山东省济南市长清区2023-2024学年九年级上学期期末真题卷-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学(济南专版)

长清区九年级第一学期期末真题卷 (时间:120 分钟　 满分:150 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1. 某几何体从三个方向看到的平面图形都相同,这个几何体可以是 (　 　 ) A. B. C. D. 2. 已知∠α 为锐角,且 sin α= 1 2 ,则∠α 的度数为 (　 　 ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3. 抛物线 y= -3x2 +6x+2 的对称轴是 (　 　 ) A. 直线 x= 2 B. 直线 x= -2 C. 直线 x= 1 D. 直线 x= -1 4. 若点( -1,4)在反比例函数 y= k x 的图象上,则下列各点在此函数图象上的是 (　 　 ) A. ( - 1 4 ,1) B. ( -4,-1) C. ( 1 4 ,2) D. ( -4,1) 5. 若 x= -1 是方程 x2 +x+m= 0 的一个根,则此方程的另一个根是 (　 　 ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 6. 大约在两千四五百年前,如图 1,墨子和他的学生做了世界上第 1 个小孔成倒像的实验。 并在《墨 经》中有这样的精彩记录:“景到,在午有端,与景长,说在端”。 如图 2 所示的小孔成像实验中,若 物距为 10 cm,像距为 15 cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是 9 cm,则蜡烛火焰的高度是 (　 　 ) 图 1 　 　 　 图 2 第 6 题图 　 　 　 第 8 题图 A. 6 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm 7. 在今年“十一”期间,小康和小明两家准备从少林寺、龙门石窟、云台山三个著名景点中分别选择 一个景点旅游,他们两家去同一景点旅游的概率是 (　 　 ) A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 4 8. 在同一平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2 与一次函数 y= bx+c 的图象如图所示,则二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 9. 如图,O 为△ABC 的边 AB 上的一点,☉O 经过点 B 且恰好与边 AC 相切于点 C,若∠B = 30°,AC = 3,则阴影部分的面积为 (　 　 ) A. 3 2 - π 2 B. 3 2 -π C. 3 3 2 -π D. 3 3 2 - π 2 10. 已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数 y = x2 +bx+c 的图象上,当 x1 = 1,x2 = 3 时,y1 = y2。 若对于 任意实数 x1,x2 都有 y1 +y2≥2,则 c 的范围是 (　 　 ) A. c≥5 B. c≥6 C. c<5 或 c>6 D. 5<c<6 二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 抛物线 y= -(x+2) 2 -3 的顶点坐标是 。 12. 一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共 200 个,这些球除颜色外都相同。 小明通过 大量随机摸球试验后, 发现摸到红球的频率稳定在 30% 左右, 则可估计红球的个数约 为 。 13. 如图,A,B,C 为☉O 上三点,若∠AOB= 140°,则∠ACB 度数为 °。 第 13 题图 　 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 　 第 15 题图 　 　 　 　 第 16 题图 14. 如图,△ABC 的三个顶点都在正方形网格的格点上,则 cos∠BAC 的值为 。 15. 如图,AB 表示一个窗户,窗户的下端到地面距离 BC= 0. 5 m,AM 和 BN 表示射入室内的光线。 若 某一时刻 BC 在地面的影长 CN= 0. 4 m,AC 在地面的影长 CM= 2 m,则窗户的高度为 。 16. 如图,已知正方形 ABCD,E 为 AB 的中点,F 是边 AD 上的一个动点,连接 EF 将△AEF 沿 EF 折叠 得△HEF,延长 FH 交 BC 于点 M,现在有如下 5 个结论:①△EFM 定是直角三角形;②△BEM≌ △HEM;③当点 M 与点 C 重合时,有 1 3 DF = AF;④MF 平分正方形 ABCD 的面积;⑤4FH·MH = AB2。 在以上 5 个结论中,正确的有 。 (填序号) 三、解答题(本题共 10 小题,共 86 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算:2sin 30°+3cos 60°-4tan 45°。 18. (6 分)解方程:x2 -8x-9 = 0。 19. (6 分)如图,已知 AD∥BE∥CF,它们依次交直线 l1,l2 于点 A,B,C 和点 D,E,F,且 AB= 6,BC= 8, DE= 3,求 DF 的长。 20. (8 分)为了传承中国传统文化,某校七年级组织了一次全体学生“汉字听写”大赛,每位学生听写 汉字 39 个,随机抽取了部分学生的听写结果作为样本进行整理,绘制成如图的统计图表。 组别 正确字数 x /个 人数 A 0≤x<8 10 B 8≤x<16 15 C 16≤x<24 25 D 24≤x<32 m E 32≤x<40 n 　 　 　 　 各组别人数分布比例 根据以上信息完成下列问题: (1)统计表中的 m= ,n= ,并补全条形统计图; (2)扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数是 ; (3)已知该校七年级共有 800 名学生,如果听写正确的字的个数不少于 24 定为合格,请你估计该 校本次听写比赛合格的学生人数。 —31— 21. (8 分)每年 10 月至次年 1 月是赣南脐橙上市的最好季节。 已知某果园 2021 年的脐橙销量为 5 万千克,2023 年销量为 7. 2 万千克,已知每年销量增长率相等,求脐橙的销量增长率是多少。 22. (8 分)图 1 是安装在倾斜屋顶上的热水器,图 2 是热水器的侧面示意图。 已知屋面 AE 的倾斜角 ∠EAD= 22°,真空管 AB 与水平线 AD 的夹角∠BAD = 39°,真空管 AB 的长度为 2. 5 米,安装热水 器的铁架竖直管 CE 的长度为 0. 6 米。 (参考数据:sin 39°≈0. 629,cos 39°≈0. 777,tan 39°≈ 0. 810,sin 22°≈0. 375,cos 22°≈0. 927,tan 22°≈0. 404;结果精确到 0. 1 米) (1)求水平横管 BC 到水平线 AD 的距离; (2)求水平横管 BC 的长度。 图 1 　 　 　 图 2 23. (10 分)如图,已知 AB 是☉O 的直径,直线 DC 是☉O 的切线,切点为 C,AE⊥DC,垂足为 E,连 接 AC。 (1)求证:AC 平分∠BAE; (2)若 AC= 10,tan∠ACE= 3 4 ,求☉O 的半径。 24. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 l:y = 3 4 x+b 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,与双曲线 H:y= k x 交于点 P (2, 92 ),直线 x=m 分别与直线 l 和双曲线 H 交于点 E,D。 (1)求 k 和 b 的值; (2)当点 E 在线段 AB 上时,如果 ED=BO,求 m 的值; (3)C 是 y 轴上一点,如果以点 B,C,D,E 为顶点的四边形是菱形,求点 C 的坐标。 25. (12 分)综合与探究。 如图,抛物线 y= -x2 +bx+c 与 x 轴相交于 A,B 两点,与 y 轴相交于点 C,点 B 的坐标是( -4,0),点 C 的坐标是(0,4),M 是抛物线的顶点。 (1)求抛物线的表达式; (2)P 为线段MB 上的一个动点,过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D,点 D 坐标为(m,0),△PCD 的面积为 S。 ①求△PCD 的面积 S 的最大值; ②在 MB 上是否存在点 P,使△PCD 为直角三角形? 如果存在,请直接写出点 P 的坐标;如果不 存在,请说明理由。 26. (12 分) ( 1) 问题发现:如图 1,在 Rt △ABC 和 Rt △BDE 中, ∠A = ∠DEB = 30°,BC = BE = 3, Rt△BDE 绕点 B 逆时针旋转,H 为 CD 的中点,当点 C 与点 E 重合时,BH 与 AE 的位置关系为 ,BH 与 AE 的数量关系为 ; (2)问题证明:在 Rt△BDE 绕点 B 旋转的过程中,(1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请就图 2 的情形给出证明;若不成立,请说明理由。 (3)拓展应用:在 Rt△BDE 绕点 B 旋转的过程中,当 DE∥BC 时,请直接写出 BH2 的值。 　 　 图 1　 　 　 　 　 图 2 —41— ∴ 直线 BM 的表达式为 y= 3 2 x+3。 ∵ ∠PDC= 90°-∠CDO, ∴ ∠PDC<90°,不可能为直角。 当∠CPD= 90°时,则∠CPD= ∠PDB。 ∴ PC∥x 轴。 ∴ 点 P 的纵坐标为 2。 ∴ 3 2 m+3 = 2。 解得 m= - 2 3 。 ∴ 点 P ( - 23 ,2 ) 。 当∠PCD= 90°时,如图 1,过点 P 作 PK⊥y 轴于 点 K,则∠PKC= 90° = ∠COD。 图 1 ∴ ∠DCO+∠CDO= 90°。 ∵ ∠PCD= 90°,∴ ∠DCO+∠PCK= 90°。 ∴ ∠PCK= ∠CDO。 ∴ △PCK∽△CDO。 ∴ PK CO = CK DO 。 ∵ ∠PDO= ∠PKO= ∠DOK= 90°, ∴ 四边形 PDOK 是矩形。 ∴ PK=DO= -m,OK=PD= 3 2 m+3。 ∴ CK=OK-OC= 3 2 m+3-2 = 3 2 m+1。 ∴ -m 2 = 3 2 m+1 -m 。 解得 m1 = 3- 17 2 ,m2 = 3+ 17 2 。 ∵ -2≤m≤- 1 2 ,∴ m= 3 - 17 2 。 ∴ 3 2 m+3 = 3 2 ×3- 17 2 +3 = 21 -3 17 4 。 ∴ 点 P ( 3- 172 , 21-3 17 4 ) 。 综上所述,当△PCD 为直角三角形时,点 P 的 坐标为 ( - 23 ,2 )或 ( 3- 17 2 ,21 -3 17 4 ) 。 ②如图 2,连接 AC,过点 D 作 DE⊥DC,交 CP 延 长线于点 E,过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F,过点 E 作 EG⊥y 轴于点 G,交 PD 于点 H。 图 2 当 y= 0 时,-x2 -x+2 = 0,解得 x1 = -2,x2 = 1。 ∴ 点 A(1,0)。 在 Rt△OAC 中,OA= 1,OC= 2, ∴ tan∠OCA=OA OC = 1 2 。 ∵ ∠PCD= ∠OCA,∴ tan∠PCD= 1 2 。 ∵ ∠CDE= ∠EFD= ∠DOC= 90°, ∴ ∠FDE+∠ODC= 90°,∠FDE+∠FED= 90°。 ∴ ∠FED= ∠ODC。 ∴ △EFD∽△DOC。 ∴ EF DO =FD OC =ED DC = tan∠PCD= 1 2 。 由题意,得点 P (m, 32 m+3 ) ,D(m,0)。 ∴ EF= - 1 2 m,DF= 1。 由题意,知四边形 EFDH,四边形 EFOG 都是 矩形, ∴ EH=FD= 1,OG=EF= - 1 2 m,EG=FO= 1-m。 ∵ ∠PEH= ∠CEG,∠PHE= ∠CGE= 90°, ∴ △EPH∽△ECG。 ∴ PH CG =EH EG 。 ∴ 3 2 m+3+ 1 2 m 2+ 1 2 m = 1 1-m 。 ∴ m= -3± 41 8 。 ∵ m<0,∴ m= -3- 41 8 。 长清区九年级第一学期期末真题卷 1. C　 2. A　 3. C　 4. D　 5. B　 6. A　 7. B　 8. D　 9. D　 10. A 11. (-2,-3)　 12. 60　 13. 70　 14. 3 5 　 15. 2 m 16. ①②③⑤ —12— 17.解:2sin 30°+3cos 60°-4tan 45° = 2× 1 2 +3× 1 2 -4×1 = - 3 2 。 18.解:x2 -8x-9 = 0,(x-9)(x+1)= 0, ∴ x-9 = 0 或 x+1 = 0。 ∴ x1 = 9,x2 = -1。 19.解:∵ AD∥BE∥CF,∴ AB AC =DE DF 。 ∵ AB= 6,BC= 8,DE= 3,∴ 6 6+8 = 3 DF 。 ∴ DF= 7。 20.解:(1)总人数为 15÷15% = 100, ∴ m=100×30% =30(人),n=100×20% =20(人)。 故答案为 30;20。 补全条形统计图如图所示: (2)∵ 25 100 ×100% = 25% , ∴ 扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数 是 360°×25% = 90°。 故答案为 90°。 (3)800×30 +20 100 = 400(人)。 ∴ 估计该校本次听写比赛合格的学生人数为 400。 21.解:设脐橙的销量增长率是 x。 根据题意,得 5(1+x) 2 = 7. 2。 解得 x1 =0. 2=20%,x2 =-2. 2(不符合题意,舍去)。 ∴ 脐橙的销量增长率是 20% 。 22.解:(1)如图,过点 B 作 BF⊥AD 于点 F, ∴ ∠AFB= 90°。 在 Rt△ABF 中,sin∠BAF=BF AB , ∵ AB= 2. 5 米,∠BAF= 39°, ∴ BF = AB· sin 39° ≈ 2. 5 × 0. 629 = 1. 572 5 ≈1. 6(米)。 ∴ 水平横管 BC 到水平线 AD 的距离约为 1. 6 米。 (2)∵ ∠FBC= ∠BCD= ∠D= 90°, ∴ 四边形 BCDF 为矩形。 ∴ BC=DF,CD=BF= 1. 6 米。 ∵ CE= 0. 6 米, ∴ DE=CD-CE= 1. 6-0. 6 = 1(米)。 在 Rt△ADE 中,tan∠DAE=DE AD , ∵ ∠DAE= 22°, ∴ AD= 1 tan 22° ≈ 1 0. 404 ≈2. 48(米)。 ∵ 在 Rt△ABF 中,cos∠BAF=AF AB , AB= 2. 5 米,∠BAF= 39°, ∴ AF= AB·cos 39° ≈2. 5 × 0. 777 = 1. 942 5≈ 1. 94(米)。 ∴ DF=AD-AF= 2. 48-1. 94 = 0. 54≈0. 5(米)。 ∴ BC=DF= 0. 5 米。 ∴ 水平横管 BC 的长度约为 0. 5 米。 23. (1)证明:如图,连接 OC。 ∵ 直线 DC 是☉O 的切线,切点为 C, ∴ OC⊥DC。 ∵ AE⊥DC,垂足为 E, ∴ OC∥AE。 ∴ ∠EAC= ∠ACO。 ∵ OC=OA, ∴ ∠ACO= ∠OAC。 ∴ ∠EAC= ∠OAC。 ∴ AC 平分∠BAE。 (2)解:如图,连接 BC。 ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°。 ∵ AE⊥DC,由(1)得∠EAC= ∠OAC。 ∴ ∠ABC= ∠ACE。 在 Rt△ABC 中,tan∠ABC= tan∠ACE= 3 4 , ∴ AC BC = 10 BC = 3 4 。 ∴ BC= 40 3 。 在 Rt△ABC 中,AB= AC2 +BC2 = 102 + ( 403 ) 2 = 50 3 , ∵ AB 是半径,∴ 半径 OA= 1 2 AB= 1 2 ×50 3 = 25 3 。 ∴ ☉O 的半径为25 3 。 24.解:(1)把点 P ( 2, 92 )代入 y= k x ,得 9 2 = k 2 。 解得 k= 9。 —22— 把点 P ( 2, 92 )代入 y= 3 4 x+b,得 3 2 +b= 9 2 。 解得 b= 3。 (2)在直线 y= 3 4 x+3 中,令 x= 0,得 y= 3。 ∴ 点 B(0,3)。 ∴ OB= 3。 令 y= 0,得 3 4 x+3 = 0。 解得 x= -4。 ∴ 点 A(-4,0)。 ∵ 直线 x=m 分别与直线 y = 3 4 x+3 和双曲线 y = 9 x 交于点 E,D。 ∴ 点 E (m, 34 m+3 ) ,D (m, 9 m ) 。 ∵ 点 E 在线段 AB 上,∴ -4≤m≤0。 ∴ ED= 3 4 m+3- 9 m 。 ∵ ED=BO,∴ 3 4 m+3- 9 m = 3。 解得 m1 = -2 3 ,m2 = 2 3 。 经检验,m1 = - 2 3 ,m2 = 2 3 都是原方程的解, 但-4≤m≤0, ∴ m= -2 3 。 (3)如图,过点 E 作 EF⊥y 轴于点 F。 ∵ 点 B(0,3),E (m, 34 m+3 ) ,D (m, 9 m ) , ∴ 点 F ( 0, 34 m+3 ) 。 ∴ BE2 = [ 3- ( 34 m+3 ) ] 2 +m2 = 25 16 m2 。 ∴ BE= 5 4 |m | 。 ∵ DE= 3 4 m+3- 9 m ,以点 B,C,D,E 为顶点 的四边形是菱形, ∴ BE=DE=BC。 ∴ 5 4 |m | = 3 4 m+3- 9 m 。 解得 m1 = -3,m2 = 3 2 。 当 m1 = -3 时,点 D(-3,-3),E ( -3, 34 ) , ∴ DE= 3 4 -(-3)= 15 4 。 ∴ BC= 15 4 。 ∴ 点 C ( 0,- 34 ) 。 当 m2 = 3 2 时,点 D ( 32 ,6 ) ,E ( 3 2 ,33 8 ) , ∴ DE= 6-33 8 = 15 8 。 ∴ BC= 15 8 。 ∴ 点 C ( 0,398 ) 。 综上所述,点 C 的坐标为 ( 0,- 34 )或 ( 0, 39 8 ) 。 25.解:(1)∵ 抛物线 y= -x2 +bx+c 经过 B(-4,0),C (0,4)两点, ∴ -16-4b+c= 0, c= 4。{ 解得 b= -3, c= 4。{ ∴ 该抛物线的表达式为 y= -x2 -3x+4。 (2)①∵ y= -x2 -3x+4 = - ( x+ 32 ) 2 +25 4 , ∴ 抛物线的顶点为 M ( - 32 , 25 4 ) 。 设直线 BM 的表达式为 y = kx + d ( k≠ 0),则 -4k+d= 0, - 3 2 k+d= 25 4 。{ 解得 k= 5 2 , d= 10。 { ∴ 直线 BM 的表达式为 y= 5 2 x+10。 由题意,得点 D(m,0),其中-4≤m≤- 3 2 ,设点 P (m, 52 m+10 ) , ∴ PD= 5 2 m+10,OD= -m。 ∴ S△PCD = 1 2 PD·OD = 1 2 ( 5 2 m+ 10 ) ·( -m) = - 5 4 (m+2) 2 +5。 ∵ - 5 4 <0, ∴ 当 m= -2 时,S 取得最大值 5。 ②∵ ∠PDC= 90°-∠CDO, ∴ ∠PDC<90°,不可能为直角。 —32— 当∠CPD= 90°时,则∠CPD= ∠PDB, ∴ PC∥x 轴。 ∴ 5 2 m+10 = 4。 解得 m= -12 5 。 ∴ 点 P ( -125 ,4 ) 。 当∠PCD= 90°时,如图,过点 P 作 PK⊥y 轴于 点 K,则∠PKC= 90° = ∠COD。 ∵ ∠DCO+∠CDO= 90°,∠PCD= 90°, ∴ ∠DCO+∠PCK= 90°。 ∴ ∠PCK= ∠CDO。 ∴ △PCK~ △CDO。 ∴ PK CO = CK DO 。 ∵ ∠PDO= ∠PKO= ∠DOK= 90°, ∴ 四边形 PDOK 是矩形。 ∵ PK=OD= -m,OK=PD= 5 2 m+10 ∴ CK=OK-OC= 5 2 m+10-4 = 5 2 m+6。 ∴ -m 4 = 5 2 m+6 -m 。 解得 m1 = -2,m2 = 12。 ∵ -4≤m≤- 3 2 , ∴ m= -2,OK=PD= 5 2 ×(-2)+10 = 5。 综上所述,当△PCD 为直角三角形时,点 P 的 坐标为 ( -125 ,4 )或(-2,5)。 26.解:(1)在 Rt△ABC 中,BC= 3,∠A= 30°, ∴ AE= 2BC= 6。 在 Rt△CDB 中,∠DCB= 30°, ∴ CD= BC cos 30° = 3 3 2 = 2 3 。 ∵ CH=DH,∴ BH= 1 2 CD= 3 。 ∴ AE BH = 6 3 。 ∴ AE= 2 3BH。 在 Rt△BCD 中,H 是 CD 的中点, ∴ BH=CH=DH。 ∴ ∠DHB= 2∠DEB。 ∵ ∠DEB= 30°,∴ ∠DHB= 60°。 ∴ △BDH 是等边三角形。 ∴ ∠DBH= 60°。 ∴ ∠ABH+∠A= 90°。 ∴ BH⊥AE。 故答案为 BH⊥AE;AE= 2 3BH。 (2)(1)中的结论仍然成立。 证明如下: 如图 1,延长 BH 到点 F 使得 HF=BH,连接 CF。 设 AE 交 BF 于点 O。 图 1 ∵ CH=DH,HF=BH,∠CHF= ∠DHB, ∴ △CHF≌△DHB(SAS)。 ∴ BD=FC,∠F= ∠DBH。 ∴ CF∥BD。 ∵ AB= 3BC,BE= 3BD, ∴ BE= 3CF。 ∴ AB BC =BE CF = 3 。 ∵ CF∥BD,∴ ∠BCF+∠CBD= 180°。 ∵ ∠ABC + ∠DBE = ∠ABD + ∠CBD + ∠CBD + ∠CBE= ∠CBD+∠ABE= 180°, ∴ ∠ABE= ∠BCF。 ∴ △ABE∽△BCF。 ∴ ∠BAE= ∠CBF,AE BF = AB BC = 3 。 ∴ AE= 3BF= 2 3BH。 ∵ ∠CBF+∠ABF= 90°,∴ ∠ABF+∠BAE= 90°。 ∴ ∠AOB= 90°。 ∴ BH⊥AE。 (3)如图 2,当 DE 在 BC 的下方时,延长 AB 交 DE 于点 F。 图 2 ∵ DE∥BC,∴ ∠ABC= ∠BFD= 90°。 由题意,得 BC=BE=3,AB=3 3,BD= 3,DE=2 3。 —42— ∵ 1 2 BD·BE= 1 2 DE·BF, ∴ BF= 3 × 3 2 3 = 3 2 。 ∴ EF= 3BF= 3 2 3 。 ∴ AF=AB+BF= 3 3 + 3 2 。 ∴ AE2 = AF2 +EF2 = ( 3 3 + 32 ) 2 + ( 32 3 ) 2 = 36+9 3 。 ∵ AE= 2 3BH, ∴ AE2 = 12BH2 。 ∴ BH2 =AE 2 12 = 36+9 3 12 = 3+ 3 4 3 。 如图 3,当 DE 在 BC 的上方时,同法,可得 AF = 3 3 - 3 2 ,EF= 3 2 3 。 图 3 AE2 =AF2 +EF2 = ( 3 3 - 32 ) 2 + ( 32 3 ) 2 = 36- 9 3 。 ∵ AE= 2 3BH, ∴ AE2 = 12BH2 。 ∴ BH2 =AE 2 12 = 36-9 3 12 = 3- 3 4 3 。 综上所述,BH2 = 3+ 3 4 3或 3- 3 4 3 。 章丘区九年级第一学期期末真题卷 1. A　 2. D　 3. C　 4. A　 5. D　 6. B　 7. C　 8. C　 9. B　 10. D 11. 6　 12. 4　 13. 10　 14. 2　 15. 6　 16. 12 5 17.解:2sin 60°- 12 + | -5 | -(π+ 2 ) 0 = 2× 3 2 -2 3 +5-1 = 3 -2 3 +5-1 = - 3 +4。 18.解:(1)如图,△A1B1C 即为所求作,点 A1 的坐 标为(3,-3)。 (2)如图,△A2B2C 即为所求作。 CB= 12 +42 = 17 , ∴ 点 B 所经过的路径长为90 ×π× 17 180 = 17 2 π。 19.解:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ DC=AB= 3,∠ADC= ∠C= 90°。 ∵ CE= 1, ∴ DE= DC2 +CE2 = 32 +12 = 10 。 ∵ AF⊥DE, ∴ ∠AFD= 90° = ∠C,∠ADF+∠DAF= 90°。 ∵ ∠ADF+∠EDC= 90°, ∴ ∠EDC= ∠DAF。 ∴ △EDC∽△DAF。 ∴ DE AD =CE FD ,即 10 2 = 1 FD 。 ∴ FD= 10 5 ,即 DF 的长度为 10 5 。 20.解:(1)由题意,知 AB= x 米, ∴ BC= (28-x)米。 故答案为(28-x)。 (2)S= x(28-x)= -x2 +28x= -(x-14) 2 +196。 ∵ 点 P 与 CD,AD 的距离分别是 15 米和 6 米, ∴ 28-15 = 13。 ∴ 6≤x≤13。 ∴ 面积 S 与 x 的函数表达式为 S = -( x- 14) 2 + 196(6≤x≤13)。 ∵ - 1 < 0,抛物线的开口向下,对称轴为直线 x= 14, ∴ 当 6≤x≤13 时,S 的值随 x 值的增大而增大。 ∴ 当 x= 13 时,S最大 = -(13-14) 2 +196 = 195。 ∴ 当 x 为 13 米时,花园面积 S 最大,最大面积 为 195 平方米。 21.解:(1)由题意,得 BC⊥AC,DE⊥CE。 —52—