第1章 直角三角形的边角关系（单元测试·基础卷） -2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第1章 直角三角形的边角关系（单元测试·基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．在中，，若将三边长度都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（   ） A．不变 B．扩大5倍 C．扩大25倍 D．缩小为原来的 2．已知实数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，，都是锐角，且，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 4．下列给出的四个命题：①所有锐角三角函数值都是正数；②；③在中，，若，则，，其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．点关于x轴的对称点为Q，点Q关于原点的对称点为M，则M的坐标为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 6．如图，在边长为的方格纸中，与交于点，其中、均为所在正方形小方格一边的中点，则(   )    A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，，，将线段平移得到线段，点，点的对应点分别是点，点．若分别连接，得到四边形为菱形，且与轴夹角为，则点的坐标是（　　） A． B．或 C． D．或 8．如图所示，在一组平行光线与地面呈角的照射下，一个篮球在地面上的投影长度，已知，，，则这个篮球的直径约为（    ） A． B． C． D． 9．如图，将矩形纸片折起一个角，使得点落在边上的点处，若，则可表示为（　　） A． B． C． D． 10．如图，过矩形的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为，依次连接四个垂足，可得到矩形．设对角线与的夹角为，那么矩形与矩形面积的比值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．函数的定义域为 ． 12．在中，已知，那么的正弦值等于 13．已知是的一个内角，并且方程的一根是，则 ． 14．将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则    （1） ； （2） ． 15．如图所示，已知的终边，直线的方程为，则等于 ．    16．将一个装有水的圆柱体杯子斜放在水平桌面上，当倾斜角时，其主视图如图所示．若该水杯的杯口宽度，则水面宽度 参考数据：，， 17．图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“型”托架用于放置手机，支架两端分别与托架和底座（其厚度忽略不计）相连，支架端可调节旋转角度，已知，，支架调整到图2位置时，，．因实际需要，现将支架端角度调整为，如图3所示，则点的位置较原来的位置上升高度为 ． 18．在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为，把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）计算： (1) (2)． 20．（本小题满分8分）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 21．（本小题满分10分）如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)求证：； (2)若，，则的值是________． 22．（本小题满分10分）某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： (1)点D到地面的距离； (2)塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，） 23．（本小题满分10分）如图，小明家A与商店C与小刚家D在一条直线上，点B为学校，学校B在小明家北偏东方向．在商店C北偏西，且刚好在小刚家西北方向，千米（参考数据，，）． (1)求小明家到学校的距离（答案保留整数）； (2)一天，小明和小刚约定去学校打篮球，小明计划先打车从家去商店购买文具再沿路线继续打车去学校与小刚汇合，小明在商店C选文具耽误了3分钟，而小刚骑上自己的电瓶车也从家出发按沿路线直接到学校，小明和小刚同时出发，其中小明打车的速度为（等待车的时间忽略不计，两次打车速度相同），谁先到学校？并说明理由． 24．（本小题满分12分）在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角正切三角比产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． (1)初步尝试：我们知道： ， 发现结论： ； （选填“”或“”） (2)实践探究： 如图1， 在中，，，，求的值：小明想构造包含 的直角三角形： 延长至点，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路求解 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C A B B B C C B 1．A 【分析】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．根据三角函数的定义进行判断即可得． 【详解】解：如图，在中，， 将三边长度都扩大5倍后，，即锐角的正弦值不变， 同理可得：锐角的余弦值和正切值也都不变， 故选：A． ． 2．A 【分析】分别求出各三角函数的值，然后比较他们的大小即可. 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：A. 【点睛】本题主要是考查特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握特殊角的所有三角函数值，所以要牢记特殊角的三角函数值，另外还考查了实数比较大小. 3．C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出，的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴的形状是锐角三角形． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形的相关计算；根据以上知识逐一分析即可． 【详解】解：由锐角三角函数的定义可得：所有锐角三角函数值都是正数，故①符合题意； ∵，， ∴，故②不符合题意； 如图，∵， ∴， ∴，不一定成立，故③不符合题意； ∴真命题有①； 故选A 5．B 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，求出，然后根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，得出点Q的坐标，最后根据原点对称的点横、纵坐标互为相反数，求出M点的坐标即可． 【详解】解：点的坐标为, ∴点P关于x轴的对称点Q的坐标为， ∴点Q关于原点的对称点M的坐标为，故B正确． 故选：B． 6．B 【分析】过点作于点，根据题意得出，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    依题意，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了求正切，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 7．B 【分析】本题考查解直角三角形，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键． 先通过计算得到，然后分点C在第一象限和点C落在y轴上两种情况，利用对称性解题即可． 【详解】解： ∵是菱形， ∴，互相垂直平分， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，当点C在第一象限时， 连接， 则是等边三角形， ∴ ∴， ∴点D的坐标为； 当点C落在y轴上时，点D落在x轴上，如图， 则点D与点B关于y轴对称， ∴点D的坐标为； 故选B． 8．C 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作，交于点，解直角三角形，求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作， 在中，，， ∴； ∴这个篮球的直径约为； 故选C． 9．C 【分析】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，先利用三角函数的定义可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形纸片， ∴，， ∴， 由对折可得：，， ∴， ∴，， ∴． 故选C． 10．B 【分析】本题考查相似多边形的判定和性质，先推导，得到，然后利用相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】如图，设对角线与交于点O， ∵，是矩形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴矩形与矩形面积的比为， 故选B． 11．/ 【分析】本题考查了求出函数的定义域，根据分式有意义的条件即可求解，掌握据分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】由题意可得，， ∴， ∴， ∴函数的定义域为： 故答案为：． 12．/ 【分析】本题考查了求一个角的正弦，三角形的内角和定理，求出度数是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．/90度 【分析】将代入方程求出，进而即可得到的度数． 【详解】∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和锐角三角函数，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 14． /0.5 8 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据，求出结果即可； （2）证明，得出，求出根据，求出结果即可． 【详解】解：（1）如图，∵， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：．    （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了求一个角的正切值，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义，根据平行线的性质得出． 15． 【分析】根据一次函数的性质，求出、的坐标，得到、的长度，根据三角函数的定义即可求出的值． 【详解】解：根据题意：直线的方程为， 令，则，令，则， 则点坐标为，点坐标为， 故，； ∴，， ∵，即， 且， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，利用等角的代换，体现了思维的灵活性． 16． 【分析】过作于，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解： 如图所示， 过作于，则四边形是矩形， ，， 桌面， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，求出是解题的关键． 17． 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，如图2，过点作交于点，过点作交于点，过点作于点，如图3，延长交于点, 在和中分别算出和，求出点到的距离为，再在中，算出，再作差即可求得． 【详解】解：如图2，过点作交于点，过点作交于点，过点作于点，如图3，延长交于点 旋转前如图3： ∵，，， ∴， ∵,， ∴， ∵， ∴在和中， ， ， 故点到的距离为：， 旋转后如图3： ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， 故， 点的位置较原来的位置上升高度为: ， 故答案为： 18． 【分析】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．根据旋转角度为，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点在第三象限，且，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，点A的坐标为， ∴， ∵每次旋转角度为， ∴6次旋转， 第一次旋转后，在第四象限，， 第二次旋转后，在第三象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第二象限，， 第五次旋转后，在第一象限，， 第六次旋转后，在轴x正半轴，， ……如此循环，每旋转6次，点的对应点又回到x轴正半轴， ∵， ∴点在第三象限，且， 如图，过点作轴于点H， 在中，， ∴， ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： 20．(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 21．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，求一个角的正切值，证明出相似是解题的关键． （1）根据矩形的性质和垂直的意义得到，而由，得到，根据两角相等，两三角形相似即可证明； （2）由得到，则． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 22．(1)5米 (2)17.1米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理． （1）根据坡度和的长进行求解即可； （2）过点作，垂足为，设米，则米，在中， 米，在中，米，根据建立方程求解，得到m的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度，设，， ∵， ∴， 解得， 答：点D到地面的距离为米； （2）解：如图，过点作，垂足为， 由题意得：米，，， 斜坡的坡度，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 塔高约为米． 23．(1) (2)小刚先到学校，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用中的方向角问题，关键是构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题． （1）过作于，由三角形内角和定理求出，判定是等腰直角三角形，得到，由，求出，得到，即可求出小明家到学校的距离； （2）过作于，由含度角的直角三角形的性质得到，判定是等腰直角三角形，得到，因此，由三角形内角和定理得到，求出，得到， ，由是等腰直角三角形，得到，求出，分别求出小明、小刚到学校用的时间，即可得到答案． 【详解】（1） 解：过A作于M， 由题意得：，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴小明家到学校的距离约为； （2） 小刚先到学校，理由如下： 过A作于N， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵小明到学校用的时间是（分钟），小刚到学校用的时间是（分钟）， ∴小刚先到学校． 24．(1)， (2) 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）根据特殊角的三角函数值即可求解； （）利用勾股定理求出，延长至，使得，连接，如图所示，可得，，进而得，，根据即可求解． 【详解】（1）解：， 又∵， ∴， 即有， 故答案为：，； （2）解：在中，，，， ∴， 延长至，使得，连接，如图所示， ∴，， ∴，， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$