山东省济南市天桥区2023-2024学年九年级上学期期末真题卷-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学(济南专版)

∵ 四边形 AEFG 是矩形, ∴ AE=GF,AG=EF。 由(1)可知△ABE∽△ADG, ∵ ∠ABC= ∠M= ∠AEF= 90°, ∴ ∠AEB+∠MEF= 90° = ∠AEB+∠BAE。 ∴ ∠BAE= ∠MEF。 ∴ △ABE∽△EMF。 ∴ AB EM = BE MF = AE EF =AE AG = AB AD = 3 2 。 ∴ 3 EM = 3 2 。 ∴ EM= 2 3 。 设 BE= 3x,FM= 2 3 x, ∴ 在 Rt△BMF 中,tan∠FBM= 3 2 3 =FM BM = 2 3x 3x+2 3 。 ∴ 2 3 x 3x+2 3 = 3 2 3 。 解得 x= 2 3 。 ∴ BE= 3x= 6 3 。 (3)设 EC=a,∵ EA= 2EC, ∴ AE= 2a,BE= 2 3 -a。 ∵ AB= 3,AB2 +BE2 =AE2 , ∴ 32 +(2 3 -a) 2 = (2a) 2 。 ∴ a= 3 (负值舍去)。 ∴ AE= 2a= 2 3 ,BE=EC= 3 。 ∴ tan∠BEA= 3 。 ∴ ∠BEA= 60°。 ∴ ∠AEC= 120°。 如图 2,作∠PEP′ = 120°,且 EP′ = 1 2 PE,连接 P′C,PP′,过点 P′作 PH⊥PE 交 PE 的延长线于 点 H。 图 2 ∴ ∠AEC= ∠PEP′= 120°。 ∴ ∠AEP= ∠CEP′。 ∵ AE CE = PE P′E = 2,∴ △AEP∽△CEP′。 ∴ P′C AP = 1 2 。 ∴ P′C= 1 2 PA。 ∴ PC+ 1 2 AP=PC+P′C。 ∴ 当 P,C,P′三点共线时,PC+ 1 2 AP 有最小值, 最小值为 PP′的长。 ∵ △ABE∽△ADG,∴ AB AD =AE AG = 3 2 。 ∵ AE= 2 3 ,∴ AG= 4 =EF。 ∵ PE= 2EF= 8,∴ P′E= 1 2 PE= 4。 ∵ ∠PEP′= 120°, ∴ ∠HEP′= 180°-∠PEP′= = 180°-120° = 60°。 ∴ ∠HP′E= 90°-∠HEP′= 90°-60° = 30°。 ∴ HE= 1 2 P′E= 2,P′H= 3HE= 2 3 。 ∴ PH=HE+PE= 2+8 = 10。 在 Rt△HPP′ 中,PP′= P′H2 +PH2 = 12+100 = 4 7 。 天桥区九年级第一学期期末真题卷 1. B　 2. A　 3. C　 4. B　 5. A　 6. D　 7. C　 8. A　 9. C　 10. A 11. 1 2 　 12. 1 2 　 13. 1(答案不唯一)　 14. 8-2π 15. -12　 16. ①②④ 17.解: | - 3 | + ( 12 ) -1 +(π+1) 0 -tan 60° = 3 +2+1- 3 = 3。 18.解:x2 -x-2 = 0,(x-2)(x+1)= 0, ∴ x-2 = 0 或 x+1 = 0。 ∴ x1 = 2,x2 = -1。 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB=AD。 ∵ E,F 分别是 AD 和 AB 的中点, ∴ AF= 1 2 AB,AE= 1 2 AD。 ∴ AE=AF。 ∵ ∠EAB= ∠FAD, ∴ △AEB≌△AFD(SAS)。 ∴ BE=DF。 20.解:(1)a = 7÷14% ×40% = 20(人),b = 7÷ 14% - 5-7-20 = 18(人),在扇形统计图中 C 种支付方 式所对应的圆心角为 360°× 5 7÷14% = 36°。 故答案为 20;18;36。 (2)设男性为 A,女性为 B,画树状图如下, ∵ 共有 20 种等可能的结果,恰好抽到都是女性 —41— 的结果有 6 种, ∴ 恰好都是女性的概率为 6 20 = 3 10 。 21.解:(1) 如图,延长 EF 交 AG 于点 H,则 EH⊥ AG,过点 B 作 BP⊥AG 于点 P。 ∵ BF∥HP,BF=HP,∠BPH= 90°, ∴ 四边形 BFHP 是矩形。 ∴ FB=PH,FH=PB。 由 i = 5 ∶ 12,可以设 BP = 5x 米,AP= 12x 米, ∵ PB2 +PA2 =AB2 , ∴ (5x) 2 +(12x) 2 = 262 。 ∴ x= 2 或-2(舍去)。 ∴ BP=FH= 10 米,AP= 24 米。 ∴ 点 B 到 AG 的距离为 10 米。 (2)设 EF=a 米,BF= b 米, ∵ tan∠EBF=EF BF ,∴ a b ≈2。 ∴ a= 2b①。 ∵ tan∠EAH=EH AH =EF+FH AP+PH =EF+BP AP+BF , ∴ a +10 24+b ≈1. 2②。 由①②,得 a= 47,b= 23. 5。 ∴ 塔顶到地面的高度 EF 约为 47 米。 22. (1)证明:如图,连接 OC,则 OC=OA。 ∴ ∠BAC= ∠OCA。 ∵ PC 与☉O 相切于点 C, ∴ PC⊥OC。 ∵ AD⊥PC,∴ AD∥OC。 ∴ ∠DAC= ∠OCA。 ∴ ∠BAC= ∠DAC。 ∴ AC 平分∠DAB。 (2)解:∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACB= ∠D= 90°。 ∵ ∠BAC= ∠CAD,∴ △ABC∽△ACD。 ∴ BA CA =CA DA 。 ∴ BA=CA 2 DA 。 ∵ ∠D= 90°,DA= 9,CD= 3, ∴ CA2 =DA2 +CD2 = 92 +32 = 90。 ∴ BA= 90 9 = 10。 ∴ OA= 1 2 BA= 5。 ∴ ☉O 的半径长是 5。 23.解:(1)设该博物馆这两个月接待游客的月平 均增长率为 x。 依题意,得 10(1+x) 2 = 14. 4。 解得 x1 = 0. 2 = 20% ,x2 = -2. 2 (舍去)。 ∴ 该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率 为 20% 。 (2) 8 月份接待游客人数 14. 4 × ( 1 + 20% ) = 17. 28(万人), 9 月份接待 游 客 人 数 14. 4 × ( 1 + 20% ) 2 = 20. 736 (万人)。 ∴ 第三季度该馆接待游客总人数为 14. 4+17. 28+20. 736 = 52. 416(万人)。 ∵ 52. 416>50, ∴ 第三季度(7 月 ~ 9 月)该馆接待游客总量能 达到 50 万人。 24.解:(1) ∵ A(1,8),B(4,n) 两点在双曲线 y = m x 上, ∴ m= 1×8 = 4n。 ∴ m= 8,n= 2。 ∴ 反比例函数的表达式为 y= 8 x ,点 B(4,2)。 将点 A(1,8),B(4,2)代入 y= kx+b,得 k+b= 8, 4k+b= 2。{ 解得 k= -2, b= 10。{ ∴ 一次函数的表达式为 y= -2x+10。 (2)如图,作点 A 关于 y 轴的对称点 A′,连接 A′ B,交 y 轴于点 P,则此时△APB 的周长最小。 ∵ 点 A(1,8),∴ 点 A′(-1,8)。 设直线 A′B 的表达式为 y= px+q, 代入点 A′,B 的坐标, 得 4p+q= 2, -p+q= 8。{ 解得 p= - 6 5 , q= 34 5 。 ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 A′B 的表达式为 y= - 6 5 x+34 5 。 令 x= 0,则 y= 34 5 , ∴ 点 P 的坐标为 ( 0,345 ) 。 (3)将直线 y= kx+b 向下平移 t 个单位长度后, 得到 y= -2x+10-t。 由题意可知,方程- 2x+ 10 - t = 8 x 有两个相同 的解, -2x+10-t= 8 x 整理,得 2x2 -(10-t)x+8 = 0。 ∴ Δ= (10-t) 2 -4×2×8 = 0。 —51— 解得 t= 2 或 18。 故答案为 2 或 18。 25.解:( 1) ∵ 四边形 ABCD 与四边形 AMNP 是 矩形, ∴ CD=AB,AM=NP,∠ADC= ∠APN= 90°。 当 n= 1 时,则 AD=AB,AP=AM。 ∴ AD=CD,AP=NP。 ∴ AC= 2AD,AN= 2AP。 ∴ AC-AN= 2 (AD-AP)。 ∴ CN= 2PD。 故答案为 CN= 2PD。 (2)CN 与 PD 之间的数量关系发生变化,CN = 5 2 PD。 如图 1,连接 AC。 在矩形 ABCD 和矩形 AMNP 中, ∵ 当 n= 2 时,AD= 2AB,AP= 2AM, ∴ AC= 5 2 AD,AN= 5 2 AP。 ∴ AC AD =AN AP = 5 2 。 图 1 ∵ 矩形 AMNP 绕点 A 顺时针旋转, ∴ ∠NAC= ∠PAD。 ∴ △ANC∽△APD。 ∴ NC PD = AC AD = 5 2 。 ∴ CN= 5 2 PD。 (3)如图 2,当点 N 在线段 CM 上时, 图 2 ∵ AD= 4,AD= 2AB,∴ AB=CD= 2。 ∴ AC= AD2 +CD2 = 16+4 = 2 5 。 ∵ AP= 2,AP= 2AM,∴ AM= 1。 ∵ 四边形 AMNP 是矩形,∴ MN=AP= 2。 ∴ CM= AC2 -AM2 = 20-1 = 19 。 ∴ CN=CM-MN= 19 -2。 由(2)知,CN= 5 2 PD,∴ PD= 2 5 95 - 4 5 5 。 如图 3,当点 M 在线段 CN 上时, 图 3 同理,可求 CM= 19 ,MN=AP= 2, ∴ CN=CM+MN= 19 +2。 ∴ PD= 2 5 95 + 4 5 5 。 综上所述, 线段 PD 的长为 2 5 95 - 4 5 5 或 2 5 95 + 4 5 5 。 26.解:(1)设抛物线的表达式为 y=a(x+3)(x-1), 即 y=ax2 +2ax-3a, ∴ -3a= 3。 解得 a= -1。 ∴ 该抛物线的函数表达式为 y= -x2 -2x+3。 (2)令 x= 0,得 y= 3。 ∴ 点 C 的坐标为(0,3)。 ∴ △OAC 为等腰直角三角形,∠CAO= 45°。 设直线 AC 的表达式为 yAC = kx+b,将点 A( - 3, 0)与点 C(0,3)代入,得 k= 1, b= 3。{ ∴ yAC = x+3。 如图 1,过点 P 作 PM∥y 轴交 AC 于点 M, ∴ 设点 P(m,-m2 - 2m+ 3),则点 M(m,m+ 3), PM= -m2 - 2m+ 3-(m+ 3) = -m2 - 3m,其中- 3< m<0。 图 1 由题可知,△PMD 为等腰直角三角形, ∴ PD= 2 2 PM= 2 2 (-m2 -3m) —61— = - 2 2 (m+ 3 2 ) 2 +9 2 8 。 由二次函数的性质,可得当 m= - 3 2 时,PD 有最 大值为 9 2 8 。 ∴ 点 P的纵坐标为- ( - 32 ) 2 -2× ( - 32 ) +3= 15 4 。 ∴ 此时点 P 坐标为 ( - 32 , 15 4 ) 。 ∴ 当点 P 坐标为 ( - 32 , 15 4 ) 时,PD 最大,最大 值为 9 2 8 。 (3)由平移可求得平移后函数表达式为 y= -(x+ 3+2)(x-1+2)= -x2 -6x-5,与原抛物线交点 M (-2,3)。 ①如图 2,以 AM 为边,作 MN1 ⊥AM 交对称轴于 点 N1 ,可构造矩形 AMN1H1 。 图 2 设点 N1(-1,y1 ), ∴ AM2 = 10,MN21 = [( - 1) -( - 2)] 2 +( y1 - 3) 2 , AN21 = [(-1)-(-3)] 2 +(y1 -0) 2 。 ∵ AM2 +MN21 =AN 2 1 , ∴ 10+ [( - 1) - ( - 2)] 2 + ( y1 - 3) 2 = [( - 1) - (-3)] 2 +(y1 -0) 2 。 解得 y1 = 8 3 ,即点 N1 ( -1, 83 ) 。 此时设点 H1(p1 ,q1 ),由 A,M,N1 ,H1 四点的相 对位置关系可得 -1-3 = -2+p1 , 0+ 8 3 = 3+q1 。{ 解得 p1 = -2, q1 = - 1 3 。{ ∴ 点 H1 ( -2,- 13 ) 。 ②同理,如图 2,以 AM 为边,作 AN2 ⊥AM 交对 称轴于点 N2 ,可构造矩形 AMH2N2 , 设点 N2(-1,y2 ),∵ AM 2 +AN22 =MN 2 2 , ∴ 10+ [( - 1) - ( - 3)] 2 + ( y2 - 0) 2 = [( - 1) - (-2)] 2 +(y2 -3) 2 。 解得 y2 = - 2 3 ,即点 N2 ( -1,- 23 ) 。 此时设点 H2(p2 ,q2 ),由 A,M,N2 ,H2 四点的相 对位置关系可得 -1-2 = -3+p2 , 3- 2 3 = 0+q2 。{ 解得 p2 = 0, q2 = 7 3 。{ ∴ 点 H2 ( 0, 73 ) 。 ③如图 3,以 AM 为对角线,作 MN3 ⊥AN3 交对 称轴于点 N3 ,可构造矩形 AN3MH3 。 图 3 设点 N3(-1,y3 ),∵ AM 2 =AN23 +MN 2 3 , ∴ 10 = [( - 1) - ( - 3)] 2 + ( y3 - 0) 2 + [( - 1) - (-2)] 2 +(y3 -3) 2 。 解得 y3 = 1,y4 = 2,即点 N3(-1,1),N4(-1,2)。 此时设点 H3(p3 ,q3 ),由 A,M,N3 ,H3 四点的相 对位置关系可得 -3-2 = -1+p3 , 3+0 = 1+q3 。 { 解得 p3 = -4, q3 = 2。 { ∴ 点 H3(-4,2)。 设点 H4(p4 ,q4 ),由 A,M,N4 ,H4 四点的相对位 置关系可得 -3-2 = -1+p4 , 3+0 = 2+q4 。 { 解得 p4 = -4, q4 = 1。 { ∴ 点 H4(-4,1)。 综上所 述, 点 H 的 坐 标 为 ( - 2, - 13 ) 或 ( 0, 73 )或(-4,2)或(-4,1)。 —71— 天桥区九年级第一学期期末真题卷 (时间:120 分钟　 满分:150 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. tan 45°的相反数是 (　 　 ) A. 1 B. -1 C. - 3 2 D. -2 2. 下列几何体中,主视图是三角形的为 (　 　 ) A. B. C. D. 3. 抛物线 y= (x-3) 2 +5 的顶点坐标是 (　 　 ) A. (3,-5) B. ( -3,5) C. (3,5) D. ( -3,-5) 4. 如果两个相似三角形的面积比是 1 ∶ 9,那么它们的周长比是 (　 　 ) A. 1 ∶ 9 B. 1 ∶ 3 C. 1 ∶ 4. 5 D. 1 ∶ 8 5. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是 (　 　 ) A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直平分且相等 6. 如图,在 5×4 的正方形网格中,每个小正方形的边长都是 1,△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶 点上,则 sin∠BAC 的值为 (　 　 ) A. 4 3 B. 3 4 C. 3 5 D. 4 5 第 6 题图 　 　 第 7 题图 　 　 第 8 题图 　 　 第 9 题图 7. 如图,A,B,C 为☉O 上三点,若∠ABC= 43°,则∠OAC 的度数为 (　 　 ) A. 44° B. 46° C. 47° D. 50° 8. 如图,在平面直角坐标系中,△AOB 与△COD 是以点 O 为位似中心的位似图形,若点 A(3,0), C(6,0),D(4,-2),则点 D 的对应点 B 的坐标为 (　 　 ) A. (2,-1) B. (1,-2) C. ( -2,1) D. ( -1,2) 9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= 4 cm,BC= 3 cm,点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运 动,速度为 1 cm / s,同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动,速度为 1 cm / s,连接 PQ。 设 运动的时间为 t(s),其中 0<t<4。 当 t 为何值时,△APQ 与△ABC 相似 (　 　 ) A. 3 B. 25 9 C. 20 9 或 25 9 D. 3 或25 9 10. 对于任意的实数 m,n,定义符号 max(m,n) 的含义为 m,n 之间的最大值,如 max(3,2) = 3, max(-1,2)= 2。 定义一个新函数:y=max ( - 14 x 2+x+ 9 4 ,| x | ),则 y≥3 时,x 的取值范围为 (　 　 ) A. x≤-3 或 x≥1 B. x≤-1 或 1≤x≤3 C. -1≤x≤3 D. x≤-3 或 x≥3 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 若 a b = 3 2 ,则a -b b 的值为 。 12. 如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同,若某人向游戏板投掷飞镖一次(假设飞镖落 在游戏板上),则飞镖落在阴影部分的概率是 。 第 12 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 13. 若关于 x 的一元二次方程 x2 -2x+a= 0 有实数根,则 a 的值可以为 。 (写出一个即可) 14. 如图,在等腰直角三角形 ABC 中,∠C = 90°,AC =BC = 4,以点 A 为圆心,以 AC 长为半径作弧,交 AB 于点 D,则阴影部分的面积 。 (结果保留 π) 15. 如图,在 Rt△AOB 中,∠AOB= 90°,tan∠BAO= 2,顶点 A,B 分别在反比例函数 y= 3 x (x>0)和反比 例函数 y= k x (x<0)的图象上,则 k 的值为 。 16. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,AD = 2 3 ,动点 P 从点 A 出发向终点 D 运动,连 BP,并过点 C 作 CH⊥BP,垂足为 H。 下列结论:①△ABP∽△HCB;②AH 的最小值为 7 - 3 ;③在运动过程中,BP 扫过的面积始终等于 CH 扫过的面积;④在运动过程中,点 H 的运动路径的长为 2 3 3 π。 其中正 确的有 。 (填写序号) 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算: | - 3 | + ( 12 ) -1 +(π+1) 0 -tan 60°。 18. (6 分)解方程:x2 -x-2 = 0。 19. (6 分)如图,在菱形 ABCD 中,E,F 分别是 AD 和 AB 的中点,连接 BE,DF。 求证:BE=DF。 20. (8 分)随着科技的进步,购物支付方式日益增多。 为了解某社区居民支付的常用方式(A. 微信, B. 支付宝,C. 现金,D. 其他),某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查,根据调查结果,绘 制成如图所示的统计图。 根据统计图表中的信息,解答下列问题: (1)a= ,b= ,在扇形统计图中 C 种支付方式所对应的圆心角为 度; (2)本次调查中用现金支付方式的居民里有 2 名男性,其余都是女性,现从该种支付方式中随机 选 2 名居民参加线上支付方式培训,求恰好都是女性的概率。 　 　 　 —9— 21. (8 分)数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度。 如图所示,塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面,在 台阶底部点 A 处测得塔楼顶端点 E 的仰角∠GAE= 50. 2°,台阶 AB 长 26 米,台阶坡面 AB 的坡度 i= 5 ∶ 12,然后在点 B 处测得塔楼顶端点 E 的仰角∠EBF= 63. 4°,则 (1)点 B 到 AG 的距离为多少米? (2)塔顶到地面的高度 EF 约为多少米? (参考数据:tan 50. 2°≈1. 20,tan 63. 4°≈2. 00,sin 50. 2°≈0. 77,sin 63. 4°≈0. 89) 22. (8 分)如图,P 是☉O 直径 AB 延长线上一点,PC 与☉O 相切于点 C,AD⊥PC 的延长线于点 D,连 接 AC,BC。 (1)求证:AC 平分∠DAB; (2)若 DA= 9,CD= 3,求☉O 的半径长。 23. (10 分)在我国,博物馆是最受欢迎的旅游景点之一。 随着“博物馆热”持续升温,越来越多的人 走进博物馆,了解文化历史、感受艺术魅力。 某城市博物馆,今年 5 月份接待游客 10 万人,7 月份 接待游客增加到 14. 4 万人。 (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率; (2)如果能保持这个月平均增长率,第三季度(7 月~9 月)该馆接待游客总量能否达到 50 万人? 24. (10 分)如图,直线 y = kx+b 与双曲线 y = m x 交于 A(1,8),B( 4,n) 两点,与 x 轴,y 轴分别交 于点 C,D。 (1)求一次函数与反比例函数的表达式; (2)设 P 是 y 轴上的一个动点,当△APB 的周长最小时,请求出点 P 的坐标; (3)将直线 y= kx+b 向下平移 t 个单位长度后,与双曲线 y= m x 有唯一交点,t 的值为 。 25. (12 分)如图 1,在矩形 ABCD 中,AD = nAB,点 M,P 分别在边 AB,AD 上(均不与端点重合),且 AP=nAM,以 AP 和 AM 为邻边作矩形 AMNP,连接 AN,CN。 (1)如图 2,当 n= 1 时,CN 与 PD 的数量关系为 ; 【类比探究】 (2)如图 3,当 n= 2 时,矩形 AMNP 绕点 A 顺时针旋转,连接 PD,则 CN 与 PD 之间的数量关系与 (1)是否发生变化? 若变化,请求出数量关系;若不变化,请说明理由。 【拓展延伸】 (3)在(2)的条件下,已知 AD = 4,AP = 2,当矩形 AMNP 旋转至 C,N,M 三点共线时,请直接写出 线段 PD 的长。 图 1 　 　 　 图 2 　 　 　 图 3 26. (12 分)如图 1,抛物线 y = ax2 +bx+3(a≠0)与 x 轴交于 A( -3,0)和 B(1,0)两点,与 y 轴交于 点 C。 (1)求该抛物线的函数表达式; (2)P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点,过点 P 作 PD⊥AC 于点 D,求点 P 坐标为何值 时,PD 最大,并求出最大值; (3)如图 2,将原抛物线向左平移 2 个单位长度得到抛物线 y′,y′与原抛物线相交于点 M,点 N 为 原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点 H,使以点 A,M,N,H 为顶点的四边 形为矩形,若存在,请直接写出点 H 的坐标;若不存在,请说明理由。 图 1 　 　 图 2 —01—