上海市浦东新区2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年上海市浦东新区高三（上）期中数学试卷 一、填空题（本大题满分54分） 1．（4分）函数y＝lg（x﹣1）的定义域为　 　．（用区间表示） 2．（4分）设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合A＝{a，b，c}，集合B＝{c，d}，则＝　 　． 3．（4分）已知，则f（3）＝　 　． 4．（4分）若点在幂函数y＝xa的图象上，则该幂函数的表达式为 　 　． 5．（4分）若角α满足sinα＞0，且tanα＜0，则角α属于第 　 　象限． 6．（4分）不等式的解集用区间表示为 　 　． 7．（5分）若log73＝a，7b＝2，则log772可以用a及b表示为 　 　． 8．（5分）已知集合A＝{2，（a+1）2，a2+3a+3}，且1∈A，则实数a的值为　 　． 9．（5分）（x﹣1）6展开式中x4的系数为 　 　． 10．（5分）将5个人排成一排，则甲和乙须排在一起的概率是 　 　．（用数字作答） 11．（5分）若关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m+3＝0有两个同号实根，则实数m的取值范围是 　 　． 12．（5分）下面有四个命题： ①若点P（a，2a）（a≠0）为角α的终边上一点，则； ②同时满足，的角α有且只有一个； ③如果角α满足，那么角α是第二象限的角； ④满足条件的角x的集合为． 其中真命题的序号为 　 　． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）下列函数是偶函数的是（　　） A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝x3 D．y＝2x 14．（5分）“x＞1”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 15．（5分）已知陈述句α是β的充分非必要条件．若集合M＝{x|x满足α}，N＝{x|x满足β}，则M与N的关系为（　　） A．M⊂N B．M⊃N C．M＝N D．M⊃N＝∅ 16．（5分）对于函数 ①f（x）＝|x+2|， ②f（x）＝（x﹣2）2， ③f（x）＝cos（x﹣2）， 判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x+2）是偶函数；命题乙：f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（　　） A．①② B．①③ C．② D．③ 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（14分）（1）设a、b为实数，比较a2+b2与2a﹣2b﹣2的值的大小； （2）已知f（x）＝3x2，求曲线y＝f（x）在点P（﹣1，3）处的切线方程． 18．（14分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求ω与f（x）的单调递增区间； （2）在△ABC中，若，求sinB+sinC的取值范围． 19．（14分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cosC＝﹣． （1）若sinA＝2sinB，求b、c； （2）若cos（A）＝，求c． 20．（16分）已知函数． （1）判断函数y＝f（x）的奇偶性（不需要说明理由）； （2）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围； （3）若y＝f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求a的取值范围． 21．（18分）已知函数f（x）＝ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R，g（x）＝x4+f（x）． （1）当a＝﹣时，讨论函数f（x）的单调性； （2）若函数g（x）仅在x＝0处有极值，求a的取值范围； （3）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式g（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，求b的取值范围． 2024-2025学年上海市浦东新区高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分54分） 1．（4分）函数y＝lg（x﹣1）的定义域为　（1，+∞）　．（用区间表示） 【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可． 【解答】解：由题意得：x﹣1＞0， 解得：x＞1， 故答案为：（1，+∞）． 【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题． 2．（4分）设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合A＝{a，b，c}，集合B＝{c，d}，则＝　{e}　． 【分析】先由集合并集的定义求出A∪B，然后由补集的定义求解即可． 【解答】解：因为集U＝{a，b，c，d，e}，集合A＝{a，b，c}，集合B＝{c，d}， 所以A∪B＝{a，b，c，d}， 则＝{e}． 故答案为：{e}． 【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合并集以及补集的求解，解题的关键是掌握并集和补集的定义，属于基础题． 3．（4分）已知，则f（3）＝　　． 【分析】根据已知条件，将x＝3代入函数解析式，即可求解． 【解答】解：， 则f（3）＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题． 4．（4分）若点在幂函数y＝xa的图象上，则该幂函数的表达式为 　　． 【分析】将的坐标代入幂函数的解析式易得结果． 【解答】解：点在幂函数y＝xa的图象上， 则，解得． 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查幂函数解析式的求解，属于基础题． 5．（4分）若角α满足sinα＞0，且tanα＜0，则角α属于第 　二　象限． 【分析】根据正弦值、正切值符号判断角所在的象限即可． 【解答】解：由sinα＞0，知角α属于第一象限或第二象限或其终边位于y轴的正半轴上， 由tanα＜0，知角α属于第二象限或第四象限， 因此，角α属于第二象限． 故答案为：二． 【点评】本题考查三角函数值的符号，属于基础题． 6．（4分）不等式的解集用区间表示为 　[﹣3，1）　． 【分析】由题意，把分式不等式转化为不等式组，从而求出它的解集． 【解答】解：不等式，即≤0，即，求得﹣3≤x＜1， 可得不等式的解集为[﹣3，1）． 故答案为：[﹣3，1）． 【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题． 7．（5分）若log73＝a，7b＝2，则log772可以用a及b表示为 　2a+3b　． 【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解． 【解答】解：7b＝2， 则b＝log72， log73＝a， 故log772＝log78+log79＝3log72+2log73＝2a+3b． 故答案为：2a+3b． 【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题． 8．（5分）已知集合A＝{2，（a+1）2，a2+3a+3}，且1∈A，则实数a的值为　﹣1或0　． 【分析】根据题意，可得（a+1）2＝1或a2+3a+3＝1，由此求出a的值，验证集合A中元素是否满足互异性，再得到a的值． 【解答】解：根据题意，集合A＝{2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A， 则（a+1）2＝1或a2+3a+3＝1， 若（a+1）2＝1，解得a＝0，此时A＝{2，1，3}，符合题意， 若a2+3a+3＝1，解得a＝﹣1或﹣2， 当a＝﹣1时，A＝{2，0，1}，符合题意， 当a＝﹣2时，A＝{2，1，1}，不符合题意， 故a＝﹣1或0， 故答案为：﹣1或0． 【点评】本题考查元素与集合的关系，涉及集合中元素的性质，属于基础题． 9．（5分）（x﹣1）6展开式中x4的系数为 　15　． 【分析】直接利用二项式的展开式求出结果． 【解答】解：根据二项式展开． 故答案为：15． 【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 10．（5分）将5个人排成一排，则甲和乙须排在一起的概率是 　　．（用数字作答） 【分析】应用排列数求5个人排成一排、甲和乙须排在一起的排法数，应用古典概型的概率求法求概率． 【解答】解：将5个人排成一排有种， 又甲和乙须排在一起有种， 所以根据古典概型可得，甲和乙须排在一起的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题． 11．（5分）若关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m+3＝0有两个同号实根，则实数m的取值范围是 　（﹣3，﹣1]　． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列不等式组求参数范围． 【解答】解：若关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m+3＝0有两个同号实根， 则， 即实数m的取值范围是（﹣3，﹣1]． 故答案为：（﹣3，﹣1]． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题． 12．（5分）下面有四个命题： ①若点P（a，2a）（a≠0）为角α的终边上一点，则； ②同时满足，的角α有且只有一个； ③如果角α满足，那么角α是第二象限的角； ④满足条件的角x的集合为． 其中真命题的序号为 　④　． 【分析】①根据正弦函数定义求正弦值判断；②注意任意角定义即可判断；③直接判断角所在象限即可；④根据正切值及任意角定义求角即可判断． 【解答】解：①若点P（a，2a）（a≠0）为角α的终边上一点，（注意参数a的符号不确定），故①是假命题； ②同时满足，，可得+2kπ，k∈Z，故②是假命题； ③如果角α满足，那么角α是第三象限的角，不是第二象限角，故③是假命题； ④满足条件的角x＝kπ﹣，k∈Z，故④是真命题． 故答案为：④． 【点评】本题主要考查象限角以及终边相同的角，属于基础题也是易错题． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）下列函数是偶函数的是（　　） A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝x3 D．y＝2x 【分析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可． 【解答】解：对于A，由正弦函数的性质可知，y＝sinx为奇函数； 对于B，由正弦函数的性质可知，y＝cosx为偶函数； 对于C，由幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数； 对于D，由指数函数的性质可知，y＝2x为非奇非偶函数． 故选：B． 【点评】本题考查常见函数的奇偶性，属于基础题． 14．（5分）“x＞1”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解答】解：当x＞1时，成立， 当x＝﹣1时，满足成立，但x＞1不成立． 故“x＞1”是“”成立的充分不必要条件． 故选：B． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用定义是解决本题的关键，比较基础． 15．（5分）已知陈述句α是β的充分非必要条件．若集合M＝{x|x满足α}，N＝{x|x满足β}，则M与N的关系为（　　） A．M⊂N B．M⊃N C．M＝N D．M⊃N＝∅ 【分析】根据充分条件、必要条件与集合的关系可解． 【解答】解：因为α是β的充分非必要条件， 所以α能推出β，β不能推出α， 若集合M＝{x|x满足α}，N＝{x|x满足β}， 所以M⊂N， 故选：A． 【点评】本题主要考查了充分条件、必要条件与集合的关系，属于基础题． 16．（5分）对于函数 ①f（x）＝|x+2|， ②f（x）＝（x﹣2）2， ③f（x）＝cos（x﹣2）， 判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x+2）是偶函数；命题乙：f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（　　） A．①② B．①③ C．② D．③ 【分析】对于题中所给的3个函数，它们的定义域均为实数集R；于是可以先求出函数f（x+2）的解析式，①中有f（x+2）＝|x+4|，②中有f（x+2）＝|x|，③中有f（x+2）＝cosx，然后判断f（x+2）的奇偶性；再由函数f（x）的图象可得出f（x）的单调性来． 【解答】解：①函数f（x）＝|x+2|，则有f（x+2）＝|x+4|，显然这不是偶函数，因此①中的函数不符合要求； ②函数f（x）＝|x﹣2|，则有f（x+2）＝|x|，f（x+2）是偶函数，又由函数f（x）的图象可知f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，所以②符合要求； ③中函数f（x）＝cos（x﹣2），则有f（x+2）＝cosx，是偶函数，但是它在（﹣∞，2）上没有单调性； 故均符合条件的函数为②， 故选：C． 【点评】本题考查了函数的奇偶性，单调性及其判断与证明；复合函数的概念，命题的概念，属基础题． 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（14分）（1）设a、b为实数，比较a2+b2与2a﹣2b﹣2的值的大小； （2）已知f（x）＝3x2，求曲线y＝f（x）在点P（﹣1，3）处的切线方程． 【分析】（1）应用作差法比较大小； （2）利用导数几何意义求切线方程． 【解答】解：（1）a2+b2﹣（2a﹣2b﹣2）＝a2+b2﹣2a+2b+2 ＝（a2﹣2a+1）+（b2+2b+1）＝（a﹣1）2+（b+1）2≥0， 当且仅当a＝1，b＝﹣1时等号成立， 所以a2+b2≥2a﹣2b﹣2； （2）函数f（x）＝3x2，可得f（x）的导数为f′（x）＝6x，则f′（﹣1）＝﹣6， 因此，曲线y＝3x2在点P（﹣1，3）处的切线斜率为﹣6， 于是，所求切线方程为y﹣3＝﹣6（x+1），即6x+y+3＝0． 【点评】本题考查不等式的性质和导数的运用，考查转化思想和方程思想、运算能力，属于基础题． 18．（14分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求ω与f（x）的单调递增区间； （2）在△ABC中，若，求sinB+sinC的取值范围． 【分析】（1）由函数的最小正周期可得ω的值，进而求出函数的单调递增区间； （2）由（1）及f（）＝1可得A的值，由三角形的内角和为π及A的值可得B用C的角表示，再由B的范围，求出sinB+sinC的取值范围范围． 【解答】解：（1）因为的最小正周期为π，所以， 所以ω＝2，f（x）＝sin（2x+）， 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z， 解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z， 所以f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z． （2）在△ABC中，若， 由（1）得，，所以 因为0＜A＜π，所以，解得：A＝， 即， 因为，所以； 所以， 所以sinB+sinC的取值范围． 【点评】本题考查三角函数的性质，三角形的角的求法，属于中档题． 19．（14分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cosC＝﹣． （1）若sinA＝2sinB，求b、c； （2）若cos（A）＝，求c． 【分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解b的值；利用余弦定理即可求解c的值． （2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cosA，sinA，sinC的值，进而根据正弦定理可得c的值． 【解答】解：（1）因为sinA＝2sinB，可得a＝2b， 又a＝2，可得b＝1， 由于cosC＝＝＝﹣，可得c＝． （2）因为cos（A）＝（cosA+sinA）＝， 可得cosA+sinA＝， 又cos2A+sin2A＝1， 可解得cosA＝，sinA＝，或sinA＝，cosA＝， 因为cosC＝﹣，可得sinC＝，tanC＝﹣，可得C为钝角， 若sinA＝，cosA＝，可得tanA＝7，可得tanB＝﹣tan（A+C）＝＝＜0， 可得B为钝角，这与C为钝角矛盾，舍去， 所以sinA＝，由正弦定理，可得c＝． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 20．（16分）已知函数． （1）判断函数y＝f（x）的奇偶性（不需要说明理由）； （2）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围； （3）若y＝f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求a的取值范围． 【分析】（1）根据函数定义域是否关于原点对称即可判断； （2）问题化为在（0，+∞）上恒成立，求右侧最大值，即可得参数范围； （3）根据函数单调性，将问题化为方程有两个不相等的正根m，n，结合判别式求参数范围． 【解答】解：（1）y＝f（x）为非奇非偶函数； 由于x＞0，即定义域不关于原点对称， 故y＝f（x）为非奇非偶函数； （2）∵在（0，+∞）上恒成立，且a＞0， ∴在（0，+∞）上恒成立， 令（当且仅当时取等号），则． 故a的取值范围是． （3）函数在定义域上是增函数． 所以，即， 故方程有两个不相等的正根m，n，注意到mn＝1， 故只需要且a＞0，则， 故a的取值范围为（0，）． 【点评】本题考查了函数的单调性和最值的应用，属于中档题． 21．（18分）已知函数f（x）＝ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R，g（x）＝x4+f（x）． （1）当a＝﹣时，讨论函数f（x）的单调性； （2）若函数g（x）仅在x＝0处有极值，求a的取值范围； （3）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式g（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，求b的取值范围． 【分析】（1）将a的值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间． （2）根据函数g（x）仅在x＝0处有极值说明f'（x）＝0仅有x＝0一个根得到答案． （3）根据函数9（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出b的范围． 【解答】解：（1）f'（x）＝3ax2+4x＝x（3ax+4）． …（1分） 当a＝﹣时，f'（x）＝x（﹣10x+4）．令（n∈N），解得x1＝0，． …（2分） 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （﹣∞，0） 0 f'（x） ﹣ 0 + 0 ﹣ f（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 所以f（x）在内是增函数，在（﹣∞，0），内是减函数． …（5分） （2）g'（x）＝4x3+f'（x）＝x（4x2+3ax+4），显然x＝0不是方程4x2+3ax+4＝0的根．…（7分） 为使g（x）仅在x＝0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0成立，…（8分） 即有Δ＝9a2﹣64≤0．解不等式，得．这时，g（0）＝b是唯一极值． …（9分） 因此满足条件的a的取值范围是． …（10分） （3）g'（x）＝x（4x2+3ax+4）由条件a∈[﹣2，2]，可知Δ＝9a2﹣64＜0，…（11分） 从而4x2+3ax+4＞0恒成立．在（﹣，）上，当x＜0时，g'（x）＜0；当x＞0时，g'（x）＞0． 因此函数g（x）在[﹣1，1]上的最大值是g（1）与g（﹣1）两者中的较大者． …（13分） 为使对任意的a∈[﹣2，2]，不等式g（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立， 当且仅当，即，在a∈[﹣2，2]上恒成立． …（15分） 所以b≤﹣4，因此满足条件的b的取值范围是（﹣∞，﹣4]…（16分） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$