山东省济南市九年级上学期考前示范卷(2)-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学(济南专版)

在△AOC 和△MOB 中, OA=OM, ∠AOC= ∠MOB, OC=OB, { ∴ △AOC≌△MOB(SAS)。 ∴ ∠ACO= ∠MBO。 ∴ ∠CBP1 +∠ACO= ∠CBP1 +∠MBO= ∠ABC。 设直线 BM 的表达式为 y= ex+f, 将点 B(3,0),M(0,1)代入,得 3e+f= 0, f= 1。{ 解得 e= - 1 3 , f= 1。 { ∴ 直线 BM 的表达式为 y= - 1 3 x+1。 联立 y= -x2 +2x+3, y= - 1 3 x+1。{ 得 x= - 2 3 , y= 11 9 ì î í ï ï ï ï 或 x= 3, y= 0。{ ∴ 点 P1 ( - 23 , 11 9 ) 。 ②如图 2,当点 P 在 BC 右侧时。 作△BOC 关于直线 BC 对称的△CBN,CN 交二 次函数 y= -x2 +2x+3 于点 P2 , 则∠CBN = ∠CBO = 45°, ∠N = ∠BOC = 90°, ∠BCO= ∠BCN= 45°。 ∴ ∠OCN= ∠N= ∠OBN= 90°。 ∵ OC=OB, ∴ 四边形 OCNB 是正方形。 ∴ BN= 3。 在 y= -x2 +2x+3 中,令 y= 3,则-x2 +2x= 0。 解得 x= 0 或 2。 ∴ 点 P2(2,3),P2N= 3-2 = 1 =OM。 ∵ OB=NB,∠BOM= ∠BNP2 = 90°, 在△BOM 和△BNP2 中, OM=NP2 , ∠BOM= ∠BNP2 , OB=NB, ì î í ïï ïï ∴ △BOM≌△BNP2(SAS)。 ∴ ∠OBM= ∠NBP2 。 ∴ ∠CBP2 +∠ACO = ∠CBP2 +∠OBM = ∠CBP2 + ∠NBP2 = 45° = ∠ABC。 ∴ 点 P2 在抛物线上,即点 P2 满足条件∠CBP+ ∠ACO= ∠ABC。 ∴ 抛物线上存在点 P,使得 ∠CBP + ∠ACO = ∠ABC,点 P 的坐标分别是 ( - 23 , 11 9 )或(2,3)。 济南市九年级第一学期考前示范卷(二) 1. C　 2. C　 3. A　 4. B　 5. C　 6. C　 7. A　 8. D　 9. C　 10. D 11. 0　 12. (2,1)　 13. -3　 14. 2　 15. π 12 　 16. 2 3 17.解:4sin 60°-6cos 60°tan 30°+sin245° = 4× 3 2 -6× 1 2 × 3 3 + ( 22 ) 2 = 2 3 - 3 + 1 2 = 3 + 1 2 。 18.解:x2 +5x-6 = 0, (x-1)(x+6)= 0, ∴ x-1 = 0 或 x+6 = 0。 解得 x1 = 1,x2 = -6。 19.解:(1)∵ △ABC∽△ACD, ∴ ∠B= ∠ACD= 40°。 ∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠BCD= ∠ACD= 40°。 ∴ ∠ADC= ∠B+∠BCD= 40°+40° = 80°。 (2)∵ △ABC∽△ACD, ∴ AC AD =AB AC 。 ∴ AC AD =AD+BD AC 。 ∴ AC 2 = 2+3 AC 。 ∴ AC= 10 (负值舍去)。 20.解:(1)由图可知,抽取的学生共有 80÷ 40% = 200(人), 其中参加围棋的学生有 200-50-30-80=40(人)。 故答案为 200;40。 (2)3 200× 30 200 = 480(人), ∴ 估计全校参加篮球社团的共有 480 人。 —73— (3)画树状图如下: 由图可知,一共有 20 种等可能的结果,其中恰 好抽到一男一女的结果有 12 种, ∴ 恰好抽到一男一女的概率为12 20 = 3 5 。 21. (1)证明:如图,连接 AC 交 OD 于点 F。 ∵ AD ( =CD ( , ∴ OD⊥AC 且 AF=CF, AD=DC。 ∴ OD 平分∠ADC。 (2)解:∵ AB 为☉O 的直径, ∴ ∠ACB= 90°。 ∵ DE 是☉O 的切线。 ∴ OD⊥DE。 ∴ ∠ODE= 90°。 由(1)知∠CFD= 90°, ∴ 四边形 DECF 为矩形。 ∴ CF=DE= 4。 ∴ AC= 2CF= 8。 在 Rt△ACB 中,∵ tan B= AC BC = 4 3 , ∴ BC= 3 4 ×8 = 6。 ∴ AB= BC2 +AC2 = 62 +82 = 10。 ∴ OD= 5。 ∵ OA=OB,AF=CF, ∴ OF 是△ABC 的中位线, ∴ OF= 1 2 BC= 3。 ∴ DF=OD-OF= 5-3 = 2。 在 Rt △CDF 中,CD = DF2 +CF2 = 22 +42 = 2 5 。 22.解:(1)在 Rt△EFH 中, cos∠FHE=HE HF = 1 2 = 2 2 , ∴ ∠FHE= 45°。 ∴ 篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的∠FHE 的度数为 45°。 (2)如图,延长 FE 交 CB 的延长线于点 M,过点 A 作 AG⊥FM 于点 G,过点 H 作 HN⊥AG 于 点 N。 则四边形 ABMG 和四边形 HNGE 是矩形。 ∴ GM=AB,HN=EG。 在 Rt△ABC 中,tan∠ACB= AB BC , ∴ AB=BC·tan 60° = 1. 3× 3 = 13 3 10 (米)。 ∴ GM=AB= 13 3 10 米。 在 Rt△ANH 中, ∵ ∠FAN= ∠FHE= 45°, ∴ HN=AH·sin 45° = 2 2 × 2 2 = 1 2 (米)。 ∴ EG=HN= 1 2 米。 ∴ EM=EG+GM= 1 2 +13 3 10 ≈2. 75(米)。 ∴ 篮板底部点 E 到地面的距离大约是 2. 75 米。 23.解:(1)y= 160-10x (2)由题意,得(30+x-20)(160-10x)= 1 680。 整理,得 x2 -6x+8 = 0。 解得 x1 = 2,x2 = 4。 当 x= 2 时,30+x= 32,符合题意; 当 x= 4 时,30+x= 34>33,不符合题意,舍去。 ∴ 当计算器售价为 32 元时,商场每周的利润恰 好为 1 680 元。 24.解:(1)∵ 点 B(2,-3)在反比例函数图象上, ∴ k= 2×(-3)= -6。 ∴ 反比例函数表达式为 y= - 6 x 。 —83— ∵ 点 A(m,1)在反比例函数图象上, ∴ 1 = - 6 m 。 解得 m= -6。 ∴ 点 A(-6,1)。 ∵ 点 A(-6,1),B(2,- 3) 在一次函数 y = ax+b 的图象上, 则 -6a+b= 1, 2a+b= -3。{ 解得 a= - 1 2 , b= -2。 { ∴ 一次函数表达式为 y= - 1 2 x-2。 (2)观察函数图象,知不等式 ax+b> k x 的解集为 x<-6 或 0<x<2。 (3)由(1)可知点 C(0,-2), 设点 D (m,- 12 m-2 ) ,则点 E (m,- 6 m ) 。 ∴ ED= - 6 m - ( - 12 m-2 ) = - 6 m + 1 2 m+2。 ∴ S△CDE = 1 2 ×OD·ED = 1 2 × ( -m) × ( - 6m + 1 2 m+2 ) = - 14 (m+2) 2 +4。 当 m= -2 时,S△CDE 最大值为 4。 ∴ 点 E 的坐标为(-2,3)。 25.解:(1)将点 A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)代入 y =ax2 +bx+c(a≠0), 得 a-b+c= 0, 9a+3b+c= 0, c= -3。 ì î í ïï ï 解得 a= 1, b= -2, c= -3。 ì î í ïï ï ∴ 二次函数的表达式为 y= x2 -2x-3。 (2)设直线 BC 的表达式为 y= k1x+b1 , 将点 B(3,0),C(0,-3)代入 y= k1x+b1 , 得 3k1 +b1 = 0, b1 = -3。 { 解得 k1 = 1, b1 = -3。 { ∴ 直线 BC 的表达式为 y= x-3。 设点 M 的横坐标为 t, ∵ 点 M 在 BC 下方的二次函数图象上, ∴ 点 M 的纵坐标为 t2 -2t-3。 ∵ MH⊥x 轴交 BC 于点 N, ∴ 点 N 的横坐标为 t。 ∴ 点 N 的纵坐标为 t-3。 ∴ MN= t-3-( t2 -2t-3)= -t2 +3t = - ( t- 32 ) 2 + 9 4 。 ∴ 当 t= 3 2 时,MN 为最大。 当 t= 3 2 时,t2 -2t-3 = -15 4 。 ∴ 点 M 的坐标为 ( 32 ,- 15 4 ) 。 (3)设直线 BM 的表达式为 y= k2x+b2 , 将点 B(3,0),M ( 32 ,- 15 4 )代入 y= k2x+b2 , 得 3k2 +b2 = 0, 3 2 k2 +b2 = - 15 4 。{ 解得 k2 = 5 2 , b2 = - 15 2 。 ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 BM 的表达式为 y= 5 2 x-15 2 。 当∠QCB= ∠CBM 时,有以下两种情况: ①如图 1,当点 Q 在直线 BC 上方时, 图 1 ∵ ∠QCB= ∠CBM, ∴ CQ∥BM。 设直线 CQ 的表达式为 y= k3x+b3 , 则 k3 = 5 2 ,b3 = -3。 ∴ 直线 CQ 的表达式为 y= 5 2 x-3。 解方程组 y= 5 2 x-3, y= x2 -2x-3, { 得 x1 = 9 2 , y1 = 33 4 ì î í ï ï ï ï 或 x2 = 0, y2 = -3。 { —93— ∴ 点 Q 的坐标为 ( 92 , 33 4 ) 。 ②如图 2,当点 Q 在直线 BC 的下方时, 设 CQ 与 BM 交于点 R,连接 OR。 图 2 ∵ ∠QCB= ∠CBM,∴ RB=RC。 ∵ 点 B(3,0),C(0,-3), ∴ OB=OC= 3。 ∴ OR 为 BC 的垂直平分线,且为∠BOC 的平 分线。 由(2),知点 N 的横坐标为 3 2 , ∴ OH= 3 2 。 ∴ BH=OB-OH= 3- 3 2 = 3 2 。 ∴ H 为 OB 的中点。 ∵ NH∥OC, ∴ N 为 BC 的中点。 ∴ OR 经过点 N。 ∵ OR 为∠BOC 的平分线, ∴ 直线 OR 的表达式为 y= -x。 解方程组 y= -x, y= 5 2 x- 15 2 ,{ 得 x= 15 7 , y= - 15 7 。 ì î í ï ï ï ï ∴ 点 R 的坐标为 ( 157 ,- 15 7 ) 。 设直线 CR 的表达式为 y= k4x+b4 , 将点 C(0,-3),R ( 157 ,- 15 7 )代入 y= k4x+b4 , 得 b4 = -3, 15 7 k4 +b4 = - 15 7 。{ 解得 k4 = 2 5 , b4 = -3。 { ∴ 直线 CR 的表达式为 y= 2 5 x-3。 解方程组 y= 2 5 x-3, y= x2 -2x-3, { 得 x1 = 12 5 , y1 = - 51 25 ì î í ï ï ï ï 或 x2 = 0, y2 = -3。 { ∴ 点 Q 的坐标为 ( 125 ,- 51 25 ) 。 综上 所 述, 点 Q 的 坐 标 为 ( 92 , 33 4 ) 或 ( 125 ,- 51 25 ) 。 26.解:(1)①CF⊥BD;CF=BD ②成立。 理由如下, ∵ ∠FAD= ∠BAC= 90°, ∴ ∠BAD= ∠CAF。 在△BAD 与△CAF 中, AB=AC, ∠BAD= ∠CAF, AD=AF, ì î í ïï ï ∴ △BAD≌△CAF(SAS)。 ∴ BD=CF,∠B= ∠ACF= 45°。 ∴ ∠ACB= ∠ACF= 45°。 ∴ ∠BCF= 90°。 ∴ CF⊥BD。 (2)当∠ACB= 45°时,可得 CF⊥BC。 理由如下: 如图,过点 A 作 AC 的垂线与 CB 所在直线交于 点 G。 ∵ ∠ACB= 45°, ∴ ∠AGC= ∠ACG= 45°,AG=AC。 ∵ AG=AC,AD=AF, ∵ ∠GAD= ∠GAC-∠DAC= 90°-∠DAC, ∠FAC= ∠FAD-∠DAC= 90°-∠DAC, ∴ ∠GAD= ∠FAC。 ∴ △GAD≌△CAF(SAS)。 ∴ ∠AGD= ∠ACF= 45°。 ∴ ∠GCF= ∠GCA+∠ACF= 45°+45° = 90°。 ∴ CF⊥BC。 —04— 济南市九年级第一学期考前示范卷(二) (时间:120 分钟　 满分:150 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 古代中国建筑之魂———传统的榫卯结构。 榫卯是中国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构 方式,是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式。 如图所示是榫卯结构中的一个部 件,它的主视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 第 1 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 7 题图 　 　 第 9 题图 2. sin 45°+cos 45°的值为 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 3. 点 A(2,y1),B(3,y2),C( -1,y3)在反比例函数 y= 2 x 的图象上,y1,y2,y3 的大小关系 (　 　 ) A. y1 >y2 >y3 B. y2 >y3 >y1 C. y3 >y2 >y1 D. y1 >y3 >y2 4. 如图,点 A,B,C 在☉O 上,☉O 的半径为 2,BC∥OA,连接 BO 并延长,交☉O 于点 D,连接 AC,DC, 若∠A= 30°,则 CD 的长为 (　 　 ) A. 2 B. 2 3 C. 3 3 D. 3 3 2 5. 在一个不透明的塑料袋中装有红色球、白色球共 40 个,除颜色外其他都相同。 小明通过多次摸球 试验后发现,摸到红色球的频率稳定在 20%左右,则塑料袋中红色球可能有 (　 　 ) A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个 6. 若关于 x 的方程 x2 +2x-m= 0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是 (　 　 ) A. m>- 1 4 B. m<-1 C. m>-1 D. m≥-1 7. 如图,△ABC 与△A′B′C′位似,位似中心为点 O,OC′ ∶ CC′= 3 ∶ 1,△A′B′C′的面积为 27,则△ABC 的面积为 (　 　 ) A. 48 B. 24 C. 32 D. 9 16 8. 在平面直角坐标系中,一次函数 y=mx-n 和二次函数 y=mx2 +nx 可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 9. 如图,☉O 与 x 轴交于点 A,B,与 y 轴交于点 C,D,P 为☉O 上一动点,Q 为弦 AP 上一点,且 AQ = 2PQ。 若点 A 的坐标为( -3,0),则 CQ 的最小值为 (　 　 ) A. 3 5 -3 B. 3 2 -2 C. 10 -2 D. 3- 3 10. 定义:在平面直角坐标系中,点 P(x,y)的横、纵坐标的绝对值之和叫做点 P( x,y)的勾股值,记 [P] = | x | + | y | 。 若抛物线 y=ax2 +bx+1 与直线 y= x 只有一个交点 C,已知点 C 在第一象限,且 2 ≤[C]≤4,令 t= 2b2 -4a+2 024,则 t 的取值范围为 (　 　 ) A. 2 023≤t≤2 024 B. 2 020≤t≤2 021 C. 2 021≤t≤2 022 D. 2 022≤t≤2 023 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 若 x y = 1 2 ,则2x -y y = 。 12. 抛物线 y= 3(x-2) 2 +1 的顶点坐标为 。 13. 若关于 x 的一元二次方程 x2 +2x-3 = 0 的两根分别为 x1,x2,则 x1·x2 值是 。 14. 如图,P 是反比例函数 y= 4 x 图象上一点,PA⊥x 轴,PB⊥y 轴,垂足分别为 A,B,交反比例函数 y= k x 的图象于 C,D 两点,△PCD 的面积是 1 2 ,则 k 的值是 。 第 14 题图 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 15. 如图,在▱ABCD 中,∠A= 60°,BC= 1,CD= 3 ,以点 B 为圆心,BC 为半径画弧,分别交 CD,AB 于 点 F,E,再以点 C 为圆心,CD 为半径画弧,恰好交 AB 边于点 E,则图中阴影部分的面积 为 。 16. 如图,在菱形 ABCD 中,∠A= 60°,AB= 4,动点 E,F 分别在线段 AB,BC 上,且 BE=CF,则 EF 的最 小值为 。 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算:4sin 60°-6cos 60°tan 30°+sin245°。 18. (6 分)解一元二次方程:x2 +5x-6 = 0。 19. (6 分)如图,△ABC∽△ACD。 (1)若 CD 平分∠ACB,∠ACD= 40°,求∠ADC 的度数; (2)若 AD= 2,BD= 3,求 AC 的长。 20. (8 分)为扎实推进“五育并举”工作,某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个 社团活动,每个学生只能选择一项活动参加。 为了解活动开展情况,学校随机抽取部分学生进行 了调查,将调查结果绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图。 根据以上信息,回答下列问题: (1)抽取的学生共有 人,其中参加围棋的学生有 人; (2)若该校共有学生 3 200 人,估计全校参加篮球社团的共有多少人; (3)某班有 3 男 2 女共 5 名学生参加足球社团,现从中随机抽取 2 名学生参加学校足球社团,求 恰好抽到一男一女的概率。 社团名称 舞蹈 篮球 围棋 足球 人数 50 30 80 　 　 　 21. (8 分)如图,AB 是☉O 的直径,C,D 是☉O 上两点,且 AD ( =CD ( ,连接 BC 并延长与过点 D 的☉O 的切线相交于点 E,连接 OD。 (1)求证:OD 平分∠ADC; (2)若 DE= 4,tan B= 4 3 ,求 CD 的长。 —32— 22. (8 分)如图 1,2 分别是某款篮球架的实物图与示意图,AB⊥BC 于点 B,底座 BC = 1. 3 米,底座 BC 与支架 AC 所成的角∠ACB= 60°,点 H 在支架 AF 上,篮板底部支架 EH∥BC,EF⊥EH 于点 E, 已知 AH= 2 2 米,HF= 2 米,HE= 1 米。 (1)求篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的∠FHE 的度数; (2)求篮板底部点 E 到地面的距离。 (结果精确到 0. 01 米;参考数据: 2 ≈1. 41, 3 ≈1. 73) 图 1 　 　 　 图 2 23. (10 分)某商场销售一种学生用的计算器,进价为每台 20 元,售价为每台 30 元,每周可卖 160 台。 根 据市场调查,发现如果每台计算器的售价每上涨 1 元,每周就会少卖 10 台,但厂家规定最高每台 售价不能超过 33 元。 (1)设每台售价上涨 x 元,每周的销售量为 y 台,则 y 与 x 之间的函数关系式为　 　 　 　 　 　 　 ; (2)当计算器售价为多少元时,商场每周的利润恰好为 1 680 元? 24. (10 分)如图,一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y = k x 的图象相交于 A(m,1),B(2,-3)两 点,与 y 轴交于点 C。 (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)根据图象直接写出不等式 ax+b> k x 的解集; (3)设 D 为线段 AC 上的一个动点(不包括 A,C 两点),过点 D 作 DE∥y 轴交反比例函数图象于 点 E,当△CDE 的面积最大时,求点 E 的坐标,并求出面积的最大值。 25. (12 分)如图,已知抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交于点 A( -1,0)和点 B(3,0),与 y 轴交于点 C(0,-3)。 (1)求二次函数的表达式; (2)M 是直线 BC 下方的二次函数图象上的一个动点,过点 M 作 MH⊥x 轴于点 H,交 BC 于点 N, 求线段 MN 最大时点 M 的坐标; (3)在(2)的条件下,该抛物线上是否存在点 Q,使得∠QCB = ∠CBM。 若存在,请直接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。 　 　 备用图 26. (12 分)如图 1,在△ABC 中,∠ACB 为锐角,D 为射线 BC 上一动点,连接 AD,以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF。 解答下列问题: (1)如果 AB=AC,∠BAC= 90°, ①如图 2,当点 D 在线段 BC 上时(与点 B 不重合),线段 CF,BD 之间的位置关系为 , 数量关系为 ; ②如图 3,当点 D 在线段 BC 的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,为什么? (2)如果 AB≠AC,∠BAC≠90°,点 D 在线段 BC 上运动。 试探究:当△ABC 满足一个什么条件时, CF⊥BC(点 C,F 重合除外)? 并说明理由。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 —42—