4.3.1 等比数列的概念（第1课时）（导学案）数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念（第1课时） （导学案） （1）能通过具体实例，归纳出等比数列的概念，并形成符号化定义；能根据定义探索归纳出等比数列的通项公式，能解释公式的含义和限制条件；能根据等比中项的概念写出对应等式. （2）能通过解析式、图象等，说出等比数列的通项公式与指数函数之间的共性与差异；会用函数的观点解释等比数列，提升数学抽象、逻辑推理素养． （3）会通过解方程组求等比数列的基本量，并能得出等比数列的一些性质，会利用通项公式解决一些简单问题，着重提升数学运算素养. 教学重点：1.等比数列的概念.2.等比数列的通项公式． 教学难点：等比数列通项公式的推导过程． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)． [说明]　(1)定义强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项． (2)等比数列的公比q可正可负，但不能为0；等比数列中任一项不为0. (3)常数列(除0，0，0，…外)都是公比为1的等比数列． 知识点二　等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab． [想一想]　我们知道任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数都有等比中项吗？若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 提示：任意两个实数不一定都有等比中项，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数无等比中项．若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列，如02＝0×3，但0，0，3不成等比数列． 知识点三　等比数列的通项公式 1．公式：an＝a1qn－1，其中a1为首项，q为公比． 2．推导：由等比数列的定义，得＝q，＝q，…，＝q，把这(n－1)个等式相乘，得an＝a1qn－1． 知识点四　等比数列与指数型函数的关系 等比数列的通项公式an＝a1qn－1可以改写为an＝·qn，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．反之，任给函数f(x)＝kax(k，a为常数，k≠0，a>0，且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a． 课堂导入1：生活情境——棋盘麦粒的惊人数字 情境描述：古印度国王为了奖励发明国际象棋的宰相，问他想要什么赏赐。宰相微微一笑，说："陛下，请您在棋盘的第一个格子里放1粒麦子，第二个格子里放2粒，第三个格子里放4粒，第四个格子里放8粒……依此类推，每个格子的麦子数量是前一个格子的2倍，直到填满64个格子。"国王一听，觉得这要求太简单了，欣然答应。可当大臣开始计算时却发现……整个国家的麦子都不够用！ 思考：写出每个格子的麦粒数构成的数列前6项？这个数列的相邻两项之间的关系是什么？ 预设：1，2，4，8，16，32；从第2项起，后一项与前一项的比都为2。 追问1：这个规律让你联想到了我们之前学习的什么数列？ 学生：等差数列。 追问2：类比等差数列，你会给这个数列起一个什么名称？第64个格子到底需要多少粒麦子？ 学生：等比数列；第64个格子需要2⁶³粒麦子（约9.22×10¹⁸粒），所以整个国家的麦子都不够用。 【设计意图】利用经典的数学故事创设情境，以其巨大的数量反差制造认知冲突，激发学生好奇心和探究欲，自然引出等比数列的学习主题，并让学生直观感受等比数列"指数式增长"的惊人力量。 教学建议：建议教师讲述时突出故事的情节转折，引导学生写出前几项并观察规律，可适时提问："这个数列有何特点？"为定义引出做铺垫；可让学生用计算器估算2⁶³的大小，加深对增长速度的感受。 课堂导入2：生活情境——折纸游戏中的"翻倍" 情境描述：小丽发现，一张普通的A4纸对折1次后是2层，对折2次后是4层，对折3次后是8层……她把每次对折后纸的层数依次记录下来。 思考：对折次数与纸的层数之间有什么关系？写出前5次对折后纸的层数构成的数列，并观察相邻两项的比。 预设：层数依次为2，4，8，16，32；从第2次起，后一次层数与前一次层数的比都为2。 追问：理论上若小丽坚持对折30次，层数将达到2³⁰层（超过10亿层），这说明了什么？像"翻倍""裂变"这样不断成倍增长的现象在生活中还有哪些例子？ 学生：细菌分裂、银行复利、病毒传播、消息转发裂变等。 【设计意图】以学生熟悉的折纸活动为素材，从动手操作中观察"等比"现象，让学生感受到等比数列就在身边，为抽象等比数列的定义积累直观经验，同时渗透指数式增长的直觉。 教学建议：可让学生现场折纸体验（实际最多只能折7~8次），用"理论上可对折30次"引发对增长速度的惊叹；鼓励学生主动举例，体会"成倍增长"在生活中的原型，为探究一提供素材。 回顾：回顾前面的整个学习等差数列的历程，我们按照怎样的研究路径实现等差数列内容的研究的？ 师生：师生一起回顾等差数列的学习历程，形成等差数列的研究路径和研究方的共识。 即“通过运算探究实例中数列的共同取值规律→抽象出定义→根据定义归纳得到通项公式→利用通项公式，探究数列与相关函数的关系→利用通项公式解决问题→推导数列的前n项和公式→利用通项公式与前n项和公式解决问题”. [设计意图]本节的内容可以为学生提供了很好的自主学习的机会，教学时可以让学生在与等差数列类比的基础上，自己发现研究对象，并针对研究对象提出研究内容、探索研究方法、获得研究结论.教学中，可侧重提醒学生注意新的研究对象的独特性. 研究路径1：实例中数列的共同取值规律 情境1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： ； ① ； ② ； ③ 情境2．《庄子・天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 ④ 情境3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 ⑤ 情境4．某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 ． ⑥ 师生：我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律． 如果用表示数列①，那么有 ，，……，． 这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9． 其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律． 发现数列②满足； 数列③满足； 数列④满足 数列⑤满足 数列⑥满足 这表明数列①②③④⑤⑥具有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数. [设计意图]学生可以通过除法运算发现例子中数列的不变性，体会以运算为手段来探索数学对象的取值规律是一种重要的思维方法.学生除了会用文字语言表达规律外，还应学习用数学符号去表示规律，这也是用数学的语言表达世界的具体体现. 研究路径2：抽象等比数列的定义 等比数列的概念： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列（geometric progression），这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母表示（显然)．例如，数列①~⑥的公比依次是9，100，5，，2，． 练习：求出情景1~情景4中等比数列①~⑥的公比分别是多少？ 学生： 思考：你能结合等比数列的定义写出其符号表达式吗? 师生：学生回顾等差数列的符号表示：或，进而结合等比数列的概念类比等差数列的符号表示即可得到等比数列概念的符号表示：或 思考：你能根据等比数列的定义及符号表示，给出等比数列定义的内涵么？ 理解等比数列的定义，需要注意以下几个方面： 1 “从第2项起”是后续条件，有两层内涵：一是因为第1项没有前一项，所以没有办法与前一项作比比较； 2 “从第2项起”表明成立，则，公比可以是任意非零实数； 3 确保该数列中任何一项与前一项的比都是同一个常数. 4 每一项与它的前一项的比指出作比比较的顺序； 5 强调作比比较的两项必须相邻.同时，等比数列的符号描述为判定一个数列是否为等比数列提供了基本依据和方法，也是推导等比数列通项公式的起点，是理解概念内涵的关键。 等比中项的概念 与等差中项类似，如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项（geometric mean）．此时，，． 思考：这时a，b的符号有什么特点？你能用 a，b表示G 吗？ 学生：a,b必须同号 研究路径3：根据定义研究通项公式 思考：类比等差数列通项公式的推到过程（归纳迭代法和累加法），你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 师生活动：设一个等比数列的首项为，公比为．根据等比数列的定义，可得 ， 即就是等比数列的递推公式． 所以 ，，，…． 于是 …… 归纳可得 ． 当时，上式为．这就是说，上式当时也成立． 所以 以上方法为逐步迭代法 令一方面：（累乘法） 由定义得，，，……，， 将这些等式的两边分别相乘得 ， 整理得： . 当时，上式为，这就是说，上式当时也成立． 综上，首项为，公比为的等差数列的通项公式为： 等比数列通项公式： 追问：等比数列的通项公式中涉及了哪几个量?你能由此分析一下确定一个等比数列的基本条件吗? 师生：学生观察通项公式的结构回答：首项、公比、项数、第项.其中，首项、公比是基本量，由基本量就可以唯一确定一个等比数列.因此，在解决等比数列问题时，我们要重视用基本量表示数列中其他元素. [设计意图]在利用不完全归纳法得出通项公式的基础上，引导学生探究另外一种推导方法——“累乘法”。这样既能从逻辑上消除学生对归纳推理所得结论的疑问，又可以让他们在今后遇到递推求通项等问题时多一种思维方向，在探究过程中还可以让学生进一步体会“以简驭繁”的转化思想。 研究路径4：利用通项公式，探究数列与相关函数的关系 思考：在等差数列中，公差d≠0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，通过类比，等比数列可以与那个函数建立联系？ 师生：类似于等差数列与一次函数的关系，由可知，当且时，等比数列的第项是函数当时的函数值，即（如图4.3-1所示）. 反之，任给函数（为常数，，且），则，，…，，…构成一个等比数列，其首项为，公比为 追问1：类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性． 师生:教学中可以引导学生思考，除了要像指数函数那样，分为和两种情况讨论外，还要考虑时的情况，以及将整个数列分为和两种情况进行讨论.具体地，可以引导学生列出下表中的几种情况. 的范围 等比数列的单调性 单调递减 不变 单调递增 单调递增 不变 单调递减 追问2：公比且的等比数列的图象有什么特点? 师生：师生一起通过具体的等比数列的图象的作图，探究得到结论：公比且的等比数列的图象特点是：等比数列的图象是函图像上一群孤立的点。 [设计意图]基于等比数列与指数函数的关系，通过具体数列图象的画法，直观得出图象特点.不仅从代数角度论证了数列与对应函数的关系，还通过图象加以“印证”,学生既能体会代数与几何的统一性，又能进一步加深对数列是特殊的函数的理解. 例1：若等比数列的第4项和第6项分别为8和12，求的第5项． 分析：等比数列由，唯一确定，可利用条件列出关于，的方程（组），进行求解． 解法1：由，，得 ②的两边分别除以①的两边，得 ． 解得 或． 把代入①，得 此时 ． 把代入①，得 此时 ． 因此，的第5项是24或． 解法2：因为是与的等比中项，所以 ． 所以 ． 因此，的第5项是24或． [设计意图]例1与4.2节的例7类似，也给定了两个独立的条件.与等差数列的问题类似，只要给定两个独立的条件，就能确定等比数列，从而求出数列的某一项等.但与等差数列不同的是，根据两个给定条件得到的关于首项和公比的方程组的解往往不唯一，有时会得到两个的值，也就是得到两个不同的等比数列.此外，为了让学生熟悉等比中项，教科书把例1中要求的数列的某一项设置为给定两项的等比中项，这样学生就可以直接利用等比中项的定义解决问题了. 例2：已知等比数列的公比为，试用的第项表示． 解：由题意，得 ， ① ． ② ②的两边分别除以①的两边，得 ． 所以 等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示． [设计意图]部分学生不能顺利将文字阅读转化为“数学阅读”,教师要逐字逐句分析题目，引导学生明白问题的实质是要用已知量和表示.对两种思路算法的分析十分必要，不能心中只有具体方法没有数学思想，消元、降次是解方程(组)重要的数学思想。 例3：数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列． 分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解． 解：设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，，80，，．于是得 解方程组，得 或 所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，． 师生：学生独立思考，教师给出解答示范． [设计意图]例3安排了一道综合应用等差数列和等比数列的通项公式解决问题的题目．根据条件包含的等量关系，列出关于数列相关量的方程组是解决这类问题的常用策略．本题利用中间量去表示其他各项，可以减少所设未知数的个数．通过此题提高学生分析问题、解决问题的能力． 方法总结：等比数列通项公式的求法 1. 在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项，因此根据已知条件，建立关于的方程组，求出，后再求出，这是常规方法. 2. 在已知等比数列中任意两项的前提下，利用也可求出等比数列中的任意一项.故只需充分利用各项之间的关系，直接求出后，再根据公式求，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算. 题型一：等比中项的应用 例题：（1）已知等比数列的前3项依次为，求实数的值； 预设：因为等比数列的前3项依次为，所以，解得或. 又因为当时，不合题意， 所以实数x的值为. （2）已知数列为等比数列，若数列的前三项和为168，， 求，的等比中项. 预设：设等比数列的公比为，因为，所以. 由已知得，即，解得， 若G是，的等比中项，则有， 所以，所以，的等比中项为. 方法总结：等比中项的应用 （1）是与的等比中项，则与的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项.此时，，即等比中项有两个，且互为相反数. （2）时，不一定是与的等比中项.例如，但不是等比数列； （3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项； （4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， 题型二：等比数列的判定或证明 例题：（1）对数列，若点都在函数的图象上，其中c，q为常数，且，，，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论． 预设：由题意知:,因为，，，为定值常数，且 所以数列为以为首项，为公比的等比数列. 2．数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列; (2)求数列的通项公式； 预设：因为①， 所以当时，②， ①②得：，即(*)， 又当时，，即，所以， 由(*)可得，， 则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故； 规律方法总结：判断一个数列是否是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列满足(，为常数且不为零)或 (，，为常数且不为零)，则数列是等比数列. (2)通项公式法：若数列的通项公式为，则数列是等比数列. (3)等比中项法：若 (且)，则数列为等比数列. 题型三：累乘法求数列通项公式 例题：已知数列中，，，求数列的通项公式． 预设：因为，所以当时，， 所以，，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘， 得，即， 所以． 当时，，符合上式． 所以数列的通项公式是． 规律方法总结：累乘法（叠乘法）（记忆累乘法模型） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： ，，，……， 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 再检验即可. 题型四：构造等比求通项公式 之 型 例题：（1）已知数列中，，证明：数列是等比数列. 预设：因为，所以， 因为，所以，又， 所以，所以数列是以5为首项，2为公比的等比数列； 2．正项数列满足，，求数列的通项公式. 分析：依题意可得，即可得结合等比数列的定义证明即可. 预设：因为，所以， 又因，所以， 所以根据等比数列定义可知是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即 规律方法总结：形如(为常数，)的通项公式求解方法 形如(为常数)的通项公式求解方法为构造数列为等比数列求解，具体的步骤如下： 1 设，并整理得 2 将与对比得， 3 当时，解得 4 证明()为等比数列，并根据等比数列求得的通项公式 5 根据的通项公式得的通项公式. ， 一、知识清单 1. 等比数列定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数q（公比），即aₙ₊₁/aₙ = q（n ∈ N*，q ≠ 0）。 2. 等比中项：G² = ab（a、b同号），G = ±√(ab)。 3. 通项公式：aₙ = a₁qⁿ⁻¹；推广：aₙ = aₘqⁿ⁻ᵐ。 4. 函数观点：aₙ = (a₁/q)·qⁿ与指数函数联系，图象是函数图象上的孤立点。 二、方法归纳 （1）研究路径类比：事实→概念→性质→应用； （2）通项公式推导：迭代法与累乘法双路径； （3）基本量思想：首项与公比唯一确定等比数列； （4）单调性讨论：按q与a₁的符号分类。 三、易错误区 （1）忽视公比q ≠ 0与各项不为零的隐含条件； （2）判断等比数列只验证相邻两项比值相等，未验证"从第2项起"与"同一个常数"； （3）求等比中项易漏负号，G = ±√(ab)； （4）解方程组求基本量出现两解时，未结合题意取舍。 1.（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）已知正项等比数列，其前n项和为．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【详解】因为，所以，则公比， 则，得，因为，所以. 2.（25-26高二下·河北衡水·期末）下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列 【详解】对于A，，数列不是等差数列，A错误 对于B，，数列不是等比数列，B不是； 对于C，，数列不是等比数列，C不是； 对于D，数列是非0常数列，既是等差数列也是等比数列，D是. 3.（25-26高二下·河南·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】构造法求数列通项、写出等比数列的通项公式 【分析】利用构造等比数列的方法结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以．所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以，所以． 4.（25-26高二下·河北衡水·期末）下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列 【详解】对于A，，数列不是等差数列，A错误 对于B，，数列不是等比数列，B不是； 对于C，，数列不是等比数列，C不是； 对于D，数列是非0常数列，既是等差数列也是等比数列，D是. 5.（25-26高二下·北京海淀·期末）设是各项均不为0的无穷等差数列，公差为．记，则“”是“有最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、等比数列的通项公式的指数函数特征、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】通过举反例验证充分性，结合公差符号对趋势的影响验证必要性，从而判断出条件关系. 【详解】 充分性判断：取，，所有项都不为0，符合题意，此时， 当为奇数且不断增大时，会无限减小，没有下界，因此没有最小值， 即“”不是“有最小值”的充分条件； 必要性判断：假设，无穷等差数列单调递减，必然存在正整数，当时，所有， 且随增大趋向正无穷。 此时对于大于的奇数，为负数，且随增大无限增大， 即会无限减小趋向负无穷，没有最小值， 因此若有最小值，必然， 即“”是“有最小值”的必要条件； 综上，""是"有最小值"的必要不充分条件. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1 等比数列的概念（第1课时） （导学案） （1）能通过具体实例，归纳出等比数列的概念，并形成符号化定义；能根据定义探索归纳出等比数列的通项公式，能解释公式的含义和限制条件；能根据等比中项的概念写出对应等式. （2）能通过解析式、图象等，说出等比数列的通项公式与指数函数之间的共性与差异；会用函数的观点解释等比数列，提升数学抽象、逻辑推理素养． （3）会通过解方程组求等比数列的基本量，并能得出等比数列的一些性质，会利用通项公式解决一些简单问题，着重提升数学运算素养. 教学重点：1.等比数列的概念.2.等比数列的通项公式． 教学难点：等比数列通项公式的推导过程． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 ，那么这个数列叫做等比数列，这个 叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠ )． [说明]　(1)定义强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项． (2)等比数列的公比q可正可负，但不能为0；等比数列中任一项不为0. (3)常数列(除0，0，0，…外)都是公比为1的等比数列． 知识点二　等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么 叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ ． 知识点三　等比数列的通项公式 1．公式：an＝a1qn－1，其中a1为首项，q为公比． 2．推导：由等比数列的定义，得＝q，＝q，…，＝q，把这(n－1)个等式相乘，得 ． 知识点四　等比数列与指数型函数的关系 等比数列的通项公式an＝a1qn－1可以改写为an＝·qn，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数 当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．反之，任给函数f(x)＝kax(k，a为常数，k≠0，a>0，且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为 ，公比为 ． 课堂导入1：生活情境——棋盘麦粒的惊人数字 情境描述：古印度国王为了奖励发明国际象棋的宰相，问他想要什么赏赐。宰相微微一笑，说："陛下，请您在棋盘的第一个格子里放1粒麦子，第二个格子里放2粒，第三个格子里放4粒，第四个格子里放8粒……依此类推，每个格子的麦子数量是前一个格子的2倍，直到填满64个格子。"国王一听，觉得这要求太简单了，欣然答应。可当大臣开始计算时却发现……整个国家的麦子都不够用！ 思考：写出每个格子的麦粒数构成的数列前6项？这个数列的相邻两项之间的关系是什么？ 预设：1，2，4，8，16，32；从第2项起，后一项与前一项的比都为2。 追问1：这个规律让你联想到了我们之前学习的什么数列？ 追问2：类比等差数列，你会给这个数列起一个什么名称？第64个格子到底需要多少粒麦子？ 课堂导入2：生活情境——折纸游戏中的"翻倍" 情境描述：小丽发现，一张普通的A4纸对折1次后是2层，对折2次后是4层，对折3次后是8层……她把每次对折后纸的层数依次记录下来。 思考：对折次数与纸的层数之间有什么关系？写出前5次对折后纸的层数构成的数列，并观察相邻两项的比。 追问：理论上若小丽坚持对折30次，层数将达到2³⁰层（超过10亿层），这说明了什么？像"翻倍""裂变"这样不断成倍增长的现象在生活中还有哪些例子？ 回顾：回顾前面的整个学习等差数列的历程，我们按照怎样的研究路径实现等差数列内容的研究的？ 师生：师生一起回顾等差数列的学习历程，形成等差数列的研究路径和研究方的共识。 即“通过运算探究实例中数列的共同取值规律→抽象出定义→根据定义归纳得到通项公式→利用通项公式，探究数列与相关函数的关系→利用通项公式解决问题→推导数列的前n项和公式→利用通项公式与前n项和公式解决问题”. 研究路径1：实例中数列的共同取值规律 情境1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： ； ① ； ② ； ③ 情境2．《庄子・天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 ④ 情境3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 ⑤ 情境4．某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 ． ⑥ 师生：我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律． 如果用表示数列①，那么有 ，，……，． 这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9． 其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律． 发现数列②满足； 数列③满足； 数列④满足 数列⑤满足 数列⑥满足 这表明数列①②③④⑤⑥具有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数. 研究路径2：抽象等比数列的定义 等比数列的概念： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列（geometric progression），这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母表示（显然)．例如，数列①~⑥的公比依次是9，100，5，，2，． 练习：求出情景1~情景4中等比数列①~⑥的公比分别是多少？ 思考：你能结合等比数列的定义写出其符号表达式吗? 师生：学生回顾等差数列的符号表示：或，进而结合等比数列的概念类比等差数列的符号表示即可得到等比数列概念的符号表示：或 思考：你能根据等比数列的定义及符号表示，给出等比数列定义的内涵么？ 理解等比数列的定义，需要注意以下几个方面： 1 “从第2项起”是后续条件，有两层内涵：一是因为第1项没有前一项，所以没有办法与前一项作比比较； 2 “从第2项起”表明成立，则，公比可以是任意非零实数； 3 确保该数列中任何一项与前一项的比都是同一个常数. 4 每一项与它的前一项的比指出作比比较的顺序； 5 强调作比比较的两项必须相邻.同时，等比数列的符号描述为判定一个数列是否为等比数列提供了基本依据和方法，也是推导等比数列通项公式的起点，是理解概念内涵的关键。 等比中项的概念 与等差中项类似，如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项（geometric mean）．此时，，． 思考：这时a，b的符号有什么特点？你能用 a，b表示G 吗？ 学生：a,b必须同号 研究路径3：根据定义研究通项公式 思考：类比等差数列通项公式的推到过程（归纳迭代法和累加法），你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 师生活动：设一个等比数列的首项为，公比为．根据等比数列的定义，可得 ， 即就是等比数列的递推公式． 所以 ，，，…． 于是 …… 归纳可得 ． 当时，上式为．这就是说，上式当时也成立． 所以 以上方法为逐步迭代法 令一方面：（累乘法） 由定义得，，，……，， 将这些等式的两边分别相乘得 ， 整理得： . 当时，上式为，这就是说，上式当时也成立． 综上，首项为，公比为的等差数列的通项公式为： 等比数列通项公式： 追问：等比数列的通项公式中涉及了哪几个量?你能由此分析一下确定一个等比数列的基本条件吗? 师生：学生观察通项公式的结构回答：首项、公比、项数、第项.其中，首项、公比是基本量，由基本量就可以唯一确定一个等比数列.因此，在解决等比数列问题时，我们要重视用基本量表示数列中其他元素. 研究路径4：利用通项公式，探究数列与相关函数的关系 思考：在等差数列中，公差d≠0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，通过类比，等比数列可以与那个函数建立联系？ 师生：类似于等差数列与一次函数的关系，由可知，当且时，等比数列的第项是函数当时的函数值，即（如图4.3-1所示）. 反之，任给函数（为常数，，且），则，，…，，…构成一个等比数列，其首项为，公比为 追问1：类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性． 师生:教学中可以引导学生思考，除了要像指数函数那样，分为和两种情况讨论外，还要考虑时的情况，以及将整个数列分为和两种情况进行讨论.具体地，可以引导学生列出下表中的几种情况. 的范围 等比数列的单调性 单调递减 不变 单调递增 单调递增 不变 单调递减 追问2：公比且的等比数列的图象有什么特点? 师生：师生一起通过具体的等比数列的图象的作图，探究得到结论：公比且的等比数列的图象特点是：等比数列的图象是函图像上一群孤立的点。 例1：若等比数列的第4项和第6项分别为8和12，求的第5项． 分析：等比数列由，唯一确定，可利用条件列出关于，的方程（组），进行求解． 例2：已知等比数列的公比为，试用的第项表示． 例3：数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列． 分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解． 方法总结：等比数列通项公式的求法 1. 在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项，因此根据已知条件，建立关于的方程组，求出，后再求出，这是常规方法. 2. 在已知等比数列中任意两项的前提下，利用也可求出等比数列中的任意一项.故只需充分利用各项之间的关系，直接求出后，再根据公式求，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算. 题型一：等比中项的应用 例题：（1）已知等比数列的前3项依次为，求实数的值； （2）已知数列为等比数列，若数列的前三项和为168，， 求，的等比中项. 方法总结：等比中项的应用 （1）是与的等比中项，则与的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项.此时，，即等比中项有两个，且互为相反数. （2）时，不一定是与的等比中项.例如，但不是等比数列； （3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项； （4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， 题型二：等比数列的判定或证明 例题：（1）对数列，若点都在函数的图象上，其中c，q为常数，且，，，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论． 2．数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列; (2)求数列的通项公式； 规律方法总结：判断一个数列是否是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列满足(，为常数且不为零)或 (，，为常数且不为零)，则数列是等比数列. (2)通项公式法：若数列的通项公式为，则数列是等比数列. (3)等比中项法：若 (且)，则数列为等比数列. 题型三：累乘法求数列通项公式 例题：已知数列中，，，求数列的通项公式． 规律方法总结：累乘法（叠乘法）（记忆累乘法模型） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： ，，，……， 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 再检验即可. 题型四：构造等比求通项公式 之 型 例题：（1）已知数列中，，证明：数列是等比数列. 2．正项数列满足，，求数列的通项公式. 规律方法总结：形如(为常数，)的通项公式求解方法 形如(为常数)的通项公式求解方法为构造数列为等比数列求解，具体的步骤如下： 1 设，并整理得 2 将与对比得， 3 当时，解得 4 证明()为等比数列，并根据等比数列求得的通项公式 5 根据的通项公式得的通项公式. ， 一、知识清单 1. 等比数列定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数q（公比），即aₙ₊₁/aₙ = q（n ∈ N*，q ≠ 0）。 2. 等比中项：G² = ab（a、b同号），G = ±√(ab)。 3. 通项公式：aₙ = a₁qⁿ⁻¹；推广：aₙ = aₘqⁿ⁻ᵐ。 4. 函数观点：aₙ = (a₁/q)·qⁿ与指数函数联系，图象是函数图象上的孤立点。 二、方法归纳 （1）研究路径类比：事实→概念→性质→应用； （2）通项公式推导：迭代法与累乘法双路径； （3）基本量思想：首项与公比唯一确定等比数列； （4）单调性讨论：按q与a₁的符号分类。 三、易错误区 （1）忽视公比q ≠ 0与各项不为零的隐含条件； （2）判断等比数列只验证相邻两项比值相等，未验证"从第2项起"与"同一个常数"； （3）求等比中项易漏负号，G = ±√(ab)； （4）解方程组求基本量出现两解时，未结合题意取舍。 1.（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）已知正项等比数列，其前n项和为．若，，则（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·河北衡水·期末）下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3.（25-26高二下·河南·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高二下·河北衡水·期末）下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5.（25-26高二下·北京海淀·期末）设是各项均不为0的无穷等差数列，公差为．记，则“”是“有最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $