平面向量的概念及线性运算（基础摸查+基础夯实+优化提升）学案-2025届高三数学一轮复习

第5部分第1节《平面向量的概念及线性运算》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升 基础摸查 【习题导入】 1．下列各式化简结果正确的是(　　) A.＋＝ B.＋＋＋＝ C.＋－＝0 D.－－＝ 2．(多选)下列命题正确的是(　　) A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线 D．若a＝b，b＝c，则a＝c 3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________. 【知识归纳】 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小称为向量的 ． (2)零向量：长度为 的向量，记作 ． (3)单位向量：长度等于 长度的向量． (4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量 ． (5)相等向量：长度相等且方向 的向量． (6)相反向量：长度相等且方向 的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a＋b＝ ； 结合律：(a＋b)＋c＝________ 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝ ，当λ>0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ<0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ＝0时，λa＝ λ(μa)＝ ； (λ＋μ)a＝ ； λ(a＋b)＝ 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 . 常用结论： 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． 3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋)． 4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 【题型展示】 题型一　平面向量的基本概念 例1　(1)如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和相等的是(　　) A. B. C. D. (2)(多选)下列说法中正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关 D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b| 跟踪训练1　(1)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为(　　) A. B. C. D. (2)(多选)下列命题中正确的是(　　) A．向量的长度与向量的长度相等 B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反 C．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同 D．两个终点相同的向量，一定是共线向量 题型二　平面向量的线性运算 命题点1　向量加、减法的几何意义 例2　已知单位向量e1，e2，…，e2 023，则|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是________． 命题点2　向量的线性运算 例3　在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则等于(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 命题点3　根据向量线性运算求参数 例4　在△ABC中，＝2，＝2，P为线段DE上的动点，若＝λ＋μ，λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　) A．1 B. C. D．2 跟踪训练2　(1)P是△ABC所在平面上一点，满足＋＋＝2，△ABC的面积是S1，△PAB的面积是S2，则(　　) A．S1＝4S2 B．S1＝3S2 C．S1＝2S2 D．S1＝S2 (2)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗．如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是(　　) A.＋＝0 B.∥ C.＋＝2 D.＝＋ (3)在△ABC中，P是BC上一点，若＝2，＝λ＋μ，则2λ＋μ＝________. 题型三　共线定理及其应用 例5　已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 跟踪训练3　(1)如图，△ABC中，点M是BC的中点，点N满足＝，AM与CN交于点D，＝λ，则λ等于(　　) A. B. C. D. (2)若a，b是两个不共线的向量，已知＝a－2b，＝2a＋kb，＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k等于(　　) A．－1 B．1 C. D．2 基础夯实 1．化简2(a－3b)－3(a＋b)的结果为(　　) A．a＋4b B．－a－9b C．2a＋b D．a－3b 2.已知＝a＋5b，＝－3a＋6b，＝4a－b，则(　　) A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 3.如图所示，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　) A.0 　　　 B. C. 　　　 D. 4.矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝(　　) A. B. C.1 D. 5.在△ABC中，点M为AC上的点，且＝，若＝λ＋μ，则λ－μ的值是(　　) A.1 B. C. D. 6．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，且＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ等于(　　) A．2 B．－2 C．－ D. 8．已知△ABO中，OA＝OB＝1，∠AOB＝，若OC与线段AB交于点P，且满足＝λ＋μ，||＝，则λ＋μ的最大值为(　　) A. B．1 C. D．2 9.已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　　) A.a＋b＝0 B.a＝b C.a与b共线反向 D.存在正实数λ，使a＝λb 10．设a，b是平面内两个向量，“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知向量a和b不共线，向量＝a＋mb，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，若A，B，D三点共线，则m等于(　　) A．3 B．2 C．1 D．－2 12．在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 13．(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．在△ABC中，＋＋＝0 C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反 D．如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同 14.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A.若＝＋，则点M是边BC的中点 B.若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C.若＝－－，则点M是△ABC的重心 D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 15．设向量a，b不平行，向量ta＋b与a＋3b平行，则实数t的值为________． 16．已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若＝λ，＝μ，则＋＝________. 17.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________. 18.在锐角△ABC中，＝3，＝x＋y(x，y∈R)，则＝________. 19.已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确命题有________. 20.已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由. 21.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b. (1)试用a，b表示，，； (2)证明：B，E，F三点共线. 优化提升 22．已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是(　　) A．||＝||＝|| B.＋＋＝0 C.＝＋ D．S△MBC＝S△ABC 23．设P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为(　　) A. B. C. D. 24．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－4＋3＝0，则等于(　　) A. B. C. D. 25．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A．若＝，则＝＋ B．若＝2－3，则点M，B，C三点共线 C．若点M是△ABC的重心，则＋＋＝0 D．若＝x＋y且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 26.(多选)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设△ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结论正确的是(　　) A.＝2 B.＋＋＝0 C.设BC边的中点为D，则有＝3 D.＝＝ 27．在△ABC中，点D在线段AC上，且满足||＝||，点Q为线段BD上任意一点，若实数x，y满足＝x＋y，则＋的最小值为________． 28．如图，已知正六边形ABCDEF，M，N分别是对角线AC，CE上的点，使得＝＝r，当r＝________时，B，M，N三点共线． 29.如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为________. 30.经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R＋. (1)证明：＋为定值； (2)求m＋n的最小值. 参考答案： 基础摸查 【习题导入】 1．B　2.BCD　3.－ 【知识归纳】 1．(1)方向　长度(或模)　(2)0　0　(3)1个单位　(4)相反　平行 (5)相同　(6)相反 2．b＋a　a＋(b＋c)　|λ||a|　相同　相反　0　(λμ)a　λa＋μa　λa＋λb 3．b＝λa 【题型展示】 例1 (1)C (2)DD 跟踪训练1 (1)D　(2)AC 例2 2 023　0 例3 B 例4 B 跟踪训练2 (1)B　(2)D　(3) 例5 证明　(1)若m＋n＝1， 则＝m＋(1－m)， ＝[m＋(1－m)]， 故m＋(1－m) ＝m＋(1－m)， 即m(－)＝(1－m)(－)， m＝(1－m)，即，共线， 又，有公共点P， 则A，P，B三点共线． (2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得＝λ， 变形得－＝λ(－)， 即(1＋λ)＝λ＋， ＝＝＋， 又＝m＋n， ＋＝1， 故m＋n＝1. 跟踪训练3 (1)C　(2)B 基础夯实 1．B　 2.A 3.D 4.A 5.C 6.D　 7.C 8．D 9.D 10.B　 11.A　 12.B　 13.BC　 14.ACD 15.　 16.3 17. 18.3 19.②③④ 20.解　由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb， C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k， 即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. 因为a，b不共线， 所以有解得t＝. 故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上. 21.(1)解　在△ABC中，因为＝a，＝b， 所以＝－＝b－a， ＝＋＝＋ ＝a＋(b－a)＝a＋b， ＝＋＝－＋＝－a＋b. (2)证明　因为＝－a＋b， ＝＋＝－＋ ＝－a＋＝－a＋b ＝， 所以＝，与共线， 且有公共点B， 所以B，E，F三点共线. 优化提升 22．D 23．D 24．B 25．ACD 26.AB 27．4＋2 28. 29. 30.(1)证明　设＝a，＝b. 由题意知＝×(＋) ＝(a＋b)， ＝－＝nb－ma， ＝－＝a＋b， 由P，G，Q三点共线得， 存在实数λ，使得＝λ， 即nb－ma＝λa＋λb， 从而 消去λ得＋＝3. (2)解　由(1)知，＋＝3， 于是m＋n＝(m＋n) ＝≥(2＋2)＝. 当且仅当m＝n＝时，m＋n取得最小值，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$