复数（基础摸查+基础夯实+优化提升）学案-2025届高三数学一轮复习

第5部分第4节《复数》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升 基础摸查 【习题导入】 1．已知复数z满足z(1＋i)＝2＋3i，则在复平面内z对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为________． 3．已知复数z满足(3＋4i)·z＝5(1－i)，则z的虚部是________． 【知识归纳】 1．复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 是复数z的实部， 是复数z的虚部，i为虚数单位． (2)复数的分类： 复数z＝a＋bi(a，b∈R) (3)复数相等： a＋bi＝c＋di⇔ (a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数： a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔ (a，b，c，d∈R)． (5)复数的模： 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)→复平面内的点Z(a，b)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)→平面向量. 3．复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ； ④除法：＝＝＝ (c＋di≠0)． (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝ ，＝ . 常用结论： 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)． 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)． 4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)． 5．复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 【题型展示】 题型一　复数的概念 例1　(1)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|等于(　　) A．1 B．5 C．7 D．25 (2)(多选)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是(　　) A．复数z的虚部为 B．＝－i C．z2＝z＋1 D．复数z的共轭复数为－＋i (3)已知复数z满足＝i，则＝________. 跟踪训练1　(1)若复数z＝的实部与虚部相等，则实数a的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 (2)若i(1－z)＝1，则z＋等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (3)若z＝1＋i，则|iz＋3|等于(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 题型二　复数的四则运算 例2　(1)若z＝－1＋i，则等于(　　) A．－1＋i B．－1－i C．－＋i D．－－i (2)(多选)设复数z1，z2，z3满足z3≠0，且|z1|＝|z2|，则下列结论错误的是(　　) A．z1＝±z2 B．z＝z C．z1·z3＝z2·z3 D．|z1·z3|＝|z2·z3| 跟踪训练2　(1)(2＋2i)(1－2i)等于(　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i (2)已知复数z满足z·i3＝1－2i，则的虚部为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 题型三　复数的几何意义 例3　(1)在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i对应的点分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为(　　) A. B. C. D. (2)棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(在复平面内所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (3)设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是(　　) A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i B．若|z＋1|＝1，则点Z的集合为以(1,0)为圆心，1为半径的圆 C．若1≤|z|≤，则点Z的集合所构成的图形的面积为π D．若|z－1|＝|z＋i|，则点Z的集合中有且只有两个元素 跟踪训练3　(1)已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最小值为(　　) A．1 B．2 C. D. (2)设复数z满足|z－1|＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4 C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4 (3)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 基础夯实 1．已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则(　　) A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3 2.已知＝1＋i(其中i为虚数单位)，则复数|z|＝(　　) A.i B.－i C.1 D.2 3.在复平面内，复数＝(i为虚数单位)，则z对应的点的坐标为(　　) A.(3，4) B.(－4，3) C.() D.() 4.复平面内表示复数z＝i(a－i)(a＜0)的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5．已知复数z满足(1－i)2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数的虚部为(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 6．已知复数z＝，i为虚数单位，则|z|等于(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 7．非零复数z满足＝－zi，则复数z在复平面内对应的点位于(　　) A．实轴 B．虚轴 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 8．已知复数z＝(a∈R，i是虚数单位)的虚部是－3，则复数z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9.设复数z满足|z－i|＝|z＋i|，i为虚数单位，且z在复平面内对应的点为Z(x，y)，则下列结论一定正确的是(　　) A.x＝1 B.y＝1 C.x＝0 D.y＝0 10.如果关于x的方程2x2＋3ax＋a2－a＝0至少有一个模等于1的根，那么实数a的值(　　) A.不存在 B.有一个 C.有三个 D.有四个 11.已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a＝(　　) A.－1 B.1 C.－3 D.3 12．复数z＝(i为虚数单位)的虚部是(　　) A．－1 B．1 C．－i D．i 13．若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则等于(　　) A．－2＋i B．－2－i C．2＋i D．2－i 14．复数z＝－i5在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15.已知i为虚数单位，若复数z＝＋i，则复数的虚部为(　　) A.－ B. C.－i D.i 16.(多选)已知i为虚数单位，复数z＝，则以下说法正确的是(　　) A.z在复平面内对应的点在第一象限 B.z的虚部是－ C.|z|＝3 D.若复数z1满足|z1－z|＝1，则|z1|的最大值为1＋ 17.若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________. 18.若复数z＝i＋i2 022，则＋的模等于________. 19.设O是坐标原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i.那么向量对应的复数是________. 20.若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是________，a＝________. 21．i是虚数单位，设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝________，|x＋yi|＝________. 22．若复数z满足z·i＝2－i，则|z|＝________. 优化提升 23．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ(其中e＝2.718…，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，下列结论中正确的是(　　) A．eiπ的实部为0 B．e2i在复平面内对应的点在第一象限 C．|eiθ|＝1 D．eiπ的共轭复数为1 24．若复数(x－3)＋yi(x，y∈R)的模为2，则的最大值为(　　) A. B. C. D. 25．方程z2－4|z|＋3＝0在复数集内解的个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 26．(多选)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则下列说法正确的是(　　) A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限 B.＝－－i C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4 D．|z2－z1|的最大值为3＋2 27.(多选)设z为复数，则下列命题中正确的是(　　) A.|z|2＝z· B.z2＝|z|2 C.若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2 D.若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2 28.(多选)欧拉公式exi＝cos x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是(　　) A.复数e2i对应的点位于第三象限 B.为纯虚数 C.复数的模长等于 D.的共轭复数为－i 29.已知复数z满足是纯虚数，则|z2＋z＋3|的最小值为________. 30.已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且满足|z－2|＝1，则的取值范围是________. 31．在数学中，记表达式ad－bc为由所确定的二阶行列式．若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝，z3＝2，则当＝－i时，z4的虚部为________． 32．投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数为虚数的概率为________． 参考答案： 基础摸查 【习题导入】 1．A　2.－3　3.－ 【知识归纳】 1．(1)a　b　(2)＝　≠　＝ (3)a＝c且b＝d　(4)a＝c，b＝－d (5)|a＋bi|　|z|　 3．(1)①(a＋c)＋(b＋d)i　②(a－c)＋(b－d)i　③(ac－bd)＋(ad＋bc)i　④＋i (2)＋ － 【题型展示】 例1 (1)B (2)AB (3)＋i 跟踪训练1 (1)A　(2)D　(3)D 例2 (1)C (2)ABC 跟踪训练2 (1)D　(2)B 例3 (1)C (2)C (3)C 跟踪训练3 (1)B　(2)A　(3)B 基础夯实 1．B　 2.C 3.D 4.D 5.B　 6.C 7．C　 8.D　 9.D 10.C 11.C 12.A　 13.C　 14.C　 15.A 16.AD 17.－2 18.6 19.5－5i 20.2＋3i　13 21.1　　 22. 优化提升 23．C 24．A 25．C　 26．ABD 27.ACD 28.BC 29. 30. 31．－2 32. 学科网（北京）股份有限公司 $$