精品解析：河北省保定市清苑区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期期中调研考试 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前考生务必将姓名、班级等信息填写在答题卡相应位置上． 3．答卷时，将答案用黑色字迹的碳素笔书写在答题卡各题的答题区域内． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中、只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解为（ ） A. B. C. D. ， 3. 用配方法解一元二次方程，配方后的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与关于点位似，且相似比为，则与的比为（ ） A. B. C. D. 5. 菱形的两条对角线长分别为6、8，则它的面积为（ ） A. 6 B. 24 C. 36 D. 48 6. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，有一组邻边相等 C. ③，对角线互相垂直 D. ④，有一个角是直角 7. 关于的一元二次方程没有实数根，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知线段的长度为，点是线段的黄金分割点，则的长度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（ ） 如 A. B. C. D. 10. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率； B. 任意写一个整数，它能被2整除的概率； C. 掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D. 暗箱中有1个红球和2个白球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是白球的概率 11. 如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有（ ） A. B. ，， C. D. 12. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　) A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 14. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度，沿运动，时间为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似（ ） A. B. C. 或 D. 或 16. 如图，在菱形中摆放了一副三角板，等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．连接，若，则的长等于（ ） A. 8 B. C. 12 D. 二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17~18小题各3分，19小题每空2分） 17. 若，则______． 18. 如图，身高为米的嘉嘉站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为______米． 19. 在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，如图所示，点在轴上，且坐标是，点在轴上， （1）则点的坐标为______； （2）点的坐标为______． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分） 20. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 21. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，都是整数，请直接写出符合条件的整数的值． 22. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O、过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P．判断四边形CODP的形状并说明理由． 23. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用，表示）和八年级的两名学生（用，表示）获得优秀奖． （1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是_________． （2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率． 24. 如图，在中，点，分别是，边上的两点，且，，，，， （1）求证：； （2）求的长． 25. 列方程解决实际问题： 为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，101中教育集团成立了众多种类的学生社团．其中金鹏社团会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．如图①，在生态大棚中有一块矩形空地，其中边的长比边的2倍少1，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加，构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地． （1）直接写出正方形区域的边长是________m； （2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为90，求小道的宽度． 26. 一次小组合作探究课上，嘉嘉将两个正方形按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），发现且．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图1），则与的数量关系为______，位置关系为______． （2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，将矩形绕点按顺时针方向旋转（如图3），写出与的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中调研考试 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前考生务必将姓名、班级等信息填写在答题卡相应位置上． 3．答卷时，将答案用黑色字迹的碳素笔书写在答题卡各题的答题区域内． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中、只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程定义，解本题的关键在熟练掌握判断一个方程是否是一元二次方程的5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 根据一元二次方程的定义即可得出答案． 【详解】解：A、∵含有2个未知数，∴不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、化简后是一元一次方程，∴不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、是分式方程，故该选项不符合题意． 故选：C． 2. 方程的解为（ ） A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，， 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】解：∵， ， 即， 故选：C． 4. 如图，与关于点位似，且相似比为，则与的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似三角形的性质，根据相似比为，即可求解． 【详解】解：∵与位似，点是它们的位似中心，且相似比为， ∴， 故选：A． 5. 菱形的两条对角线长分别为6、8，则它的面积为（ ） A. 6 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求菱形面积，熟知菱形面积计算公式是解题的关键． 根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8， ∴该菱形的面积为． 故选B． 6. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，有一组邻边相等 C. ③，对角线互相垂直 D. ④，有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，解本题的关键在熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理． 根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，对角线互相垂直的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意． 故选：A． 7. 关于的一元二次方程没有实数根，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求出n的取值范围，即可选择． 【详解】根据题意可知：， ∴． ∴符合题意的选项为D． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和解一元一次不等式．根据题意可知一元二次方程没有实数根时其根的判别式小于0是解答本题的关键． 8. 已知线段的长度为，点是线段的黄金分割点，则的长度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，根据黄金分割点的定义分两种情况求解，熟记黄金分割点的定义是解题的关键． 【详解】解：设，则， 当时， ∵点是线段的黄金分割点， ∴， 即， 解得，（不合，舍去）， ∴； 当时， ∵点是线段的黄金分割点， ∴， 即， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴； 综上，或， 故选：． 9. 如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（ ） 如 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，轴对称图形，熟记概率公式和能识别轴对称图形是解题的关键． 分别将7个空白处涂黑，判断出所得图案是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行计算． 【详解】解：如图①②③任意一处涂黑时，图案为轴对称图形，    共有7个空白处，将①②③处任意一处涂黑，图案为轴对称图形，共3处， 故构成轴对称图形的概率是， 故选：B． 10. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率； B. 任意写一个整数，它能被2整除的概率； C. 掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D. 暗箱中有1个红球和2个白球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是白球的概率 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意； B、任意写一个整数，它能被2整除的概率的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2的概率是，符合题意； D、暗箱中有1个红球和2个白球，它们只有颜色上的区别，从中任取一个球是白球的概率，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 11. 如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．根据矩形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、正确．对角线相等的平行四边形是矩形． B、正确．，，， ， ， 平行四边形为矩形． C、正确，， ， ， 平行四边形是矩形， D、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形． 故选：D 12. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， A、添加后，能确定； B、添加后，仍不能确定； C、添加后，能确定； D、添加后，能确定． 故选：B． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　) A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】解：设AG与BF交点为O， ∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO， ∴∠BAO=∠FAO， ∴△ABO≌△AFO（SAS）， ∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º， ∵AB=5， ∴， ∵AF∥BE， ∴∠FAO=∠BOE， 又∵OB=OE，∠AOE=∠EOB， ∴△AOF≌△EOB（AAS）， ∴AO=EO， ∴AE=2AO=8， 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 14. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意及相似三角形的判定定理可知，当是的垂线时，即时，，然后根据作图痕迹逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：当是的垂线时，即时，，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 根据作图痕迹可知： 选项中，是边的中线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，是的垂线，故选项符合题意； 选项中，是的平分线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，不与垂直，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定，作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理及尺规作图的方法是解题的关键． 15. 已知，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度，沿运动，时间为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质．根据题意分类讨论是解题的关键． 由勾股定理得，，由题意知，分当在上，在上两种情况求解：当在上时，，则，计算求解即可；当在上时，，则，计算求解即可；当点与点重合时，此时． 【详解】解：由勾股定理得，， 由题意知，分当在上，在上两种情况求解： 当在上时，， 由题意知，， ∴，即， 解得，； 当在上时，， 由题意知，， ∴，即， 解得，； 当点P与点B重合时，此时，， 综上所述，的值为或， 故选：D． 16. 如图，在菱形中摆放了一副三角板，等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．连接，若，则的长等于（ ） A. 8 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的长可求得的长，再求得的长，再利用含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】连接交于， ∵由题意知， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17~18小题各3分，19小题每空2分） 17. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，将所求分式拆分为1减去已知分式，然后代入已知值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 18. 如图，身高为米的嘉嘉站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为______米． 【答案】8 【解析】 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 根据相似三角形的对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：如图：根据题意可得, ∵， ∴． ∴， ∴， ∴米， 即灯杆的高度为8米． 故答案为：8． 19. 在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，如图所示，点在轴上，且坐标是，点在轴上， （1）则点的坐标为______； （2）点的坐标为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质； （1）求出，即可求得； （2）过点作轴于点，证明，得到，，求出即可解决问题． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）如图，过点作轴于点； 四边形为正方形， ，，而， ， ； 在与中， ， ， ，， ∴， 点的坐标为， 故答案为：；． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分） 20. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可； （3）直接开平方法解一元二次方程即可； （4）用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配方法：， 即， 开平方得：， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，或， ，； 【小问3详解】 解：， 方程两边同除以4得：， 开平方得：， ∴，或， 解得：，； 【小问4详解】 解：， 这里，，， ， ， 即，． 21. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，都是整数，请直接写出符合条件的整数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，然后进行求解即可； （2）根据（1）中得出的的取值范围，得出整数的值为，分别求出方程的解，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ， ． 【小问2详解】 解：， ， 是整数， ∴整数的值为， 当时，方程为， 解得：，符合题意． 当时，，此时方程解不为整数． 当时，方程为，此时方程解不为整数． 当时，方程为， 解得：，符合题意． 综上所述，的值为2或5． 22. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O、过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P．判断四边形CODP的形状并说明理由． 【答案】 菱形，理由如下： 根据题意有：，， ∴四边形CODP是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC，OD=BD，OC=AC， ∴OD=OC， ∴四边形CODP是菱形． 【解析】 【分析】根据，，即可证出四边形CODP是平行四边形，由矩形的性质得出OC=OD，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质定理，菱形的判定定理是解题的关键． 23. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用，表示）和八年级的两名学生（用，表示）获得优秀奖． （1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是_________． （2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 树状图如下： 由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果， 所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 24. 如图，在中，点，分别是，边上的两点，且，，，，， （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：，， ． 又， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）直接根据两边对应成比例且夹角相等判定即可； （2）利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ． ． 25. 列方程解决实际问题： 为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，101中教育集团成立了众多种类的学生社团．其中金鹏社团会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．如图①，在生态大棚中有一块矩形空地，其中边的长比边的2倍少1，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加，构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地． （1）直接写出正方形区域的边长是________m； （2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为90，求小道的宽度． 【答案】（1）12 （2）小道的宽度为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设正方形区域的边长为，则，，根据“边的长比边的2倍少1”，列出元方程，解之即可； （2）设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长，宽的矩形， 根据“栽种鲜花区域的面积为”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设正方形区域的边长为，则，， ∵边的长比边的2倍少1 ∴， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长，宽的矩形， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：小道的宽度为． 26. 一次小组合作探究课上，嘉嘉将两个正方形按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），发现且．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图1），则与的数量关系为______，位置关系为______． （2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，将矩形绕点按顺时针方向旋转（如图3），写出与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：当时， ， 理由如下： ， ， 又∵四边形和四边形为菱形， ， ， ； （3）解：，理由： ∵和是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出， 得出， 证明，则可得出结论； （2）由菱形的性质得出， 证明， 由全等三角形的性质可得出结论； （3）根据矩形的性质得到，即可得到，然后证明即可解题． 【小问1详解】 ； ； 理由如下： 如图（1）， 延长交于， 交于点， ∵四边形、四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为： ； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质 ，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $