专题2.5 平面直角坐标系全章压轴六类必考点40题（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版）

专题2.5 平面直角坐标系全章压轴六类必考点40题 【苏科版】 【考点1 点的坐标含参问题·7题】 1 【考点2 点的坐标移动规律问题·7题】 2 【考点3 图形的变换规律问题·5题】 5 【考点4 平面直角坐标系中的新定义问题·7题】 7 【考点5 坐标与图形综合·7题】 9 【考点6 坐标与面积综合·7题】 11 【考点1 点的坐标含参问题·7题】 1．（2024春•廉江市期末）已知点M（3a﹣2，a+6）．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（　　） A．4 B．﹣6 C．﹣1或4 D．﹣6或 2．（2024秋•越秀区校级期中）在平面直角坐标系中，已知点A（a+1，﹣1）和点B（2，a﹣1）且直线AB∥x轴，则点（﹣a+2，a﹣1）位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024秋•赵县期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点E的坐标为（2m，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标为（3﹣n，﹣m+1），则（m﹣n）2的值为（　　） A．9 B．﹣1 C．1 D．0 4．（2024秋•鄠邑区期中）已知点A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，点B（3a+2，b+3）在x轴上，则点C（a，b）的坐标为（　　） A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（﹣5，﹣3） D．（5，3） 5．（2024春•科左中旗期末）如图，在平面直角坐标系中，将三角形ABC平移至三角形A1B1C1，点P（a，b）是三角形ABC内一点，经平移后得到三角形A1B1C1内对应点P1（a+8，b﹣5），若点A1的坐标为（5，﹣1），则点A的坐标为（　　） A．（﹣4，3） B．（﹣1，2） C．（﹣6，2） D．（﹣3，4） 6．（2024春•新市区校级期中）若点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为（　　） A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3） 7．（2024春•江夏区期中）△ABC内的任意一点M（a，b），经过平移后对应点N的坐标是（m，n）．已知点A（4，3）也经过这样的平移后的对应点是D（6，﹣2），则m+n﹣a﹣b的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【考点2 点的坐标移动规律问题·7题】 1．（2024春•双峰县期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点P的坐标是（　　） A．（2024，0） B．（2024，2） C．（2023，2） D．（2023，0） 2．（2024春•田家庵区校级期末）如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1），⋯，按照这样的规律下去，点A2024的坐标为（　　） A．（3036，1013） B．（3033，1013） C．（3036，1012） D．（3033，1012） 3．（2024秋•沈河区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），…，依次扩展下去，则P2025的坐标为（　　） A．（506，506） B．（﹣506，505） C．（﹣507，506） D．（﹣507，﹣507） 4．（2024秋•惠城区期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形A1A2A3，三角形A3A4A5，三角形A5A6A7，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6…的等腰直角三角形．若三角形A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2025的坐标为（　　） A．（﹣1012，0） B．（2，1012） C．（1，﹣1013） D．（1014，0） 5．（2024秋•槐荫区期中）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以对角线OA1为边作正方形OA1A2B1，再以正方形OA1A2B1的对角线OA2为边作正方形OA2A3B2，…，依此规律，则点A2024的坐标是（　　） A．（21012，0） B．（﹣21012，0） C．（0，21012） D．（0，﹣21012） 6．（2024秋•滕州市校级期中）如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）．根据这个规律探索可得，第2024个点的坐标为（　　） A．（2024，8） B．（63，7） C．（64，7） D．（64，8） 7．（2024春•河南期末）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次向左跳动至A1（﹣1，1），第二次向右跳动至A2（2，1），第三次向左跳动至A3（﹣2，2），第四次向右跳动至A4（3，2）…依照此规律跳动下去，A2024的坐标为（　　） A．（1013，1012） B．（1012，1011） C．（2023，2024） D．（2024，2023） 【考点3 图形的变换规律问题·5题】 1．（2024秋•海珠区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，AB＝CB＝2，OA＝OC，∠AOC＝60°，AB⊥x轴，将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　） A．（﹣3，） B．（3，） C．（，1） D．（1，） 2．（2024秋•江津区期中）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点B坐标是（﹣5，2），则经过第2024次变换后点B的对应点的坐标为（　　） A．（﹣5，﹣2） B．（5，﹣2） C．（﹣5，2） D．（5，2） 3．（2024•梁山县二模）小星利用平面直角坐标系绘制的风车图案如图所示，他先将△OBA固定在坐标系中，其中A（2，4），B（2，0），接着他将△OBA绕原点O逆时针转动90°至△OB1A1，称为第一次转动；然后将△OB1A1绕原点O逆时针转动90°至△OB2A2，称为第二次转动…按照这种转动方式，在转动2024次后，点A的坐标为（　　） A．（2，4） B．（﹣4，2） C．（﹣2，﹣4） D．（4，﹣2） 4．（2024秋•南昌县期中）将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为（　　） A． B．（﹣2，0） C． D． 5．（2024•兰山区二模）如图，将边长为1的等边△OAB以B为圆心顺时针旋转120°，同时边长都加1得到△O1A1B，此时为第一次变换；再将△O1A1B以A1为圆心顺时针旋转120°，同时边长都加1得到△O2A1B1，此时为第二次变换；依次类推，按照这样的变换方式进行下去，当进行到第6次变换后O点的对应点的坐标为 　 　． 【考点4 平面直角坐标系中的新定义问题·7题】 1．（2024秋•天长市校级期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P1（a，b），P2（c，b），P3（c，d），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“最佳间距”．例如：点P1（﹣1，2），P2（1，2），P3（1，3）的“最佳间距”是1． （1）点Q1（﹣2，1），Q2（﹣5，1），Q3（﹣5，5）的“最佳间距”是 　 　． （2）当点O（0，0），E（2m，0），P（2m，﹣2m+3）的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为 　 　． 2．（2024秋•江岸区期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意线段AB，我们给出如下定义：线段AB上各点到y轴距离的最大值叫做线段AB的“纵轴距”，记作YAB，例如：A（3，4），B（﹣2，﹣1），则线段AB的“纵轴距”为3，记作YAB＝3．把经过点（2，0）垂直于x轴的直线记作直线x＝2，点C（m，﹣1），D（m+2，2）关于直线x＝2的对称点分别为点E，F，连接CD和EF，当m在某一范围内取值时，|YCD﹣YEF|的值总保持不变，则m的取值范围是　 ． 3．（2024秋•越秀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意点T（m，n），将点T的“元变化”定义为：当|m|＞|n|时，作点T关于x轴对称：当|m|≤|n|时，作点T关于y轴对称．根据定义，解决问题： 如图，点P（3，2），点Q（﹣2，b），其中b＜﹣2，点P，Q“元变化”后的对应点是点P′，Q′． （1）直接写出坐标，P′（ 　 　，　 　），Q′（ 　 　，　 　）（Q′用含b的式子表示）； （2）若PQ′＝P′Q，则b的值为 　 　． 4．（2024春•黄陂区月考）在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“最距等点”．例如：点（3，﹣4），（4，﹣2）互为“最距等点”；点（3，﹣3），（﹣3，0）互为“最距等点”．已知点P（2n，﹣n+1）与点Q（1，n﹣3）互为“最距等点”，则n的值为 　 　． 5．（2024春•鱼台县期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），则点Q的坐标为（ax+y，x+ay）．例如，点P（1，4）的“2级关联点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．若点P的“5级关联点”点Q的坐标为（9，﹣3），则点P的坐标为 　 　． 6．（2024春•青羊区校级月考）在平面直角坐标系中，定义点M（x1，y1）和N（x2，y2）的直角距离为dMN＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知点A（2，1），B（﹣2，﹣3）和点C（1，4），则dAC+dBC的值为 　 　；若点A，B与动点P满足dAP+dBP＝10．动点P的轨迹分别交x正，负半轴于点D，E，交y正，负半轴于点M，N，则四边形MDNE的面积为 　 　． 7．（2023秋•青原区期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x，y，那么称点T是点A和B的衍生点． 例如：M（﹣2，5），N（8，﹣2），则点T（2，1）是点M和N的衍生点． 已知点D（3，0），点E（m，m+2），点T（x，y）是点D和E的衍生点． （1）若点E（4，6），则点T的坐标为 　 　； （2）请直接写出点T的坐标（用m表示）； （3）若直线ET交x轴于点H，当∠DHT＝90°时，求点E的坐标． 【考点5 坐标与图形综合·7题】 1．（2024秋•郑州期中）如图，从点M（0，3）发出一束光，经x轴反射，过点N（6，5），则这束光从点M到点N所经过的路径的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12.5 2．（2024秋•历城区期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，2），过点A作AB⊥y轴于点B，连接OA，作△ABO关于直线AO的对称图形，得到△AEO，AE交x轴于点F，则点F的坐标为（　　） A． B． C．（3，0） D． 3．（2024秋•城关区校级期中）已知，如图在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°，则∠OED的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 4．（2024秋•南昌期中）如图，将一块等腰直角三角尺按如图所示放置在平面直角坐标系中，已知直角顶点C的坐标为（1，2），点A（a，b）在第二象限，则点B的坐标为（　　） A．（3﹣b，a+1） B．（b﹣3，a+1） C．（2﹣a，3﹣b） D．（2+a，b﹣3） 5．（2024•泗水县二模）如图，在△AOB中，OA＝OB＝8，点C的坐标为（0，2），点P是OB上一动点，连接CP，将CP绕C点逆时针旋转90°得到线段CD，使点D恰好落在AB上，则点D的坐标为（　　） A．（2，4） B．（6，2） C．（2，5） D．（2，6） 6．（2024秋•南山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，y），连接AB，过点A作AC⊥AB．若AC＝AB，x轴上的一点M（﹣6，0），连接CM，当点B在y轴上移动时，CM的最小值为 　 　． 7．（2024秋•大兴区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（0，3），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为 　　． 【考点6 坐标与面积综合·7题】 1．（2024秋•浦东新区校级期中）在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点M（x1，y1）和点N（x2，y2），若x1＝x2，则MN∥y轴，且线段MN的长度为|y1﹣y2|，若y1＝y2，则MN∥x轴，且线段MN的长度为|x1﹣x2|． 【实践操作】 （1）若点M（﹣1，1），N（2，1），则MN∥x轴，MN的长度为　 　；若点M（1，0），且MN∥y轴，且MN＝2，则点N的坐标为　 　． 【拓展应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，2），C（0，﹣3）． ①如图1，△ABC的面积为　 　； ②如图2，点D在线段AB上，将点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标． 2．（2024秋•辽阳月考）如图1，已知在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，3），将线段AB向右平移4个单位长度至OC的位置，连BC． （1）直接写出点C的坐标　 　； （2）如图2，作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E（1，0），作EF⊥x轴交BC于点F，交AC于点，动点P从F点开始，以每秒1个单位长度沿射线FE运动，设时间为t秒，连接AC． ①试问：△PCD的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由； ②当△PCA的面积为时，求t的值及此时点P的坐标． 3．（2024春•咸安区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，2），点C坐标C（m，n）满足，连接AC，BC，OC． （1）四边形OACB的面积为 　 　； （2）点D是x轴上一个动点，当三角形ADC的面积为10时，求点D的坐标； （3）将线段AC平移至线段PQ（点C的对应点为P，点A的对应点为Q），且点P在线段OB上，当三角形PAC的面积为时，求点Q的坐标． 4．（2024春•东安区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段OA与OB的长满足等式． （1）求线段OA，OB的长； （2）若点C的坐标为（﹣1，2），连接AC，BC，则△ABC的面积为 　 　； （3）若点D在线段AB上，且AD＝2BD，点Q在x轴上且S△ADQ＝10，请直接写出点D的坐标 　 　，点Q的坐标 　 　． （数学活动小组的同学发现：可连接OD，△OBD的面积是△OAB面积的，△OAD的面积是△OAB面积的，利用其面积即可求出点D坐标．） 5．（2024春•西平县期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　 　）、B（ 　 　）、C（ 　 ）； ②直接写出三角形AOH的面积 　 　． （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n． （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 6．（2024春•安州区期末）已知，实数m，n，t满足m2+n2﹣12m﹣16n+100+|t﹣2|＝0． （1）求m，n，t的值； （2）如图，在平面直角坐标系中，A，B都是x轴正半轴上的点，C，D都是y轴正半轴上的点（点D在C上面），∠CBD＝45°，∠BCD+∠DAO＝180°． ①如图（1），若点A与B重合，CD＝n，求B点的坐标； ②如图（2），若点A与B不重合，AD＝m，BC＝t，求△CBD的面积． 7．（2024春•天河区校级期中）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0）．且a，b满足|a+3|+（a﹣2b+7）2＝0，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K． （1）点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CK上移动时（不与A，C重合），请找出∠PQD，∠OPQ，∠POB的数量关系，并证明你的结论． （2）连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使△MAD的面积与△ACD的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 平面直角坐标系全章压轴六类必考点40题 【苏科版】 【考点1 点的坐标含参问题·7题】 1 【考点2 点的坐标移动规律问题·7题】 4 【考点3 图形的变换规律问题·5题】 10 【考点4 平面直角坐标系中的新定义问题·7题】 15 【考点5 坐标与图形综合·7题】 21 【考点6 坐标与面积综合·7题】 28 【考点1 点的坐标含参问题·7题】 1．（2024春•廉江市期末）已知点M（3a﹣2，a+6）．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（　　） A．4 B．﹣6 C．﹣1或4 D．﹣6或 【分析】根据点到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求解即可． 【解答】解：∵点M（3a﹣2，a+6）到两坐标轴的距离相等， ∴|3a﹣2|＝|a+6|， ∴3a﹣2＝a+6或3a﹣2＝﹣（a+6）， 解得a＝4或a＝﹣1． 故选：C． 2．（2024秋•越秀区校级期中）在平面直角坐标系中，已知点A（a+1，﹣1）和点B（2，a﹣1）且直线AB∥x轴，则点（﹣a+2，a﹣1）位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据点A（a+1，﹣1）和点B（2，a﹣1）且直线AB∥x轴，可知点A和点B的纵坐标相等，从而可以得到a﹣1＝﹣1，然后求出a的值即可得出答案． 【解答】解：∵直线AB∥x轴， ∴a﹣1＝﹣1， 解得a＝0， ∴﹣a+2＝2，a﹣1＝﹣1， ∴点（2，﹣1）位于第四象限． 故选：D． 3．（2024秋•赵县期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点E的坐标为（2m，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标为（3﹣n，﹣m+1），则（m﹣n）2的值为（　　） A．9 B．﹣1 C．1 D．0 【分析】利用轴对称的性质构建方程组，求出m，n，可得结论． 【解答】解：∵E（2m，﹣n），F（3﹣n，﹣m+1）关于y轴对称， ∴， 解得， ∴（m﹣n）2＝（﹣4+5）2＝1， 故选：C． 4．（2024秋•鄠邑区期中）已知点A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，点B（3a+2，b+3）在x轴上，则点C（a，b）的坐标为（　　） A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（﹣5，﹣3） D．（5，3） 【分析】根据y轴上的点横坐标为0，x轴上的点纵坐标为0，可得a﹣5＝0，b+3＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵点A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上， ∴a﹣5＝0， ∴a＝5， ∵点B（3a+2，b+3）在x轴上， ∴b+3＝0， ∴b＝﹣3， ∴点C（a，b）的坐标为（5，﹣3）， 故选：A． 5．（2024春•科左中旗期末）如图，在平面直角坐标系中，将三角形ABC平移至三角形A1B1C1，点P（a，b）是三角形ABC内一点，经平移后得到三角形A1B1C1内对应点P1（a+8，b﹣5），若点A1的坐标为（5，﹣1），则点A的坐标为（　　） A．（﹣4，3） B．（﹣1，2） C．（﹣6，2） D．（﹣3，4） 【分析】先根据P点坐标的变化得出平移的方向和距离，进而可得出结论． 【解答】解：∵点P（a，b）是三角形ABC内一点，经平移后得到三角形A1B1C1内对应点P1（a+8，b﹣5）， ∴设A（x，y）， ∵点A1的坐标为（5，﹣1）， ∴x+8＝5，y﹣5＝﹣1， 解得x＝﹣3，y＝4， ∴A（﹣3，4）． 故选：D． 6．（2024春•新市区校级期中）若点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为（　　） A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3） 【分析】点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），则点P的坐标是（2a+b，a﹣1），点P关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则的P的坐标是（b﹣4，b+2），因而就得到关于a，b的方程组，从而求出a，b，得出点P的坐标． 【解答】解：根据题意得： 解得： ∴P点的坐标为（﹣9，﹣3）． 故选：D． 7．（2024春•江夏区期中）△ABC内的任意一点M（a，b），经过平移后对应点N的坐标是（m，n）．已知点A（4，3）也经过这样的平移后的对应点是D（6，﹣2），则m+n﹣a﹣b的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【分析】根据图形平移的性质解答即可． 【解答】解：∵△ABC内的任意一点M（a，b），经过平移后对应点N的坐标是（m，n），点A（4，3）也经过这样的平移后的对应点是D（6，﹣2）， ∴m﹣a＝6﹣4＝2①，n﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5②， ∴①+②得，m+n﹣a﹣b＝2﹣5＝﹣3． 故选：D． 【考点2 点的坐标移动规律问题·7题】 1．（2024春•双峰县期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点P的坐标是（　　） A．（2024，0） B．（2024，2） C．（2023，2） D．（2023，0） 【分析】根据题意，动点P运动的规律是横坐标为第n次运动的数，纵坐标为1，0，2，0⋯循环出现，进而可求解． 【解答】解：由题意可知， 第1次从原点运动到点（1，1）， 第2次接着运动到点（2，0）， 第3次接着运动到点（3，2）， 第4次从原点运动到点（4，0）， 第5次接着运动到点（5，1）， ⋯⋯， 则点坐标的运动规律为：横坐标为第n次运动的数，纵坐标为1，0，2，0⋯循环出现， ∵2024÷4＝506， ∴经过第2024次运动后，动点P的坐标是（2024，0）， 故选：A． 2．（2024春•田家庵区校级期末）如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1），⋯，按照这样的规律下去，点A2024的坐标为（　　） A．（3036，1013） B．（3033，1013） C．（3036，1012） D．（3033，1012） 【分析】根据所给的点An的坐标，发现An的坐标规律，即可解决问题． 【解答】解：由题知， 点A1的坐标为（2，0）； 点A2的坐标为（3，2）； 点A3的坐标为（5，1）； 点A4的坐标为（6，3）； 点A5的坐标为（8，2）； 点A6的坐标为（9，4）； 点A7的坐标为（11，3）； 点A8的坐标为（12，5）； …， 由此可见，点An的坐标为，点An﹣1的坐标为为正偶数）； 当n＝2024时， ， ， 所以点A2024的坐标为（3036，1013）． 故选：A． 3．（2024秋•沈河区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），…，依次扩展下去，则P2025的坐标为（　　） A．（506，506） B．（﹣506，505） C．（﹣507，506） D．（﹣507，﹣507） 【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，点P2021的在第二象限，再根据第二项象限点的规律即可得出结论． 【解答】解：由规律可得，2025÷4＝506……1， ∴点P2025的在第二象限， ∵点P1（﹣1，0），点P5（﹣2，1），点P9（﹣3，2）， ∴点P2025（﹣507，506）． 故选：C． 4．（2024秋•惠城区期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形A1A2A3，三角形A3A4A5，三角形A5A6A7，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6…的等腰直角三角形．若三角形A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2025的坐标为（　　） A．（﹣1012，0） B．（2，1012） C．（1，﹣1013） D．（1014，0） 【分析】由图形中点的位置得到落在x轴上的点都是奇数点，则A2025这点在x轴上，A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8类推每4个为一组，得到A2025在A1点的右侧，由图形观察得到点A1（2，0），A5（4，0），A9（6，0）的横坐标间相差2，故可得到A2025的横坐标，得到结果． 【解答】解：∵根据图中点坐标特点，奇数点均在x轴上， ∴A2025在x轴上，且纵坐标为0， ∵A1到A4，A5到A8，以此类推，每4个为一组，且2025÷4＝506……1， ∴A2025在A1点有右侧，其横坐标为正数， ∵A1（2，0），A5（4，0），A9（6，0）， ∴A（4n﹣3）的横坐标为2n， ∴A2025＝A（4×507﹣3）＝2×507＝1014．∴A2025的坐标为（1014，0）． 故选：D． 5．（2024秋•槐荫区期中）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以对角线OA1为边作正方形OA1A2B1，再以正方形OA1A2B1的对角线OA2为边作正方形OA2A3B2，…，依此规律，则点A2024的坐标是（　　） A．（21012，0） B．（﹣21012，0） C．（0，21012） D．（0，﹣21012） 【分析】根据正方形的性质可找出部分点An的坐标，根据坐标的变化即可找出A8n+4（0，﹣24n+2）（n为自然数），再根据2024＝253×8，即可找出点A2024的坐标． 【解答】解：观察，发现：A（0，1）、A1（1，1），A2（2，0），A3（2，﹣2），A4（0，﹣4），A5（﹣4，﹣4），A6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16），A9（16，16）…， ∴A8n（0，24n）（n为自然数）． ∵2024＝253×8， ∴A2024（0，2253×4），即点A2024的坐标是（0，21012）． 故选：C． 6．（2024秋•滕州市校级期中）如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）．根据这个规律探索可得，第2024个点的坐标为（　　） A．（2024，8） B．（63，7） C．（64，7） D．（64，8） 【分析】由已知图中点的坐标规律，可判断出第2024个点在第几行，第几列，再结合分析得到的规律求解，即可得出答案． 【解答】解：可以把第一个点（1，0）作为第一列，（2，0）和（2，1）作为第二列， 易得第一列有1个点，第二列有2个点，⋯， 由第n列有n个点，则n列共有个点，而且奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序是由下到上， 根据1+2+3+⋯⋯+63＝2016， 可得第2024个点应该在第64列，且由下到上应该是第8个点， 因而第2024个点的坐标应该为（64，7）， 故选：C． 7．（2024春•河南期末）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次向左跳动至A1（﹣1，1），第二次向右跳动至A2（2，1），第三次向左跳动至A3（﹣2，2），第四次向右跳动至A4（3，2）…依照此规律跳动下去，A2024的坐标为（　　） A．（1013，1012） B．（1012，1011） C．（2023，2024） D．（2024，2023） 【分析】观察点的坐标特点不难发现：An和An+1（n为正奇数）的纵坐标相等，且An的纵坐标总是（n+1）的，横坐标是纵坐标的相反数． 【解答】解：由A1（﹣1，1），A2（2，1），A3（﹣2，2），A4（3，2），A5（﹣3，3），A6（4，3）……的坐标不难发现， An（n为正奇数）的纵坐标是（n+1）的一半，且横坐标是纵坐标大的相反数， 所以A2023的纵坐标为：1012，横坐标为：﹣1012． 因此：A2023（﹣1012，1012）． 所以A2024（1013，1012）． 故选：A． 【考点3 图形的变换规律问题·5题】 1．（2024秋•海珠区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，AB＝CB＝2，OA＝OC，∠AOC＝60°，AB⊥x轴，将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　） A．（﹣3，） B．（3，） C．（，1） D．（1，） 【分析】连接，过点C作，垂足为P，通过证得△AOB≌△COB，得出，通过解直角三角形得到点C的坐标为（，由每旋转4次为一个循环，即可得出第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同，从而得出第2023次旋转结束时，点C的坐标为（3，）． 【解答】解：连接OB，过点C作CP⊥OA，如图所示， ∵AB＝CB＝2，OA＝OC， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴， 在中Rt△AOB中，AB＝2， ∴OB＝2AB＝4， ∴OC＝OA2， 在Rt△COP中，∠POC＝60°， ∴OP， ∴PC3， ∴点C的坐标为（）， 由旋转可知第一次旋转后点C的坐标为（﹣3，）， 第二次旋转后点C的坐标为（）， 第三次旋转后点C的坐标为（3，）， ∵每次旋转90°，360°÷90°＝4， ∴每旋转4次为一个循环． ∵2023÷4＝505...3， ∴第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同， ∴第2023次旋转结束时，点C的坐标为（3，）． 故选：B． 2．（2024秋•江津区期中）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点B坐标是（﹣5，2），则经过第2024次变换后点B的对应点的坐标为（　　） A．（﹣5，﹣2） B．（5，﹣2） C．（﹣5，2） D．（5，2） 【分析】观察图形不难发现，每四次变换为一个循环组循环，用2024除以4，根据余数的情况确定最后点B所在的象限，然后根据关于坐标轴对称的点的变化规律解答． 【解答】解：点B第一次关于x轴对称后在第三象限，点B第二次关于y轴对称后在第四象限，点B第三次关于x轴对称后在第一象限，点B第四次关于y轴对称后在第二象限， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵2024÷4＝506， ∴经过第2024次变换后所得的B点与第四次变换的位置相同，坐标为（﹣5，2）． 故选：C． 3．（2024•梁山县二模）小星利用平面直角坐标系绘制的风车图案如图所示，他先将△OBA固定在坐标系中，其中A（2，4），B（2，0），接着他将△OBA绕原点O逆时针转动90°至△OB1A1，称为第一次转动；然后将△OB1A1绕原点O逆时针转动90°至△OB2A2，称为第二次转动…按照这种转动方式，在转动2024次后，点A的坐标为（　　） A．（2，4） B．（﹣4，2） C．（﹣2，﹣4） D．（4，﹣2） 【分析】根据三角形的旋转方式，依次求出点A的对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【解答】解：分别过点A和点A1作y轴和x轴的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， AO＝A1O，∠AOA1＝90°， ∴∠AOM+∠B1OA1＝90°， 又∵∠B1OA1+∠A1ON＝90°， ∴∠AOM＝∠A1ON． 在△AOM和△A1ON中， ， ∴△AOM≌△A1ON（AAS）， ∴AM＝A1N，MO＝NO． 又∵A（2，4）， ∴AM＝A1N＝2，MO＝NO＝4， 则点A1的坐标为（﹣4，2）． 同理可得，A2（﹣2，﹣4），A3（4，﹣2），A4（2，4），A5（﹣4，2），…， 由此可见，点A对应点的坐标按（﹣4，2），（﹣2，﹣4），（4，﹣2），（2，4）循环出现． 又∵2024÷4＝506， ∴转动2024次后，点A的对应点的坐标为（2，4）． 故选：A． 4．（2024秋•南昌县期中）将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为（　　） A． B．（﹣2，0） C． D． 【分析】6次一个循环，分别求出第一次到第六次的点A的坐标，利用规律解决问题即可． 【解答】解：如图， ∵A（1，），∠ABO＝90°， ∴OB＝1，AB， ∵∠A＝30°， ∴OA＝2OB＝2， ∵将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°， ∴第一次旋转后的坐标为（﹣1，）， 第二次旋转后的坐标为（﹣2，0）， 第三次旋转后的坐标为（﹣1，）， 第四次旋转后的坐标为（1，）， 第五次旋转后的坐标为（2，0）， 第六次旋转后的坐标为（1，）， •••， 6次一个循环， ∵2024÷6＝337……2， ∴第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为（﹣2，0）， 故选：B． 5．（2024•兰山区二模）如图，将边长为1的等边△OAB以B为圆心顺时针旋转120°，同时边长都加1得到△O1A1B，此时为第一次变换；再将△O1A1B以A1为圆心顺时针旋转120°，同时边长都加1得到△O2A1B1，此时为第二次变换；依次类推，按照这样的变换方式进行下去，当进行到第6次变换后O点的对应点的坐标为 　 　． 【分析】根据所给变换方式，依次求出点On（n为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 第1次变换后所得三角形的边长为2， 第2次变换后所得三角形的边长为3， 第3次变换后所得三角形的边长为4， …， 所以第n次变换后所得三角形的边长为n+1， 当n＝5时， n+1＝6， 即第5次变换后所得三角形的边长为6． 又因为每变换3次，点O对应点的位置便循环出现，第3n和（3n﹣1）次变换后点O对应点在x轴上且重合， 所以第6次变换后点O的对应点与第5次变换后点O的对应点重合， 又因为1+2+3+4+5+6＝21， 所以第6次变换后点O的对应点的坐标为（21，0）． 故答案为：（21，0）． 【考点4 平面直角坐标系中的新定义问题·7题】 1．（2024秋•天长市校级期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P1（a，b），P2（c，b），P3（c，d），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“最佳间距”．例如：点P1（﹣1，2），P2（1，2），P3（1，3）的“最佳间距”是1． （1）点Q1（﹣2，1），Q2（﹣5，1），Q3（﹣5，5）的“最佳间距”是 　 　． （2）当点O（0，0），E（2m，0），P（2m，﹣2m+3）的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为 　 　． 【分析】（1）分别计算出Q1Q2，Q2Q3，Q1Q3的长度，比较得出最小值即可； （2）分别计算出OE，PE的长度，由于斜边大于直角边，故OP＞OE，OP＞PE，所以“最佳间距”为OE或者PE的长度，由于“最佳间距”为1，分两种情况讨论，即可求解P点的横坐标． 【解答】解：（1）∵点Q1（﹣2，1），Q2（﹣5，1），Q3（﹣5，5）， ∴Q1Q2＝3，Q2Q3＝4， ∵垂线段最短， ∴Q1Q3＞3， ∴点Q1（﹣2，1），Q2（﹣5，1），Q3（﹣5，5）的“最佳间距”是3． 故答案为：3； （2）∵点O（0，0），E（m，0），P（m，﹣2m+1）， ∴PE∥y轴， ∴OE＝|m|， ∵垂线段最短， ∴OE＜OP， ∵点O，E，P的“最佳间距”是1， ∴OE＝1或PE＝1， ∵OE＝|m|，PE＝|﹣2m+1|， 当m＝1时，|﹣2m+1|＝1； 当m＝﹣1时，|﹣2m+1|＝3； 当﹣2m+1＝1时，解得m＝0， 当﹣2m+1＝﹣1时，解得m＝1， ∴当点O（0，0），E（2m，0），P（2m，﹣2m+3）的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为1或﹣1或0． 故答案为：1或﹣1或0． 2．（2024秋•江岸区期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意线段AB，我们给出如下定义：线段AB上各点到y轴距离的最大值叫做线段AB的“纵轴距”，记作YAB，例如：A（3，4），B（﹣2，﹣1），则线段AB的“纵轴距”为3，记作YAB＝3．把经过点（2，0）垂直于x轴的直线记作直线x＝2，点C（m，﹣1），D（m+2，2）关于直线x＝2的对称点分别为点E，F，连接CD和EF，当m在某一范围内取值时，|YCD﹣YEF|的值总保持不变，则m的取值范围是　 ． 【分析】先根据对称的性质求出E（4﹣m，﹣1），F（2﹣m，2），进而求出当m+2≥﹣m，即m≥﹣1时，YCD＝m+2，当m≤﹣1时，YCD＝﹣m，同理当m≤3时，YEF＝4﹣m，当m≥3时，YEF＝﹣2+m由此讨论求解即可． 【解答】∵点C（m，﹣1）、D（m+2，2）关于直线x＝2的对称点分别为点E、F， ∴E（4﹣m，﹣1），F（2﹣m，2）， ∴当m+2≥﹣m，即m≥﹣1时，YCD＝m+2， ∴当m≤﹣1时，YCD＝﹣m， 同理当m≤3时，YEF＝4﹣m，当m≥3时，YEF＝﹣2+m， ∴当m≤﹣1时，|YcD﹣YEF|＝|﹣m﹣（4﹣m）|＝4，符合题意； 当﹣1＜m＜3时，|YCD﹣YEF|＝|m+2﹣（4﹣m）|＝|2m﹣2|不是定值，不符合题意； 当m≥3时，|YCD﹣YEF|＝|m+2﹣（﹣2+m）|＝4，符合题意； 综上所述，当m≤﹣1或m≥3，|YCD﹣YEF|的值不变，为4． 故答案为：m≤﹣1或m≥3． 3．（2024秋•越秀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意点T（m，n），将点T的“元变化”定义为：当|m|＞|n|时，作点T关于x轴对称：当|m|≤|n|时，作点T关于y轴对称．根据定义，解决问题： 如图，点P（3，2），点Q（﹣2，b），其中b＜﹣2，点P，Q“元变化”后的对应点是点P′，Q′． （1）直接写出坐标，P′（ 　 　，　 　），Q′（ 　 　，　 　）（Q′用含b的式子表示）； （2）若PQ′＝P′Q，则b的值为 　 　． 【分析】（1）根据“元变化”的定义可以确定点P′，Q′的坐标； （2）根据两点的距离公式列等式可解答． 【解答】解：（1）∵|3|＞|2|， ∴点P（3，2）“元变化”后的对应点P′的坐标为（3，﹣2）； ∵b＜﹣2， ∴|﹣2|＜|b|， ∴点Q（﹣2，b）“元变化”后的对应点Q′的坐标为（2，b）； 故答案为：3，﹣2；2，b； （2）∵PQ′＝P′Q，且P（3，2），Q′（2，b），P′（3，﹣2），Q（﹣2，b）， ∴（3﹣2）2+（b﹣2）2＝（3+2）2+（b+2）2， ∴b＝﹣3， 故答案为：﹣3． 4．（2024春•黄陂区月考）在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“最距等点”．例如：点（3，﹣4），（4，﹣2）互为“最距等点”；点（3，﹣3），（﹣3，0）互为“最距等点”．已知点P（2n，﹣n+1）与点Q（1，n﹣3）互为“最距等点”，则n的值为 　 　． 【分析】根据互为“最距等点”的定义可得：|2n|＝|n+1|或|2n|＝|n﹣3|或|﹣n+1|＝|n+1|或|﹣n+1|＝|n﹣3|，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：∵点P（2n，﹣n+1）与点Q（1，n﹣3）互为“最距等点”， ∴|2n|＝|n+1|或|2n|＝|n﹣3|或|﹣n+1|＝|n+1|或|﹣n+1|＝|n﹣3|， 当|2n|＝|n+1|时， ∴2nn+1或2n＝﹣（n+1）， 解得：n＝1， ∴点P的坐标为（，0），点Q的坐标为（，﹣2），不符合题意，舍去； 当|2n|＝|n﹣3|时， 解得：n或2， 当n时，点P的坐标为（，），点Q的坐标为（，），不符合题意，舍去； 当n＝2时，点P的坐标为（1，﹣1），点Q的坐标为（2，﹣1），不符合题意，舍去； 当|﹣n+1|＝|n+1|时， 解得：n＝0或4， 当n＝0时，点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（1，﹣3），不符合题意，舍去； 当n＝4时，点P的坐标为（0，﹣3），点Q的坐标为（3，1），符合题意； 当|﹣n+1|＝|n﹣3|时， 解得：n＝2， ∴点P的坐标为（1，﹣1），点Q的坐标为（2，﹣1），不符合题意，舍去； 综上所述：n＝4， 故答案为：4． 5．（2024春•鱼台县期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），则点Q的坐标为（ax+y，x+ay）．例如，点P（1，4）的“2级关联点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．若点P的“5级关联点”点Q的坐标为（9，﹣3），则点P的坐标为 　 　． 【分析】根据关联点的定义，结合点的坐标建立二元一次方程组求解即可得出结果． 【解答】解：设点P的坐标为（x，y）， ∵点P的“5级关联点”点Q的坐标为（9，﹣3）， ∴根据题意有：， 解得：， 故点P的坐标为（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）． 6．（2024春•青羊区校级月考）在平面直角坐标系中，定义点M（x1，y1）和N（x2，y2）的直角距离为dMN＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知点A（2，1），B（﹣2，﹣3）和点C（1，4），则dAC+dBC的值为 　 　；若点A，B与动点P满足dAP+dBP＝10．动点P的轨迹分别交x正，负半轴于点D，E，交y正，负半轴于点M，N，则四边形MDNE的面积为 　 　． 【分析】根据直角距离的定义，分别求出dAC，dBC，即可求出它们的和．已知dAP+dBP＝10，根据直角距离的定义得到关于x，y的等量关系，可得DE，MN的长，进一步求出四边形的面积． 【解答】解：∵dAC＝|1﹣2|+|4﹣1|＝4， ∵dBC＝|1﹣（﹣2）|+|4﹣（﹣3）|＝10． ∴dAC+dBC＝14． 设P点坐标为（x，y）， ∵dAP+dBP＝10． ∴|x﹣2|+|y﹣1|+|x﹣（﹣2）|+|y﹣（﹣3）|＝10， ∴|x﹣2|+|y﹣1|+|x+2|+|y+3|＝10， 当x＝0时， |y﹣1|+|y+3|＝6， 解得：y1＝2，y2＝﹣4， ∴MN＝y1﹣y2＝6． 当y＝0时， ∴|x﹣2|+|x+2|＝6， 解得x1＝3，x2＝﹣3， ∴DE＝x1﹣x2＝6， ∴S四边形MDNE＝S△MDE+S△NDE OM×DEON×DE ． 故答案为：14；18． 7．（2023秋•青原区期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x，y，那么称点T是点A和B的衍生点． 例如：M（﹣2，5），N（8，﹣2），则点T（2，1）是点M和N的衍生点． 已知点D（3，0），点E（m，m+2），点T（x，y）是点D和E的衍生点． （1）若点E（4，6），则点T的坐标为 　 　； （2）请直接写出点T的坐标（用m表示）； （3）若直线ET交x轴于点H，当∠DHT＝90°时，求点E的坐标． 【分析】（1）根据“衍生点”的定义求出T点的横、纵坐标． （2）根据“衍生点”的定义分别用含m的代数式表示出T点的横、纵坐标． （3）垂直于x轴的直线上的点横坐标相等，进而求出m的值和E点的坐标． 【解答】解：（1）， 2， 所以T的坐标为（，2）． 故答案为（，2）． （2）T的横坐标为：， T的纵坐标为：． 所以T的坐标为：（，）． （3） 因为∠DHT＝90°， 所以点E与点T的横坐标相同． 所以m， m． m+2． E点坐标为（，）． 【考点5 坐标与图形综合·7题】 1．（2024秋•郑州期中）如图，从点M（0，3）发出一束光，经x轴反射，过点N（6，5），则这束光从点M到点N所经过的路径的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12.5 【分析】过点M作x轴的对称点E，根据轴对称的性质得出这束光从点M到点N所经过的路径的长与EN长相等即可解决问题． 【解答】解：过点M作x轴的对称点E，连接EN， 根据轴对称的性质可知， 点E，点F，点N在一条直线上，且MF＝EF， 所以这束光从点M到点N所经过的路径的长与EN长相等． 因为点M坐标为（0，3）， 所以点E的坐标为（0，﹣3）． 过点N作y轴的垂线，垂足为H， 因为点N坐标为（6，5）， 所以NH＝6，HE＝5﹣（﹣3）＝8． 在Rt△NHE中， EN， 所以这束光从点M到点N所经过的路径长为10． 故选：C． 2．（2024秋•历城区期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，2），过点A作AB⊥y轴于点B，连接OA，作△ABO关于直线AO的对称图形，得到△AEO，AE交x轴于点F，则点F的坐标为（　　） A． B． C．（3，0） D． 【分析】过点A作x轴的垂线，利用轴对称的性质求出点F到垂足的距离即可解决问题． 【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为M， 由对称可知， ∠BAO＝∠EAO． ∵点A坐标为（4，2），且AB⊥y轴，AM⊥x轴， ∴OM＝AB＝4，AM＝BO＝2． ∵AB∥x轴， ∴∠BAO＝∠FOA， ∴∠FOA＝∠EAO， ∴FO＝FA， ∴FM＝4﹣OF＝4﹣AF． 在Rt△AFM中， 22+（4﹣AF）2＝AF2， 解得AF， ∴OF＝AF， ∴点F的坐标为（）． 故选：B． 3．（2024秋•城关区校级期中）已知，如图在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°，则∠OED的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【分析】先根据平行线的性质求出∠AOB的度数，由直角三角形的性质得出∠BOC的度数，再根据点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上得出OB是线段AD的垂直平分线，故可得出∠BOD的度数，进而得出∠DOC的度数，由点E与点O关于直线BC对称可知BC是OE的垂直平分线，故可得出∠DOC＝∠OED． 【解答】解：连接OD， ∵BC⊥x轴于点C，∠OBC＝35°， ∴∠AOB＝∠OBC＝35°，∠BOC＝90°﹣35°＝55°， ∵点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上， ∴OB是线段AD的垂直平分线， ∴∠BOD＝∠AOB＝35°， ∴∠DOC＝∠BOC﹣∠BOD＝55°﹣35°＝20°， ∵点E与点O关于直线BC对称， ∴BC是OE的垂直平分线， ∴∠DOC＝∠OED＝20°． 故选：D． 4．（2024秋•南昌期中）如图，将一块等腰直角三角尺按如图所示放置在平面直角坐标系中，已知直角顶点C的坐标为（1，2），点A（a，b）在第二象限，则点B的坐标为（　　） A．（3﹣b，a+1） B．（b﹣3，a+1） C．（2﹣a，3﹣b） D．（2+a，b﹣3） 【分析】过点C作x轴的平行线，再分别过点A作此直线的垂线，最后根据全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【解答】解：过点C作x轴的平行线，再分别过点A和点B作此直线的垂线，垂足分别为M，N， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴CA＝CB，∠ACB＝90°． ∵AM⊥MN，BN⊥MN， ∴∠AMC＝∠CNB＝90°， ∴∠MAC+∠MCA＝∠NCB+∠MCA， ∴∠MAC＝∠NCB． 在△AMC和△CNB中， ， ∴△AMC≌△CNB（AAS）， ∴NC＝MA，NB＝MC． ∵点C坐标为（1，2），点A坐标为（a，b）， ∴NC＝MA＝2﹣b，NB＝MC＝1﹣a， ∴1+2﹣b＝3﹣b，2﹣（1﹣a）＝a+1， ∴点B的坐标为（3﹣b，a+1）． 故选：A． 5．（2024•泗水县二模）如图，在△AOB中，OA＝OB＝8，点C的坐标为（0，2），点P是OB上一动点，连接CP，将CP绕C点逆时针旋转90°得到线段CD，使点D恰好落在AB上，则点D的坐标为（　　） A．（2，4） B．（6，2） C．（2，5） D．（2，6） 【分析】过点D作y轴的垂线，构造出全等三角形即可解决问题． 【解答】解：过点D作y轴的垂线，垂足为M， 由旋转可知， CD＝CP，∠DCP＝90°， ∴∠DCM+∠PCO＝90°， 又∵∠PCO+∠CPO＝90°， ∴∠DCM＝∠CPO． 在△DCM和△CPO中， ， ∴△DCM≌△CPO（AAS）， ∴DM＝CO． ∵点C的坐标为（0，2）， ∴DM＝OC＝2． ∵OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠BAO＝45°， ∴∠BAO＝∠ADM＝45°， ∴AM＝DM＝2， ∴MO＝8﹣2＝6， ∴点D的坐标为（2，6）． 故选：D． 6．（2024秋•南山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，y），连接AB，过点A作AC⊥AB．若AC＝AB，x轴上的一点M（﹣6，0），连接CM，当点B在y轴上移动时，CM的最小值为 　 　． 【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，根据“AAS”证明△ACD≌△BAO，从而得到CD＝AO＝8，进而得出点C在平行于x轴与x轴距离为8的直线上运动，则当MC垂直于这条直线时，MC最短，求解即可． 【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D， 在△ACD和△BAO中， ， ∴△ACD≌△BAO（AAS）， ∴CD＝AO， ∵A（8，0）， ∴CD＝AO＝8， ∴点C在平行于x轴与x轴距离为8的直线上运动， 如图：当MC垂直于这条直线时，MC最短，此时CM＝CD＝8， 故答案为：8． 7．（2024秋•大兴区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（0，3），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为 　　． 【分析】如图，作CH⊥x轴于H．利用全等三角形的性质证明AH＝OB＝3，CH＝OA＝2即可解决问题． 【解答】解：如图，作CH⊥x轴于H． ∵A（2，0），B（0，3）， ∴OA＝2，OB＝3， ∵∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°， ∴∠BAO+∠HAC＝90°，∠HAC+∠ACH＝90°， ∴∠BAO＝∠ACH， ∵AB＝AC， ∴△ABO≌△CAH（AAS）， ∴AH＝OB＝3，CH＝OA＝2， ∴OH＝OA+AH＝3+2＝5， ∴C（5，2）， ∴OC， 故答案为：． 【考点6 坐标与面积综合·7题】 1．（2024秋•浦东新区校级期中）在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点M（x1，y1）和点N（x2，y2），若x1＝x2，则MN∥y轴，且线段MN的长度为|y1﹣y2|，若y1＝y2，则MN∥x轴，且线段MN的长度为|x1﹣x2|． 【实践操作】 （1）若点M（﹣1，1），N（2，1），则MN∥x轴，MN的长度为　 　；若点M（1，0），且MN∥y轴，且MN＝2，则点N的坐标为　 　． 【拓展应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，2），C（0，﹣3）． ①如图1，△ABC的面积为　 　； ②如图2，点D在线段AB上，将点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标． 【分析】（1）根据材料给的与坐标轴平行直线上两点的距离公式求解即可； （2）①先计算BC，OA，再利用面积公式计算即可； ②设D（m，n），由等积法，得到m＝2n﹣4，再结合图形，利用S△AOC+S△AOE+S△COE＝S△ACE得到点D的坐标． 【解答】解：（1）由题意可得：MN＝2﹣（﹣1）＝3， ∵M（1，0），MN∥y，MN＝2， ∴|0﹣yN|＝2， ∴yN＝﹣2或yN＝2， N（1，﹣2）或N（1，2）； 故答案为：3；N（1，2）或N（1，﹣2） （2）①∵A（﹣4，0），B（0，2），C（0，﹣3）， ∴BC＝2﹣（﹣3）＝5，OA＝4， ， ②连接OD，OE， 设D（m，n）， ∵S△AOB＝S△AOD+S△DOB， ∴， ∴m＝2n﹣4， 根据平移的性质可得：E（2n﹣1，n）， ∵S△AOC+S△AOE+S△COE＝S△ACE， ， ∴， ∴， ∴． 2．（2024秋•辽阳月考）如图1，已知在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，3），将线段AB向右平移4个单位长度至OC的位置，连BC． （1）直接写出点C的坐标　 　； （2）如图2，作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E（1，0），作EF⊥x轴交BC于点F，交AC于点，动点P从F点开始，以每秒1个单位长度沿射线FE运动，设时间为t秒，连接AC． ①试问：△PCD的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由； ②当△PCA的面积为时，求t的值及此时点P的坐标． 【分析】（1）根据题意利用平移的性质直接写出平移后的点坐标即可； （2）根据题意可知△PCD的面积为定值，利用面积公式将CD作为底，点P到CD距离为高，继而求得面积； （3）设点P的坐标为（1，m），利用动点三角形面积公式列式继而求出m的值即可，继而求出点P的坐标和运动时间t． 【解答】解：（1）∵BC＝4， ∴C（4，3）， 故答案为：（4，3）； （2）①△PCD的面积是定值，证明： ∵C（4，3），D（4，0）， ∴CD＝3， ∵动点P从F点开始，以每秒1个单位长度沿射线FE运动， ∴点P到CD距离为△PCD高，且恒为定值， ∵E（1，0）， ∴DE＝3， ∴点P到CD距离为3， ∴； ②设点P的坐标为（1，m）， ∵A（﹣4，0），C（4，3），点E（1，0），作EF⊥x轴交BC于点F，， ∴ ∵△PCA的面积为， ∴， ∴m＝6（舍）或， ∴点P的坐标为， ∴t的值为：． 3．（2024春•咸安区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，2），点C坐标C（m，n）满足，连接AC，BC，OC． （1）四边形OACB的面积为 　 　； （2）点D是x轴上一个动点，当三角形ADC的面积为10时，求点D的坐标； （3）将线段AC平移至线段PQ（点C的对应点为P，点A的对应点为Q），且点P在线段OB上，当三角形PAC的面积为时，求点Q的坐标． 【分析】（1）根据非负数的性质可得m﹣3＝0，n﹣4＝0，进而可得点C的坐标为（3，4）．利用割补法求四边形OACB的面积即可． （2）设点D的坐标为（m，0），根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案． （3）设点P的坐标为（0，a），0≤a≤2，根据题意可列方程为，可得a＝1，则点P的坐标为（0，1），即线段AC是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度得到线段PQ，结合平移的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵， ∴m﹣3＝0，n﹣4＝0， 解得m＝3，n＝4， ∴点C的坐标为（3，4）． ∴四边形OACB的面积为S△AOC+S△BOC8+3＝11． 故答案为：11． （2）设点D的坐标为（m，0）， ∵三角形ADC的面积为10， ∴， 解得m＝9或﹣1， ∴点D的坐标为（9，0）或（﹣1，0）． （3）如图， ∵点P在线段OB上， ∴设点P的坐标为（0，a），0≤a≤2， ∴三角形PAC的面积为S四边形OACB﹣S△PBC﹣S△AOP， 解得a＝1， ∴点P的坐标为（0，1）， ∴线段AC是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度得到线段PQ， ∴点A的对应点Q的坐标为（1，﹣3）． 4．（2024春•东安区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段OA与OB的长满足等式． （1）求线段OA，OB的长； （2）若点C的坐标为（﹣1，2），连接AC，BC，则△ABC的面积为 　 　； （3）若点D在线段AB上，且AD＝2BD，点Q在x轴上且S△ADQ＝10，请直接写出点D的坐标 　 　，点Q的坐标 　 　． （数学活动小组的同学发现：可连接OD，△OBD的面积是△OAB面积的，△OAD的面积是△OAB面积的，利用其面积即可求出点D坐标．） 【分析】（1）根据非负数的性质得OB﹣3＝0，OB﹣2OA+9＝0，据此可得出OA，OB的长； （2）过点C作CE⊥x轴于E，则OE＝1，CE＝2，BE＝4，进而得S梯形AOEC＝4，S△AOB＝9，S△BCE＝4，然后根据S△ABC＝S梯形AOEC+S△AOB﹣S△BCE可得出答案； （3）连接OD，过点D作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，根据点D在线段AB上，且AD＝2BD，得，，进而得S△AODS△AOB，S△BODS△AOB，则6×DM9，3×DN9，由此可求出DM＝2，DN＝2，进而可得点D的坐标；根据点Q在x轴上且S△ADQ＝10，可分为两种情况：①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作DP⊥x轴于P，则DP＝2设OQ＝a，则BQ＝3+a，进而得S△ABQ＝9+3a，S△BQD＝3+a，然后根据S△ABQ﹣S△BQD＝S△ADQ＝10得9+3a﹣（3+a）＝10，由此解出a＝2即可得点Q的坐标；①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作DP⊥x轴于P，设OQ＝a，则OQ＝3+a，进而得S△AOQ＝9+3a，S△BQD＝a，然后根据S△AOQ﹣S△AOB﹣S△BQD＝S△ADQ＝10得9+3a﹣9﹣a＝10，由此解出a＝5，则OQ＝8，据此可得点Q的坐标，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）∵√，|OB﹣2OA+9|≥0， 又∵， ∴OB﹣3＝0，OB﹣2OA+9＝0， 由OB﹣3＝0，解得：OB＝3， 将OB＝3代入OB﹣2OA+9＝0，得：OA＝6， 故OB＝3，OA＝6； （2）过点C作CE⊥x轴于E，如图1所示： ∵点C的坐标为（﹣1，2）， ∴OE＝1，CE＝2， ∴BE＝OB+OE＝4， ∴S梯形AOEC（2+6）×1＝4，S△AOB3×6＝9，S△BCE4×2＝4， ∴S△ABC＝S梯形AOEC+S△AOB﹣S△BCE＝4+9﹣4＝9； 故答案为：9． （3）连接OD，过点D作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，如图2所示： ∵点D在线段AB上，且AD＝2BD， ∴AB＝AD+BD＝3BD， ∴，， ∴，， ∴S△AODS△AOB，S△BODS△AOB， 由（2）可知：S△AOB＝9， ∴6×DM9，3×DN9， ∴DM＝2，DN＝2， ∴点D的坐标为（2，2）； ∵点Q在x轴上且S△ADQ＝10， ∴有以下两种情况： ①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作DP⊥x轴于P，如图3所示： ∵点D的坐标为（2，2），则DP＝2 设OQ＝a，则BQ＝OB+OQ＝3+a， ∴S△ABQBQ•OA（3+a）×6＝9+3a，S△BQDBQ•DP（3+a）×2＝3+a， ∵S△ADQ＝10， ∴S△ABQ﹣S△BQD＝S△ADQ＝10， ∴9+3a﹣（3+a）＝10， 解得：a＝2 ∴点Q的坐标为（﹣2，0）； ①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作DP⊥x轴于P，如图4所示： 设OQ＝a，则OQ＝OB+BQ＝3+a， ∴S△AOQOQ•OA（3+a）×6＝9+3a，S△BQDBQ•DPa×2＝a， ∵S△ADQ＝10，S△AOB＝9， ∴S△AOQ﹣S△AOB﹣S△BQD＝S△ADQ＝10， ∴9+3a﹣9﹣a＝10， 解得：a＝5， ∴OQ＝3+a＝8 ∴点Q的坐标为（8，0）， 综上所述：点Q的坐标为（﹣2，0）或（8，0）． 5．（2024春•西平县期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　 　）、B（ 　 　）、C（ 　 ）； ②直接写出三角形AOH的面积 　 　． （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n． （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 【分析】（1）①利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论． ②利用三角形面积公式求解即可． （2）连接DH，根据△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，构建关系式，可得结论． （3）分两种情形：①当点P在线段OB上，②当点P在BO的延长线上时，分别利用面积关系，构建方程，可得结论． 【解答】（1）解：①∵， 又∵0，（b﹣3）2≥0， ∴a＝4，b＝3， ∴A（1，4），B（3，0），C（（2，﹣4）， 故答案为：1，4；3，0；2，﹣4． ②△AOH的面积1×4＝2， 故答案为：2． （2）证明：如图，连接DH． ∵△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积， ∴1×n4×（1﹣m）＝2， ∴4m＝n． （3）解：①当点P在线段OB上，（3﹣2t）×42t， 解得t＝1.2． 此时P（0.6，0）． ②当点P在BO的延长线上时，（2t﹣3）×42×t， 解得t＝2， 此时P（﹣1，0）， 综上所述，t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）． 6．（2024春•安州区期末）已知，实数m，n，t满足m2+n2﹣12m﹣16n+100+|t﹣2|＝0． （1）求m，n，t的值； （2）如图，在平面直角坐标系中，A，B都是x轴正半轴上的点，C，D都是y轴正半轴上的点（点D在C上面），∠CBD＝45°，∠BCD+∠DAO＝180°． ①如图（1），若点A与B重合，CD＝n，求B点的坐标； ②如图（2），若点A与B不重合，AD＝m，BC＝t，求△CBD的面积． 【分析】（1）依据题意，由m2+n2﹣12m﹣16n+100+|t﹣2|＝（m﹣6）2+（n﹣8）2+|t﹣2|＝0，从而m﹣6＝0，n﹣8＝0，t﹣2＝0，进而计算可以得解； （2）①依据题意，由∠BCD+∠DAO＝180°，∠DAO+∠AOD+∠ADO＝180°，∠BCD＝∠AOD+∠OBC，从而∠OBC＝∠ADO，再设∠OBC＝∠ADO＝x°，可得∠OBC＝∠ADO＝22.5°，又过点C作CH⊥AD于H，CH的反向延长线交y轴于点E，∠CBD＝45°，可得AH＝CH，进而可得△AEH≌△CDH（AAS），从而AE＝CD＝n＝8，又∠CAE＝∠CEA＝22.5°，则AC＝EC，最后可得AO＝OEAE＝4，进而可以得解． ②依据题意，过D作DE⊥BC于E，并延长交y轴于点G，又∠CBD＝45°，∠BED＝90°，从而∠BDE＝∠CBD＝45°，故BE＝DE，再证得△BEG≌△DEC（AAS），从而EG＝EC．又∠OBC＝∠ADO，结合∠OBC+∠BGE＝90°，∠ADO+∠OAD＝90°，可得∠BGE＝∠OAD，故AD＝GD＝m＝6，此时设DE＝BE＝x，又BC＝t＝2，借助DG﹣DE＝BE﹣BC得方程6﹣x＝x﹣2，求出DE＝4，故可得S△BCDBC•DE计算得解． 【解答】解：（1）∵m2+n2﹣12m﹣16n+100+|t﹣2|＝（m﹣6）2+（n﹣8）2+|t﹣2|＝0． ∴m﹣6＝0，n﹣8＝0，t﹣2＝0， 解得：m＝6，n＝8，t＝2． （2）①∵∠BCD+∠DAO＝180°，∠DAO+∠AOD+∠ADO＝180°，∠BCD＝∠AOD+∠OBC， ∴∠OBC＝∠ADO． 设∠OBC＝∠ADO＝x°， ∵∠ADO+∠DAO＝90°， ∴2x°+45°＝90°． ∴x＝22.5． ∴∠OBC＝∠ADO＝22.5°． 如图，过点C作CH⊥AD于H，CH的反向延长线交y轴于点E． ∵∠CBD＝45°， ∴∠ACH＝∠CBD＝45°． ∴AH＝CH． 又由题意，∠EAH＝∠DCH＝67.5°， ∴∠AEH＝∠CDH＝22.5°． ∴△AEH≌△CDH（AAS）． ∴AE＝CD＝n＝8． 又∠CAE＝∠CEA＝22.5°， ∴AC＝EC． 又OC⊥AE， ∴AO＝OEAE＝4． ∴B（4，0）． ②如图，过D作DE⊥BC于E，并延长交x轴于点G． ∵∠CBD＝45°，∠BED＝90°， ∴∠BDE＝∠CBD＝45°． ∴BE＝DE． ∵∠OBC+∠BCO＝90°，∠OBC+∠BGE＝90°， ∴∠BCO＝∠BGE＝∠DCE． 又∠BEG＝∠DEC＝90°， ∴△BEG≌△DEC（AAS）． ∴EG＝EC． ∵∠BCD+∠DAO＝180°，∠DAO+∠AOD+∠ADO＝180°，∠BCD＝∠AOD+∠OBC， ∴∠OBC＝∠ADO． ∵∠OBC+∠BGE＝90°，∠ADO+∠OAD＝90°， ∴∠BGE＝∠OAD． ∴AD＝GD＝m＝6． 设DE＝BE＝x， 又BC＝t＝2， ∵GE＝CE， ∴DG﹣DE＝BE﹣BC． ∴6﹣x＝x﹣2． ∴x＝4，即DE＝4． ∴S△BCDBC•DE2×4＝4． 7．（2024春•天河区校级期中）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0）．且a，b满足|a+3|+（a﹣2b+7）2＝0，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K． （1）点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CK上移动时（不与A，C重合），请找出∠PQD，∠OPQ，∠POB的数量关系，并证明你的结论． （2）连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使△MAD的面积与△ACD的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 【分析】（1）根据平方与绝对值的非负性即可求出a、b的值，过点P作PE∥AB，由平移的性质可得AB∥CD，利用平行线的性质即可求解； （2）先求出△ACD的面积，再根据Q在x轴上与y轴上分别求解． 【解答】解：（1）∠PQD+∠OPQ+∠POB＝360°，证明如下： 证明：∵|a+3|+（a﹣2b+7）2＝0 ∴a+3＝0，a﹣2b+7＝0，解得a＝﹣3，b＝2， ∴A（﹣3，0），B（2，0）， ∵将点A、B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到对应点C、D， ∴C（﹣5，2），D（0，2）， 过点P作PE∥AB，由平移的性质可得AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠PQD+∠EPQ＝180°，∠OPE+∠POB＝180°， ∴∠PQD+∠EPQ+∠OPE+∠POB＝360°， 即∠PQD+∠OPQ+∠POB＝360°． （2）存在，M点坐标为（﹣8，0），（2，0），，．理由如下：△ACD的面积为， ①M在x轴上，根据△MAD的高与△ACD相等的高， ∴AM＝CD＝5， ∴点M坐标为（﹣8，0），（2，0）， ②M在y轴上，△MAD的高为AO＝3，△MAD的面积为5， 即 ∴ 又∵D（0，2）， ∴点M坐标为，． 故存在符合条件的M点坐标为（﹣8，0），（2，0），，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$