山东省济南市商河县2023-2024学年九年级上学期期末真题卷-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学(济南专版)

∵ PE∥BC, ∴ △APE∽△ABC,∠EPD= ∠PDB= 90°。 ∴ PE BC =AP AB 。 ∴ PE 3 13 =m+3 9 。 ∴ PE= 13 ·(m +3) 3 。 ∴ S= 1 2 PE·PD= 1 2 (m+3)(6-m)= - 1 2 (m- 3 2 ) 2 +81 8 。 ∴ 当 m= 3 2 时,S最大 = 81 8 。 ∴ 当 m 为 3 2 时, △PDE 的面积最大,最大值 为 81 8 。 26. (1)解:如图 1,设 BF 与 CD 交于点 M,与 DE 交 于点 N。 图 1 ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ BC=DC,∠BCD= 90°。 ∵ △ECF 是等腰直角三角形, ∴ CF=CE,∠ECF= 90°。 ∴ ∠BCD= ∠ECF。 ∴ ∠BCD+∠DCF= ∠ECF+∠DCF。 ∴ ∠BCF= ∠DCE。 ∴ △BCF≌△DCE(SAS)。 ∴ BF=DE,∠CBF= ∠CDE。 ∵ ∠BMC= ∠DMF,∠CBF+∠BMC= 90°, ∴ ∠CDE+∠DMF= 90°。 ∴ ∠BND= 90°。 ∴ BF⊥DE。 故答案为 BF=DE,BF⊥DE。 (2)证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ BC=DC。 ∵ ∠BCD= ∠FCE, ∴ ∠BCD+∠DCF= ∠FCE+∠DCF。 ∴ ∠BCF= ∠DCE。 ∵ CF=CE,∴ △BCF≌△DCE(SAS)。 ∴ BF=DE。 (3)解:①DE BF = 3 4 。 理由如下: ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠BCD= 90°。 ∵ ∠ECF= 90°, ∴ ∠ECF+∠DCF= ∠BCD+∠DCF。 ∴ ∠DCE= ∠BCF。 ∵ CE CF =CD CB = 3 4 , ∴ △DCE∽△BCF。 ∴ DE BF =CD CB = 3 4 。 ②如图 2,连接 BD。 图 2 ∵ △DCE∽△BCF, ∴ CE CF =CD CB = 3 4 ,∠CDE= ∠CBF。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ CD=AB= 12。 ∵ CE= 6,∴ 6 CF = 12 CB = 3 4 。 ∴ CF= 8,CB= 16。 ∵ ∠DBO + ∠CBF + ∠BDC = ∠DBO + ∠CDE + ∠BDC= ∠DBO+∠BDO= 90°, ∴ ∠BOD= 90°。 ∴ ∠DOF= ∠BOE= ∠EOF= 90°。 在 Rt△DOF 中,DF2 =OD2 +OF2 , 在 Rt△BOE 中,BE2 =OB2 +OE2 , 在 Rt△DOB 中,DB2 =OD2 +OB2 , 在 Rt△EOF 中,EF2 =OE2 +OF2 , ∴ DF2 +BE2 =OD2 +OF2 +OB2 +OE2 =DB2 +EF2 。 在 Rt△BCD 中,DB2 =BC2 +CD2 = 162 +122 = 400, 在 Rt△CEF 中,EF2 =CE2 +CF2 = 62 +82 = 100, ∴ DB2 +EF2 = 400+100 = 500。 ∴ DF2 +BE2 = 500。 故答案为 500。 商河县九年级第一学期期末真题卷 1. A　 2. C　 3. C　 4. A　 5. B　 6. C　 7. A　 8. D　 9. B　 10. C —03— 11. 2 3 　 12. -3　 13. k>1　 14. 30　 15. 3 16. 1- 3 3 17.解:原式= 2× 1 2 +1+ ( 32 ) 2 - ( 22 ) 2 = 9 4 。 18.解:(1) (3,0)　 (2)x >1　 (3)-1<x<3　 19. 证明:∵ BF∥CE,CF∥BE, ∴ 四边形 BECF 是平行四边形。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD。 ∴ ∠ABC+∠BCD= 180°。 ∵ BE 平分∠ABC,CE 平分∠BCD, ∴ ∠CBE+ ∠BCE = 1 2 ( ∠ABC+ ∠BCD) = 1 2 × 180° = 90°。 ∴ ∠BEC= 90°。 ∴ 平行四边形 BECF 是矩形。 20. (1)证明:∵ ∠ADE= ∠ACB,∠A= ∠A, ∴ △ADE∽△ACB。 (2)解:由(1)可知△ADE∽△ACB,∴ AD AC =AE AB 。 设 BD= x,则 AD= 2x,AB= 3x。 ∵ AE=4,AC=9,∴ 2x 9 = 4 3x 。 解得 x= 6(负值舍去)。 ∴ BD 的长是 6 。 21.解:(1)∵ 一元二次方程 x2 - 3x+ 2m = 0 有两个 实数根,∴ Δ = b2 - 4ac = ( - 3) 2 - 4 × 1 × 2m = 9- 8m≥0。 解得 m≤ 9 8 。 (2)当 m= 1 时,方程为 x2 -3x+2 = 0。 解得 x1 = 1,x2 = 2。 22. (1)证明:如图,连接 OD。 ∵ EF 是☉O 的切线, ∴ EF⊥OD。 ∵ AB=AC, ∴ ∠C= ∠OBD。 ∵ OD=OB, ∴ ∠1 = ∠OBD。 ∴ ∠1 = ∠C。 ∴ OD∥AC。 ∴ EF⊥AC。 (2)解:如图,连接 AD, ∵ AB 为☉O 的直径,∴ ∠ADB= 90°。 ∵ AB=AC,且 BC= 6,∴ CD=BD= 1 2 BC= 3。 在 Rt△ACD 中,AC=AB= 5,CD= 3, 根据勾股定理,得 AD= AC2 -CD2 = 4。 ∵ S△ACD = 1 2 AC·DE= 1 2 AD·CD, 即 1 2 ×5×DE= 1 2 ×4×3,∴ DE= 12 5 。 23.解:(1)∵ 开机加热时每分钟上升 10 ℃ , ∴ 从 20 ℃到 100 ℃需要 8 min。 设一次函数表达式为 y= k1x+b, 将点(0,20),(8,100)代入 y= k1x+b, 得 k1 = 10,b= 20。 ∴ 一次函数的表达式为 y= 10x+20(0≤x≤8)。 设反比例函数表达式为 y= k x 。 将点(8,100)代入,得 k= 800。 ∴ 反比例函数的表达式为 y= 800 x (8<x≤40)。 当 y = 20 时, 代入反比例函数表达式可得 x= 40。 故答案为 8;40。 (2)由(1)中计算,可得 y= 10x+20(0≤x≤8), 800 x (8<x≤40)。{ (3)在 y= 10x+20(0≤x≤8)中, 令 y= 50,解得 x= 3。 在反比例函数 y= 800 x (8<x≤40)中, 令 y= 50,解得 x= 16。 ∵ 16-3 = 13(min), ∴ 饮水机有 13 min 的时间能使水温保持在 50 ℃以上。 (4)由题意可知饮水机工作时 40 min 为一个循 环,上午七点到上午第一节下课时(8:40)的时 间是 100 min,是 2 个 40 min 多 20 min, ∴ 800 20 = 40(℃ )。 ∴ 学生上午第一节下课时 ( 8: 40) 不能喝到 50 ℃以上的水。 24.解:(1)α+β= 90°。 (2)在 Rt△ABH 中, ∵ AB= 40 米,∠BAH= 24°,sin∠BAH=BH AB , —13— ∴ sin 24° =BH 40 。 在 Rt△TKS 中, ∵ KT ≈ 5 厘 米, TS ≈ 2 厘 米, ∠TKS = 24°, sin∠TKS= TS KT , ∴ sin 24° = 2 5 。 ∴ BH 40 = 2 5 。 ∴ BH= 16 米。 在 Rt△CBQ 中, ∵ BC= 50 米,∠CBQ= 30°, ∴ CQ= 1 2 BC= 25 米。 在 Rt△DCR 中, ∵ CD= 40 米,∠DCR= 45°,sin∠DCR=DR CD , ∴ DR=CD·sin∠DCR=40·sin 45° =20 2(米)。 ∴ DF=BH+CQ+DR= 16+25+20 2 ≈69(米)。 ∴ 山高 DF 约为 69 米。 (3)由题意,得 tanβ1 = a1 b1 ,tanβ2 = a2 b2 , 在 Rt△DNL 中, ∵ tan β1 = DL NL ,∴ DL NL = a1 b1 。 ∴ NL= b1 a1 DL。 在 Rt△DN′L 中, ∵ tan β2 = DL N′L ,∴ DL N′L = a2 b2 。 ∴ N′L= b2 a2 DL。 ∵ NL-N′L=NN′= 40 米,∴ b1 a1 DL- b2 a2 DL= 40。 解得 DL= 40a1a2 b1a2 -b2a1 。 ∴ DF=DL+LF= ( 40a1a2 b1a2 -b2a1 +1. 6 )米。 ∴ 山高 DF 为 ( 40a1a2 b1a2 -b2a1 +1. 6 )米。 25.解:(1)分别将点 A( -3,0),B(2,0),C(0,6)代 入 y=ax2 +bx+c 中, 得 9a-3b+c= 0, 4a+2b+c= 0, c= 6。 { 解得 a= -1, b= -1, c= 6。 { ∴ 抛物线的表达式为 y= -x2 -x+6。 (2)抛物线上不存在点 P,使得 S△PAC ∶ S四边形ABCP = 1 ∶ 3。 理由如下, ∵ S△PAC ∶ S四边形ABCP =1 ∶ 3,∴ S△PAC ∶ S△ABC =1 ∶ 2。 ∴ S△PAC = 1 2 S△ABC = 1 2 × 1 2 ×(3+2)×6 = 15 2 。 设直线 AC 的表达式为 y = kx+m,把点 A( - 3, 0),C(0,6)代入, ∴ -3k+m= 0, m= 6。{ 解得 k= 2, m= 6。{ ∴ 直线 AC 的表达式为 y= 2x+6。 如图 1,过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H,交 AC 于 点 Q。 图 1 设点 P(p,-p2 -p+6),则点 Q(p,2p+6)。 ∴ PQ= -p2 -p+6-2p-6 = -p2 -3p。 ∴ S△PAC = 1 2 PQ·OA= 1 2 (-p2 -3p)×3 = 15 2 。 整理,得 p2 +3p+5 = 0。 ∵ Δ= 32 -4×1×5 = -11<0, ∴ 原方程无解。 ∴ 抛物线上不存在点 P,使得 S△PAC ∶ S四边形ABCP = 1 ∶ 3。 (3)如图 2,连接 PC,过点 D 作 DM⊥ x 轴于 点 M。 图 2 ∵ PD∥BC, ∴ S△PCD =S△PDB 。 ∵ S△PDA S△PDB = 1 3 ,∴ CD= 3AD。 ∵ DM⊥x 轴,∴ DM∥y 轴。 ∴ AM OM = AD CD = 1 3 。 ∵ OA= 3,∴ OM= 9 4 。 —23— ∵ 直线 AC 的表达式为 y= 2x+6, ∴ 点 D ( - 94 , 3 2 ) 。 ∵ 点 B(2,0),C(0,6), ∴ 直线 BC 的表达式为 y= -3x+6。 ∵ PD∥BC,∴ 设直线 PD 的表达式为 y= -3x+n。 ∵ 点 D ( - 94 , 3 2 ) , ∴ -3× ( - 94 ) +n= 3 2 。 解得 n= -21 4 。 ∴ 直线 PD 的表达式为 y= -3x-21 4 。 联立 y= -3x- 21 4 , y= -x2 -x+6, { 得-3x-214 = -x2 -x+6。 解得 x= - 5 2 或 9 2 (不符合题意,舍去)。 ∴ 点 P 坐标为 ( - 52 , 9 4 ) 。 26.解:(1)当 n= 1,则 AD=AB,AP=AM, ∴ AD-AP=AB-AM。 ∴ DP=BM。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形,四边形 AMNP 是矩形, ∴ AD=CD=AB,AP=AM=NP, ∠ADC= ∠APN= 90°。 ∴ AC= 2AD,AN= 2AP。 ∴ CN=AC-AN= 2 (AD-AP)。 ∴ CN= 2PD。 故答案为 BM=PD;CN= 2PD。 (2)CN 与 PD 之间的数量关系发生变化,CN = 5 2 PD。 理由如下: 如图 1,连接 AC。 图 1 在矩形 ABCD 和矩形 AMNP 中, ∵ 当 n= 2。 AD= 2AB,AP= 2AM, ∴ AC= 5 2 AD,AN= 5 2 AP。 ∴ AC AD =AN AP = 5 2 。 ∵ 矩形 AMNP 绕点 A 顺时针旋转, ∴ ∠NAP= ∠CAD。 ∴ ∠NAP-∠CAP= ∠CAD-∠CAP。 ∴ ∠NAC= ∠PAD。 ∴ △ANC∽△APD。 ∴ NC PD = AC AD = 5 2 。 ∴ CN= 5 2 PD。 (3)如图 2,当点 N 在线段 CM 上时, 图 2 ∵ AD= 4,AD= 2AB, ∴ AB=CD= 2。 ∴ AC= AD2 +CD2 = 16+4 = 2 5 。 ∵ AP= 2,AP= 2AM, ∴ AM= 1。 ∴ CM= AC2 -AM2 = 20-1 = 19 。 ∴ CN=CM-MN= 19 -2。 如图 3,当点 M 在线段 CN 上时, 图 3 同理,可求 CM= 19,∴ CN=CM+MN= 19+2。 综上,CN 的长为 19 -2 或 19 +2。 济南市九年级第一学期考前示范卷(一) 1. A　 2. D　 3. A　 4. D　 5. D　 6. B　 7. B　 8. C　 9. C　 10. C 11. 30°　 12. 2 3 　 13. 6　 14. 3　 15. 1　 16. ①③④ 17.解:(-1) 2 024 +2sin 45°-cos 30°+sin 60°+tan260° = 1+2× 2 2 - 3 2 + 3 2 +( 3 ) 2 = 1+ 2 +3 = 4+ 2 。 18. (1)证明:∵ AB= 45 m,AC= 30 m,CD= 20 m, ∴ AB AC = 45 30 = 3 2 ,AC CD = 30 20 = 3 2 。 —33— 商河县九年级第一学期期末真题卷 (时间:120 分钟　 满分:150 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. 如图所示的几何体的主视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 第 1 题图 　 　 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 2. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 4,BC= 3,则∠A 的正切值是 (　 　 ) A. 3 5 B. 4 3 C. 3 4 D. 4 5 3. 如图,点 A,B,C 都在☉O 上,如果∠ACB= 50°,那么∠AOB 的度数是 (　 　 ) A. 25° B. 50° C. 100° D. 130° 4. 将一元二次方程(x+a) 2 = b,化成 x2 -8x-5 = 0 的形式,则 a,b 的值分别是 (　 　 ) A. -4,21 B. -4,11 C. 4,21 D. -8,69 5. 如图,在平面直角坐标系中,△AOB 与△COD 是以原点为位似中心的位似图形,若 OC = 2OA,点 B 的坐标为(1,3),则点 D 的坐标为 (　 　 ) A. (2,6) B. ( -2,-6) C. (3,9) D. ( -3,-9) 第 5 题图 　 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 　 第 8 题图 6. 如图所示是小明的一张书法练习纸,练习纸中的竖格线都平行,且相邻两条竖格线间的距离都相 等,同一条直线上的三个点 A,B,C 都在竖格线上。 若线段 AB= 3. 2 cm,则线段 BC 的长为 (　 　 ) A. 6. 4 cm B. 8 cm C. 9. 6 cm D. 12. 8 cm 7. 某校举行以“大国重器”为主题的演讲比赛,其中一个环节是即兴演讲,该环节共有三个题目,由 电脑随机给每位参赛选手派发一个题目,选手根据题目对应的内容进行 90 秒演讲,小亮和小敏都 参加了即兴演讲,则电脑给他们派发的是同一个题目的概率是 (　 　 ) A. 1 3 B. 1 6 C. 1 4 D. 1 2 8. 如图,某购物广场要修建一个地下停车场,停车场的入口设计示意图如图所示,其中斜坡 AD 与水 平方向的夹角为 α(0°<α<90°),地下停车场层高 CD = 3 米,则在停车场的入口处,可通过汽车的 最大高度是 (　 　 ) A. 3 米 B. 3 cos α 米 C. 3sin α 米 D. 3cos α 米 9. 如图,在正方形 ABCD 中,点 M,N,P 分别在 AB,CD,BD 上,∠MPN= 90°,MN 经过对角线 BD 的中 点 O,若∠PMN=α,则∠AMP 一定等于 (　 　 ) A. 2α B. 45°+α C. 90- 1 2 α D. 135°-α 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 函数 y= x2 -4 | x | -2 的自变量 x 的取值范围为全体实数,其中 x≥0 部分的图象如图所示,对于此 函数有下列结论:①函数图象关于 y 轴对称;②函数既有最大值,也有最小值;③当 x<-2 时,y 的 值随 x 值的增大而减小;④当-6<a<-2 时,关于 x 的方程 x2 -4 | x | -2 = a 有 4 个实数根。 其中正 确的结论个数是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 如果x +y y = 5 3 ,那么 x y = 。 12. 已知一元二次方程 x2 +kx-6 = 0 有一个根是 2,则另一个根是 。 13. 已知反比例函数 y= k -1 x 的图象在每一个象限内,y 的值都随 x 值的增大而减小,则 k 的取值范 围是 。 14. 如图所示,要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙,如果用 60 m 长的篱笆围成中间有一道 篱笆的养鸡场,设养鸡场的长为 x m,当 x= m 时,养鸡场的面积最大。 第 14 题图 　 第 15 题图 　 　 图 1 图 2 图 3 第 16 题图 15. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术:“割之弥细,所失弥少。 割之 又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”。 “割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想 得到了圆周率 π 的近似值为 3. 141 6。 如图,☉O 的半径为 1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形 面积近似估计☉O 的面积,可得 π 的估计值为3 3 2 ,若用圆内接正十二边形作近似估计,可得 π 的估计值为 。 16. 如图 1 是一张菱形纸片,其中∠A = 135°,AB = 2 ,E 为 BC 边上一动点。 如图 2,将纸片沿 AE 翻 折,点 B 的对应点为 B′;如图 3,将纸片再沿 AB′折叠,点 E 的对应点为 E′。 当 AE′与菱形的边 CB 垂直时,BE 的长为 。 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算:2sin 30°+tan 45°+cos230°-sin245°。 18. (6 分)二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象回答下列问题: (1)点 B 的坐标为 ; (2)当 x 时,y 的值随 x 值的增大而减小; (3)不等式 ax2 +bx+c>0 的解集为 。 19. (6 分)如图,在▱ABCD 中,BE 平分∠ABC,CE 平分∠BCD,BF∥CE,CF∥BE。 求证:四边形 BECF 是矩形。 20. (8 分)如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 上的点,连接 DE,且∠ADE= ∠ACB。 (1)求证:△ADE∽△ACB; (2)若 AD= 2DB,AE= 4,AC= 9,求 BD 的长。 21. (8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2 -3x+2m= 0 有两个实数根。 (1)求 m 的取值范围; (2)当 m 取最大整数时,求方程的两个根。 —91— 22. (8 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的☉O 交 BC 于点 D,过点 D 的切线交 AC 于点 E,交 AB 的延长线于点 F。 (1)求证:EF⊥AC; (2)当 AB= 5,BC= 6 时,求 DE 的长。 23. (10 分)我校的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时每分钟上升 10 ℃ ,加热到 100 ℃ , 停止加热,水温开始下降,此时水温(℃ ) 与开机后用时( min) 成反比例关系。 直至水温降至 20 ℃时自动开机加热,重复上述自动程序。 若在水温为 20 ℃时,接通电源后,水温 y(℃ )和时间 x(min)的关系如图所示。 (1)a= ,b= ; (2)直接写出图中 y 关于 x 的函数表达式; (3)饮水机有多少时间能使水温保持在 50 ℃及以上? (4)若某天上午 7:00 饮水机自动接通电源,开机温度正好是 20 ℃ ,问学生上午第一节下课时 (8:40)能喝到 50 ℃以上的水吗? 请说明理由。 24. (10 分)为测量学校后山高度,数学兴趣小组活动过程如下: (1)测量坡角。 如图 1,后山一侧有三段相对平直的山坡 AB,BC,CD,山的高度即为三段坡面的铅直高度 BH, CQ,DR 之和,坡面的长度可以直接测量得到,要求山坡高度还需要知道坡角大小。 如图 2,同学们将两根直杆 MN,MP 的一端放在坡面起始端点 A 处,直杆 MP 沿坡面 AB 方向放 置,在直杆 MN 另一端 N 用细线系小重物 G,当直杆 MN 与铅垂线 NG 重合时,测得两杆夹角 α 的 度数,由此可得山坡 AB 坡角 β 的度数。 请直接写出 α,β 之间的数量关系。 (2)测量山高。 同学们测得山坡 AB,BC,CD 的坡长依次为 40 米、50 米、40 米,坡角依次为 24°,30°,45°;为求 BH,小熠同学在作业本上画了一个含 24°角的 Rt△TKS(如图 3),量得 KT≈5 厘米,TS≈2 厘米。 求山高 DF。 ( 2 ≈1. 41,结果精确到 1 米) (3)测量改进。 由于测量工作量较大,同学们围绕如何优化测量进行了深入探究,有了以下新的测量方法。 如图 4,5,在学校操场上,将直杆 NP 置于 MN 的顶端,当 MN 与铅垂线 NG 重合时,转动直杆 NP, 使点 N,P,D 共线,测得∠MNP 的度数,从而得到山顶仰角 β1,向后山方向前进 40 米,采用相同 方式,测得山顶仰角 β2;画一个含 β1 的直角三角形,量得该角对边和另一直角边分别为 a1 厘米, b1 厘米,再画一个含 β2 的直角三角形,量得该角对边和另一直角边分别为 a2 厘米,b2 厘米。 已 知杆高 MN 为 1. 6 米,求山高 DF。 (结果用不含 β1,β2 的字母表示) 图 1 　 　 　 　 图 2 　 　 　 　 　 　 图 3 图 4 　 图 5 25. (12 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y = ax2 +bx+c(a≠0)与 x 轴交于点 A( -3,0)和点 B (2,0)两点,且与 y 轴交于点 C(0,6)。 连接 AC,BC,P 为抛物线在第二象限内的一点。 (1)求抛物线的表达式; (2)如图 1,连接 PA,PC,抛物线上是否存在点 P,使得 S△PAC ∶ S四边形ABCP = 1 ∶ 3? 若存在,请求出 点 P 坐标;若不存在,请说明理由。 (3)如图 2,连接 PA,PB,过点 P 作 PD∥BC 交 AC 于点 D,连接 BD。 若 S△PDA S△PDB = 1 3 ,求点 P 坐标。 图 1 　 图 2 26. (12 分)如图 1,在矩形 ABCD 中,AD=nAB,点 M,P 分别在边 AB,AD 上(均不与端点重合),且 AP =nAM,以 AP 和 AM 为邻边作矩形 AMNP,连接 AN,CN。 【问题发现】 (1)如图 2,当 n= 1 时,BM 与 PD 的数量关系为 ,CN 与 PD 的数量关系为 ; 【类比探究】 (2)如图 3,当 n= 2 时,矩形 AMNP 绕点 A 顺时针旋转,连接 PD,则 CN 与 PD 之间的数量关系是 否发生变化? 若不变,请就图 3 给出证明;若变化,请写出数量关系,并就图 3 说明理由。 【拓展延伸】 (3)在(2)的条件下,已知 AD= 4,AP = 2,当矩形 AMNP 旋转至 C,N,M 三点共线时,请直接写出 线段 CN 的长。 图 1 　 图 2 　 　 图 3 —02—