平面向量基本定理及坐标表示（基础摸查+基础夯实+优化提升）学案-2025届高三数学一轮复习

第5部分第2节《平面向量基本定理及坐标表示》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升 基础摸查 【习题导入】 1．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列结论成立的是(　　) A．a－c与b共线 B．b＋c与a共线 C．a与b－c共线 D．a＋b与c共线 2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　) A．(2,2) B．(3，－1) C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1) 3．下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(2，－3)，e2＝() C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) 【知识归纳】 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝ . 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 ． 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ ，a－b＝ ， λa＝ ，|a|＝ . (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则 坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ ，||＝ . 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔ . 常用结论： 已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 【题型展示】 题型一　平面向量基本定理的应用 例1　(1)已知在△ABC中，＝a，＝b，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，若＝xa＋yb，则x＋y＝________. (2)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则等于(　　) A.－ B.＋ C.－ D.＋ 跟踪训练1　(1)如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________. (2)(多选)下列命题中正确的是(　　) A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面 B．若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋yb C．若＝x＋y，则P，M，A，B共面 D．若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得＝x＋y 题型二　平面向量的坐标运算 例2　(1)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　) A. B. C．2 D. (2)已知＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，则点D的坐标为(　　) A．(－2,3) B．(2，－3) C．(－2,1) D．(2，－1) 跟踪训练2　(1)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示c，则(　　) A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b (2)已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为(　　) A．(2,4) B．(－14,16) C．(6,1) D．(22，－11) 题型三　向量共线的坐标表示 命题点1　利用向量共线求参数 例3　已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 命题点2　利用向量共线求向量或点的坐标 例4　设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为(　　) A．(3,1) B．(1，－1) C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1) 跟踪训练3　(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝，若m＝(c－，a－b)，n＝(a－b，c＋)，且m∥n，则△ABC的面积为(　　) A．3 B. C. D．3 (2)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为(　　) A. B. C. D. 基础夯实 1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是(　　) A.(2，2) B.(－2，－2) C.(1，1) D.(－1，－1) 2.在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是(　　) A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3) 3.如图，已知＝a，＝b，＝4，＝3，则＝(　　) A.b－a 　　 B.a－b C.a－b 　　 D.b－a 4．(2023·南京模拟)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　) A. B. C. D. 5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　) A.a－b B．a－b C．－a＋b D．－a＋b 7.如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，＝x＋y，则x等于(　　) A. B. C. D. 8．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m不可能是(　　) A．－2 B. C．1 D．－1 9.已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且＋＋2＝0，则△AOB的面积是(　　) A.4 B. C. D.2 10.在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2||＋||＝1，设＝x＋y，则2x＋3y的最小值为(　　) A.48 B.49 C.50 D.51 11．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是(　　) A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．e1－2e2与－e1＋2e2 12．已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 13．已知点P是△ABC所在平面内一点，且＋＋＝0，则(　　) A.＝－＋ B.＝＋ C.＝－－ D.＝－ 14.(多选)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是(　　) A.给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c B.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc C.给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc D.给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc 15．(多选)若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断不正确的是(　　) A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线 C．a与b一定垂直 D．a与b中至少有一个为0 16．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2,0)，若向量ma＋b与2a－nb共线，则mn＝________. 17．若在△ABC中，AB＝，∠ABC＝，BC＝3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ－2μ＝________. 18.已知O为坐标原点，向量＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，则||＝________. 19.已知非零向量a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，则＝________. 20.已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________. 21.已知a＝(1，0)，b＝(2，1)， (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线， (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值. 22.如图，在△ABC中，＝＋. (1)求△ABM与△ABC的面积之比； (2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值. 优化提升 23．在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，＝a，＝b，则等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 24．在△ABC中，D是直线AB上的点．若2＝＋λ，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则等于(　　) A. B. C. D. 25.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　) A.3 B.2 C. D.2 26.(多选)在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ(λ，μ为正实数)，则下列结论正确的是(　　) A.λμ的最小值为16 B.λμ的最大值为 C.＋的最大值为16 D.＋的最小值为4 27．(多选)已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意a，b∈E，t∈(0,1)，均有ta＋(1－t)b∈E，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有(　　) A．{(x，y)|y≥ex} B．{(x，y)|y≥ln x} C．{(x，y)|x＋2y－1≥0} D．{(x，y)|x2＋y2≤1} 28．已知0<θ<π，向量a＝，b＝(1，sin θ)，且a∥b，则θ＝________. 29．如图，扇形的半径为1，且⊥，点C在弧AB上运动，若＝x＋y，则2x＋y的最小值是________． 30.如图，矩形LMNK，LM＝6，sin∠MLN＝，⊙E的半径为1，且E为NK的中点，P为圆E上的动点，设＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值是________． 31.如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值. 参考答案： 基础摸查 【习题导入】 1．C　2.A　3.D 【知识归纳】 1．不共线　有且只有　λ1e1＋λ2e2 基底 2．互相垂直 3．(1)(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2)　(λx1，λy1) 　(2)①终点 ②(x2－x1，y2－y1) 4．x1y2－x2y1＝0 【题型展示】 例1 (1)－ (2)C 跟踪训练1 (1)6 (2)AC 例2 (1)B (2)D 跟踪训练2 (1)D　(2)A 例3 B 例4 C 跟踪训练3 (1)C　(2)B 基础夯实 1.D 2.B 3.D 4.A　 5.C 7．C 8．C 9.D 10.B 11．D　 12.D　 13.D　 14.AB 15．ACD　 16．－2　 17.0 18. 19.－ 20. 21.解　(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2). ∵ka－b与a＋2b共线， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0， 即2k－4＋5＝0，得k＝－. (2)法一　∵A，B，C三点共线， ∴＝λ， 即2a＋3b＝λ(a＋mb)， ∴解得m＝. 法二　＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， ＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)， ∵A，B，C三点共线，∴∥， ∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0， ∴m＝. 22.解　(1)在△ABC中， 由＝＋， 得4－3－＝0， 即3(－)＝－，即3＝， 即点M是线段BC上的靠近B的四等分点， ∴△ABM与△ABC的面积之比为. (2)∵＝＋， ＝x＋y(x，y∈R)， ∥，＝， ∴设＝λ＝＋ ＝＋. ∵N，P，C三点共线，∴＋＝1， 解得λ＝，x＝＝，y＝λ＝， 故x＋y＝. 优化提升 23．B 24．D 25.A 26.BD 27．ACD 28. 29．1 30. 31.解　以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 由tan α＝7知α为锐角， 则sin α＝，cos α＝， 故cos(α＋45°)＝－，sin(α＋45°)＝. ∴点B，C的坐标分别为 ，， ∴＝，＝. 又＝m＋n， ∴＝m(1，0)＋n， ∴解得 ∴m＋n＝＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$