第8期：圆的方程-【数理报】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版）

17.(15分)已知两定点M(1,3),N(3,1),动点P满足条件 18.(17分)如图，在宽为14m的路边安装路灯，灯柱OA高为8 19.(17分)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德 ,求动点P的迹方程.请从下列条件中任选一个补充到 ,灯杆PA是半径为r的圆C的一段劣弧.路灯采用锥形灯罩，灯罩 齐名，他发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值（入≠1）的 横线上，并在此条件下完成题目. 顶P到路面的距离为10m,到灯柱OA所在直线的距离为2m.设Q 点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波 条件①：直线PM与直线PN垂直； 为灯罩轴线与路面的交点，圆心C在线段PQ上.以O为原点，以OA 罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系x0y中，4(-1,0)， 条件②：点P到M,N两点距离平方之和为20： 所在直线为y轴建立平面直角坐标系 BA3.0,动点P满起路=日，设动点P的轨迹为线C 条件③：直线PM与直线PV斜率之积为4. (1)当点Q恰好为路面中点时，求此时圆C的方程； (注：如果选择的条件不符合要求，计0分；如果选择多个符合要 (2)记圆心C在路面上的射影为H,且H在线段OQ上，求HQ的 (1)求曲线C的方程： 求的条件分别作答，按第一个解答计分) 最大值 (2)求曲线C关于直线x+y-2=0对称的曲线方程； (3)在C上是否存在点D,使得D到点(3,3）的距离为3. 高中数学·选择性必修第一册（人教A版〕同步核心素养测评 高中数学·选择性必修第一册（人教A版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：蒋丕清 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 2026年8月24日·星期 高中数学 报纸发行质量反馈电话： 兹评橘 第 8 期总第1204期 人教A 0351-5271248 选择性必修第一册 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F)邮发代号：21-289 题苏东坡 《百鸟归巢图》诗 专题辅导 则√(-1-3)2+(b+1)产=25 二、一般方程的选择 苏东坡是北宋 方程也有选择权 解得b=-3或b=1. 由于一般方程体现方程的“一般性”，因此 著名的文学家，诗 故所求圆C的方程为(x+1)2+(y+3)2= 求圆的方程均可选用此种形式，但是如果不考 词、文乃至琴、棋 如何选择圆的方程 30或(x+1)2+(y-1)2=30. 虑试题的特点，都选用一般方程，有时会增加运 书、画无一不精。他 例2求圆心在直线5x-3y=6上，且与两坐算量.通常情况下求圆的方程要优先考虑用标 的诗清雅奇丽；他的 ◎湖南毛国胜 标轴相切的圆的方程， 准方程，其次才考虑一般方程。 文如行云流水，有一 圆的方程主要有标准方程和一般方程，那 解：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2 例3求经过A(4,2),B(-1,3)两点，且在 泻千里之势；他的词 么在具体求圆的方程过程中，对这两种形式的 =r2. 两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程， 豪健纵放；他的画浓 方程应如何选择呢？ 因为圆与坐标轴相切 解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+ 淡有致，形神兼备， 一、标准方程的选择 所以a=±b,r=IaI. F=0, 但传世之作不多见 根据标准方程的结构特点，选择标准方程 又因为圆心(a,b)在直线5x-3y=6上， 令y=0得x2+Dx+F=0, 而《百鸟归巢图》却 一般具有如下特征：(1)条件中涉及到圆心； 所以5a-3b=6 所以圆在x轴上的截距之和为 一直为世人所珍藏 (2)涉及到圆的半径.选用圆的标准方程有两种 ra=±b, x1+x2=-D, 百鸟神态各异，栖飞 求法：(1)根据条件直接求得a,b,r,然后代入标 由5a-3b=6 令x=0得y2+Ey+F=0, 冬得其所，在晚霞的 准形式；(2)利用待定系数法，建立关于a,b, 所以圆在y轴上的截距之和为 映照下显示出了大 的方程（组）求解 3 y +y2 =-E. 自然的舒适与和谐。 例1已知圆心在直线x=-1上，半径为 a= 4 1=3, 由题设x1+x2+少+2=-(D+E)=2, 奇怪的是，画中没配 /30的圆C与圆C':x2+3y2-6x+2y-10=0 3,或6= 3 所以D+E=-2. ① 诗词，似苏东坡这样 的圆心之间的距离为2√5，求圆C的方程 又A(4,2),B(-1,3)在圆上， 一位文学大家，没有 解：根据条件可设圆C的方程为 所以16+4+4D+2E+F=0, ② 诗词配画，岂非美中 (x+1)2+(y-b)2=30. 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=9 1+9-D+3E+F=0. ③ 不足 圆C'的方程配方得(x-3)2+(y+1)2=20, 相传清代某公 3 由①②③解得D=-2,E=0,F=-12, 或(x 9 珍藏此《百鸟归巢 其圆心为(3，-1) 3)2+(y+ )2= 故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0. 图》，为弥补画缺诗 万法指津 F=0, 动，A(a,0)是圆0内一点（其中0<a<r),且 的遗憾，特请诗人伦 四法 即D+E+F+2=0, AB⊥AD,四边形ABPD是矩形，则P点的轨迹方 文叙（注：伦文叙乃清 L4D+2E+F+20=0 程是 代乾隆年间状元，出 求圆的方程 解得D=-8,E=6,F=0 (A)x2+y2+4r2=0 生在广东南海县。有 所以所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0. (B)x2+y2+2r2-a2=0 “鬼才”之称。自幼聪 ◎江西朱文芳 (C)x2+y2-2r2+a2=0 慧，善于吟诗拟对， 求圆的方程的题型有很多，如果认真分析 r=分D+E-4F=5, (D)x2+y2-4r2=0 有急才且又诙谐)题 题目条件，根据已知条件的不同采用不同的方 D 解：设P(x,y), 诗。伦文叙审视该画 法求圆的方程，可以取得事半功倍的效果.下面 点M为矩形ABPD两对角线的交点， 良久，挥毫写出了颇 就常见的题型进行剖析，希望能对同学们有所 所以半径为5，圆心坐标为(4，-3) 富数学情趣的配诗： 三、利用对称性法 帮助， 且M(,) 天生一只又一只 例3将圆C:(x+1)2+(y-4)2=1绕点A(3, 一、直接法 如下图所示， 三四五六七八只。凤 -2)按时针方向旋转180°得到曲线M,求曲线 例1已知圆C的圆心为(-2,1)，点A(2, 凰何少鸟何多，鸟去 M的轨迹方程 鸟来山色里。” -1)在圆C上，求圆C的方程 解：圆C的圆心坐标为C(-1,4) 解：因为点A在圆C上， 其妙在于，首句 圆C按顺时针方向旋转180°得到曲线M的 一只又一只”为两 则A,C两点间的距离等于圆C的半径. 轨迹仍为圆，半径r=1. 只，第二句为3×4+5× AC1=√(2+2)2+(-2)2=√20. 由题意可知圆心M与C(-1,4)关于点 6+7×8,共98只，两句 所以圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2= A(3,-2)对称，即A为MC的中点. 之和正好为100只，与 20. 易知IDM2=AMI2=(AP1) 设M(x,y),根据中点坐标公式有 “百鸟”之题相切。而 二、待定系数法 后两句有如奇峰突 例2求过三点0(0,0)，M(1,1),N(4,2) 1=3.+4=-2 2 2 起，表达了对文冠三 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标 又1D012=1DM12+10M12 解得M(7,-8) 江的苏学士的崇敬 解：设圆的方程为x2+y2+Dx+E+F=0 所以曲线M的轨迹方程为(x-7)2+(y+8)2 即2=(-a2+]+()+ 因为0(0,0)，M(1,1),N(4,2)在圆上， =1. 把它们的坐标代入圆的方程得到关于D, 四、图形结合 货)月 E,F的三元一次方程组 例4已知B,D两点在圆0：x2+y2=2上运 整理得x2+y2-2r2+a2=0.故选(C). 2 素养专练 4.圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的标准方 专项小练一、圆的标准方程 程为 1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心坐标和半 5.已知直线x+3y=1经过圆(x-m)2+(y 径分别是 -n)2=1的圆心，其中mn>0,则3+上的最小 (A)(-2,3),1 (B)(2,-3),3 m n (C)(-2,3),W2 (D)(2,-3),2 值为 6.圆过点A(1,-2),B(-1,4) 2点(sin30,o30)与同2+=方的位 (1)求周长最小的圆的方程； 置关系是 (2)求圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程， （A)点在圆上 (B)点在圆内 (C)点在圆外 (D)不能确定 3.(多选)设圆的方程是(x-a)2+(y+b) =a2+b2,其中a>0,b>0,下列说法中正确的是 () (A)该圆的圆心为(a,b) (B)该圆过原点 (C)该圆与x轴相交于两个不同点 (D)该圆的半径为a2+2 第7期2版参考答案 =g 解得 专项小练一 1.C;2.C;3.ABD.4.-5;5.(-1,-3) w-0 6(4)这两案直线相胶，交点坐标是(-子，-兮） 所以P()设)即为同时满足条件的点 (2)儿与h重合，有无数多个解， 18.解：(1)C(1,2)关于x轴的对称点C(1,-2), (3)显然1∥12，无公共点 lcw:y=x-3,联立y=x-3与y=-x+7,得N(5,2) 专项小练二 所以光所走过的路程为1C'NI=42. 1.A;2.B:3.AD.4.5:5.2√10 (2)对于线段y=-x+8,x∈[3,5]， 令其端点A(3,5),B(5,3),则6e=子，6r8=冬 5 6(1)m=号或m=-3. 2)d=5-3 所以反射光斜率的取值范用是[？，子] (3)若反射光与直线y=-x+b垂直， 第7期3版参考答案 则反射光的方程为：y=x-3, 一、单项选择题 则由+，=生3 Ly=x-3 2 1~4 BAAC 5~8 DDCC 二、多项选择题 ①当=3e[3,51,即6≤6≤7时. 9.AC;10.ABD:11.BCD. 三、填空题 光所走过的最短路程为点C到直线y=一x+b的距离， 12.-；13.5:14.7x-7y+5=0 所以距离5=1-2-b1=6+1 四、解答题 ②当x=生e(5,+, 15.(1)y=-3x;(2)x-2y+7=0. 即b>7时，光所走过的最短路程为线段CB, 16(号号) (2)x+2y-4=0. 其中B(5,b-5), 17.(1)a=3. 所以s=1CB1=/0-6b+25 (2)设存在点P(xo,y%)满足， b+1 6≤b≤7， 则点P在与l,2平行直线'：2x-y+c=0上 综上，s={2 1 6-6b+25,b>7. 19.解：(1)因为4x+y=0,所以k=-1, 5 由题可知k·片=-3，所以k2=3, 所以满足条件②的点满足2，-%+号=0或2， 设l1的倾斜角为0,2的倾斜角为02，l1,l2的夹角为0， +=0 则n0=m(a-a)8 6 若，点P满足条件③，由点到直线的距离公式， 流高2 -1-3 有26+31-2,1+6- (2)设直线PQ:y=kx+1,QR:y=k(x+1), 5 √5 RP:y kc(x-1), 即12x0-y0+31=1x+0-11, 所以o-2y。+4=0或3+2=0， =4, k=子=-子 因为点P在第一象限，所以3x。+2=0不成立 由题可知{kk。=1,解得=6，或k。=-6, 联立方程2，-%+号=0和。-26+4=0. kgkc =9, 3 he =2 3 k=-2 0=-3, =子， y=子+1， 当k=6,时，联 可得P(3,3), 联立方程2，-%+号=0和。-2%+4=0， y=2x-1) 2 数理极 专项小练二、圆的一般方程 1.已知圆0：x2+y2-4x+4y+5=0,则圆 心0和半径r分别为 () (A)0(-2,2),r=33 (B)0(2,-2),r=25 (C)0(-2,2),r=23 (D)0(2,-2),r=5 2.下列方程能表示圆的是 ( (A)x2+y2+2x+1=0 (B)x2+2+20x+121=0 (C)x2+y2+2ax=0 (D)x2+y2+2ay-1=0 3.（多选)方程(x2+y2-2x)+u(x2+y2 -2y)=0(入，w不全为零)，下列说法中正确的是 (A)当4=0时为圆 (B)当w≠0时不可能为直线 (C)当方程为圆时，入，业满足入+u≠0 (D)当方程为直线时，直线方程为y=x 4.若直线4x+y+a=0过x2+y2+2x-4y =0的圆心，则a的值为」 5.点P(1,2)和圆C:x2+y2+4x+4y+4= 0上的点的距离的最小值是 6.已知三点A(1,0),B(0,5),C(2,5),求 △ABC的外接圆的方程. 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 +-)) =-子 y=- 当kB=-6,时，联立{ =-x-0 可得P(号，号) 所以P点的坐标为(3,3)或（号，） (3)l1:mx+y+m+1=0过定点Q(-1,-1), k=-m, 因为直线l1,2是“Q1共轭线对”，所以kk2=-1, 所以6=，所以4x-my+1-m=0. 设原点到直线l,l2的距离分别为d,d, 则d,d=1m+1L.11-m山 m+1/m2+1 m2-1 m2+1 当m2=1时，(dd)m=0, 又因为。2>0， 所以1- m2*71, 2 即dde[0,1). 第I卷选择题（共58分) 8.点M为圆C:(x+2)2+(y+1)2=4上任意一点，直线(3入 (2)如果点P(3,3)与Q(5,3)中的一点在圆内，一点在圆外， +1)x+(2x+1)y=5入+2过定点P,则1MP1的最大值为 求a的取值范围！ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.圆x2+y2-2x-5=0的圆心和半径分别为 (A)3 (B)√13+2 (A)(1,0),2 (B)(1,0),6 (C)25 (D)23+2 (C)(-1,0),2 (D)(-1.0),6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 2已知点P(a,a+1)在圆x2+y2=25的内部，那么a的取值范 9.已知方程x2+)y2+2x-m=0,下列叙述正确的是( 围是 ( ) (A)方程表示的是圆 (A)(-4,3) (B)(-5,4) (B)方程表示的圆的圆心在x轴上 (C)(-5,5) (D)(-6,4) (C)方程表示的圆的圆心在y轴上 选择性 3.已知圆C的一条直径的端点坐标分别是(4,1)，(-2,3)，则 (D)当m=0时，方程表示以(-1,0)为圆心，半径为1的圆 圆C的标准方程是 ( 10.设有一组圆C:x2+y2-2hx-2hy+2-1=0(k∈R),下 必修 (A)(x+1)2+(y+2)2=10 列命题正确的是 ( ) 第 (B)(x-1)2+(y-2)2=40 （A)不论k如何变化，圆心C:始终在一条直线上 册 (C)(x-1)2+(y-2)2=10 (B)若点(3,2)在圆C的内部，则k∈(1,9) 高中数学·选择性必修第一册（人教 (D)(x+1)2+(y+2)2=40 16.(15分)已知关于x,y的二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+ (C)若圆C的半径为√50，则k=±7 4.已知点M(-3,0)和点M2(3,0),动点M(x,y)满足MM1I 3=0. A (D)所有圆C均不经过点(3,0) 版 =21MM2I,则点M的轨迹方程为 (1)若方程表示的曲线是圆，证明：点M(D,E)在圆x2+y2= ⑥ 11.点P(x,y)是直线2x+y-5=0上任意一点，0是坐标原点， (A)x2+y2+18x+9=0 12外： 则以OP为直径的圆经过定点 ( 核 (B)x2+y2+6x+9=0 (2)若方程表示的圆C的圆心在直线x+y-1=0上且在第 心 (A)(0,0) (B)(2,2) (C)x2+y2+6x-9=0 象限，半径为2，求圆C的方程 (C)(1,2)》 (D)(2,1) )同步核心素养 (D)x2+y2-10x+9=0 5.已知圆x2+y2-2x+4y+4=0关于直线2ax-by-2=0(a 第Ⅱ卷非选择题（共92分） >0,b>0)对称，则ab的最大值为 ( (A)2 (B)1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. (C) D号 12.若方程x2+y2-2x+4y+2t+7=0表示圆，则实数t的取 6.已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),则 值范围是 △ABC的外接圆方程为 ( ) 13.圆(x-1)2+(y-2)2=2上的点P到点Q(4,-2)的距离 (A)x2+y2-2x+2y-23=0 的取值范围为 (B)x2+y2+2x-2y-23=0 14.对非原点0的点M,若点M'在射线OM上，且1OM1· (C)x2+y2+2x+2y-23=0 1OM1=2,则称M'为M的“r-圆称点”，图形G上的所有点的“， (D)x2+y2-2x-2y-23=0 -圆称点”组成的图形G称为G的“r-圆称形”.A(1,0)的“3-圆 7.与圆C:(x+2)2+(y-2)2=1关于直线x-y+1=0对称 称点”为，圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)的“3- 的圆的方程为 ）圆称形”的方程为高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 数理柄 答案详解 2026~2027学年高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期(2026年8月) 故B1o(-240,0),Po(0,96), 第5期3版参考答案 0-96 2 则kp080=-240-0=5 直线的倾斜角与斜率同步核心素养测评 2肥知可得6e-,子=方c-名二多 5-31 1 一、单项选择题 6-2- 21 1~4 DABD 5~8 DDCA 提示： hcn =0-3 926=分6w9=-3 1 1.因为直线l的倾斜角为120°，所以tan120°=-5， 所以kAB=kc,kD≠kgC, 由斜率的定义k=2二上可知，取x1=1=0, kAD·kAB=kAD·kc=-1, x2-x1 即AB∥DC, 解得一组解可以是x2=1,y2=-√5， AD不平行于BC,AD⊥AB,AD⊥DC, 所以直线的一个方向向量可以是(1，-5). 故构成的图形为直角梯形. 2.因为直线经过点(-1,2)，(2,2+5)， 8.如图1所示，连接AP,BP, 所以直战的料*为号之汽号-令 5-0=5, 3 则k8=2-1 3.由题可得6=4+5：（？+瓦：1， =9=1 O P 4-2 因为直线1过定点P(1,0)且与以 设直线l的倾斜角为0，所以tan0=1, 图1 A(-1,2),B(2,3)为端点的线段相交， 又因为0∈[0，π)，所以直线1的倾斜角为45°， 4.设A(2,0),B(-2,4), 所以直线的斜率不存在或满足k≤-1或k≥√3， [π3π1 则点A,B所在直线的斜率为kB= 4-0 -2-2-1, 所以直线的倾斜角的取值范围为 3·4 由题意知过点(2024,2025)，(a,b)的直线与直线AB平行， 二、多项选择题 9.ABC;10.AD;11.BC. 所以6-2025=-1， a-2024 提示： 整理得a+b=2024+2025=4049. 9.由题意两直线1,2的倾斜角分别为α，B. 5.设点C的坐标为(x,0), 若α为锐角B为钝角， 则直线AC的斜率kc=4一x 2 此时直线(，的斜率大于直线L2的斜率，故(A)错误： 线C的斜率6c己64且. 若a=B=受， 此时斜率不存在，不符合题意，故(B)错误； 因为∠ACB=90°，所以AC⊥BC, 若直线1的斜率小于0，直线2的斜率大于0， 22 则ke·kc=-l,即4-。‘白=-l， 此时α为钝角，B为锐角，α>B,故(C)错误； 若两直线的斜率相等，此时α=B,故(D)正确. 解得=0或x=5, 故选(A)(B)(C). 所以点C的坐标为(0,0)或(5,0). 10.若A,B两个镇到马路I的距离相等， 6.10A。I=10A,1+|A1A101=96+9×16=240m, I0PoI=10PI+1PPoI=60+9×4=96m, 当1与直线AB平行时，则k=二4-3=乙 -3-6=g 高中数学人教A版选择性必修第一册 第5~8期 当直线AB与I相交时，则直线过AB的中点， 放m(-0）=0=号m0=是 9 又AB的中点为(3-子)： 四、解答题 -2+1 15.解：(1)直线MW的倾斜角为锐角， 所以k= 多-0 则直线MN的斜率k= 1-m m-2-(2m+3)>0, 若A,B两个镇位于马路的两侧， 解得m>1或m<-5. (2)直线MN的倾斜角为钝角， 3 6 1-m 则直线MN的斜率k=m-2-(2m+3)<0, 故的取值范围为(-，子)U(山，+如) 解得-5<m<1. 故选(A)(D) (3)直线MW的倾斜角为直角，斜率不存在， 11.h =kAn 69=2. 则点M,N的横坐标相等，即2m+3-m-2,解得m=-5. 16.解：(1)由直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍， 所以直线AB的方向向量为(1,2)，故(A)错误； 得4-（-m-3】=3.4-(m-12 因为-方·u=-1,所以L1AB,故(B)正确 -1-m -1-2 解得m=1或m=2,经检验均符合题意， 因为e9=-号xu=-1 故m的值是1或2. 所以AB⊥BC,故(C)正确， (2)设直线L1的倾斜角为a, _3+1=2=k8, 因为km=3-1 则直线2的倾斜角为2a,由已知得tana=2, 4 kn=号，kc=-分，6w≠5e, 则直线马的斜率为an2a=,2tang= 1 -tan2 a 3 所以四边形ABCD不是平行四边形，故(D)错误. -4 17.解：(1)由斜率公式得直线AB的斜率为-2-2=1， 故选(B)(C) 记倾斜角为a,则tana=1, 三、填空题 12-213.3,144 因为a∈[0，m),所以直线AB的倾斜角为于 提示： m-2为直线BE的斜率 (2)由题知 12.因为直线的倾斜角为45°， 记直线BC的倾斜角为B, 2m-(m2-3) 直线BE的倾斜角为Y, 所以直线的斜率为1，可得3-m-m2-(m2+2) =1, 由图3可知，y∈[0，a]U[B,T), m2+2≠3-m-m2, 1 解得m=-2. 又kc=tanB=-1-2=-3, 13.由题意得AD1BC,且kc=4-0=2, 3-1 1 所以由正切函数性质可得， 所以ko=1-3 直线BE的斜率的取值范围为 m-2 =-2,解得m=3. 14.以C为原点，DC,BC边分别 N' 即”2的取值范图为[子] 为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如 D 18.解：(1)设直线AB,CD的斜率分别为kB,kD, 图2，则N(-120,-80),M(-60, 依题意可得kAB=kw, -200), N关于x轴的对称点为 =解得m=号 N'(-120,80),N'关于y轴的对称点 为N"(120,80), 图2 直线MW”方向为本球射出方向， 所以kAB≠kD,即A,B,C,D四点不共线， 2 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 所以m=马 提示： 51 1.由直线的点斜式方程的特点可知， (2)若A为直角，则kAB·kAc=-1, 直线经过定点(4,3)，斜率为5，即倾斜角为60° 明×贤 =-1,解得m=12. 2.由y-b=2(x-a)得y=2x-2a+b, 若B为直角，则kAB·kc=-1, 故直线在y轴上的截距为b-2a. 明 =-1,解得m=-1 3由直线的网点式方程得直线1的方程为：（二出 若C为直角，则kc·kc=-1, 品即yx+ 贤×兴子-1解得m=7±， 4 将点(1013，b)代入方程得b=2×1013+1. 解得6=2027. 综上，m的值为-1或12或7±叵 4 19.解：由题知直线l2的斜率存在， 4直线1的方程为号-号。 整理得4x-y-11=0,故(C)正确； 设直线么的斜率为无，侧怎号：号 由y+3=4(x-2)整理得4x-y-11=0,故(A)正确； 若直线l,的斜率存在，则a-1≠3，即a≠4. 由y-1=4(x-3)整理得4x-y-11=0,故(B)正确； 设直线l的斜率为k,则6=2- a-4 由片=子整理得--14=0，放(D)错误： 1 （)若4∥%，则号二=-号，解得a=1或a=6 故选(D). 5.直线x-上=1在x轴，y轴上的截距分别是m,-n, 经检验，当a=1或a=6时，l1∥l2 n (2)若4112， 直线x-Y=1在x轴，y轴上的截距分别是n,-m,因此四 n m ①当6=0时a=0,4=-子，与题意不符 个截距中两正两负，对照选项中图形知(B)正确. ②当k2≠0时，直线2的斜率存在， 6.两直线垂直台(m+4)(m-4)+3m(m+4)=0-(m 则直线的斜率也存在. +4)(m-1)=0台m=1或m=-4. 由6=1，得居异（号）=1， 又{1}￥{1，-4}， 所以“m=1”是“直线(m+4)x+3my+1=0与(m-4)x 解得a=3或a=-4. +(m+4)y-5=0垂直”的充分不必要条件. 经检验，当a=3或a=-4时，41上2 7.如图1所示.由△ABC的顶x+2y-3=0 第6期2版参考答案 点A(-3,0),B(3,0),C(3,3)知， △ABC的重心为 -3+3+3 O B 专项小练一 3 ar+(a-3)y-9=0 1.D;2.C;3.BD 0+0+3 图1 3 1,即(1,1)， 4y=3-3;5.y-2=-5(x+1). 1 7 因为BC L AB,所以△ABC为直角三角形， 专项小练二 所以外心为斜边AC的中点 1A:2A:3AC4-g:5-0 专项小练 即(0,2) 1.D;2.D;3.BCD.4.x-3y+√5=0；5.二 所以可得△ABC的欧拉线方程为？士=0，一 2 第6期3版参考答案 即x+2y-3=0 直线的方程同步核心素养测评 因为ax+(a-3)y-9=0与x+2y-3=0平行， 一、单项选择题 1~4 ACAD 5~8 BBCD 所以子=2≠二3解得a=-3 一3 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 8.m(x+1)+n(y+2)=0可化为 mx ny m +2n =0, ① 要使l与两坐标轴能围成三角形，则mn≠0且m+2n≠0， 故选(B)(D) 11.整理mx+y+1-3m=0得m(x-3)+y+1=0, 由①令x=0得y=-m+2n n 令-3=0解得 x=3, 令y=0得x=-m+2n ly+1=0, y=-1, m 所以直线1恒过点(3，-1)，故(A)正确： 依题号×(”2）×(-“2)=分× 若A(-2,3),B(3,-2),C(分m）三点共线， m2+4mn+4n2 mn n m m-3 1 所以”+红+4=12或+如+4=-12 2+2 m m 解得m= 所以m+4n=8或m+4n=-16. 子，故(B)错误： m 点B关于x轴的对称点为B'(-1, 设t=m,则t+4=8或t+4=-16, t t -1), 则2-8t+4=0或2+16t+4=0, 连接AB'交x轴于点P。,点P是x 解得t=4±25或t=-8±2√5， 轴上任意一点， 图3 连接BP。,AP,BP,PB,如图3. 即m=4±25或m=-8±2√5， n n 于是IPAI+PBI=IPAI+|PBI≥IABI=IAP。I+ 所以这样的直线有4条 1BP。I=IAP。I+BPOI, 二、多项选择题 当且仅当点P与P。重合时，等号成立， 9.AC;10.BD;11.ACD. 因此(IPAI+lPB1)=IAB'1=√32+4=5，故(C) 提示： 正确； 9.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k<0,b>0, 直线1与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点， 所以点(k,b)在第二象限，所以(A)正确： 可知直线1的斜率为负数， 任何一条直线都有倾斜角，但是不一定都存在斜率，如倾 设直线I:y-2=k(x-3),k<0, 斜角为90°时，直线的斜率不存在，所以(B)错误； 由点斜式方程知，过点(2，-1)，且斜率为-√5的直线的 令x=0,得y=2-3k,令y=0,得x=3-名 点斜式方程为y+1=-5(x-2),所以(C)正确； 可知2->03-会>0. 设直线的倾斜角为α，当0°≤α<90°时，直线的斜率越 大，倾斜角就越大：当90°<α<180°时，直线的斜率越大，倾 所以5=7×(2-3)(3-2)=2[(-9w)+ 斜角也越大； 但当0°≤α<180°时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也 6+12]≥2(236+12)=12， 越大，所以(D)错误 当且仅当-9贴=，即k=-子时，等号成立， 故选(A)(C) 所以△AOB面积的最小值为12，故(D)正确. 10.设直线1的斜率为k,如图2， 故选(A)(C)(D) 过定点A的直线经过点B(3,0)时， 1(1,2 o 三、填空题 直线1在x轴上的截距为3，此时k B 乙3-2-10123x 12.15x-10y-6=0;13.120°；14.25. =-1; 图2 提示： 过定点A的直线经过点C(-3, 12.由题意得直线l的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等， 0)时，直线1在x轴上的截距为-3，此时k=2 设直线1的方程为3x-2y+c=0, 结合图形知，满足条件的直线1的斜率范围是(-∞，-1) 根据直线1在x轴上的截距比在y轴上的截距大1， 4 高中数学人教A版选择性必修第一册第5一8期 可得-兮乞=1，解得c=-名 方程表示的直线的斜率不存在， 5 此时直线方程为3x-4=0. 6=0, 故直线1的方程为3x-2y- (3)易知m≠-1且m≠3时，直线在x轴上的截距存在， 即15x-10y-6=0. 依题意令y=0,得直线在x轴上的截距，2m-6 m-2m-3-3, 13.显然直线1不垂直于坐标轴， 设直线I的方程为y=x+b, 解得m=一多，所以实数m的值为一多 于是平移后的直线方程为y=(x-1)+b-5, (④)易知m≠-1且m≠子时，直线的斜率存在， 即y=kx+b-k-3. m2-2m-3 6-2m 依题意得b-k-5=b,解得k=-√5， 方程即y= 2m2+m-1 2m2+m-1 所以直线1的斜率为-√5，倾斜角为120°. 故斜率为一 m2-2m-3 14.直线2x+my+6=0, 2m2+m-1 整理成my=-2x-6,过定点A(-3,0) 因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1， 直线mx-2y-m+6=0, 所以-m-2m-3 2m2+m-1 =1,解得m=3 4 整理成m(x-1)=2y-6,过定点B(1,3) 又m∈R,过定点A的动直线2x+my+6=0和过定点B 所以实数m的值为学 的动直线mx-2y-m+6=0始终垂直，P(x,y)为两条垂直直 17.解：(1)已知l1∥l, 线的交点，则有PA⊥PB,所以IPA12+1PB12=1AB12=4 则可设直线l1的方程为3x+2y+m=0(m≠-2)， +32=25. 又L1过点P(2,-1), 四、解答题 所以3×2+2×(-1)+m=0,解得m=-4, 15.解：当直线1过原点时，它在两坐标轴上的截距都是0. 所以直线(1的方程为3x+2y-4=0. 设直线1的方程为y=x(k≠0)，又因为I过点P(4,3), (2)若l2上1，则可设直线，2的方程为2x-3y+n=0, 3 所以3=4k,放k=子，所以直线1的方程为y= 又2过点P(2,-1), 所以2×2-3×（-1)+n=0,解得n=-7, 当直线不过原点时， 所以直线2的方程为2x-3y-7=0. 设直线1的截距式方程为文+上=1(a≠0)， a 18.解：(1)由直线的两点式方程， 又因为直线1过点P(4,3), 得边4C所在直线的方程为二普=g”。 所以4+3=1，所以a=7, 即x-2y+8=0. 所以直线1的方程为号+片=L, 同理得边8所在直线的方程为衫青=一0。 -2-01 即x+y=7. 即x+y-4=0. 综上，直线1的方程为3x-4y=0或x+y-7=0. (2)由题意得点D的坐标为(-4,2)， 16.解：(1)当x,y的系数不同时为零时， 由直线的两点式方程， 方程表示一条直线。 得中线BD所在直线的方程为号之仁 -2-(-4)’ 令m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3: 即2x-y+10=0. 令2m2+m-1=0,解得m=-1或m=2 1 (3)由4C边所在直线的斜率长c=之， 所以x,y的系数同时为零时m=-1, 得AC边上的中垂线的斜率为-2， 故若方程表示一条直线，则m≠-1， 又边AC的中点坐标为(-4,2)， 即实数m的取值范围为{mlm≠-1}. (2)当x的系数不为0，y的系数为0时斜率不存在， 由点斜式得AC边上的中垂线的方程为 y-2=-2(x+4),即2x+y+6=0. (1)知当m=分时，2m+m-1=0且m-2m-3≠0， 19.(1)证明：由kx-y+2+3k=0可得 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 k(x+3)+2-y=0, (2)l2:9x-15y+30=0可化为方程3x-5y+10=0, 由+3=0 可得-3. 所以1经过定点P(-3,2）, 所以x-5+10=0:有无数多个解， 2-y=0,y=2, 9x-15y+30=0 即直线过定点(-3,2)，且定点在第二象限， 故l1:3x-5y+10=0与2：9x-15y+30=0重合. 所以无论k取何值，直线1始终经过第二象限。 (3)显然1∥2，无公共点 (2)解：设直线1的倾斜角为a,则0<a<受， 专项小练二 可得1PA1=2,1PB1=3 1.A;2.B;3.AD.4.5;5.2√10. sin a' cos a 6.解：1)由题意5×212m+61=4, 所以分1PI+子1PB1 1 1 sin a +cos a 52+122 sin ccos c sin acos a 解得m=号或网=一3 令1=sina+eosa=2sin(a+平） (2)结合(1)可得m=-3, 因为0<a<号所以受<a+子<要 4 因为直线41：ax-y-3=0与b2:-3x+ay+6=0平行， a>0, <m(e+年）≤1， 所以号=≠。己，解得a=5, 则t=2ina+）e(1]. 所以直线：5x-y-3=0, 将t=sina+cosa两边平方可得 12:-3x+5y+6=0,即3x-y-23=0, 2=(sin a cos a)2=1+2sin a cos a, 所以sin acos&=l 所以直线4与4之间的距离为d=厅-多 2, 所以子1PAI+分PB1= 2t 2 第7期3版参考答案 2-1t-工 直线的交点坐标与距离公式同步核心素养测评 因为y=t-}在(1,2]上单调递增， 一、单项选择题 t 1 ~4 BAAC 5 ~8 DDCC 所以0<1- ≤ 提示： t 21 1.将(2，-1)代人3x+my-1=0可得m=5, 故y=1≥2，所以2 1≥22， i- t i- 将(2，-1)代入4x+3y-n=0可得n=5, t 所以m+n=10. 当且仅当t=√万时取等号， 2.由两点间的距离公式及1ABI=1AC1可得 此时i=万in(+平）=万， √(a+2)2+(2+3)=√(a-1)2+(2-6)7, 解得a=-2. 可得a=牙，所以k=ma=m 4 =1, 3.直线3x-2y-1=0即为6x-4y-2=0, 所以直线1的方程为x-y+5=0. 所以两平行直线6x-4y-2=0和6x-4y+3=0间的 第7期2版参考答案 距离为d=1-2-31-5四 √6+(-4)7 26 专项小练一 4.因为点A(2,1)不在直线：x-y+3=0上， 1.C;2.C;3.ABD.4.-5;5.(-1,-3) 所以当AB上I时，1ABI最小， 7 3x-y+4=0, 51 故1B1==12-1+31-22. 6.解：(1)解方程组 2 x+3y+2=0, 1 y=-5 5.由+y-3=0得=1， 2x-y=0 ly=2. 所以这两条直线相交，交点坐标是(-了，-)） 因此两直线的交点为(1,2). 6 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 又直线2x+y-5=0的斜率为-2， ,5-3k>0 k+1 所以要求直线的斜率为子 所以 6k-2<0 解得-1<<子故选(A)(C. k+1 所以直线方程为y-2=宁（：-)。 10.当k=0时，直线l2的方程为x=0, 即x-2y+3=0. 此时直线马的倾斜角为受，故(A)正确； 6.设所求直线上任一点(x,y), 它关于x=1的对称点为(oo), 当k=-之时，直线的方程为xy-1=0, 则2-x, 与（重合，此时两直线有公共点； Lyo =y, 因为(x,y)在直线x-2y+1=0上， 当k≠-分时，有1×k-(-1)×(k+1)=2k+1≠0， 所以2-x-2y+1=0, 即11,2一定相交 化简得x+2y-3=0. 综上所述，对任意的实数k,直线（与直线2都有公共点， 7.点A(-3,1)关于直线y= 故(B)正确； -2的对称点为A'(-3,-5) 0 由(B)可知，当k=-7时，直线4与4，重合，故(C)错误； 若直线y=-2上有一点P,它 要使直线，与直线2垂直， 到点A(-3,1)和点B(5,-1)的距 则应有k+1一k=0,该方程无解， 离之和最小， 图1 所以对任意的实数k,直线l,与直线2都不垂直，故(D)正确. 则P为直线A'B与直线y=-2 故选(A)(B)(D) 的交点， 11.由图2知，P(1.5,2), y(百元)》 /3xy-5=0 所以(IPAI+PBI)mn=|A'BI P2(1,3),P(2,3),P4(2,4), -Q =√(-3-5)2+[-5-(-1)]2=45. Q(3,1),Q2(3,2),Q3(4,3), 8.直线(a+1)x-y+2=0化为y=(a+1)x+2, 当直线x=2.5为分类直线时， fQ 012345x(百元) 可得定点A(0,2), d=3-2.5=0.5, 图2 动直线x+(a+1)y-4a-2=0化为(a+1)(y-4)+ 当直线3x-y-5=0为分类直线时，其过(2,1)，(3,4)， x+2=0,可得定点B(-2,4). 由图可知P(2,3),Q2(3,2)到直线3x-y-5=0距离最小， 因为(a+1)×1-1×(a+1)=0, P(2,3)到直线3x-y-5=0的距离为 所以直线(a+1)x-y+2=0与直线x+(a+1)y-4a- d=13×2-3-51=而 5 2=0垂直，P为交点， 32+1 所以PA⊥PB,所以1PA12+PB12=1AB12=(0+2)2 同理0.(3,2)到直线3x-y-5=0的距离为d= 5， +(2-4)2=8. 则Saw=7PA1PB1≤ 1.1PA2+1PB=2, 因为四>05，所以直线3x-)-5=0的分类效果好。 2 故(A)错误； 当且仅当1PAI=IPBI=2时，等号成立 由图知L的位置由P(1.5,2),P3(2,3),Q2(3,2)确定， 故△PAB面积的最大值为2. 所以点P(1.5,2),P3(2,3),Q2(3,2)到直线L的距离相等， 二、多项选择题 所以直线L过点PQ2,PQ2的中点 9.AC:10.ABD:11.BCD. 提示： 面P,Q的中点为(？，2)，P0的中点为(3，号)， 5-3k =k+1 2- 9联立方程x+y-3=0, 2 解得 故直线L的斜率为95 =2,故(B)正确； y=kx+3k-2, 4 2 因为两直线的交点在第四象限， 由(B)知直线L的方程为y=2(x-)+弓=2x- 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 此时点(3,3)在L的右侧，故(C)正确； 2 5 去掉点P后，P(2,3),Q2(3,2)到直线L的距离相等， 所以 解得 2+2×1-2=0, 19 此时直线L为线段P(2,3),Q2(3,2)的垂直平分线y=x, 2 2 51 故(D)正确 故选(B)(C)(D). 即点P的坐标为（号） 三、填空题 (2)设直线1关于点A(1,1)的对称直线为'， 12.-3；13.5:4.7x-7y+5=0. 则直线I上任一点P(x,y)关于点A的对称点P1(x,y) 定在直线'上，反之，也成立 提示： 12由2+y-4=0,=2, x+=1, 2 「1=2-x, 得 x-y-2=0,ly=0. y+=1, y1=2-y, 2 即两直线交点坐标为(2,0)， 代人x-y+5=0得2k-0+5=0→k=- 5 将点P(x1,少)代人直线1的方程，得 2 x+2y-4=0,即直线'的方程为x+2y-4=0. 13.设AB边上的高为h,则h就是点C到AB所在直线的距离 1解：（直线5可化为2x-y分=0， 1AB1=(3-2)2+(4-1)7=10. 由两点式可得松边所在直线的方程为二-二号， 所以l1与l,2的距离为d= a-（)5 √22+1 10 即3x-y-5=0. 因为a>0,所以a=3. 点C(-2,-1)到直线3x-y-5=0的距离 (2)设存在点P(xo,yo)满足， h=3×(-2）-（-1）-51=0 则点P在与1，b2平行直线'：2x-y+c=0上 √32+(-1)2 所以Sae=2X刘AB1×h=子×V而×√而=5 1 且c-311 c+2 -,即c= 5 2 5 号或e- 14.设P(x,y)是∠BAC的平分线所在直线上任意一点， 所以满足条件②的点满足24，-%+号=0或2。-%+ 则点P到AB,AC的距离相等， 即4x-3y+101=13x-4y-51 1=0. 6 42+32 √42+3 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式， 所以4x-3y+10=±(3x-4y-5), 即x+y+15=0或7x-7y+5=0. 有24为+3.2.1+。-1山 5 5 2 又LBAC的平分线所在直线的斜率在子和子之间， 即12x-y%+31=|x0+y0-11, 所以所求角平分线所在直线的方程为7x-7y+5=0. 所以x0-2y%+4=0或3x0+2=0, 四、解答题 因为点P在第一象限，所以3x+2=0不成立 15.解：(1)-y+4=0,x=-1, P(-1,3), 联立方程2。-%+号-0和，-2。+4=0， l2x+y-1=0y=3 0=-3, 所以过点P与原点的直线方程为y=-3x 解得 。1(舍去) (2)根据题意设所求直线方程为x-2y+c=0(c≠-1)， y0=2’ 由(1)知点P(-1,3), 联立方程2。-0+片=0和。-2。+4=0， 又点P在该直线上，所以c=7, 6 则所求的直线方程为x-2y+7=0. 1 [&o= 9 16.解：(1)设点P关于直线1的对称点为P'(xyo), 解得{ 37 则线段PP'的中点在直线I上，且PP'⊥L 18 -8 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 所以P(号) 即为同时满足条件的点。 k4=- 2 3 「y=- 3x+1, 18.解：(1)C(1,2)关于x轴的对称点C'(1,-2), 当kg=-6,时，联立{ 3 lcw:y=x-3,联立y=x-3与y=-x+7,得N(5,2), - y=- 2(x-1) 所以光所走过的路程为|C'N1=42. (2)对于线段y=-x+8,xe[3,5], 可得P(号号) 令其缩点43,5).B53).则a=子6= 5 所以P点的坐标为3,3)或（分号）】 所以反射光斜*的取值范用是[子，子]， (3)l1:mx+y+m+1=0过定点Q(-1,-1),k1=-m, 因为直线41，山2是“Q1共轭线对”，所以方k2=-1, (3)若反射光与直线y=-x+b垂直， 则反射光的方程为：y=x-3, 所以k2=1,所以42：x-my+1-m=0. m 则由 y=-x+b, x=6+3 设原点到直线，l2的距离分别为d,d, y=x-3 2 则d,d,=1m+1L.11-ml ①当x=6+3e[3,5],即6≤b≤7时， √m+1m2+1 2 光所走过的最短路程为点C'到直线y=-x+b的距离， 所以距离5=1-2-b1=6+1 当m2=1时，(d1d,)min=0, 2 又因为2>0，所以1-2 ②当x=63e(5,+0), m2+1 m2+1<1, 2 即dd2e[0,1). 即b>7时，光所走过的最短路程为线段CB, 其中B(5,b-5), 第8期2版参考答案 所以s=1C'B1=√2-6b+25. 专项小练一 b+1 1.D;2.C;3.BC. 6≤b≤7， 综上，8= 4.(x-2)2+(y-1)2=15.12. -6b+25,b>7. 6.解：(1)当AB为直径时，过A,B的圆的半径最小， 19.解：(1)因为l1:x+y=0,所以k1=-1, 从而周长最小， 由题可知k1·k2=-3,所以k2=3, 即A,B中点(0,1)为圆心，半径r=1AB1=而， 设l1的倾斜角为0，l2的倾斜角为02，l1,l2的夹角为0， 则周长最小的圆的方程为x2+(y-1)2=10. tan 0=tan(0)=+tan0,tan 0 tan 0-tan 0 (2)AB的斜率为k=-3, 号-2 则4B的垂直平分线的方程是y-1=子x,即x-3y+3=0, 联立x-3y+3=0与2x-y-4=0得圆心坐标是C(3,2), (2)设直线PQ:y=k4x+1,QR:y=kg(x+1), RP:y =kc(x-1), r=1AC1=25,所以圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20. 专项小练二 2 hxkg =4, 3 1.D;2.D;3.ACD.4.2;5.3. 由题可知kke=1,解得{g=6,或{kg=-6, 6.解：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, kghc =9, 由题意知当y=5时， 关于x的方程x2+Dx+3+F+5E=0的两个根为0,2， k= 2 3t+1, 「y= 因此由根与系数的关系得2+0=-D,F+3+√5E=2×0, 当{kg=6,时，联立 可得P(3,3), 由(1,0)在圆上可得1+D+F=0, 3 3 kc =2 y=2(x-1) 所以n=-2E=-4F=1 9 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 43 3y+1=0. 7.由题意圆C:(x+2)2+(y-2)2=1的圆心为C(-2, 所以圆的方程为x2+y2-2x- 2),半径为1. 第8期3版参考答案 设所求圆的圆心为C'(a,b), C'是圆心C(-2,2)关于直线x-y+1=0的对称点. 圆的方程同步核心素养测评 b-2 a+2 ·1=-1, 一、单项选择题 由题得 1~4 BACD 5~8 DAAB g-2_b+2 2 2 +1=0, 提示： 1.由x2+y2-2x-5=0可得(x-1)2+y2=6. 解得1， 即所求圆的圆心为C'(1,-1), b=-1, 所以该圆的圆心为(1,0)，半径为6. 且半径与圆C半径相等， 2.由题意得a2+(a+1)2<25,即2a2+2a-24<0, 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1. 解得-4<a<3,即a的取值范围是(-4,3). 8.(3入+1)x+(2入+1)y=5A+2整理为 3.利用中点坐标公式求得圆心为(1,2)， (3x+2y-5)入+x+y-2=0, 利用两点间距离公式得半径为 3×4+2+1-3=分4而=而， 令3x+2-5=0 解得1， x+y-2=0, ly=1, 故圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=10. 所以定点P的坐标为P(1,1), 4.由题可得1MM11=√(x+3)2+y, 代人入圆的方程中(1+2)2+(1+1)2>4， 所以P(1,1)在圆外. IMM21=√(x-3)2+y, 设圆C的半径为r=2, 又因为其满足IMM,I=21MM2I, 所以IMPI的最大值应该为PCI+T, 所以(x+3)2+y=2√(x-3)+y, 整理得x2+y2-10x+9=0, 所以点M的轨迹方程为x2+y2-10x+9=0. 5.由题意在圆x2+y2-2x+4y+4=0中， (x-1)2+(y+2)2=1,所以圆心为A(1,-2),半径为1， 又IPC1=√(-2-1)2+(-1-1)2=3， 在直线2ax-by-2=0(a>0,b>0)中， 圆关于该直线对称， 所以IMP1的最大值为√3+2. 所以直线过圆心A(1,-2), 二、多项选择题 所以2a+2b-2=0,即a+b=1, 9.BD:10.AC;11.AD. 因为a+b=1≥2√ab, 提示： 9.因为D=2,E=0,F=-m, 解得b≤子，当且仅当a=6=子时等号成立， 由方程表示圆的条件得D2+E2-4F>0, 所以6的最大值为子 即22+02-4(-m)>0,解得m>-1, 所以只有当m>-1时才表示圆，故(A)错误； 6.设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D +E2-4F>0), 因为-分=1，-号=0， E 1+16+D+4E+F=0, 若方程表示圆，圆心坐标为C(-1,0), 则{4+9-2D+3E+F=0, 圆心在x轴上，故(B)正确，(C)错误； 16+25+4D-5E+F=0, 当m=0时，半径，=分D+E-4F= 2 D=-2, 解得{E=2, √22+02-4×0=1，故(D)正确. F=-23, 故选(B)(D). 所以△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x+2y-23=0. 10.圆Ck:x2+y2-2kx-2ky+k2-1=0, -10 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 即(x-k)2+(y-k)2=2+1, 又点A'在射线OA上，即在x轴正半轴上， 其圆心为(k,k),半径为√+1， 故A(1,0)的“3-圆称点”为(9,0)； 则圆心在直线y=x上，故(A)正确 设圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)的一点B(m, 因为点(3,2)在圆C的内部， n),m≠0，n≠0， 所以9+4-6k-4h+2-1<0, 设其“3-圆称点”为B'(x,y),则1OB1OB1=9, 解得5-√3<k<5+√3，故(B)错误 即m2+n.√+y=9, 又点B'在射线OB上，不妨设m=kx,n=y,k≥0， 圆C.的半径为√50，则2+1=50， 所以(m-1)2+(n-2)=(x-1)2+(ky-2)2=5, 解得k=±7，故(C)正确 整理得2+y2=2x+4y, 将(3,0)代入圆的方程可得k2-6k+8=0, 解得k=2或k=4, 综上，k2+7·+y=(x2+y2)=9, 所以存在两个圆经过点(3,0)，故(D)错误。 即2x+4y=9, 故选(A)(C). 故圆(x-1)2+（y-2)2=5(不包含原点)的“3-圆称 11.设点P(t,5-2t), 形”的方程为2x+4y-9=0. 四、解答题 则线段0P的中点为M(子，3,2）， 15.解：(1)因为点M(6,9)在圆上， 圆M的半径为 所以(6-5)2+(9-6)2=a2,即a2=10. I OMI F+(5-2)=5-20t+25 又a>0,所以a=√10. 4 2 (2)因为1PW1=√(3-5)2+(3-6)7=√3， 所以以OP为直径为圆的方程为 (-)广+(52）--0s 1QW1=√(5-5)2+(3-6)7=3， 4 所以IPN1>1QWI,故点P在圆外，点Q在圆内， 即x2+y2-tx+(2t-5)y=0, 所以3<a<√3，即a的取值范围为(3，√3). 即(x2+y2-5y）+(2y-x)t=0, 16.(1)证明：因为方程2+y2+Dx+Ey+3=0表示的 由2=0， 得=0或=2， 曲线是圆， Lx2+y2-5y=0, ly=0y=1, 所以D2+E2-12>0,即D2+E2>12, 因此以0P为直径的圆经过定点(0,0)，(2,1). 所以点M(D,E)在圆x2+y2=12外. 故选(A)(D) (2)解：由题意知圆心为c(-号，-）， 三、填空题 因为圆心在直线x+y-1=0上， 12.(-∞，-1)U(3,+∞)；13.[5-2,5+2]； 14.(9,0),2x+4y-9=0. 所以-号号-1=0， 提示： 即D+E=-2. ① 12.关于x,y的方程x2+y2-2tx+4y+2t+7=0表示圆 又因为半径，=D+卫：万， 时，应有4t2+16-4(2t+7)>0, 2 解得t<-1或t>3, 即D2+E2=20. ② 即实数t的取值范围是(-∞，-1)U(3,+∞) 联立①②，解得 D=2或 D=-4, 13.设圆心为0，坐标为(1,2)，半径为r,r=2, lE=-4lE=2. 则点O到点Q的距离为 又因为圆心在第二象限， d=1001=√(4-1)2+(-2-2)=5， 所以号<0，-会>0， 所以点P到点Q的距离的取值范围为[d-T,d+r], 即D>0,E<0,所以D=2,E=-4, 即[5-√2,5+2] 故圆C的方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 14.由题意得10A110A'I=9,又1OA1=1, 17.解：设点P的坐标为(x,y), 所以1OA'I=9, 选择条件①：由题可得MP·Np=0, 11 高中数学人教A版选择性必修第一册第5~8期 Mp=(x-1,y-3),Np=(x-3,y-1), 当且仅当20=4即a=25时取等号. a 则(x-1)(x-3)+(y-3)(y-1)=0, 化简得x2+y2-4x-4y+6=0; 所以1HQ1的最大值为(12-45)m 所以所求轨迹方程为x2+)y2-4x-4y+6=0(M,N除外). 19.解：(1)设P(x,y),则1PA2=(x+1)2+y2, 选择条件②：由题可得PMP+PN2=20, 1PB12=(x-3)2+y, 即(x-1)2+(y-3)2+(x-3)2+(y-1)2=20, 所以P:++女。 化简得x2+y2-4x-4y=0, PBI √(x-3)2+y2 3 所以所求轨迹方程为x2+y2-4x-4y=0. 则9(x+1)2+9y2=(x-3)2+y2, 选择条件③由题可得wx13》。 整理得曲线C的方程为x2+3x+y=0. 则kmw=4,即=4. (2)由(1)得黄线G为圆，即c(+2)广+=头 设其关于直线x+y-2=0对称的圆的圆心为(x,y), 化简得42-y2-16x+4y+9=0, 3 所以所求轨迹方程为42-y2-16x+4y+9=0(x≠1，x≠3). x-2 2 -2=0, x=2, 18.解：(1)由题可得A(0,8),P(2,10),Q(7,0), 则 解得 7 所以直线PQ的方程为2x+y-14=0. 31, y=2 设c(a,6,则a-2)2+(6-10)2=广. x+2 la2+(b-8)2=2, 所以曲线C关于直线x+y-2=0对称的曲线方程为 两式相减得：a+b-10=0, -2+(-子)= 又2a+b-14=0,解得a=4,b=6, 所以r=√4+(6-8)产=25. (3)由点(3,3）到圆心c的距离为 所以圆C的方程为(x-4)2+(y-6)2=20. d= (2)由(1)知a+b-10=0, √+) +(3-0)2=5. 当a=2时，灯罩轴线所在直线方程为x=2,此时HQ=0, 因为圆C的半径r= 3 2, 当a2时，灯翠轴线所在方程为)-10=。品x-2, 所以点(3,3）到圆G的最短距离为d-7=5-}-子 令y=0可得=12-9即Q(12-90小 >3 因为以在线段00上，所以12-9≥a,解得2≤a≤10。 故在圆C上不存在点D,使得D到点(3,3）的距离为3。 所101=2-9-a=2-(2+≤2-45， 一12