精品解析：四川省仁寿县铧强中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

27届高一上学期期中考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则下列正确表示A和关系的韦恩图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递减，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数 的单调递增区间是（　　　） A. B. [1，） C. [2，） D. [4，） 6. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） A. B. C. D. 7. 用表示a，b，c三个数中的最小值，则函数的最大值是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 10. 以下结论正确的是（ ） A. 若，则的最小值是2 B. 若且，则 C. 的最小值是2 D. 若，且，则 11. 下列说法正确的有（ ） A. 函数在其定义域内是减函数 B. 命题“”否定是“” C. 两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件 D. 若为奇函数，则为偶函数 12. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：；，当时，都有；.则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C 若，则 D. ，，使得 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13 集合，且，则实数m=________. 14. 若命题“都有”是假命题，则实数的取值范围是_______. 15. 已知定义在上的奇函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为______． 16. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过x的最大整数，如，，[2]=2，则关于x的不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，. （1）当时，求； （2）当时，若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． （1）现已画出函数在轴左侧的图象，请补全函数的图象，并根据图象写出函数的单调递增区间； （2）求出函数的解析式． 19. 已知关于的不等式，其中为参数. （1）从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知，使得不等式有非空解集，并求此不等式的解集； 条件①：；条件②：；条件③：. （2）若不等式的解集为，求的取值范围. 20. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调查发现，某水果树的单株产量（单位：千克）与施用发酵有机肥（单位：千克）满足如下关系：，单株发酵有机肥及其它成本总投入为元．已知该水果的市场售价为25元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求函数的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 21. 已知函数 （1）我们在教材79页例3曾学习研究过函数的有关性质，试对比着将函数通过换元化为上述函数的情形，并求的最小值； （2）判断在上的单调性，并用定义加以证明． 22. 已知函数，其中为常数 （1）若，设函数，若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （2）求函数在上的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 27届高一上学期期中考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列出函数有意义的条件，解不等式组即可. 【详解】函数有意义，则有，解得且，所以函数定义域为， 故选：C． 2. 已知集合，，则下列正确表示A和关系的韦恩图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，明确集合，根据集合，的关系进行判断. 【详解】由或， 所以 所以. 故选：D 3. 已知函数则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先换元，转化为关于的二次函数，即可求得函数的解析式 【详解】解：令，则，则， 故， 故选：D 4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数是上的减函数，则每一段都是减函数且左侧的函数值不小于右侧的函数值. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 5. 函数 的单调递增区间是（　　　） A. B. [1，） C. [2，） D. [4，） 【答案】C 【解析】 【分析】先求得函数的定义域为，再结合二次函数性质和复合函数单调性的判定方法，即可求解. 【详解】令，解得或， 即函数的定义域为， 又函数表示开口向上，对称轴方程为的抛物线， 且在上单调递增，又因为函数在上单调递增， 所以函数单调增区间是. 故选：C. 6. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一开始离学校最远，排除部分选项，再根据跑和走离学校的距离减少的较慢判断. 【详解】首先一开始离学校最远，则CD错误； 开始是跑，所以在较短的时间内离学校的距离减少的较快， 而后是走，所以离学校的距离减少的较慢， 故选：B 7. 用表示a，b，c三个数中的最小值，则函数的最大值是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】画出的图像，观察图像即可得答案 【详解】在一个坐标系中画出的图像，从左到右，取横坐标对应的纵坐标小的点构成新的图像，如图： 其中A点，即与交点，其纵坐标即为所求 联立，解得， 函数的最大值为3 故选：C. 8. 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出每个函数的值域，将原问题转化为子集问题，列出不等式组求解即可. 【详解】易知对称轴为，故，易知，， 可得，而，故在上单调递增， 且， ，故， 故是的子集， 可得，解得，故B正确. 故选：B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用不等式的性质依次判断选项即可. 【详解】对选项A，如果，当时，，故A错误. 对选项B，如果，当时，，故B错误. 对选项C，如果，当时，，故C错误， 对选项D，，则，所以，故D正确. 故选：ABC 10. 以下结论正确的是（ ） A. 若，则的最小值是2 B. 若且，则 C. 的最小值是2 D. 若，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】使用基本不等式(均值不等式)及其取等号的条件进行判断即可. 【详解】对于A，因为，所以当时，，当且仅当即时等号成立；当时，，当且仅当即时等号成立，所以A错误. 对于B，因为，所以，，所以，当且仅当即时等号成立，所以B正确. 对于C，，当且仅当时等号成立，但无实数解，故的最小值不是2，所以C错误. 对于D，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以D正确. 故选：BD. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 函数在其定义域内是减函数 B. 命题“”的否定是“” C. 两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件 D. 若为奇函数，则为偶函数 【答案】BD 【解析】 【分析】直接结合函数的定义域，利用函数的单调性和奇偶性判断A、D的正误，利用命题的否定判断B的正误，利用充分条件和必要条件的定义判断C的正误. 【详解】对于A：函数的定义域为， 所以函数在和上都为单调递减函数， 但在整个定义域内不是减函数，故A错误； 对于B：命题“”否定是“”，故B正确； 对于C：两个三角形全等，则两个三角形必相似， 但是两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等， 则两个三角形全等是两个三角形相似的充分不必要条件，故C错误； 对于D：若为奇函数，且函数也为奇函数， ∵，则函数为偶函数，故D正确. 故选：BD. 12. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：；，当时，都有；.则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的单调性，奇偶性以及最值的应用，对每个选项进行注意判断，即可选择. 【详解】因为函数定义在上的函数， 所以由：，得函数为偶函数． 又因为由知：，，当时，都有，所以函数在上单调递减． 对：因为函数为偶函数，所以， 而函数在上单调递减，因此，即，故正确； 对：因为定义在上的偶函数在上单调递减且连续，且， 所以，解得或，故错误； 对：因为，函数为偶函数，所以． 因为函数为偶函数，在单调递减， 当时，令，解得；当时，令，解得， 所以由，得或，故正确； 对：由知：是函数的最大值， 因此，，使得，故正确. 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 集合，且，则实数m=________. 【答案】1或##或1 【解析】 【分析】由题意可得，求出， 【详解】因为，且， 所以， 由，得，解得或 故答案为：1或 14. 若命题“都有”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用命题的否定和一元二次方程的解的应用求出结果． 【详解】解：命题“，都有 ”是假命题，则命题“，，使得 ”成立是真命题， 故． 由于，，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题解答的关键是根据命题的否定与原命题真假性相反，体现转化思想； 15. 已知定义在上的奇函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】因为奇函数在单调递减， 所以在单调递减，且， 所以在上单调递减， 则等价于，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 16. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过x的最大整数，如，，[2]=2，则关于x的不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式，结合新定义即可得到结果. 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，. （1）当时，求； （2）当时，若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)将代入得，求出即可. (2)化简，将已知条件转化为，列出不等式求解，写出范围. 【小问1详解】 当时，由不等式，得， 故，又 所以. 【小问2详解】 若“”是“”的充分条件，等价于， 因为，由不等式，得 ， 又 要使，则或，又因为 综上可得实数a的取值范围为. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． （1）现已画出函数在轴左侧的图象，请补全函数的图象，并根据图象写出函数的单调递增区间； （2）求出函数的解析式． 【答案】（1）图象见解析，单调递增区间为，. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数是定义在上的偶函数，且当时，画图. （2）设，则，再根据时，结合函数为偶函数求解. 【小问1详解】 ）函数的图象补充完整后，图象如下图所示： 由图可得，单调递增区间为，； 【小问2详解】 当时，，又时，， 所以， 又函数为偶函数， 所以， 所以. 19. 已知关于的不等式，其中为参数. （1）从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知，使得不等式有非空解集，并求此不等式的解集； 条件①：；条件②：；条件③：. （2）若不等式的解集为，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）若选条件①：，不等式为，即，求解即可； 若选条件②：，不等式为即，由根的判断式可判断其无解； 若选条件③：，不等式为，求解即可. （2）分和两种情况讨论可求解答案. 【小问1详解】 解：若选条件①：时，不等式为，即，解得， 所以不等式的解集为； 若选条件②：，不等式为，即，其中，所以不等式无解； 若选条件③：，不等式为，解得或， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 解：当时，不等式为，满足不等式的解集为，故； 当时，要使不等式的解集为，则，解得， 综上得的取值范围为. 20. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调查发现，某水果树的单株产量（单位：千克）与施用发酵有机肥（单位：千克）满足如下关系：，单株发酵有机肥及其它成本总投入为元．已知该水果的市场售价为25元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求函数的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当施用肥料为5千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为390元. 【解析】 【分析】(1)利用：利润收入成本，即可写出的解析式； (2)分别求当和时的最大值，再比较大小，即可得到最大利润. 【小问1详解】 由题意，， 故； 【小问2详解】 当时，， 其对称轴为，故当时，函数取得最大值； 当时，， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为390． 因为， 所以当施用肥料为5千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为390元． 21. 已知函数 （1）我们在教材79页例3曾学习研究过函数的有关性质，试对比着将函数通过换元化为上述函数的情形，并求的最小值； （2）判断在上的单调性，并用定义加以证明． 【答案】（1）（其中）；最小值为； （2）函数在上单调递减，证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，，利用换元法整理，再利用基本不等式对的最小值即可； （2）利用函数单调性的定义，结合作差，可得答案 【小问1详解】 设，则，且， 于是， 又， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以的最小值为； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以设， 则 因为，所以， 有即， 进而可得， 所以函数在上单调递减． 22. 已知函数，其中为常数 （1）若，设函数，若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （2）求函数在上的最大值． 【答案】（1）或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由求出，可得，求出对称轴，根据二次函数的性质列出不等式即可求解； （2）对分类讨论，求出对称轴，结合二次函数在区间上的单调性，利用单调性求最值即可求解. 【小问1详解】 ，解得． 可得，其对称轴方程为， 若在上为增函数，则，解得， 若在上为减函数，则，解得， 综上可知，的取值范围为或． 【小问2详解】 当时函数在上单调递增，最大值是11； 当时，对称轴， 在上单调递增，所以， 当时，对称轴； ①当，即时， 在上单调递减， ②当，即时， ③当，即时， 在上单调递增，， 综上所述，当时，函数的最大值是； 当时，函数的最大值是11； 当时，函数的最大值是； 当时，函数的最大值是； 当时，函数的最大值是； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$