山东省济南市章丘区2023-2024学年九年级上学期期末真题卷-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学(济南专版)

章丘区九年级第一学期期末真题卷 (时间:120 分钟　 满分:150 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求) 1. 下列几何体中的俯视图是三角形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 2. 若点(3,-4)在反比例函数 y= k x 的图象上,则该图象也过点 (　 　 ) A. (2,6) B. (3,4) C. ( -4,-3) D. ( -6,2) 3. 计算 sin 45°的值等于 (　 　 ) A. 3 B. 1 2 C. 2 2 D. 3 2 4. 一元二次方程 x2 -2x-3 = 0 的根的情况是 (　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 5. 关于二次函数 y= (x-2) 2 +3,下列说法正确的是 (　 　 ) A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是( -2,3)　 C. 当 x>2 时,y 的值随 x 值的增大而减小 D. 该函数图象与 y 轴的交点坐标是(0,7) 6. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的 3 个红球和 2 个白球,从中任意摸出一个球, 则摸出白球的概率是 (　 　 ) A. 1 3 B. 2 5 C. 1 2 D. 3 5 7. 如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数 y= ax+b(ab≠0)的图象与反比例函数 y= ab x (ab≠0)的 图象大致可以是 (　 　 ) A. B. C. D. 8. 如图,已知∠1 = ∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE 的是 (　 　 ) A. ∠C= ∠E B. ∠B= ∠ADE C. AB AD =BC DE D. AB AD =AC AE 第 8 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 9 题图 9. 如图,在☉O 中,CD 是☉O 上的一条弦,直径 AB⊥CD,连接 AC,OD,∠A=26°,则∠D 的度数是 (　 　 ) A. 26° B. 38° C. 52° D. 64° 10. 已知二次函数 y= x2 -2mx+m2 +1(m 为常数),当自变量 x 的值满足-3≤x≤-1 时,与其对应的函 数值 y 的最小值为 5,则 m 的值为 (　 　 ) A. 1 或-3 B. -3 或-5 C. 1 或-1 D. 1 或-5 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 关于 x 的一元二次方程 x2 +x-a= 0 的一个根是 2,则 a= 。 12. 若 a b = 3 5 ,那么a +b b-a 的值为 。 13. 如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O,若 AO= 5,则 BD= 。 第 13 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 14. 如图,把△DEF 沿 DE 平移到△ABC 的位置,它们重合部分的面积是△DEF 面积的 4 9 ,若 AB = 6, 则△DEF 移动的距离 AD= 。 15. 如图,过 y 轴正半轴上一点 P 作 x 轴的平行线,分别与反比例函数 y= - 2 x 和 y= k x (k>0)图象相交 于点 A 和点 B,C 是 x 轴上一点。 若△ABC 的面积为 4,则 k 的值为 。 16. 如图,菱形 ABCD 的对角线相交于点 O,AC = 6,BD = 8,P 为边 BC 上一点,且点 P 不与点 B,C 重 合。 过点 P 作 PE⊥AC 于点 E,PF⊥BD 于点 F,连接 EF,则 EF 的最小值等于 。 三、解答题(本大题共 10 小题,共 86 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算:2sin 60°- 12 + | -5 | -(π+ 2 ) 0。 18. (6 分)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为 1,△ABC 在平面直角坐标系中。 (1)以点 C 为位似中心,作出△ABC 的位似图形△A1B1C,使△A1B1C 和△ABC 位似比为 2 ∶ 1,并 写出点 A1 的坐标; (2)作出△ABC 绕点 C 逆时针旋转 90°后的图形△A2B2C,并求出点 B 所经过的路径长。 19. (6 分)如图,E 是矩形 ABCD 的边 CB 上的一点,AF⊥DE 于点 F,AB= 3,AD= 2,CE= 1。 求 DF 的 长度。 20. (8 分)【综合与实践】数学来源于生活,同时数学也可以服务于生活。 【知识背景】如图,校园中有两面直角围墙(两边足够长),墙角内的点 P 处有一棵古树与墙 CD, AD 的距离分别是 15 米和 6 米,在美化校园的活动中,某数学兴趣小组想借助围墙(两边足够 长),用 28 米长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB,BC 两边),设 AB= x 米。 【方案设计】设计一个矩形花园,使之面积最大,且要将古树 P 围在花园内(含边界,不考虑树的 粗细)。 【解决问题】思路:把矩形 ABCD 的面积 S 与边长 x(即 AB 的长)的函数表达式求出,并利用函数 的性质来求面积的最大值即可。 (1)请用含有 x 的代数式表示 BC 的长为 米; (2)求面积 S 与 x 的函数表达式,写出 x 的取值范围,并求当 x 为何值时,花园面积 S 最大,最大 面积为多少? 21. (8 分)小王同学学习了锐角三角函数后,通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置,他认为 利用台阶的可测数据与在点 A,B 处测出点 D 的仰角度数,可以求出信号塔 DE 的高。 如图,AB 的长为 5 米,高 BC 为 3 米。 他在点 A 处测得点 D 的仰角为 45°,在点 B 处测得点 D 的仰角为 38. 7°。 点 A,B,C,D,E 在同一平面内。 设塔 DE 的高度为 x 米。 (1)用含有 x 的式子表示线段 CE 的长为 米; (2)你认为小王同学能求出信号塔 DE 的高吗? 若能,请求出信号塔 DE 的高;若不能,请说明理 —51— 由。 (参考数据:sin 38. 7°≈0. 625,cos 38. 7°≈0. 780,tan 38. 7°≈0. 80;结果保留整数) 22. (8 分)如图,AB 为☉O 的直径,C 是☉O 上一点,CD 与☉O 相切于点 C,过点 A 作 AD⊥DC,连接 AC,BC。 (1)求证:AC 是∠DAB 的角平分线; (2)若 AD= 2,AB= 3,求 AC 的长。 23. (10 分)第 31 届世界大学生运动会于 2023 年 7 月 28 日至 8 月 8 日在成都举行,某校开展了“爱成 都,迎大运”系列活动,增设篮球、足球、柔道、射击共四个课外活动项目。 为了解全校 1 500 名同学对 增设的四个活动项目的喜爱情况,在全校范围内随机抽取了若干名同学,对他们喜爱的项目(每 人限选一项)进行了问卷调查,将数据进行了统计,并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统 计图,请回答下列问题: 　 　 　 (1)参加问卷调查的同学共 名,补全条形统计图; (2)估计该校 1 500 名同学中喜爱篮球运动的人数; (3)学校准备组建一支校篮球队,某班甲、乙、丙、丁四名同学平时都很喜欢篮球运动,现决定从 这四人中任选两名同学加入球队,请你用画树状图或列表的方法求恰好选中甲、乙两名同学的 概率。 24. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y1 = kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 y2 = m x (m≠ 0)的图象相交于第一、三象限内的 A(3,5),B(a,-3)两点,与 x 轴交于点 C。 (1)求该反比例函数和一次函数的表达式; (2)直接写出当 y1 >y2 时,x 的取值范围; (3)在 y 轴上找一点 P 使 PB-PC 最大,求 PB-PC 的最大值及点 P 的坐标。 25. (12 分)综合与实践。 如图,抛物线 y=ax2 +bx+2 与 x 轴交于点 A( -1,0)和点 B(4,0),与 y 轴交于点 C,连接 BC,点 D 在抛物线上。 (1)求抛物线的表达式; (2)小明探究点 D 位置时发现:点 D 在第一象限内的抛物线上,连接 BD,CD,△BCD 的面积存在 最大值,请帮助小明求出△BCD 面积的最大值; (3)小明进一步探究点 D 位置时发现:点 D 在抛物线上移动,连接 CD,存在∠DCB= ∠ABC,请帮 助小明求出∠DCB= ∠ABC 时点 D 的坐标。 　 　 　 备用图 26. (12 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠A= 90°,D,E 分别为 AB,AC 的中点,连接 DE。 将△ADE 绕点 A 逆时针旋转 α(0°<α<90°),连接 BD 并延长与直线 CE 交于点 F。 (1)若 AB = AC,将△ADE 绕点 A 逆时针旋转至图 2 所示的位置,则线段 BD 与 CE 的数量关 系是 ; (2)若 AC= kAB(k≠1),将△ADE 绕点 A 逆时针旋转,则(1)的结论是否仍然成立? 若成立,请就 图 3 所示的情况加以证明;若不成立,请写出正确的结论,并说明理由。 (3)若 AB= 6,AC= 8,将△ADE 旋转至 AD⊥BD 时,请求出此时 CF 的长。 图 1 　 　 　 图 2 　 　 　 图 3 —61— ∵ 1 2 BD·BE= 1 2 DE·BF, ∴ BF= 3 × 3 2 3 = 3 2 。 ∴ EF= 3BF= 3 2 3 。 ∴ AF=AB+BF= 3 3 + 3 2 。 ∴ AE2 = AF2 +EF2 = ( 3 3 + 32 ) 2 + ( 32 3 ) 2 = 36+9 3 。 ∵ AE= 2 3BH, ∴ AE2 = 12BH2 。 ∴ BH2 =AE 2 12 = 36+9 3 12 = 3+ 3 4 3 。 如图 3,当 DE 在 BC 的上方时,同法,可得 AF = 3 3 - 3 2 ,EF= 3 2 3 。 图 3 AE2 =AF2 +EF2 = ( 3 3 - 32 ) 2 + ( 32 3 ) 2 = 36- 9 3 。 ∵ AE= 2 3BH, ∴ AE2 = 12BH2 。 ∴ BH2 =AE 2 12 = 36-9 3 12 = 3- 3 4 3 。 综上所述,BH2 = 3+ 3 4 3或 3- 3 4 3 。 章丘区九年级第一学期期末真题卷 1. A　 2. D　 3. C　 4. A　 5. D　 6. B　 7. C　 8. C　 9. B　 10. D 11. 6　 12. 4　 13. 10　 14. 2　 15. 6　 16. 12 5 17.解:2sin 60°- 12 + | -5 | -(π+ 2 ) 0 = 2× 3 2 -2 3 +5-1 = 3 -2 3 +5-1 = - 3 +4。 18.解:(1)如图,△A1B1C 即为所求作,点 A1 的坐 标为(3,-3)。 (2)如图,△A2B2C 即为所求作。 CB= 12 +42 = 17 , ∴ 点 B 所经过的路径长为90 ×π× 17 180 = 17 2 π。 19.解:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ DC=AB= 3,∠ADC= ∠C= 90°。 ∵ CE= 1, ∴ DE= DC2 +CE2 = 32 +12 = 10 。 ∵ AF⊥DE, ∴ ∠AFD= 90° = ∠C,∠ADF+∠DAF= 90°。 ∵ ∠ADF+∠EDC= 90°, ∴ ∠EDC= ∠DAF。 ∴ △EDC∽△DAF。 ∴ DE AD =CE FD ,即 10 2 = 1 FD 。 ∴ FD= 10 5 ,即 DF 的长度为 10 5 。 20.解:(1)由题意,知 AB= x 米, ∴ BC= (28-x)米。 故答案为(28-x)。 (2)S= x(28-x)= -x2 +28x= -(x-14) 2 +196。 ∵ 点 P 与 CD,AD 的距离分别是 15 米和 6 米, ∴ 28-15 = 13。 ∴ 6≤x≤13。 ∴ 面积 S 与 x 的函数表达式为 S = -( x- 14) 2 + 196(6≤x≤13)。 ∵ - 1 < 0,抛物线的开口向下,对称轴为直线 x= 14, ∴ 当 6≤x≤13 时,S 的值随 x 值的增大而增大。 ∴ 当 x= 13 时,S最大 = -(13-14) 2 +196 = 195。 ∴ 当 x 为 13 米时,花园面积 S 最大,最大面积 为 195 平方米。 21.解:(1)由题意,得 BC⊥AC,DE⊥CE。 —52— 在 Rt△ABC 中,AB= 5 米,BC= 3 米, ∴ AC= AB2 -BC2 = 52 -32 = 4(米)。 在 Rt△ADE 中,∠DAE= 45°,DE= x 米, ∴ AE= DE tan 45° = x 米。 ∴ CE=AC+AE= (x+4)米。 故答案为(x+4)。 (2)如图,过点 B 作 BF⊥DE,垂足为 F。 由题意,得 BF=CE= (x+4)米,BC=EF= 3 米。 在 Rt△BDF 中,∠DBF= 38. 7°, ∴ DF=BF·tan 38. 7°≈0. 8(x+4)米。 ∵ DF+EF=DE,∴ 0. 8(x+4)+3 = x。 解得 x= 31。 ∴ DE= 31 米。 ∴ 信号塔 DE 的高约为 31 米。 22. (1)证明:如图,连接 OC。 ∵ CD 与☉O 相切于点 C, ∴ ∠OCD= 90°。 ∴ ∠ACD+∠ACO= 90°。 ∵ AD⊥DC, ∴ ∠ADC= 90°。 ∴ ∠ACD+∠DAC= 90°。 ∴ ∠ACO= ∠DAC。 ∵ OA=OC, ∴ ∠OAC= ∠ACO。 ∴ ∠DAC= ∠OAC。 ∴ AC 是∠DAB 的角平分线。 (2)解:∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACB= 90°。 ∴ ∠D= ∠ACB= 90°。 ∵ ∠DAC= ∠CAB, ∴ △ADC∽△ACB。 ∴ AD AC =AC AB 。 ∴ AC2 =AD·AB= 2×3 = 6。 ∴ AC= 6 。 23.解:(1)参加问卷调查的同学有 12÷20% =60(名)。 喜爱柔道的有 60-18-12-14 = 16(名)。 故答案为 60。 补全条形统计图如图所示, (2)1 500×18 60 = 450 (名)。 ∴ 该校 1 500 名同学中喜爱篮球活动的同学大 约 450 名。 (3)画树状图如下, 由图可知,共有 12 种等可能结果,其中恰好选 中甲、乙两名同学的结果有 2 种, ∴ 恰好选中甲、乙两名同学的概率为 2 12 = 1 6 。 24.解:(1)把点 A(3,5)代入 y2 = m x (m≠0),可得 m= 3×5 = 15。 ∴ 反比例函数的表达式为 y2 = 15 x 。 把点 B(a,-3)代入 y2 = 15 x ,可得 a= -5。 ∴ 点 B(-5,-3)。 把点 A(3,5),B( - 5,- 3) 代入 y1 = kx+b,可得 3k+b= 5, -5k+b= -3。{ 解得 k= 1, b= 2。{ ∴ 一次函数的表达式为 y1 = x+2。 (2)当 y1 >y2 时,-5<x<0 或 x>3。 (3)∵ 点 P 在轴上, ∴ 点 P,B,C 的位置关系有两种: ①当点 P,B,C 不在一条直线上时,由三角形三 边数量关系可得 PB-PC<BC; ②当点 P,B,C 在一条直线上时,PB-PC 的值 最大。 一次函数的表达式为 y1 = x+2,令 x= 0,则 y= 2。 ∴ 一次函数与 y 轴的交点为 P(0,2)。 此时,PB-PC=BC 最大,点 P 即为所求。 —62— 令 y= 0,则 x= -2,∴ 点 C(-2,0)。 ∴ BC= (-5+2) 2 +32 = 3 2 。 25.解:(1)抛物线的表达式为 y = a(x+1) (x-4) = a(x2 -3x-4)= ax2 -3ax-4a, 则-4a= 2。 解得 a= - 1 2 。 ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 2 x2 + 3 2 x+2①。 (2)如图 1,过点 D 作 DE∥y 轴交 BC 于点 E。 图 1 由点 B(4,0),C(0,2)的坐标,可得直线 BC 的 表达式为 y= - 1 2 x+2。 设点 D ( x,- 12 x 2 + 3 2 x+2 ) , 则点 E ( x,- 12 x+2 ) 。 ∴ S△BCD = 1 2 DE·OB = 2 ( - 12 x 2 + 3 2 x+2+ 1 2 x- 2 ) = -x2 +4x= -(x-2) 2 +4。 ∵ -1<0, ∴ 当 x = 2 时,△BCD 的面积有最大值,最大值 为 4。 (3)如图 2,当点 D′在 x 轴上方时, 则点 D′和点 C 关于抛物线对称轴对称, ∵ 抛物线的对称轴为直线 x= - b 2a = 3 2 , ∴ 点 D′(3,2)。 如图 2,当点 D 在 x 轴下方时, 设 CD 交 x 轴于点 H,设点 H(x,0), 图 2 ∵ ∠DCB= ∠ABC,∴ CH=BH。 ∴ (4-x) 2 = x2 +4。 解得 x= 3 2 。 ∴ 点 H ( 32 ,0 ) 。 由点 C, H 的坐标, 得直线 CH 的表达式为 y= - 4 3 x+2②。 联立①②,得- 1 2 x2 + 3 2 x+2 = - 4 3 x+2。 解得 x= 0(舍去)或17 3 。 ∴ 点 D 的坐标为 ( 173 ,- 50 9 ) 。 综上所述,点 D 的坐标为(3,2)或 ( 173 ,- 50 9 ) 。 26.解:(1)∵ AB = AC,D,E 分别为 AB,AC 的中点, ∴ AD=AE。 ∵ ∠BAC= ∠DAE= 90°, ∴ ∠DAC+∠BAD= ∠DAC+∠CAE= 90°。 ∴ ∠BAD= ∠CAE。 ∴ △ABD≌△ACE(SAS)。 ∴ BD=CE。 故答案为 BD=CE。 (2)此时(1)的结论不成立,BD 与 CE 的数量关 系为 CE= kBD。 理由如下, ∵ D,E 分别为 AB,AC 的中点, ∴ AD= 1 2 AB,AE= 1 2 AC。 ∴ AD AE =AB AC = 1 k 。 ∵ ∠BAC= ∠DAE= 90°,∴ ∠BAD= ∠CAE。 ∴ △BAD∽△CAE。 ∴ BD CE =AB AC = 1 k 。 ∴ CE= kBD。 (3)∵ AD⊥BD,∴ ∠ADB= ∠ADF= 90°。 在 Rt△ABD 中,∵ AB= 6,AD= 1 2 AB= 3, ∴ BD= AB2 -AD2 = 62 -32 = 3 3 。 由(2)知△BAD∽△CAE, ∴ ∠ADB= ∠AEC= 90°,∠ABD= ∠ACE, CE BD =AC AB = 8 6 = 4 3 。 ∴ CE= 4 3 BD= 4 3 ×3 3 = 4 3 。 ∵ AD⊥BF, ∴ ∠ABD+∠BAD= ∠BAD+∠DAC。 ∴ ∠ABD= ∠DAC。 —72— ∴ ∠DAC= ∠ACE。 ∴ AD∥CE。 ∴ CE⊥BF。 ∵ ∠DAE= 90°, ∴ 四边形 ADFE 是矩形。 ∴ EF=AD= 3。 ∴ CF=CE-EF= 4 3 -3。 平阴县九年级第一学期期末真题卷 1. B　 2. B　 3. B　 4. A　 5. A　 6. C　 7. A　 8. B　 9. C　 10. D 11. 7 10 　 12. 5 3 　 13. 3 　 14. ( 2, - 3) 　 15. 2 3 3 　 16. 2 023 253 17.解:(-2 023) 0 + 4 -2sin 30°+ | -5 | = 1+2-2× 1 2 +5 = 1+2-1+5 = 7。 18.解:∵ 原方程可化为(x+1)(x-4)= 0, ∴ x+1 = 0 或 x-4 = 0。 解得 x1 = -1,x2 = 4。 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠A= ∠D= ∠C= 90°。 ∵ △MBN 由△ABN 翻折而成, ∴ ∠DMN+∠BMC= 90°。 ∵ ∠MND+∠DMN= 90°, ∴ ∠MND= ∠BMC。 ∴ △NDM∽△MCB。 20.解:(1)在 Rt△ABE 中,∠AEB = 90°,∠A = 15°, AE= 576 m, ∴ AB= AE cos A = 576 cos 15° ≈ 576 0. 96 = 600(m)。 ∴ 索道 AB 的长约为 600 m。 (2)如图,延长 BC 交 DF 于点 G。 ∵ BC∥AE,∴ ∠CBE= ∠AEB= 90°。 ∵ DF⊥AF,∴ ∠AFD= 90°。 ∴ 四边形 BEFG 为矩形。 ∴ EF=BG,∠CGD= ∠BGF= 90°。 ∵ CD=AB= 600 m,∠DCG= 45°, ∴ CG=CD·cos∠DCG = 600×cos 45° = 600× 2 2 = 300 2 (m)。 ∴ AF=AE+EF=AE+BG = AE+BC+CG = 576+50+ 300 2 ≈1 049(m)。 ∴ AF 的长约为 1 049 m。 21.解:(1)∵ 15÷30% = 50(人), ∴ 九年级(1)班的学生共有 50 人。 ∴ B 的人数为 50×28% = 14(人)。 ∴ D 的人数为 50-8-14-15-5 = 8(人)。 故答案为 50。 补全条形统计图如下。 (2)画树状图如下, 由图可知,共有 20 种等可能的结果,其中恰是 一男一女的结果有 12 种, ∴ 所抽的两名学生恰好是一男一女的概率为12 20 = 3 5 。 22.解:(1)设商品每天的销售量 y(件)与销售单价 x(元)满足一次函数关系 y= kx+b(k≠0), 根据题意,可得 20k+b= 200, 25k+b= 150。{ 解得 k= -10, b= 400。{ ∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y= -10x+400。 (2) 根据题意, 可得 ( - 10x + 400) ( x - 10) = 2 160。 整理,得 x2 -50x+616 = 0,(x-28)(x-22)= 0。 解得 x1 = 28(不符合题意,舍去),x2 = 22。 ∴ 应将销售单价定为 22 元。 23. (1)证明:如图,连接 OD。 ∵ DE 是☉O 的切线, ∴ OD⊥DE。 ∵ DE⊥AC, ∴ OD∥AC。 ∴ ∠C= ∠ODB。 —82—