴， ∵， ∴， 则斜坡的坡度为． （2）解：如图，过点作于点，作于点， 则四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，， ∴，， ∴， 答：点与点的高度差为． 23．东站入口的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．延长 交 的延长线于点 C，在中，可求得，所以，，在 中，根据，即可求得，由此即得答案． 【详解】延长 交 的延长线于点 C， 由题意，得，，， 在中，， ， ， ， ， 在 中， ， ， ． 答: 东站入口的高度约为． 24．（1）或（写出一个即可）（2）（3）或 【分析】（1）由，，可得，故，从而； （2）由点是的中点，得，，故，证明，可得，，根据三角形面积公式得阴影部分的面积是； （3）分两种情况：①设的中点为，的中点为，直线为矩形的对称轴，当在上时，求出，，设，则，证明，可得，即可解得；②设的中点为，的中点为，直线为矩形的对称轴，当在直线上时，求得，得，，故，根，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， 将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点， ， ， ， ， ， 故答案为：或（写出一个即可）； （2）解：点是的中点， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， 阴影部分的面积是； （3）解：①设的中点为，的中点为，直线为矩形的对称轴，当在上时，如图所示： ，，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ，即，解得； ； ②设的中点为，的中点为，直线为矩形的对称轴，当在直线上时，如图所示： ，，， ， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ； 综上所述，当点的对应点落在矩形的对称轴上时，的长为或． 【点拨】本题考查相似三角形综合应用，涉及矩形性质及应用，翻折变换，含特殊角的直角三角形三边关系及三角函数等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及性质定理． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$