山东省济南市市中区2023-2024学年九年级上学期期末真题卷-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学(济南专版)

与抛物线恰有一个交点。 ∴ m>2。 ②如图 3,当 m-1<1,即 m<2 时,3+m2 >2, 图 3 当 2m+3≤m-1 时,线段 PQ 与抛物线恰有一个 交点, ∴ m≤-4。 当 2m+3≥1 时,线段 P′Q 与抛物线恰有一个 交点, ∴ m≥-1。 ∴ -1≤m<2。 ③如图 4,当 m- 1 = 1 即 m = 2 时,2m+ 3 = 7,3+ m2 = 7, 图 4 ∴ 点 P(7,2),Q(1,7),E(1,2),F(1,2)。 此时,线段 PQ 与抛物线恰有一个交点。 ∴ m= 2。 综上所述,m 的取值范围为 m≥-1 或 m≤-4。 27.解:∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +(k+1)x+2k-1 = 0 的两个根均为整数, ∴ Δ = ( k+ 1) 2 - 4(2k- 1) = k2 - 6k+ 5 为完全平 方式。 不妨设 k2 -6k+ 5 = m2(m 是整数),即( k- 3) 2 - m2 = 4。 分解因式,得(k-3+m)(k-3-m)= 4。 ∵ k-3+m 与 k-3-m 的符号相同, ∴ k-3+m= 2, k-3-m= 2{ 或 k-3+m= -2, k-3-m= -2{ 或 k-3+m= 1, k-3-m= 4{ 或 k-3+m= -1, k-3-m= -4。{ 解得 k= 5 或 1 或 5. 5(舍去)或 0. 5(舍去)。 ∴ 整数 k 的值为 5 或 1。 28.解:设 m= xy,n= x+y, ∵ xy+x+y= 44,x2y+xy2 = xy(x+y)= 484, ∴ m+n= 44, mn= 484。{ 解得 m= 22, n= 22,{ 即 xy= 22,x+y= 22。 ∴ x2 +y2 = (x+y) 2 -2xy= 484-44 = 440。 把 xy= 22,x+y= 22,x2 +y2 = 440 代入 x3 +y3 = (x+ y)(x2 -xy+y2 )= 22×(440-22)= 9 196。 ∴ x3 +y3 的值为 9 196。 市中区九年级第一学期期末真题卷 1. A　 2. B　 3. A　 4. D　 5. B　 6. B　 7. C　 8. C　 9. D　 10. D 11. 30　 12. 18　 13. 6　 14. - 5 < x< 3 　 15. 4 3 π　 16. 33 5 17.解: ( 12 ) -1 +(π+1) 0 -2sin 30°+ 9 = 2+1-2× 1 2 +3 = 2+1-1+3 = 5。 18.解:∵ ∠AED= ∠B,∠A= ∠A, ∴ △ADE∽△ACB。 ∴ AD AC =AE AB 。 ∵ AD= 3,AB= 8,AE= 4, ∴ 3 AC = 4 8 。 ∴ AC= 6。 19.解:(1)由题意,可得 xy= 1 200×0. 5 = 600。 则 y= 600 x ,即 y 关于 x 的函数表达式为 y= 600 x 。 (2)∵ y= 600 x , ∴ 当 x= 1. 5 时,y= 600 1. 5 = 400。 ∴ 当动力臂长为 1. 5 m 时,撬动石头至少需要 400 N 的力。 20.解:(1)一名乘客通过该站闸口时,他选择 A 闸 口通过的概率为 1 4 。 (2)画树状图如下, —4— 共有 16 种等可能的结果,其中两名乘客选择相 同闸口通过的结果有 4 种, ∴ 两名乘客选择相同闸口通过的概率为 4 16 = 1 4 。 21. 解:(1)在 Rt△DEG 中,∠EDG= 37°,DE= 20 m, ∴ EG=DE·sin 37°≈20×0. 60 = 12. 0(m), GD=DE·cos 37°≈20×0. 80 = 16. 0(m)。 ∴ 斜坡 DE 的铅直高度 EG 约为 12. 0 m,水平宽 度 GD 约为 16. 0 m。 (2)如图,过点 E 作 EH⊥BC,垂足为 H。 由题意,得 DB= 32 m。 ∴ EH=GB=GD+DB= 16+32 = 48(m)。 ∵ 在 Rt△CEH 中,∠CEH= 30°, ∴ CH=EH·tan 30° = 48× 3 3 = 16 3 (m)。 ∴ AC=CH+BH-AB= 16 3 +12-37≈2. 7(m)。 ∴ 旗杆 AC 的高度约为 2. 7 m。 22. (1)证明:如图,连接 OD。 ∵ AC 切☉O 于点 D, ∴ OD⊥AC。 ∵ ∠C= 90°, ∴ OD∥BC。 ∴ ∠ODB= ∠CBD。 ∵ OB=OD, ∴ ∠ODB= ∠OBD。 ∴ ∠OBD= ∠CBD,即 BD 平分∠ABC。 (2)解:在 Rt△ABC 中,∠C= 90°, cos∠ABC=BC AB , ∵ cos∠ABC= 3 5 ,AB= 6, ∴ BC= 18 5 。 ∵ OD∥BC, ∴ △AOD∽△ABC。 ∴ OD BC =AO AB ,即 r 18 5 = 6-r 6 。 解得 r= 9 4 。 23.解:(1)①由题意,得长方体形的无盖盒子的底 面边长为(44-2x)cm。 ∴ 盒子的侧面积 S= 4x(44-2x)。 ②由题意,得 44-2x>0, x>0。{ ∴ 0<x<22。 (2)由题意,得 S= 4x(44-2x)= -8x2 +176x= -8(x-11) 2 +968, ∴ 当 x= 11 时,S最大 = 968。 ∴ 当 x 取 11 cm 时,S达到最大,最大值为 968 cm2。 24.解:(1)∵ 双曲线 y= k x 经过点 A(2,2), ∴ k= 2×2 = 4,即 k 的值为 4。 (2)①当 m=n= 4 时,由图 1 可知, BC 上的整点有 4 个, BD 上的整点有 4 个, 双曲线上 CD 段的整点有 3 个, 区域 W 内部的整点有 3 个, ∵ 点 B,C,D 都被算了 2 次, ∴ 区域 W 的整点个数为 4+4+3+3-3 = 11。 ②由题知,直线 y=ax-5a+4 = (x-5)a+4, 则不论 a 为何值,x= 5 时,y= 4, 即直线过定点(5,4), ∴ 点 B(5,4)。 如图所示,当点 B 的坐标为(5,4)时,区域 W 内 的整点共有 15 个。 又被分成的区域 W1 和 W2 的整点个数之差不 超过 2, 则当直线经过点(4,3)时,W1 的整点个数是 7, W2 的整点个数是 5,满足要求。 此时 4a-5a+4 = 3,得 a= 1。 当直线过点(3,3)时,W1 的整点个数是 5,W2 的 整点个数是 8,不满足要求。 故当点(3,3)在直 线上方时即可。 此时 3a-5a+4 = 3,得 a= 1 2 。 ∴ a 的取值范围是 1 2 <a≤1。 —5— 25.解:(1)∵ ∠AOB= ∠COD= 40°, ∴ ∠COA= ∠DOB。 ∵ OC=OD,OA=OB,∴ △COA≌△DOB(SAS)。 ∴ AC=BD。 ∴ AC BD = 1。 ∵ △COA≌△DOB,∴ ∠CAO= ∠DBO。 ∵ ∠AOB= 40°,∴ ∠OAB+∠ABO= 140°。 在△AMB 中,∠AMB = 180° - ( ∠CAO+ ∠OAB+ ∠ABD) = 180° - ( ∠DBO + ∠OAB + ∠ABD) = 180°-140° = 40°。 故答案为 1;40°。 (2)AC BD = 3 ,∠AMB= 90°。 理由如下, 在 Rt△COD 中,∠OCD= 30°,∠COD= 90°, ∴ OD OC = tan 30° = 3 3 。 同理,得OB OA = tan 30° = 3 3 。 ∴ OD OC =OB OA 。 ∵ ∠AOB= ∠COD= 90°, ∴ ∠AOC= ∠BOD。 ∴ △AOC∽△BOD。 ∴ AC BD =OC OD = 3 ,∠CAO= ∠DBO。 在△AMB 中,∠AMB = 180° -( ∠MAB+∠ABM) = 180°-( ∠OAB+ ∠ABM+ ∠DBO) = 180° - 90° = 90°。 (3)如图 1,点 C 与点 M 重合时, 同理,得△AOC∽△BOD。 图 1 ∴ ∠AMB= 90°,AC BD = 3 。 设 BD= x,则 AC= 3 x。 在 Rt△COD 中,∠OCD= 30°,OD= 1, ∴ CD= 2OD= 2,BC= x-2。 在 Rt△AOB 中,∠OAB= 30°,OB= 7 , ∴ AB= 2OB= 2 7 。 在 Rt△AMB 中,由勾股定理,得 AC2 +BC2 =AB2, 即( 3 x) 2 +(x-2) 2 = (2 7 ) 2 。 整理,得 x2 -x-6 = 0。 解得 x1 = 3,x2 = -2(舍去)。 ∴ AC= 3 3 。 ②如图 2,点 C 与点 M 重合时, 图 2 同理,得∠AMB= 90°,AC BD = 3 。 设 BD= x,则 AC= 3 x。 在 Rt△COD 中,∠OCD= 30°,OD= 1, ∴ CD= 2OD= 2,BC= x+2。 在 Rt△AOB 中,∠OAB= 30°,OB= 7 , ∴ AB= 2OB= 2 7 。 在 Rt△AMB 中,由勾股定理,得 AC2 +BC2 =AB2, ( 3 x) 2 +(x+2) 2 = (2 7 ) 2 。 整理,得 x2 +x-6 = 0。 解得 x1 = -3(舍去),x2 = 2。 ∴ AC= 2 3 。 综上所述,AC 的长为 3 3或 2 3 。 故答案为 3 3或 2 3 。 26.解:(1) ∵ 对称轴为直线 x = 2,点 A 的坐标为 (1,0), ∴ 点 B(3,0)。 ∴ y= (x-1)(x-3)= x2 -4x+3。 (2)方法一:如图 1,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D, 交 CP 于点 E。 图 1 在 y= x2 -4x+3 中,令 x= 0,得 y= 3。 ∴ 点 C(0,3)。 ∵ 点 B(3,0),∴ OB=OC。 ∴ ∠OBC= 45°。 ∴ △ABD 是等腰直角三角形。 ∵ 点 A(1,0),B(3,0),∴ 点 D(2,1)。 ∵ ∠PCB= ∠ACB,∴ AD=DE。 ∴ 点 E(3,2)。 设直线 CE 的表达式为 y= kx+n(k≠0),将点 C, E 代入, ∴ n= 3, 3k+n= 2。{ 解得 n= 3, k= - 1 3 。{ —6— ∴ 直线 CE 的表达式为 y= - 1 3 x+3。 由- 1 3 x+3 = x2 -4x+3,得 x1 = 0(舍去),x2 = 11 3 。 ∴ 点 P ( 113 , 16 9 ) 。 方法二:如图 2,过点 B 作 BD 垂直于 x 轴,交 CP 于点 D。 图 2 ∵ OC=OB, ∴ △OCB 为等腰直角三角形。 ∴ ∠DBC= ∠ABC= 45°。 ∵ ∠PCB= ∠ACB,BC=BC, ∴ △ABC≌△DBC(ASA)。 ∴ BD=AB= 2。 ∴ 点 D(3,2)。 同理,得直线 CP 的表达式为 y= - 1 3 x+3。 由- 1 3 x+3- = x2 -4x+3,得 x1 = 0(舍去),x2 = 11 3 。 ∴ 点 P ( 113 , 16 9 ) 。 (3)在对称轴上存在一点 Q,将线段 PQ 绕点 Q 顺时针旋转 90°,使点 P 恰好落在抛物线上。 如图 3,当点 P 在点 Q 上方时,设点 P 旋转后的 对应点为 P′,过点 P 作 PK⊥对称轴于点 K,过 点 P′作 P′T⊥对称轴于点 T。 图 3 ∵ 点 P ( 113 , 16 9 ) ,对称轴为直线 x= 2, ∴ PK= 11 3 -2 = 5 3 。 设 KQ=m, ∵ 将线段 PQ 绕点 Q 顺时针旋转 90° 得线段 P′Q, ∴ ∠PQP′= 90°,PQ=P′Q。 ∴ ∠PQK= 90°-∠TQP′= ∠QP′T。 ∵ ∠PKQ=QTP′= 90°。 ∴ △PKQ≌△QTP′(AAS)。 ∴ KQ=TP′=m,PK=QT= 5 3 。 ∴ 点 P′ (m+2, 19 -m ) 。 ∵ 点 P′恰好落在抛物线上, ∴ (m+2) 2 -4(m+2)+3 = 1 9 -m。 解得 m1 = 2 3 ,m2 = - 5 3 (舍去)。 ∴ 点 Q 的纵坐标为16 9 - 2 3 = 10 9 。 ∴ 点 Q ( 2,109 ) 。 如图 4,当点 Q 在点 P 上方时,过点 P 作 PW⊥ 对称轴于点 W,交抛物线于点 P′。 图 4 由图,可得点 P,P′关于直线 x= 2 对称, ∴ △PQP′是等腰直角三角形。 ∴ △P′QW,△PQW 是等腰直角三角形。 ∴ QW=PW= 11 3 -2 = 5 3 。 ∴ 点 Q 的纵坐标为 5 3 +16 9 = 31 9 。 ∴ 点 Q ( 2,319 ) 。 综上所述,点 Q 的坐标为 ( 2,109 )或 ( 2, 31 9 ) 。 高新区九年级第一学期期末真题卷 1. D　 2. B　 3. B　 4. D　 5. B　 6. C　 7. C　 8. C　 9. D　 10. A 11. 30°　 12. 2 9 　 13. 4　 14. 4-π　 15. 10　 16. 2 —7— 市中区九年级第一学期期末真题卷 (时间:120 分钟　 满分:150 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 从正面观察如图所示的几何体,看到的形状图是 (　 　 ) A. B. C. D. 第 1 题图 　 　 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 2. 已知m n = 2 3 ,则 m m+n 的值为 (　 　 ) A. 3 5 B. 2 5 C. 7 5 D. 2 3 3. 已知反比例函数 y= k x 的图象经过点 A( -2,6),则下列各点中也在该函数图象上的是 (　 　 ) A. (1,-12) B. (2,6) C. ( -3,-4) D. (4,3) 4. 抛物线 y= 2(x+9) 2 -3 的顶点坐标是 (　 　 ) A. (9,3) B. (9,-3) C. ( -9,3) D. ( -9,-3) 5. 在一个不透明的口袋中装有 4 个红球,5 个白球和若干个黑球,它们除颜色外其他完全相同,通过 多次摸球试验后发现,摸到白球的频率稳定在 25%附近,则口袋中黑球可能有 (　 　 ) A. 10 个 B. 11 个 C. 12 个 D. 13 个 6. 如图,在 8×4 的矩形网格中,每个小正方形的边长都是 1,若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点 上,则 tan∠ACB 的值为 (　 　 ) A. 1 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 2 7. 如图,C,D 是☉O 上直径 AB 两侧的两点,设∠ABC= 15°,则∠BDC 等于 (　 　 ) A. 65° B. 70° C. 75° D. 85° 8. 如图,在平面直角坐标系中,点 P(2,2)是一个光源。 木杆 AB 两端的坐标分别为(0,1),(3,1)。 则木杆 AB 在 x 轴上的投影长为 (　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 9. 一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y=ab x (a,b 为常数且不为 0)在坐标系内的图象可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 10. 已知二次函数 y=ax2 -2ax+3(其中 x 是自变量),当 0≤x≤3 时对应的函数值 y 均为正数,则 a 的 取值范围为 (　 　 ) A. -1<a<0 B. a>3 C. a<-1 或 a>3 D. -1<a<0 或 0<a<3 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 若∠A 是锐角,cos A= 3 2 ,则∠A= °。 12. 如图,△ABC 与△DEF 位似,点 O 为位似中心,已知 OA ∶ OD= 1 ∶ 3,△ABC 的面积为 2,则△DEF 的面积为 。 第 12 题图 　 　 　 第 13 题图 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 13. 如图,A 是反比例函数 y= k x (k≠0,x>0)的图象上一点,过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,P 是 y 轴上任 意一点,连接 PA,PB。 若△ABP 的面积等于 3,则 k 的值为 。 14. 如图,抛物线 y=ax2 +bx+c 的对称轴是直线 x = -1,与 x 轴的一个交点为( -5,0),则不等式 ax2 + bx+c>0 的解集为 。 15. 如图,将半径为 2 cm 的圆形纸片翻折,使得 AB ( ,BC ( 恰好都经过圆心 O,折痕为 AB,BC,则阴影部 分的面积为 cm2。 (结果保留 π) 16. 如图,AB= 5,BC= 10,以 AC 为斜边在 AC 的右侧作△ACD,其中∠ADC = 90°,AD CD = 4 3 ,当 BD 长度 最大时,点 D 到 BC 的距离是 。 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算: ( 12 ) -1 +(π+1) 0 -2sin 30°+ 9 。 18. (6 分)如图,D,E 分别是△ABC 的边 AB,AC 上的点,∠AED = ∠B,AD = 3,AB = 8,AE = 4。 求 AC 的长度。 19. (6 分)如图,小明想要用撬棍撬动一块大石头,已知阻力为 1 200 N,阻力臂长为 0. 5 m。 设动力 为 y(N),动力臂长为 x(m)。 (杠杆平衡时,动力×动力臂 = 阻力×阻力臂,图中撬棍本身所受的 重力忽略不计) (1)求 y 关于 x 的函数表达式; (2)当动力臂长为 1. 5 m 时,撬动石头至少需要多大的力? 20. (8 分)随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建,我国人民的出行方式越来越多,出行越来 越便捷。 为保障旅客快捷、安全地出入车站,每个车站都修建了如图所示的出入闸口。 某车站有 四个出入闸口,分别记为 A,B,C,D。 (1)一名乘客通过该站闸口时,求他选择 A 闸口通过的概率; (2)当两名乘客通过该站闸口时,请用画树状图或列表的方法求两名乘客选择相同闸口通过的 概率。 —3— 21. (8 分)如图,大楼 AB 的高度为 37 m,小可为了测量大楼顶部旗杆 AC 的高度,他从大楼底部点 B 处出发,沿水平地面前行 32 m 到达点 D 处,再沿着斜坡 DE 走 20 m 到达点 E 处,测得旗杆顶端 点 C 的仰角为 30°。 已知斜坡 DE 与水平面的夹角∠EDG= 37°,图中点 A,B,C,D,E,G 在同一平 面内。 (结果精确到 0. 1 m) (1)求斜坡 DE 的铅直高度 EG 和水平宽度 GD; (2)求旗杆 AC 的高度。 (参考数据:sin 37°≈0. 60,cos 37°≈0. 80,tan 37°≈0. 75, 3 ≈1. 73) 22. (8 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,O 是 AB 上一点,以 OB 为半径的☉O 与 AB 相交于点 E,与 AC 相切于点 D,连接 BD。 (1)求证:BD 平分∠ABC; (2)已知 cos∠ABC= 3 5 ,AB= 6,求☉O 的半径 r。 23. (10 分)把边长为 44 cm 的正方形硬纸板(如图 1),在四个顶点处分别剪掉一个小正方形,折成 一个长方体形的无盖盒子(如图 2)。 若剪掉的小正方形的边长为 x cm,长方体形的无盖盒子的 侧面积为 S cm2。 (1)①求 S 与 x 的函数关系式; ②直接写出 x 的取值范围。 (2)求当 x 取何值时,S 达到最大,并求出最大值。 图 1 　 　 图 2 24. (10 分)在平面直角坐标系中,定义横坐标与纵坐标均为整数的点为整点。 如图,已知双曲线 y= k x 经过点 A(2,2),在第一象限内存在一点 B(m,n),满足 mn>4。 (1)求 k 的值; (2)如图 1,过点 B 分别作平行于 x 轴,y 轴的直线,交双曲线 y = k x (x>0)于点 C,D,记线段 BC, BD,双曲线所围成的区域为 W(含边界)。 ①当 m=n= 4 时,区域 W 的整点个数为 ; ②直线 y=ax-5a+4(a>0)过一个定点,若点 B 为此定点,这条直线将 W 分成两部分,直线上方 (不包含直线)的区域记为 W1,直线下方(不包含直线)的区域记为 W2,当 W1 与 W2 的整点个数 之差不超过 2 时,请求出 a 的取值范围。 图 1 　 　 图 2 　 　 备用图 25. (12 分)(1)问题发现:如图 1,在△OAB 和△OCD 中,OA =OB,OC =OD,∠AOB = ∠COD = 40°,连 接 AC,BD 交于点 M,填空:AC BD = ,∠AMB= ; (2)类比探究:如图 2,在△OAB 和△OCD 中,∠AOB= ∠COD= 90°,∠OAB= ∠OCD= 30°,连接 AC 交 BD 的延长线于点 M,请判断AC BD 的值及∠AMB 的度数,并说明理由; (3)拓展延伸:如图 3,在(2)的条件下,将△OCD 绕点 O 旋转至点 C 与点M 重合,若 OD= 1,OB= 7 ,填空:AC= 。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 26. (12 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y = x2 +bx+c 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C, 对称轴为直线 x= 2,点 A 的坐标为(1,0)。 (1)该抛物线的表达式为 ; (2)P 为抛物线上一点(不与点 A 重合),连接 PC。 当∠PCB= ∠ACB 时,求点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,在对称轴上是否存在一点 Q,连接 PQ,将线段 PQ 绕点 Q 顺时针旋转 90°,使 点 P 恰好落在抛物线上? 若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。 　 　 备用图 1 　 　 　 备用图 2 —4—