平面向量的数量积及应用（基础摸查+基础夯实+优化提升）学案-2025届高三数学一轮复习

第5部分第3节《平面向量的数量积及应用》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升 基础摸查 【习题导入】 1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于(　　) A．1 B. C．3 D．3 2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 3．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于________；a与b夹角的余弦值等于________． 【知识归纳】 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2．平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积，记作 . 3．平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b ，叫做向量a在向量b上的 ．记为 . 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝ . (2)(λa)·b＝ ＝ ． (3)(a＋b)·c＝ . 5．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝__________ 模 |a|＝_______ |a|＝_________ 夹角 cos θ＝_____ cos θ＝___________ a⊥b的充要条件 a·b＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 常用结论： 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 【题型展示】 题型一　平面向量数量积的基本运算 例1　(1)在等边△ABC中，AB＝6，＝3，＝2，则·＝________. (2)在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cos θ＝，则·等于(　　) A．8 B．－8 C．2 D．－2 跟踪训练1　(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________. (2)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线BD上，则·的值为(　　) A．－2 B．2 C．1 D．4 题型二　平面向量数量积的应用 命题点1　向量的模 例2　已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝，则|a＋2b|等于(　　) A．1＋2 B. C. D．3 命题点2　向量的夹角 例3　若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　) A. B. C. D. 命题点3　向量的垂直 例4　已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________. 跟踪训练2　(1)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 (2)(多选)已知e1，e2是单位向量，且e1·e2＝，若向量a满足e1·a＝2，则下列选项正确的是(　　) A．|e1－e2|＝1 B．e1在e2上的投影向量的模为 C．e1与e1－e2的夹角为 D．a在e1上的投影向量为2e1 题型三　平面向量的实际应用 例5　在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是(　　) A．|G|＝|F1|＋|F2| B．当θ＝时，|F1|＝|G| C．当θ角越大时，用力越省 D．当|F1|＝|G|时，θ＝ 跟踪训练3　长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 题型四　平面向量在几何中的应用 例6　(1)在△ABC中，＝a，＝b，D是AC的中点，＝2，试用a，b表示为________，若⊥，则∠ACB的最大值为________． (2)如图，在△ABC中，cos∠BAC＝，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝，则△ABC的面积的最大值为________． 跟踪训练4　(1)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　) A．3 B．3 C．3 D．6 (2)在△ABC中，已知·＝0，且·＝，则△ABC为(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形 题型五　和向量有关的最值(范围)问题 命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题 例7　如图，在△ABC中，点P满足2＝，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝x，＝y(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为(　　) A．3 B．3 C．1 D. 命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题 例8　已知在边长为2的正△ABC中，M，N分别为边BC，AC上的动点，且CN＝BM，则·的最大值为________． 命题点3　与模有关的最值(范围)问题 例9　已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　) A．[－1，＋1] B．[－1，] C．[，＋1] D．[2－，2＋] 跟踪训练5　(1)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　) A．[－5,3] B．[－3,5] C．[－6,4] D．[－4,6] (2)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|－－|＝1，则||的最小值为(　　) A.－1 B．2－1 C．2－1 D.－1 (3)已知平行四边形ABCD的面积为9，∠BAD＝，E为线段BC的中点．若F为线段DE上的一点，且＝λ＋，则||的最小值为(　　) A. B．3 C. D. 基础夯实 1.已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　) A.－ B.0 C.3 D. 2.已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a·c＝b·c＝2，则c的模为(　　) A.1 B. C.2 D.2 3．已知a，b为非零向量，且|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a－b|，则a与b夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 4．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为(　　) A．3 B. C．2 D. 5．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P是BC的中点，则·等于(　　) A．0 B. C．3 D. 6．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圆圆心为O，则·等于(　　) A．8 B. C．8 D．18 7.在以OA为边，以OB为对角线的菱形OABC中，＝(4,0)，＝(6，a)，则∠AOC等于(　　) A. B. C. D. 8．已知P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式： 甲：＋＋＝0； 乙：·(－)＝·(－)； 丙：||＝||＝||； 丁：·＝·＝·. 如果只有一个等式不成立，则该等式为(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9.若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　) A. B. C. D. 10.在平行四边形ABCD中，已知＝，＝，||＝，||＝，则·＝(　　) A.－9 B.－ C.－7 D.－ 11．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于(　　) A．12 B．12 C．－12 D．－12 12．已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于(　　) A．5 B．6 C. D．4 13.(多选)如图，点A，B在圆C上，则·的值(　　) A.与圆C的半径有关 B.与圆C的半径无关 C.与弦AB的长度有关 D.与点A，B的位置有关 14.(多选)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是(　　) A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c B.(a·b)·c＝a·(b·c) C.a·b≤|a|·|b| D.|a－b|≤|a|＋|b| 15．已知|a|＝4，b＝(－1,0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为________． 16．设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________. 17.若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________. 18.已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________. 19.在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为________. 20.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]. (1)若a∥b，求x的值； (2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·. (1)求角B的大小； (2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值. 优化提升 22．四边形ABCD中，＝，(＋)·(－)＝0，则这个四边形是(　　) A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 23.如图，在△ABC中，＝，E为线段AD上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为(　　) A．8 B．9 C．12 D．16 24．在△ABC中，A＝，G为△ABC的重心，若·＝·＝6，则△ABC外接圆的半径为(　　) A. B. C．2 D．2 25．在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AB⊥AD，点P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则(＋)·的最小值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 26．设向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c·(a＋b－c)＝0，则|c|的最大值等于(　　) A．1 B．2 C．1＋ D. 27．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则·的取值范围是(　　) A．[1,2] B．[2,3] C.[] D.[] 28．已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是(　　) A．(－6，＋∞) B.() C.()∪() D.()∪() 29．(多选)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　) A．若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心 B．若·＝·＝0，则点O为△ABC的垂心 C．若(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的外心 D．若·＝·＝·，则点O为△ABC的内心 30．(多选)如图，点A，B在圆C上，则·的值(　　) A．与圆C的半径有关 B．与圆C的半径无关 C．与弦AB的长度有关 D．与点A，B的位置有关 31．(多选)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则(　　) A．当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5 N B．当F2与F1方向相反，且|F2|＝5 N时，物体所受合力大小为0 C．当物体所受合力为F1时，|F2|＝4 N D．当|F2|＝2 N时，3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N 32．(多选)已知O为坐标原点，点A(1,0)，P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β)，P3(cos(α－β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是(　　) A．||＝|| B．||＝|| C.·＝· D.·＝· 33.(多选)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则(　　) A.||＝|| B.||＝|| C.·＝· D.·＝· 34．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|2＋3|的最小值为________． 35．已知P是边长为4的正△ABC所在平面内一点，且＝λ＋(2－2λ)(λ∈R)，则·的最小值为________． 36．在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________． 37．设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则＋＋…＋的取值范围是______________． 38．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是BC的中点，F是AB上一点，且·＝0，则·＝________. 39.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a·b＝(||2－||2)，我们称为极化恒等式．在△ABC中，M是BC中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________. 40．在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中·的值为________． 41.已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，M是AB边上的动点，则|＋|的最小值为________. 42.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点. (1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值； (2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cosθ，sin θ－2cosθ)，求m·n的最小值及对应的θ值. 参考答案： 基础摸查 【习题导入】 1．C　2.2　3.5　 【知识归纳】 1．∠AOB 2．|a||b|cos θ　a·b 3．投影　投影向量　|a|cos θ e 4．(1)b·a　(2)λ(a·b)　a·(λb)　(3)a·c＋b·c 5．x1x2＋y1y2　　　　 x1x2＋y1y2＝0 【题型展示】 例1 (1)22 (2)D 跟踪训练1 (1)12 (2)B 例3 C 例4 － 跟踪训练2 (1)C　(2)ABD 例5 B 跟踪训练3 B 例6 (1)b－a　 (2) 跟踪训练4 (1)A (2)A 例7 A 例8 － 例9 A 跟踪训练5 (1)D (2)C (3)D 基础夯实 1.C 2.D 3.B　 4.B　 5.C　 6.A 7．B　 8．B 9.D 10.B 11．C　 12.A　 13.BC 14.ACD 15.　 16.11 17.3 18.－ 19.－ 20.解　(1)因为a＝(cos x，sin x)， b＝(3，－)，a∥b， 所以－cos x＝3sin x. 若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾， 故cos x≠0，于是tan x＝－. 又x∈[0，π]，所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－) ＝3cos x－sin x＝2cos. 因为x∈[0，π]，所以x＋∈， 从而－1≤cos≤. 于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3； 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2. 21.解　(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C. 根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， 所以sin Acos B＝sin(C＋B)， 即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)， 所以sin A＞0， 所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝. (2)因为|－|＝，所以||＝，即b＝， 根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)， 即ac≤3(2＋). 故△ABC的面积S＝acsin B≤， 因此△ABC的面积的最大值为. 优化提升 22．A　 23.D　 24.C　 25.A 26．D 27．B 28．C 29．AC 30.BC　 31．ACD 32．ABD 33.AC 34．7 35．5 36. 37．[12＋2，16] 38．－ 39．－16 40．6 41.3 42.解　(1)设D(t，0)(0≤t≤1)， 由题意知C， 所以＋＝， 所以|＋|2＝＋， 所以t＝时，|＋|最小， 最小值为. (2)由题意得C(cos θ，sin θ)， m＝＝(cos θ＋1，sin θ)， 则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin， 因为θ∈，所以≤2θ＋≤， 所以当2θ＋＝， 即θ＝时，sin取得最大值1， 即m·n取得最小值1－. 所以m·n的最小值为1－，此时θ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$