精品解析：辽宁省葫芦岛市部分学校2024-2025学年九年级上学期第三次联考数学试题

2024-2025年中学生能力训练数学阶段练习（三） 时间：120分钟 满分：120分 ※考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在试卷上作答无效． 第一部分．选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 挪一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯 C. 抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 任意画一个三角形，其内角和是180度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、是随机事件，不符合题意； B、是随机事件，不符合题意； C、是随机事件，不符合题意； D、是必然事件，符合题意． 故选：D． 3. 我国自古以来就有植树的传统，植树可以净化沙土，防止土地沙漠化，对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义．在清明时节植树为最佳，因为此时的气候温暖，适宜树苗的成活．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90． 故选：C． 4. 如图，正五边形内接于，点P是劣弧 上一点（点P不与点C重合），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角的度数．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】为正五边形， ， ， 故选：D． 5. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种， 故其概率为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 6. 如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接 ， ∵四边形 是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，是的切线，根据切线长定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，利用弧长公式根据“点移动的弧长等于个的周长”列出关于的方程，解方程即可．掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：∵的周长为：， ∴顺时针转动周时，点移动的弧长为：， ∴， 解得：． 故选：A． 8. 如图，正八边形内接于，的半径为2，连接，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，连接 ，过点A作于点M，根据多边形的性质求得，勾股定理求得，进而即可得解，熟练掌握正多边形与圆，勾股定理的性质是解决此题的关键． 【详解】连接 ，过点A作于点M， 在正八边形中，， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 的半径为2， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：A． 9. 在平面直角坐标系中，若抛物线经过，，，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线图象的特征与系数之间的关系、抛物线对称轴的性质，对于开口向上的抛物线，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，理解这一点是解答本题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， 又∵，，中点离对称轴最远，点离对称轴最近， ∴， 故选C 10. 如图，点E是 的内心，的延长线和 的外接圆相交于点D，与 相交于点G，则下列结论：①；②若点G为 的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内心和外接圆的有关知识、垂径定理的推论、圆周角定理、等腰三角形的判定、三角形的内角和和外角性质等知识，根据相关知识逐个判断即可．利用内心定义可判断①；根据垂径定理的推论可判断②；根据三角形的内角和定理和内心定义可判断③；根据三角形的外角性质、圆周角定理和等腰三角形的判定可判断④． 【详解】解：∵点E是 的内心， ∴ 平分， ∴，故①正确； 设 外接圆圆心为O，连接，则垂直平分 ， ∵点G为 的中点， ∴点G为与 的交点，即，故②正确； ∵， ∴， ∵点E是 的内心， ∴，， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确， 综上，正确的有3个， 故选：B． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知函数，当____时，随的增大而减小． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式可确定出其开口方向及对称轴，再利用函数的增减性可求得答案． 【详解】解：由抛物线的解析式可得抛物线开口向下，且对称轴为， 当时，随的增大而减小． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：扇形的弧长==2πr， ∴圆锥的底面半径为r=2． 故答案为2． 13. 为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现白球出现的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为_____________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的运用，根据频率估算概率，概率的计算，根据题意，设白球有个，可列式为，由此即可求解． 【详解】解：设白球有个， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母不为， ∴白球有个， 故答案为： ． 14. 如图，正方形的对角线、交于点O．分别以A、B、C、D为圆心，、、、为半径作弧，交、、、于点E、F、G、H，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形的面积，勾股定理．由四边形 是正方形，得， ，，再根据勾股定理得，则，最后由即可求解． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴， ，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在 中，，，点是 的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合．根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 【详解】解：∵在 中，，， ∴，， ∵点是 的中点， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到， ∴， ∴，，， 分情况讨论： ①如图所示，过点B作，垂足为点 ， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， ②如图所示，当点D运动到点F′时，此时， 同理可得，，， ∴， 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 如图是的方格纸，将格点 绕点 按顺时针方向旋转 ． （1）请画出经旋转后的． （2）求线段在旋转过程中扫过的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）利用勾股定理求出 的长，再利用扇形的面积公式计算即可． 本题考查作图旋转变换、扇形面积的计算，熟练掌握旋转的性质、扇形面积公式是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：由勾股定理得，， 线段在旋转过程中扫过的面积为． 17. 如图，大小质地完全相同的A，B两个圆形转盘，都被平均分成3份，并涂上红、白两种颜色．其中：A涂有白色2份，红色1份；B涂有红色2份，白色1份．两个转盘都是指针固定，转盘可自由转动（若指针指向分界线，则重转）． （1）自由转动A转盘一次，求转盘停止后指针指向白色的概率； （2）游戏规则：甲、乙两人让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止时，指针指向红色，则得2分，指针指向白色，则得1分，若两个转盘得累计得分为奇数，则甲获胜；累计得分为偶数，则乙获胜．请用列表法分析这个游戏规则对谁更有利，并说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查概率以及列表法，能够正确列出表格是解题关键． （1）首先计算出指针指向白色的可能的次数，利用概率公式计算即可； （2）用列表法可以表示所有可能出现的结果，计算出甲、乙两人获胜的概率，再比较概率即可． 【小问1详解】 解：自由转动A转盘一次，指针指向白色的可能为 次，红色的可能为次， ∴转盘停止后指针指向白色的概率为， 【小问2详解】 列表如下， 红 红 白 红 红红 红红 红白 白 白红 白红 白白 白 白红 白红 白白 根据表格可知，甲、乙两人让两个转盘分别自由转动一次，得分情况有9种，分别为4、4、3、3、3、2、3、3、2分，其中奇数的情况有5种，偶数的情况有4种， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵，游戏对甲更有利． 18. 赛季中国男子职业联赛（简称）正在如火如荼的展开，卫冕冠军辽宁队表现突出，截至月日，以十二胜一负的战绩高居积分榜首位．某中学为了在校园推广篮球运动，计划在学校开展我最喜爱的辽篮运动员调查活动．学校经过初步调查，全校1000名同学中有800名同学喜欢看篮球，从喜欢看篮球的同学中随机抽取部分同学下发如图所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调资数据绘制成两幅不完整的统计图． 我最喜爱的辽篮运动员 请在下列选项中选择你最喜爱的辽篮运动员，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作． A．郭艾伦□ B．赵继伟□ C．张镇麟□ D．韩德君□ 根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中，的值为_______，选C学生的圆心角为______； （2）从全校的1000名同学中任意抽取一人，喜欢郭艾伦的概率是______； （3）学校计划从喜欢赵继伟的同学中挑选两位品学兼优的同学参与辽篮训练活动，甲、乙、丙、丁四名同学入围，采用随机抽签的方式，恰好抽中甲乙的概率是多少?请你用树状图或者列表法求出概率． 【答案】（1）， （2） （3）恰好抽中甲乙的概率是 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次调查的样本容量，用条形统计图中A的人数除以样本容量再乘以可得，即可得的值；用乘以扇形统计图中C的百分比，即可得出答案． （2）用800乘以样本中A的百分比，可估计800名喜欢看篮球的同学中喜欢郭艾伦的人数，再结合概率公式计算即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽中甲乙的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得：本次调查的样本容量是， ∴， ∴， ∴选 学生的圆心角为， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：根据题意可得：估计800名喜欢看篮球的同学中，喜欢郭艾伦的人数为(人)， ∴从全校的1000名同学中任意抽取一人，喜欢郭艾伦的概率是， 故答案为：． 【小问3详解】 解：列表如下： ∴共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲乙的结果有共2种， ∴恰好抽中甲乙的概率是． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、总体、个体、样本、样本容量、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． 19. 如图， 是的直径，的半径为2，M是的中点，弦于点M，过点D作交 的延长线于点E． （1）连接，求阴影部分的面积； （2）求证：与相切． 【答案】（1） （2）见详解 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，易证是等边三角形，继而求出的面积和扇形的面积，即可求解； （2）根据等边三角形的性质，易证，继而证明，即可证得与相切． 【小问1详解】 解：M是的中点，， 为的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 阴影部分的面积； 【小问2详解】 由（1）知是等边三角形，, ， 又， ， ， ， ， ， 是半径， 与相切． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等边三角形的性质，扇形的面积公式，平行线的判定定理和性质定理，切线的判定定理等知识点，熟练掌握并灵活应用这些性质和定理是解题的关键． 20. 某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量y（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的几组对应值如表所示： 销售单价（元/件） 55 60 70 销售量（件） 70 60 40 （1）求（件）与（元/件）之间的函数解析式； （2）销售过程中要求卖出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）当时，利润最大为1200 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． （1）设（件）与（元/件）之间的函数解析式为，用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况． 【小问1详解】 解：设（件）与（元/件）之间的函数解析式为， 由题意，得：解得：， ； 【小问2详解】 解：设总利润为，由题意得： 销售过程中要求卖出的商品数不少于60件， ，即， ， ，对称轴为直线：， 抛物线开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大， 当时，利润最大为：， 销售单价定为60元时，才能使当天的销售利润最大，大利润是1200元． 21. 问题提出 （1）如图①，在 中， ，，垂足为．若，，则 的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块 型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心的位置，并求出的半径；若不可以，请说明理由． 【答案】（1） （2）可以， ∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆， ∴所求圆的圆心是 的内心， 作和的平分线交于点，则点就是裁出的最大圆型部件的圆心的位置， 的半径为． 【解析】 【分析】（1）首先根据勾股定理求出 的长度，然后利用等面积法求解即可； （2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点的位置；作和的平分线交于点，则点就是裁出的最大圆型部件的圆心的位置，过点作于，于，于，连接，过点 作于，设，的半径为，则，利用勾股定理解得，易得，再求得，然后根据求得的值，即可获得答案． 【详解】解：（1）∵在 中， ，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 故答案为：； （2）设，的半径为， ∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点为 的内心 ∴， 又∵， ∴， 即， 解得， 即的半径为． 【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆和三角形的内心、勾股定理，理解三角形的内切圆是三角形内最大的圆，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式法进行计算是解题的关键． 22. 一副三角板分别记作 和，其中．作于点M，于点N． （1）求证：； （2）将图1中的绕C按逆时针方向旋转后，延长交直线于点P．求证：四边形为正方形； （3）将图2中的绕C按顺时针方向旋转后，延长交直线于点P， 当时，写出线段，，的数量关系，并证明； 当时，直接写出线段，，的数量关系． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）当时，线段，，的数量关系为，证明见解析；当时，线段，，的数量关系为． 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，得到，再利用所对直角边是斜边的一半，得到，结合，即可完成证明； （2）先通过计算四边形其中三个角都为直角，从而判定为矩形，再结合，即可完成证明； （3）连接，利用全等三角形判定定理证出，得出，利用含的直角三角形性质得出，再分2种情况①；②，讨论线段，，三者的数量关系，再通过等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：， ， 绕C按逆时针方向旋转， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 四边形是正方形． 【小问3详解】 当时，线段MP，DP，CN的数量关系为； 当时，线段MP，DP，CN的数量关系为． 理由如下：如图1，当时，连接， 由（1）可得：， ，， ， ， ， ， ， ； 如图2，当时，连接， 由（1）可得：， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握含的直角三角形的性质，正方形的判定方法，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形并证明是解题的关键，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 23. 已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“和积函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点 “关于的和积点”，点在函数的“和积函数”的图象上． 例如，函数，当时，则函数是函数的“和积函数”．在平面直角坐标系中．函数图象上任意一点，点为点 “关于的和积点”，点在函数的“和积函数”上． （1）求函数的“和积函数”的函数表达式； （2）点 在函数的图象上，点 “关于的和积点”到轴的距离等于2，当点在轴上方时，求点的坐标； （3）点 在函数的图象上，点 “关于的和积点”为点，设点 的横坐标为．点 在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“和积函数”的对称轴交于点 ，以为邻边作矩形 ，设矩形 的周长为，求关于的函数表达式． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）由“和积函数”，将代入化简即可得到答案； （2）由在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点 “关于的和积点”，点在函数的“和积函数”的图象上．按照新定义求解即可得到答案； （3）由“和积函数”定义、“关于的和积点”定义求出相关点的坐标及函数表达式，结合点 在点的上方，得到，在以为邻边作矩形 ，数形结合得到相关点的坐标，求出长即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，称函数为函数的“和积函数”， 函数的“和积函数”的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点 在函数的图象上， ∴设点 坐标为，则点 “关于的和积点”的坐标为， ∵点到轴的距离等于2，且点在轴上方， ∴，即，则， 解得或， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点 在函数的图象上，点 的横坐标为， ∴点 的坐标为， ∴点 “关于的和积点”的坐标为， 函数的“和积函数”的表达式为， 的对称轴为直线， ∵点 在点的上方， ，即， 令，解得，即二次函数与轴的两个交点横坐标为， ∴抛物线在轴下方图象对应的取值范围是， ∵过点作轴的平行线，与函数的“和积函数”的对称轴交于点 ，且以为邻边作矩形 ， ，， 矩形的四个顶点不能重合， ， ， 当时，； 当时，； 综上所述，． 【点睛】本题考查新定义函数、涉及待定系数法确定函数表达式、解一元二次方程、二次函数图象与性质、图象法解一元二次不等式等知识，读懂题意，理解新定义函数及其相关概念是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年中学生能力训练数学阶段练习（三） 时间：120分钟 满分：120分 ※考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在试卷上作答无效． 第一部分．选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 挪一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯 C. 抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 任意画一个三角形，其内角和是180度 3. 我国自古以来就有植树的传统，植树可以净化沙土，防止土地沙漠化，对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义．在清明时节植树为最佳，因为此时的气候温暖，适宜树苗的成活．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 4. 如图，正五边形内接于 ，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则（ ） A. B. C. D. 5. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，是 的切线，切点为A，D，点B，C在 上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点 随之旋转，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正八边形内接于，的半径为2，连接，，则（ ） A. B. C. D. 2 9. 在平面直角坐标系中，若抛物线经过，，，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点E是的内心， 的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知函数，当____时，随的增大而减小． 12. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 13. 为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现白球出现的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为_____________个． 14. 如图，正方形的对角线、交于点O．分别以A、B、C、D为圆心，、、、为半径作弧，交 、、、于点E、F、G、H，若，则图中阴影部分的面积为_________． 15. 如图，在中，，，点 是 的中点，连接，将绕点 旋转，得到．连接 ，当时，________． 三、解答题（本题共8小题，共75分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 如图是的方格纸，将格点绕点按顺时针方向旋转． （1）请画出经旋转后的． （2）求线段在旋转过程中扫过的面积． 17. 如图，大小质地完全相同的A，B两个圆形转盘，都被平均分成3份，并涂上红、白两种颜色．其中：A涂有白色2份，红色1份；B涂有红色2份，白色1份．两个转盘都是指针固定，转盘可自由转动（若指针指向分界线，则重转）． （1）自由转动A转盘一次，求转盘停止后指针指向白色的概率； （2）游戏规则：甲、乙两人让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止时，指针指向红色，则得2分，指针指向白色，则得1分，若两个转盘得累计得分为奇数，则甲获胜；累计得分为偶数，则乙获胜．请用列表法分析这个游戏规则对谁更有利，并说明理由． 18. 赛季中国男子职业联赛（简称）正在如火如荼的展开，卫冕冠军辽宁队表现突出，截至月日，以十二胜一负的战绩高居积分榜首位．某中学为了在校园推广篮球运动，计划在学校开展我最喜爱的辽篮运动员调查活动．学校经过初步调查，全校1000名同学中有800名同学喜欢看篮球，从喜欢看篮球的同学中随机抽取部分同学下发如图所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调资数据绘制成两幅不完整的统计图． 我最喜爱的辽篮运动员 请在下列选项中选择你最喜爱的辽篮运动员，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作． A．郭艾伦□ B．赵继伟□ C．张镇麟□ D．韩德君□ 根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中，的值为_______，选C学生的圆心角为______； （2）从全校的1000名同学中任意抽取一人，喜欢郭艾伦的概率是______； （3）学校计划从喜欢赵继伟的同学中挑选两位品学兼优的同学参与辽篮训练活动，甲、乙、丙、丁四名同学入围，采用随机抽签的方式，恰好抽中甲乙的概率是多少?请你用树状图或者列表法求出概率． 19. 如图， 是 的直径， 的半径为2，M是的中点，弦于点M，过点D作交 的延长线于点E． （1）连接，求阴影部分的面积； （2）求证： 与 相切． 20. 某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量y（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的几组对应值如表所示： 销售单价（元/件） 55 60 70 销售量（件） 70 60 40 （1）求（件）与（元/件）之间的函数解析式； （2）销售过程中要求卖出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大?最大利润是多少? 21. 问题提出 （1）如图①，在中，，，垂足为 ．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心的位置，并求出 的半径；若不可以，请说明理由． 22. 一副三角板分别记作和，其中．作于点M，于点N． （1）求证：； （2）将图1中的绕C按逆时针方向旋转后，延长交直线于点P．求证：四边形为正方形； （3）将图2中的绕C按顺时针方向旋转后，延长交直线于点P， 当时，写出线段，，的数量关系，并证明； 当时，直接写出线段，，的数量关系． 23. 已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“和积函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的和积点”，点 在函数的“和积函数”的图象上． 例如，函数，当时，则函数是函数的“和积函数”．在平面直角坐标系中．函数图象上任意一点，点为点“关于的和积点”，点 在函数的“和积函数”上． （1）求函数的“和积函数”的函数表达式； （2）点在函数的图象上，点“关于的和积点” 到轴的距离等于2，当点 在轴上方时，求点 的坐标； （3）点在函数的图象上，点 “关于的和积点”为点 ，设点的横坐标为．点在点 的上方，过点 作轴的平行线，与函数的“和积函数”的对称轴交于点，以为邻边作矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $