精品解析：山东省烟台南部（五四制）2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中学业水平检测 初四数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 一次函数与反比例函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 两个函数图象在第一象限的交点坐标为 B. 直线分别与反比例函数和一次函数的图象交于、两点，则线段的长为3 C. 由图象可知，当时， D. 当时，的值随着值的增大而增大，的值随着值的增大而减小 2. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点，、都是格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 将一个二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线，则这个二次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 5. 若二次函数的最小值是非负数，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，是边上一点（不与端点重合），过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，双曲线与直线相交于，两点，将直线向上平移个单位，所得的直线在第一象限内交双曲线于点，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点B，C分别在地面和墙面上，且边，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为．是轴负半轴上一点，且点的纵坐标为．连接并延长至点，使得，且点恰好落在反比例函数（，）的图象上．已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点．则下列结论：；；；点和在抛物线上，当时，则．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知在中，，，则的值是______________． 12. 已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为______． 13. 已知抛物线的顶点在坐标轴上，则________． 14. 如图，反比例函数的图象与正方形的边，分别交于点，．若为的中点，则正方形的边长为______． 15. 如图所示，在中，延长斜边到点C，使，连接，若，则的值为________． 16. 已知函数，当时的取值范围是______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分69分） 17. 如图，点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作轴于点A，连接，的面积为6． （1）求反比例函数的解析式； （2）若，点B是反比例函数上的点，当时，直接写出点B的坐标． 18. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：）． （1）求点P到地面的高度； （2）当挖掘机挖到地面上的点Q时，，求． 19. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式，并写成一般式． （1）抛物线经过，，三点； （2）抛物线经过，和原点； （3）二次函数的图象经过点，且当时，函数的最小值为． 20. 如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积． 21. 如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，米，点D在点B的南偏东方向，在点A的东南方向． （1）求B，D两地的距离； （2）大门C在风景点D的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，翻修费用为每米200元，此次翻修工程的总费用约为多少元？（参考数据：） 22. 如图，在中，，轴于点，反比例函数的图象经过点，交于点．已知，． （1）若，求的值； （2）若，求点的坐标． 23. 已知抛物线的图象经过点和． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求这条抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 24. 小明在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡比为（点、、在同一条直线上）． （1）求小明从点到点的过程中上升的高度； （2）大树的高度大约是多少米？（参考数据：，结果精确到米） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中学业水平检测 初四数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 一次函数与反比例函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 两个函数图象在第一象限的交点坐标为 B. 直线分别与反比例函数和一次函数的图象交于、两点，则线段的长为3 C. 由图象可知，当时， D. 当时，的值随着值的增大而增大，的值随着值的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、将分别代入两个解析式得，，所以两个函数图象在第一象限的交点坐标为，正确，不符合题意； B、将分别代入两个函数解析式，得，，则，正确，不符合题意； C、当时，；当时，，故原说法错误，符合题意； D、当时，的值随着值的增大而增大，的值随着值的增大而减小，正确，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点，、都是格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理逆定理，锐角三角函数的定义，连接，由网格可知，，，则由勾股定理逆定理得，利用余弦定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， 由网格可知：，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3. 将一个二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线，则这个二次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵一个二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线， ∴由向右平移个单位，再向上平移个单位得到原二次函数的表达式， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 4. 已知点，，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的增减性，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及反比例函数的增减性． 先用待定系数法求出该反比例函数的解析式，再根据反比例函数的增减性，即可解答． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴该反比例函数图象位于二、四象限，再每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴点A和点B位于第二象限，第C位于第四象限， ∴， 故选：C． 5. 若二次函数的最小值是非负数，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质及解不等式，先把二次函数化为顶点式，再列不等式求解即可． 【详解】解：， ∵二次函数的最小值是非负数， ∴． ∴． 故选D． 6. 如图，在中，，，是边上一点（不与端点重合），过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，余角性质，由得，由勾股定理得，又由，可得，再根据正弦的定义即可求解，由余角性质得到是解关键题的． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，双曲线与直线相交于，两点，将直线向上平移个单位，所得的直线在第一象限内交双曲线于点，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数的图象的交点问题，一次函数图象的平移，解一元二次方程，根据平移规律得到新的直线的解析式为，联立直线与双曲线的解析式得，求出点的横坐标即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵将直线向上平移个单位， ∴平移后所得直线解析式为， 则联立得，整理得：， 解得：，， ∴点的横坐标是， 故选：． 8. 如图，在中，，点B，C分别在地面和墙面上，且边，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，先解直角得到，再证明，最后解即可 【详解】解：在，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A 9. 如图，点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为．是轴负半轴上一点，且点的纵坐标为．连接并延长至点，使得，且点恰好落在反比例函数（，）的图象上．已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，作轴，作轴，证明，根据全等三角形的性质得，，然后求出点的横坐标为，点的纵坐标为，最后代入即可求解，求出点的坐标关于的代数式是解题的关键． 【详解】解：如图，作轴，作轴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵点的横坐标为，且在反比例函数图象上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即 ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：． 10. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点．则下列结论：；；；点和在抛物线上，当时，则．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向和对称轴的位置可判断、、的符号可判断，由抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，则该抛物线与轴另一个交点为，当时，可判断；由抛物线的对称轴为直线，则，又该抛物线与轴交于点，则，故有，可判断；当时，随的增大而减小可判断；熟练掌握抛物线图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故错误， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴该抛物线与轴另一个交点为， ∴当时，，故错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵该抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴，故正确， ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，则，故正确； 综上可知：正确，共个， 故选：． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知在中，，，则的值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据勾股定理得到，再根据三角函数的定义即可得到答案．此题考查了三角函数的定义、勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 设，则， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 12. 已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象上点的特征，掌握反比例函数图象上点的坐标之积等于是解题的关键．因为、都在反比例函数的图象上，可知，，把已知代入可求得的值． 【详解】解：点，都在反比例函数的图象上， ，， ， 且， ． 故答案为：． 13. 已知抛物线的顶点在坐标轴上，则________． 【答案】0或2 【解析】 【分析】把抛物线解析式化为顶点式，再根据顶点在坐标轴上，求出值即可． 【详解】解：抛物线化为顶点式为：， 当顶点在x轴上时，，解得，； 当顶点在y轴上时，； 故答案为：0或2． 【点睛】本题考查了二次函数顶点坐标，解题关键是熟练运用配方法把二次函数化成顶点式． 14. 如图，反比例函数的图象与正方形的边，分别交于点，．若为的中点，则正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数的图象与性质，由四边形是正方形，则，，设，则，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 设， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 15. 如图所示，在中，延长斜边到点C，使，连接，若，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将放在直角三角形中．延长，过点C作，垂足为E，由，即，设，则，然后可证明，然后相似三角形的对应边成比例可得：，进而可得，，从而可求． 【详解】解：如图，延长，过点C作，垂足为E， ∵，即， ∴设，则， ∵，， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为． 16. 已知函数，当时的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．先化为顶点式，求得开口方向与对称轴，进而得出最小值，根据x的范围得出时，求得函数的最大值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时， 当时，y的最小值为， 当时，y的值为， 当时，y的值为， ∴y的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分69分） 17. 如图，点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作轴于点A，连接，的面积为6． （1）求反比例函数的解析式； （2）若，点B是反比例函数上的点，当时，直接写出点B的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）设点P的坐标为，根据的面积为6列式求解； （2）设点B的坐标为，则，由此可解． 【小问1详解】 解：设点P的坐标为， 则，， 的面积为6， ， 解得， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设点B的坐标为， ，， ， 解得， ， 点B的坐标为． 18. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：）． （1）求点P到地面的高度； （2）当挖掘机挖到地面上的点Q时，，求． 【答案】（1）点到地面的高度为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，延长交于，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案； （2）由（1）可知，四边形为矩形，则，求得进而可得,据此求解可得答案． 【小问1详解】 解：过点作于H，延长交于， 则四边形为矩形， ∴，， 则， ∴点到地面的高度：， 即点到地面的高度为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形为矩形， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴． 19. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式，并写成一般式． （1）抛物线经过，，三点； （2）抛物线经过，和原点； （3）二次函数的图象经过点，且当时，函数的最小值为． 【答案】（1）二次函数表达式为； （2）二次函数表达式为； （3）二次函数表达式为． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （）由抛物线经过，和原点，则设二次函数表达式为，然后代入求出的值即可； （）由题意得二次函数的顶点坐标为，设二次函数表达式为，然后代入求出的值即可； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法求二次函数的解析式的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：设二次函数表达式为， ∵抛物线经过，，三点， ∴，解得：， ∴二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线经过，和原点， ∴设二次函数表达式为， ∴，解得：， ∴二次函数表达式为； 【小问3详解】 解：由题意得二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数表达式为， ∵二次函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴二次函数表达式为． 20. 如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义解答即可； （）由四边形是矩形，则，，求出，，然后利用即可求解； 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵反比例函数的表达式为，， ∴点的纵坐标是， ∴，解得：， ∴， 同理当时，， ∴， ∴，，，， ∴ ． 21. 如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，米，点D在点B的南偏东方向，在点A的东南方向． （1）求B，D两地的距离； （2）大门C在风景点D的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，翻修费用为每米200元，此次翻修工程的总费用约为多少元？（参考数据：） 【答案】（1）米 （2）75712元 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，三角形的内角和定理，等角对等边，含直角三角形的性质，掌握知识点的应用及根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，求出，，从而可得，，（米），再求出的长即可得解； （2）过点作于点，解直角三角形求出的长，即可得解． 【小问1详解】 解：如图：过点作于点， 由题意知，， ∴，， ，，米， ∴（米） ∴（米） 答：、两地的距离约为米； 【小问2详解】 解：如图：过点作于点， 米， ，，， ， ， ∵，， （米）， ， （米）， （米）， 总费用约为（元）， 答：总费用约为75712元． 22. 如图，在中，，轴于点，反比例函数的图象经过点，交于点．已知，． （1）若，求的值； （2）若，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）点的坐标为． 【解析】 【分析】（）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案； （）设点的坐标为，由，，则，故有，两点的坐标分别为，，然后代入反比例函数的图象上，求出的值即可； 此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，反比例函数图象的性质，熟练掌握知识点的应用是解题关键. 【小问1详解】 解：如图，作，垂足为， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； 【小问2详解】 解：设点的坐标为， ∵，， ∴， 由（）得：，， ∴，两点的坐标分别为：，， ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 23. 已知抛物线的图象经过点和． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求这条抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）对称轴为直线，顶点坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质． （1）依据题意，抛物线的图象经过点，，从而可得，且，可得的值，进而可得函数的表达式； （2）将函数的表达式转化为顶点式，即可得抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）依据题意，由，得当时，取最大值为4，再结合和分别进行讨论，同时结合即可判断得解． 【小问1详解】 解：抛物线的图象经过点，， ，且， ． 这条抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：， ∴这条抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：的对称轴为直线， 分以下两种情况： ①当时， 又∵， ∴当时，随的增大而增大， 当时，取最大值为； 当时，取最小值为． 又∵， ． ． 解得． ②当时， 当时，取最大值为； 当到对称轴的距离大于到对称轴的距离时，即，此时， 当时，取最小值为，此时，符合题意． 当到对称轴的距离小于到对称轴的距离时，即，即， 当时，取最小值为． 又∵， ． ． 或，不合题意． 综上，若，则． 24. 小明在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡比为（点、、在同一条直线上）． （1）求小明从点到点的过程中上升的高度； （2）大树的高度大约是多少米？（参考数据：，结果精确到米） 【答案】（1）小明从点到点的过程中上升的高度为米； （2）大树的高度是米． 【解析】 【分析】（）过点作于点，则，由斜面的坡比为，设米，则米，最后由勾股定理即可求解； （）过点作于点，设米，则可得四边形为矩形，故有米，米，然后利用仰角，俯角及正切即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，则， 由题意知米， ∵斜面的坡比为， ∴， 设米，则米， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， ∴小明从点到点的过程中上升的高度为米； 【小问2详解】 解：过点作于点，设米， 由（）得：（米）， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米，（米）， ∵， ∴（米）， ∴米， ∵， 在中，， ∴， ∴， 经检验：是原方程的解， ∴（米）， 答：大树的高度是米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $